固定时间域可变采样间隔的统计控制图_张航

文章编号:1002—1566(2002)06—0045—04固定时间域可变采样间隔的统计控制图Ξ张　航,　阳宪惠(清华大学自动化系,北京　100084)摘　要:本文从提高统计控制图对过程波动检测能力和方便管理的角度出发,对可变采样间隔(VSI)控制图进行改进,提出了针对连续过程质量控制应用需要的固定时间域可变采样间隔(VSIFT)控制图。

文章详细介绍了VSIFT均值极差控制图、VSIFT EWMA控制图的设计,并分别评价了它们对过程异常状态的检测能力。

关键词:统计过程控制;统计控制图;异常状态检测;固定时间域可变采样间隔中图分类号:O213.1文献标识码:AV ariable sampling interval control chartwith sampling at f ixed times in continuous processZHAN G Hang,YAN G Xian2hui(Tsinghua University,Beijing　100084,China)Abstract:This paper expands the Variable Sampling Interval(VSI)control charts and brings forward the Variable Sampling Interval at Fixed Times(VSIFT)control charts,from the perspective of improving the detecting ability on process drift and convenient for management.It describes in detail the design of VSIFT X control charts and the e2 valuation to the detecting ability of VSIFT X control charts to process drift.Then it introduces the designs of VSIFT EWMA control charts,and their abilities of detecting process abnormity.K ey w ords:Statistical process control(SPC);control chart,process drift detecting;variable sampling interval(VSI); variable sampling interval at fixed times(VSIFT)1、引　言自休哈特(Shewhart)博士在1931年绘制出世界上第一张控制图以来,统计过程控制SPC (Statistical Process Control)取得了许多重要的研究进展,如各种统计分析方法、多种形式的统计控制图、统计控制图中控制限的计算、多变量统计过程控制等,并得到了广泛应用。

对采样频率的研究一直是该领域十分活跃的课题之一,如对固定采样间隔(Fixed Sampling Interval,简称FSI)下采样频率选择的研究,可变采样间隔(Variable Sampling Interval,简称VSI)的研究等。

本文作者根据统计质量控制的应用需求,提出将固定时间域可变采样间隔VSIF T (Variable Sampling Interval with Fixed Time)的统计控制图方法应用于连续生产过程,进一步丰富了对控制图采样频率研究的内容,发展了VSIF T控制图的应用。

VSI统计控制图的基本思想是根据当前的样本确定下一次的采样时间,这个时间是可变的。

因为采样的时间点不确定,采样所得的样本也无法和诸如班组交班、一个批次的加工时间这样的过程自然时间所对应。

从管理的角度而言,这种在采样间隔上的可变性就显得不是那么方便。

本文提出的基于固定时间域可变采样间隔VSIF T对VSI进行了改进,使其更加吻合过Ξ收稿日期:2001-06-21, 修改稿日期:2001-09-10程的自然时间,更方便于管理。

该方法在正常情况下对一些固定的、等间距的时间点进行采样,而在过程出现异常趋势时,允许在这些固定的点之间进行一些额外的采样。

当某次采样表明过程恢复正常运行之后,将采样时间点恢复到原来设定的固定采样时间点上。

采用固定时间域可变采样间隔而得到的控制图被称作VSIF T 控制图。

引入VSIF T 的目的,在于缩短控制图对异常状态的监测报警时间,同时方便管理。

本文将VSIF T 控制图用于连续过程的统计质量控制。

以下部分详细介绍了VSIF T 均值极差控制图的设计及其对过程异常状态检测能力的评价,并介绍了VSIF T EWMA 控制图。

2.VSIF T 均值极差控制图考察一个均值为μ,方差为σ2的正态分布的过程变量的监控问题。

Reynolds 在文献中对离散工业中均值为μ,方差为σ2的正态分布变量X (均值 x )的VSIF T 统计控制图进行了讨论。

现在,假设从t 0=0开始考察过程运行。

在此之前,过程已在受控的状态下运行一段时间,并分别获得均值μ和方差σ2的估计值^μ和^σ2。

假设为了获得这两个估计值,事先对处于受控状态的过程进行了N 次采样。

根据统计理论,有如下的公式: x =6N i =1X i /N那么,E ( x )=E (6N i =1X i /N )=6N i =1E (X i )/N =E (X )可见,用样本的平均值作为总体均值的估计值为无偏估计。

同样,对于方差的估计,有如下的公式:S 2=6N i =1(X i - x )2/(N -1)E (S 2)=N N -1×{D (X )+[E (X )]2-[D (X )N-[E (X )]2]}=D (X ) 可见,用S 2来估计总体方差也是无偏估计。

在本文中,将统计控制图的控制限设定在μ0±h^σ。

其中,μ0是变量的目标值,h 是偏离目标值的方差倍数,通常被设置为3,以获得“3σ”的控制限。

假设出于管理的需要,或者过程的特性决定了需要在固定时间点d F ,2d F ,3d F …进行采样。

那么,只要过程没有显示异常,过程将按照d F 的时间间隔进行采样。

但是,如果某次采样表明过程出现了异常,将会在这些固定的时间点之间增加额外的采样。

假设在固定采样点之间的时间间隔被平分成了η个长度为d 1的子区间,使得在d F 的内部出现了d 1、2d 1…(η-1)d 1总共η-1个可能的采样点。

例如,如果d F =8分钟,η=4,那么每8分钟,总会进行一次采样,但是如果某一次采样表明过程出现了较为明显的波动(不一定是异常),那么在这次采样进行了2两分钟之后将会有一次额外的采样(d 1=d F /η=2)。

对η的选择(或者对d 1的选择),往往依赖于在实际情况下,进行了一次采样之后,还要多久才能进行下一次采样。

为了确定在什么情况下,需要增加额外的采样,可将控制限之间的区域分成区域D 1和D 2,其中:D 1=[μ0-h^σ,μ0-g^σ]∪〔μ0+g^σ,μ0+h^σ〕D 2=[μ0-g^σ,μ0+g^σ],其中0≤g ≤h 。

　 对于第K 次的采样,决策规则如下:i.如果X k 超出了控制限,那么就发出过程异常信号;ii.如果X k ∈D 1,那么再经过长度为d 1的时间进行第k +1次采样iii.如果X k∈D2,那么下一次采样的时间就是下一个固定的采样时间。

根据从炼油过程获得的某一位号的过程数据,绘制的VSIF TX控制图如图1所示。

其中,d F=8分钟,η=4,μ0=706,^σ=12.5603,h=3,g=1.5。

图中标出了17个采样点。

第32分钟所获得的采样值落在了区间D2,因此下一次采样是在8分钟以后,即下一个固定采样时刻第40分钟进行的。

但是第40分钟所得到的采样值落在了区间D1,因此紧接着的这次一采样选择了两分钟之后,即第42分钟。

因为第42分钟得到的采样值又回到了区间D2,因此下一次采样时间又回到了固定的采样时刻第48分钟。

对于VSIF T控制图的性能,Reynolds等人在文献中给出了评价指标,并对VSIF T均值极差控制图与FSIX控制图的性能进行了比较。

根据文献中所给出的数据,可以得出如下结论:在VSIF T控制图使用与FSI控制图相同的d F的条件下,VSIF T控制图能够提供比FSI快得多的故障检出能力;在VSIF T控制图所采用的d F为FSI的两倍的条件下,选取适当的η,可以获得与FSI大致相同的检出能力,但是大大减少了采样次数。

图1.VSIF T均值极差控制图3.VSIF T EWMA控制图在某些过程中,检测过程参数的微小波动往往是非常重要的。

为此,人们提出了EWMA 图,这种控制图对于过程参数的微小波动能够提供比传统的休哈特图快得多的检测能力。

用来监视过程均值的EWMA控制图在图上标注的是当前和过去采样值的指数平均值所构成的控制统计量。

在k次采样的时候,这个控制统计量Y k,可以用X k和Y k-1表示如下:Y k=(1-λ)Y k-1+λX k 其中,λ是这个控制图的平滑常数,并且0<λ≤1。

λ的值决定了当前这次采样的权重,并且这个参数决定了控制图检测不同的过程参数波动的能力。

较小的λ比较适合于检测较小的过程波动,较大的λ比较适合于检测较大的过程波动。

如果Y K落在了控制限μ0±hσY,其中,σY=λ/(2-λ)σx是Y K的方差,控制图就发出过程异常的信号。

为了应用VSIF T控制图,把D1和D2和设置成如下:D1=[μ0-hσY,μ0-gσY]∪(μ0+hσY,μ0+gσY)D2=[μ0-gσY,μ0+gσY] 对于VSIF T EWMA控制图,我们令P1为采样点落在D1区间的概率。

不能简单地用P r (Y k∈D1)来表示P1。

虽然X的概率分布可以假定为正态分布,但是对于Y k的分布却不能得出这样的结论,因为Y k的分布往往是随着k的变化而变化的,并且相邻的两个Y k值并不是相互独立的。

因此,对于VSIF T EWMA控制图而言,用VSIF T均值极差控制图中所使用的指标来衡量VSIF T EWMA控制图的性能就是不可能的了。

Reynolds(1996)提出了用Markov 过程方法来计算VSIF T EWMA控制图的A TS,并且指出,VSIF T EWMA控制图在检测过程波动的能力上,所需要的平均时间要少于FSIEWMA控制图,与VSI EWMA控制图大致相等。

但是,它相对于VSI EWMA控制图而言,优势在于方便管理。