线性系统理论a
线性系统理论和设计
线性系统理论和设计是控制工程中的重要内容，涉及到对线性系统的建模、分析和控制设计。
以下是关于线性系统理论和设计的基本内容：
1. 线性系统模型
-线性系统描述：线性系统是指具有线性性质的动态系统，其输出与输入之间满足线性关系。
-线性系统模型：通常用微分方程、差分方程或状态空间方程描述线性系统的动态特性。
2. 线性系统分析
-系统稳定性分析：通过研究系统的零点、极点等性质来判断系统的稳定性。
-频域分析：通过频率响应、波特图等方法分析系统在频域下的性能。
-时域分析：通过阶跃响应、脉冲响应等方法研究系统在时域下的响应特性。
3. 线性系统设计
-控制器设计：设计合适的控制器来实现系统的性能要求，常见的控制器包括比例积分微分（PID）控制器、根轨迹设计等。
-系统鲁棒性设计：设计具有鲁棒性的控制器，能够抵抗参数变化和外部干扰的影响。
-最优控制设计：利用最优控制理论设计最优的控制器，使系统性能
达到最佳。
4. 线性系统应用
-自动控制系统：将线性系统理论和设计方法应用于自动控制系统，实现对各种工程系统的自动控制和调节。
-信号处理系统：利用线性系统理论设计数字滤波器、信号处理算法等，对信号进行处理和提取。
-机电系统：应用线性系统理论设计机电系统的控制器，实现机电系统的精密控制和运动规划。
线性系统理论和设计在控制工程领域具有广泛的应用，能够帮助工程师分析和设计各种复杂系统的控制策略，提高系统的性能和稳定性。
线性系统理论总结ppt
线性系统理论总结ppt
一、线性系统简介
1.线性系统定义：
线性系统是指用线性微分方程、线性积分方程和线性算子（算子运算）来表示、描述和分析的一个系统。
这种系统的输入输出之间的关系可以表
示为线性函数的形式。
2.线性系统的实例：
线性系统的例子包括信号处理、控制系统、数字图像处理、模式识别
等等。
线性系统的应用也很广泛，可以应用在机器人、汽车、航空、通信、医疗和金融等行业中。
二、线性系统的演示
1.系统模型：
线性系统通常用状态空间模型来描述，该模型由一组线性微分方程以
及输入、输出和内部状态变量组成。
该模型的工作原理是：系统的输入到
达模型的输入，系统的内部状态变量发生改变，然后将内部状态变量产生
的输出发送到系统的输出端。
2.系统特性：
线性系统具有许多特性，包括平衡点、平稳性、稳定性、反馈和动力
学建模等等。
这些特性是线性系统能够更好地实现高效操作和有效控制的
基础。
三、线性系统的分析
1.状态变量分析：
状态变量是描述系统当前状态的量，它们通过系统的状态转移方程的变化反映系统的行为。
状态变量的分析包括：求出状态变量的收敛状态，判断系统的稳。
线性系统理论全PPT课件
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
线性系统理论(绪论)
008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。
电子工程中的线性系统理论
电子工程中的线性系统理论线性系统理论是电子工程中非常重要的一部分内容。
其涉及到信号处理、控制系统、通信系统等多个领域。
本文将对线性系统理论的定义、特征、基本理论等方面进行简要介绍。
一、线性系统的定义线性系统是指其输入和输出具有线性关系的系统。
简单地说，就是许多输入信号叠加组成的输出信号，与单独输入信号的输出信号相加之和完全相同。
其中输入信号可以是电压、电流、功率等，输出信号也可以是同样的类型。
例如，如果一个系统的输入信号为 $x_1$ 和 $x_2$，对应的输出信号为 $y_1$ 和 $y_2$，则该系统是线性的，当且仅当：$$y_1 = ax_1 + bx_2 \\y_2 = cx_1 + dx_2$$其中 $a,b,c,d$ 均为常量。
二、线性系统的特征1. 叠加性：线性系统具有叠加性，即当系统中输入信号为$x_1$ 和 $x_2$ 时，对应的输出信号分别为 $y_1$ 和 $y_2$，则系统中同时输入 $x_1+x_2$ 时，输出信号为 $y_1+y_2$。
2. 抑制性：线性系统具有抑制性，即输入信号越大，输出信号越小。
如果输入信号的某一部分被视为噪声，则线性系统可以减小噪声的影响，同时保持信号的大部分原始信息。
3. 延时特性：线性系统具有延时特性，即在特定的时间段内输入信号可以得到响应。
例如，音频系统在接收到输入信号后需要一定时间来处理信号，并绘制出相应的声音波形。
三、线性系统的基本理论1. 系统函数和频率响应系统函数是将输入信号转换为输出信号的函数，通常用$H(s)$ 或 $H(jw)$ 表示，其中 $s$ 是连续时间变量，$jw$ 是离散时间变量，表示系统的频率响应。
频率响应是指系统在不同频率下的输出功率和输入功率之比，通常用 $H(jw)$ 表示。
2. 系统的稳定性稳定性是指系统在输入端输入有限信号时输出端不会产生无限响应的性质。
在线性系统中，通常采用相对稳定性来描述系统的稳定性，这意味着系统相对于任意有限的输入信号都稳定。
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
《线性系统理论》课程教学探讨
《线性系统理论》课程教学探讨《线性系统理论》是控制理论中的基础课程之一，主要研究线性动态系统的建模、分析与控制。
在工程领域，线性系统理论被广泛应用于自动控制、信号处理、通信系统等各个方面。
对于控制理论专业的学生来说，学习《线性系统理论》课程是非常重要的。
在教学中，如何更好地教授《线性系统理论》课程，引导学生深入理解并掌握相关知识，是每位控制理论教师都面临的一个重要问题。
本文将探讨如何进行《线性系统理论》课程的教学，包括教学内容、教学方法、教学手段等方面，以期能够为相关教师提供一些启发与帮助。
一、教学内容《线性系统理论》课程的教学内容主要包括线性系统的基本概念、线性系统的数学描述、线性系统的时域分析、线性系统的频域分析、线性系统的稳定性分析、线性系统的控制器设计等方面。
时域分析包括状态空间描述、零输入响应、零状态响应、传递函数描述等内容；频域分析包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、频率响应等内容；稳定性分析包括系统的内稳定性、外稳定性等内容；控制器设计包括状态反馈控制、输出反馈控制、最优控制等内容。
在教学内容的安排上，可以根据教学大纲和学生的实际需求进行适当的调整和补充。
可以结合具体的工程案例，引入一些实际的控制问题，让学生通过学习《线性系统理论》课程，能够更好地理解和应用所学知识。
二、教学方法针对《线性系统理论》课程的教学方法，可以采用多种方式，包括课堂讲授、案例分析、实验教学等。
在课堂讲授方面，可以通过引入生动的实例和案例，以及讲解一些与线性系统相关的最新研究成果，激发学生的学习兴趣，增强他们的学习动力。
在案例分析方面，可以选取一些实际的控制工程问题，进行详细的分析和讨论，让学生通过具体的案例了解线性系统理论的应用。
在实验教学方面，可以通过实验平台、仿真软件等工具，进行相应的实验操作和数据分析，让学生通过实际操作来加深对线性系统理论的理解。
还可以采用小组讨论、课外阅读、学术论文撰写等方式，培养学生的团队合作能力、独立思考能力和科研创新能力。
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
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§2－1 系统的分类
u
y
系统
u —— 输入 y —— 输出 y＝Hu
线性系统理论a
• 若u和y都是标量，称为单输入单输出系统 (SISO)系统，否则称为多变量系统
• 瞬时系统与动态系统（无记忆系统与有记 忆系统）：若系统在t1时刻的输出仅取决于 该时刻所加的输入u(t1)，则称该系统为瞬时 系统（无记忆系统）（它可用代数方程表 达）。否则，若系统在t1时刻的输出不仅取 决于u(t1)，还与t1时刻以前的和（或）以后 的输入有关，则称其为动态系统（有记忆 系统）。
线性系统理论a
教学要求及目的 • 掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。 • 了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。 • 灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。
线性系统理论a
课程主要内容
• 线性系统的数学描述 • 线性系统运动分析 • 离散时间系统 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统的能控性与能观测性 • 线性时变系统 • 极点配置 • 状态观测器与分离原理
线性系统理论a
• 定义3，称系统在t0时为松弛的，iff 系统输
出 y[t0 ,)唯一的只由
RC网络，Uc(0)=0。
u[t0
所激励。例如
,)
线性系统理论a
定义4， 位移算子 Q ， Qu(t) u(t )
即算子作用的结果使得原输出在时间上延
迟α。
u(t)
Qαu(t)
t0
t0
α+t0
H (Qu) Q Hu
脉冲函数
1
(t
)
t
0 其余
线性系统理论a
• 定义单位脉冲函数
(t
)
0
t t
(t )dt 1
y Hu
线性系统理论a
• 定义1，称一个初始松弛的系统为线性系统，
iff 对任何输入u1和u2及任何实数 1 和2，
成立叠加原理：
H (1u1 2u2 ) 1Hu1 2Hu2
不满足以上关系式的系统称为非线性系统。
线性系统理论a
• 定义2 ，称系统为因果的(Causal)或非预期 的(Nonanticipatory)，若系统在时刻t的输 出仅取决于时刻t和在t以前所加入的输入， 而与t以后的输入无关。 现实物理系统大都为因果的。
线性系统理论
线性系统理论a
第一章 概论
线性系统理论a
报修 自德 然不 梦期 稳获
高名读
雅究书
竟即
人未
线性系统理论a
品成
线性系统理论a
得真做切 来正去实
学功 问夫 都须 自从 苦难 中处
本课程的目的：
• 学习线性系统的描述方法及运动特性； • 研究线性系统能控性和能观性； • 研究线性系统标准形； • 分析系统的稳定性； • 研究与设计线性系统的反馈控制器； • 了解线性系统理论研究的前沿
线性系统理论a
• 定义5，称松弛系统为时不变的，若对任何 输入u，和任意实数α，成立
H (Qu) Q Hu
y
Hu
QαHu
u
u
Qαu
α
t
ห้องสมุดไป่ตู้
α
t
线性系统理论a
线性定常系统：通常由常系数
微分方程或差分方程描述
线
性
系
线性时变系统：通常由时变系数微分
统
方程或差分方程描述
线性系统理论a
§2－2 线性系统的脉冲响应矩阵
线性系统理论a
课程教材及主要参考书
1）肖建，张友刚. 线性系统. 西南交通大学出 版社，2011
2）郑大钟．线性系统理论（第2版）．清华 大学出版社，2002
3）段广仁．线性系统理论．哈尔滨工业大学 出版社，1996
线性系统理论a
§1.1 概论
线性系统理论的研究对象 系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定
线性系统理论a
对于动态系统，若只是知道 u[t1 ,)往往
不能唯一确定输出 y[t1,，) 这是因为还必 须知道系统在t1以前的输入。 若系统是松弛的（静止）（即在t =t0时系统
无能量）。这时若 u[t0 ,) 加入系统，则输
出 y[t0 ,) 由其唯一确定。将系统看作一 个映射，它将输入映射到输出，设H为相应 的算子，则成立
线性系统理论a
松弛性
若系统在t 0 时刻的输出仅取决于 t 0 时刻的输出， 则称该系统为瞬时系统，或无记忆系统。但一般的 系统不是瞬时系统，即系统在 时刻的输出不仅取 决于 时t 0 刻的输入，也取决于 以t 0 前和（或） 以t 0
后的输入。为了研究的方便，假定在时刻 t t，0
系统的输出 y(t)(t t0)仅由输入 u(t)(t t0 ) 唯一决 定，系统的这一性质称为松弛性。从能量角度说， 若系统在t0 时刻是松弛的，就表明系统在 t0 时刻 不存储任何能量。 在工程实践中， 总可以假定 系统在t时是松弛的或静止的。
Rosenbrock的逆奈奎斯特判据 多变量根轨迹法 MFD方法 多项式矩阵方法 Fractional Representation 稳定的真有理函数矩阵公式表示法
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主要流派 • 状态空间法 • 几何法 • 代数理论 • 多变量频域理论
线性系统理论a
第二章 系统的数学描述
线性系统理论a
• 本课程的研究范围 ——对象：线性动态系统，数学模型已知 ——工具：数学
线性系统理论a
• 课程的主要任务
• 研究线性系统状态的运动规律和改变这种 运动规律的可能性与方法，建立和揭示系 统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。
• 系统分析——系统运动规律 • 综合问题——改变运动规律的可能性和方
法
线性系统理论a
历史回顾 五十年代前，古典控制理论：频域法。
传递函数处理SISO系统。 五十年代中期，多变量控制理论兴起：
原因：①计算机的出现 ②控制系统的要 求，空间技术的发展
线性系统理论a
状态空间方法 五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，用 LQG技术设计，得出最优状态反馈定律。缺点： ①性能指标的选择 ②状态反馈－观测器 可控性，可观性的提出，极点配置设计 频域方法，多变量的频域方法
规律组合而成的具有特定功能的整体。 动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或差 分方程描述。 线性系统：满足叠加原理的动态系统
可 加 性 L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 ) 齐 次 性
线性系统理论a
线性系统理论a
• 系统的研究方法 ——经验法 ——理论法：依据数学理论 ➢建模（对真实系统的抽象） ➢建立数学描述 ➢分析 ➢设计