到达间隔的分布与服务时间的分布

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排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)

3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0 4 11 9 1 2 8 26 3 10 5 12 47 4 2 3
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
现实生活中的排队系统序Leabharlann 到达的顾客号要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
2、排队系统的三大基本组成部分
1）、输入过程(顾客到达的方式) a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也
可能是无限的； b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
六、典型排队系统模型的结构及应用
M/M/C等待制排队模型研究要点： a、系统意义 b、状态转移速度图与状态转移速度矩阵 c、状态概率方程 d、系统的基本数量指标
Passion分布
设N(t)表示在时间[0, t)内到达顾客数；令Pn(t1, t2)表示在时间区间[t1, t2)（t2 > t1）内有n（0）个顾客到达的概率，即 Pn(t1, t2)=P{ N(t2) –N(t1)=n } （t2>t1，n0） Passion分布的三条件：

第5章排队系统讲解

（2）设备利用率ρ： ρ=λ /µ 在多服务设备系统符号形式：X/Y/Z 其中：X表示相继到达间隔时间的分布；
Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式指动态实体(顾客)按怎样的规律到达常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则指对下一个实体服务的选择原则。通用的排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性不相交区间内到达的顾客数是相互独立的；
(3)普通性令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达的概率，则
(4)有限性任意有限区间内到达有限个顾客的概率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布

排队论方法讲解

M－负指数分布 D－确定型分布 Ek k阶爱尔朗分布－阶爱尔朗分布
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G －一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000/∞ / F
排队论方法讲解
1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls：队长－系统中顾客数的期望： ⑵ Lq：：排队长－系统中等待服务的顾客数 Ln：：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln ⑶ Ws：逗留时间：
排队论方法讲解
(3)普通性：普通性：普通性
内有2个或对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有个或，内有多个顾客到达的概率极小,可以忽略不多个顾客到达的概率极小可以忽略不计,即 ∞ 即
∑ P (t , t + ∆t ) = o(∆t )
n=2 n
下面研究系统状态为n的概率分布：
= 1 − λ∆t − o(∆t )
P0 ( t , t + ∆ t ) = 1 − P1 ( t , t + ∆ t ) − ∑ Pn ( t , t + ∆ t )
n=2
∞
分为[0,t)和[t,t+△t), 将[0,t+△t)分为分为和则在时间段[0,t+△t)内到达个顾客的内到达n个顾客的则在时间段内到达概率为
n
由上结果可知,在长度为的时间段内到达由上结果可知在长度为t的时间段内到达在长度为 n个顾客的概率服从泊松分布个顾客的概率,服从泊松分布个顾客的概率服从泊松分布. 其中期望、其中期望、方差为 E[ N (t )] = D[ N (t )] = λt
排队论方法讲解
1.5.2 负指数分布

顾客到达流与服务时间的分布

专题十排队论Queueing Theory10.1 排队论概述10.2 顾客达到流与服务时间的分布10.3 生灭过程及其状态平衡方程10.4 M/M/s 等待制排队模型10.5 排队服务系统的优化10.2 顾客到达流与服务时间的分布（1）事件流⚫事件流：同类事件在随机时刻，一个接一个地发生的序列．⚫事件流可以看作“点”在时间轴上的分布：0t0t•流的强度( λ )：单位时间内，事件发生的平均数．•正则流：事件发生的间隔时间相等、固定．•平稳流：事件发生的概率与时间无关．即发生的概率只与的长度有关，而与在时间轴上的位置无关，概率近为．•无后效性的流：每个事件发生的时刻互不相关．•普通性的流：在充分小的时间间隔中，最多有一个事件发生．Δt Δt➢事件流有以下几个特征：∆t ∆t λ∆t（2）泊松流(Poisson 流，也称最简单流)➢同时具有平稳性、无后效性和普通性的事件流．①概率分布，即在时间t 内到达n 个顾客的概率：n ()()!n t t P t e n λλ−=②数学期望：．•若取单位时间，即．※描述了在给定时间内，系统到达顾客数这一特征．()λ=⎡⎤⎣⎦E N t t ()1,则λ==t E N（3）负指数分布➢描述泊松流的另一重要特征：相邻两顾客到达的间隔时间．•间隔时间小于等于时间的概率：λ−=≤=−>=−=−≥0 ()()1()1()1(0)T t F t P T t P T t P t e t f ()(0)t T t et λλ−=≥•的分布密度函数：•数学期望：1()E T λ=T T t T※若到达顾客流是泊松流，则到达间隔时间服从指数分布．※泊松流具有可加性．即．T 1212,λλλλ→+⚫约定：对于一个输入流和输出流都是泊松流（或者说到达间隔时间和服务间隔时间都服从指数分布）的服务系统，习惯地描述为到达流服从泊松分布，服务间隔时间服从指数分布．排队服务系统到达流泊松流( λ )到达间隔时间负指数分布(1/λ)服务流泊松流( μ )服务间隔时间负指数分布(1/μ)小结：（1）泊松流的三个基本性质：平稳性、无后效性和普通性；（2）泊松流和负指数分布的概率分布式、期望值表达式；（3）将它们引入排队系统中所表征的基本含义；（4）两个分布之间的内在联系。

第六章排队论

对于S0
1P10P0
Pt0 h t Ph t0
t0
Ph
t t0 Ph Ph t0
t0
1
e (tt0 ) (1 e 1 (1 e t0 )
t0
)
1
e
t
Q .E.D
21
6.3.3 小结
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单位时间内的到达数服从泊松分布。
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到达的时间间隔服从负指数分布。
iP iiP i (ii)P i
转入率的期望值为
P P i1i1 i1i1
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
P0
P1
P2
Pi
30
则
( i i)Pi P P i1i1 i1i1
Pn(t)(n！ t)n et n=0
可知： P0(h >△t)= P{h >△t}=e△t
故间隔时间 h 的分布为 P{ h △t}=1e△t
F (t) 1 et
f (t ) et h t et dt 1 / 0
0
F(t)
f(t)
t
20
（2）负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学分析变得方便
12

随机服务系统理论：排队论

排队问题的一般步骤：
1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。
2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
2021/8/17
14
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方
2021/8/17
2
[M/M/C]模型
标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
M/M/C型系统和C个M/M/1型系统
系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞)
顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)
一般服务时间的（M/G/1）模型
Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式
2021/8/17
25
稳态时，Pn(t)与时间无关, 可以写成Pn,它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得：
P n 1 P n 1 ( )P n0 ………(3)
P0P10
………(4)
由此可得该排队系统的状态转移图：关于Pn的差分方程
0
1
2
……
n-1
n
n+1
由（4）得：P1 P0 P0 其中ρ——服务强度
定长服务时间 M/D/1模型
爱尔朗服务时间M/Ek/1模型
排队系统优化
M/M/1 模型中的最优服务率u
标准的M/M/1Model
系统容量为N的情形
2021/8/17 M/M/C模型中最优服务台数C
3
§1 排队论的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2. 排队规则；3.服务机构。

排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间

（1）萌芽阶段 1909~1920年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问
题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。 20世纪30年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要的学科。
6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用
排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理有关的几个应用例子。
（1）交通运输系统港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。（2）仓储配送服务储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相似之处。（3）综合物流管理在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡与服务质量的好坏等等。由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。
6.2.1.1 输入
输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成：

顾客到达排队系统的过程

19
2019年9月27日
1、Poisson分布
系统状态为 n 的概率分布:
如果取时间段的初始时间为 t 0 ，则可记 Pn (0,t) Pn (t)，在[t,t t) 内，由于

Pn (t,t t) P0 (t,t t) P1(t,t t) Pn (t,t t) 1
n0
n2
故在[t,t t) 内没有顾客到达的概率为

P0 (t,t t) 1 P1(t,t t) Pn (t,t t) 1 t o(t) n2
20
2019年9月27日
1、Poisson分布
将[0,t t) 分为[0,t) 和[t,t t) ，则在[0,t t) 内到达 n 个顾客的概率:
2、排队系统的组成与特征
（1）输入过程：主要有五条特征：
1）顾客总体(顾客源)的组成可能是有限的，也可能是无限的； 2）顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的； 3）顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机的； 4）顾客的到达是相互独立的; 5）输入过程是平稳的，或称为对时间是齐次的，即相继到达的时间间隔分布与时间无关。
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
P{N (t t) N (t) k} P{N(t) N (0) n k} k 0 n
Pnk (t) Pk (t,t t) k 0
Pn (t)P0 (t,t t) Pn1(t)P1(t,t t) Pn2 (t)P2 (t,t t)
排队规则和服务规则：按怎样的规则和次序接受服务。
4
2019年9月27日

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•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.11.1 704:41: 0604:4 1Nov-2 017-Nov -20
当 Pn (t1 , t2 ) 满足下列三个条件时称顾客的到达为泊松
流。
（1）在不重复的时间区间内顾客到达数是相互独立的；
（2）对充分小的 t,[t,t t) 内有一个顾客到达的概
率与 t 无关，而与区间 t 成正比，即
P1(t,t t) t o(t) （12-2）
其中，当 t 0 时， o(t) 是比 t 更高阶的无穷
N (t )
01
n
P(t)
P0 (t) P1(t) Pn (t)
1 P(N (t t) N (t) 0)
P0 (t, t t) P1 (t, t t) Pn (t, t t) n2
P0 (t, t t) t o(t) o(t)
P0 (t, t t) P(N (t t) N (t) 0)
n
Pn1 (t)(t o(t))
n 2 Pn2 (t) 2
n
（C）
n 3 Pn3 (t) 3
o(t)
n
0
P0 (t)
n
n
o(t)
由表 12-7 和 (12 4) 可得：
Pn (t t) Pn (t)(1 t o(t)) Pn1(t)(t o(t)) o(t)
Pn (t
t) t
Pn
k 0
n
Pnk (t)Pk (t, t t) k 0
(12 4)
区间情况
（A）
[0, t )
个数概率
n
Pn (t)
表 12-7
[t,t t)
个数
概率
个数
0 1 t o(t) n
[0,t t) 概率
Pn (t)(1 t o(t))
（B）
n 1 Pn1 (t) 1
t o(t)
小。 0 是常数，它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，称为概率强度（3）对于充分小的 t,[t,t t) 内有 2 个或 2 个以上的顾客到达的概率极小，以至可以忽略，即
P(N (t t) N (t) 2) Pn (t,t t) o(t) n2
（12-3）
假设顾客到达是泊松流，下求 N(t) 的分布
Pn (t)
(t ) n
n!
e t
,t
0, n
0,1,2,
（12-7）
E[N (t)] nPn (t) t ； Var[N(t)] t n0
（12-8）
E[N(1)]—单位时间内到达的顾客平均
数。
2.3 负指数分布
其密度函数是
fT (t)
et
0
t 0 t 0
其分布函数是
F
(t )
1
例：某工厂有大批同类机床，机床发生故障可视为顾客的到达，
检验该顾客流是否为泊松流。取 n 6，并记录到故障相继发生
时刻分别为：
194，209，250，279，312，493（小时）
解：取 0.05，查正态分布表得 Z / 2 =1.96，
计算当 n 6时， v
12(n
1) ( (n
1 1) n
服务率。
2.4爱尔朗分布
设1,2 ,n 独立同为负指数分布，且 E(i ) 1/ k ，则
T 1 2 k 的密度函数是
bk
(t)
k ( k t) k 1
(k 1)!
e kt , t
0
（12-13）
称T
服从
k
阶爱尔朗分布，得
E(T )
1
，
Var(T )
1
k 2
。
例如串联的 k 个服务台，每台服务时间独立，服从相
e t
t 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
t 0
E(T )
1
，Var(T )
1
2
, (T )
Var(T ) 1
定理：输入过程是强度为的泊松流顾客相继到达的时间间
隔T1,T2 ,Tn 独立同分布，且T1 是均值为（1/ ）的负指
数分布。由上定理可得对一个顾客流是否为泊松流的一个检验方法：
（1）对一个顾客流，首先确定一个较大的数 n ，然后观察并
n 1
j 1
j
1) 2
=0.036。
由于 v (1.96,1.96) ，故该故障流可认为是泊松流。
假设各个顾客的服务时间 1,2 ,n 独立同分布，都为负指数分布，即分布函数，密度函数分别为：
Fv (t) 1 et ，f (t) et
t 0 （12-12）
其中表示单位时间内服务完的顾客数，称为
1 t o(t)
（12-4）
下通过建立 Pn (t) 的微分方程来求它：
区间[0，t t)内到达n个顾客=
n
[0，t
)内到达(n
k
)个顾客
[t，t
t
)内到达k个顾客
k 0
Pn (t t) Pn (0,t t) P([0,t t)内到达n个顾客）
n
P[0，t)内到达(n k)个顾客P[t，t t)内到达k个顾客
(t)
Pn (t)
Pn 1 (t )
o(t) t
令 t 0 ，得下列方程，并注意初始条件，则有
dPn
(t
)
dt
Pn
(t)
Pn1 (t)
Pn (0) 0
n 1
（12-5）
当 n 0时，没有（B）、（C）两种情况，所以有
dP0
(t
)
dt
P0 (t)
P0 (0) 1
（12-6）
解（12-5）和（12-6）可得
第二节
到达间隔的分布和服务时间的分布
2.1经验分布例1（P307）例2（P308）
2.2 泊松流
设 N(t) ：[0, t) 到达的顾客数
Pn (t1, t2 ) ：[t1,t2 )(t2 t1 ) 内有 (n 0) 个顾客到
达的概率，即
Pn (t1,t2 ) P(N (t2 ) N (t1 ) n) (t2 t1, n 0)
同的负指数分布（参数为 k ），那么一个顾客走完这 k 个
服务台总共需要的服务时间就服从上述的 k 阶爱尔朗分
布。
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.1 1.1720. 11.17Tuesday, November 17, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。04:4 1:0604: 41:0604 :4111/ 17/2020 4:41:06 AM
记录顾客相继到达系统的时刻1 2 n ；
（2）计算 v
12(n 1)( 1
(n 1) n
n 1
j
j 1
1 2
)
；
（3）对于给定的显著性水平，由 N(0,1) 查双侧百分位点
Z / 2 ，若 v (Z / 2 , Z / 2 ) 内则在水平下接受 H 0 ，即认为所
观察的顾客流为泊松流，否则，拒绝 H 0 。