武汉二中2015年分配生考试数学试题(word版有答案)
2015年武汉市中考数学试卷及答案.doc
2015 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在实数－ 3、 0、 5、 3 中，最小的实数是（ ）A ．－ 3B ． 0C ． 5D ． 3 2．若代数式 x 2 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ． x ≥－ 2B ． x ＞－ 2C ． x ≥ 2D ． x ≤23．把 a 2－ 2a 分解因式，正确的是（）A ． a(a － 2)B ． a(a ＋ 2)C ． a(a 2－ 2)D ． a(2 － a) 4．一组数据 3、 8、 12、 17、 40 的中位数为（）A ． 3B ． 8C ． 12D ． 175．下列计算正确的是（ ）A ． 2x 2 － 4x 2＝－ 2B ． 3x ＋ x ＝ 3x 2C ． 3x · x ＝ 3x 2D ． 4x 6÷ 2x 2＝ 2x 36．如图，在直角坐标系中，有两点A(6， 3) 、 B(6 ， 0)．以原点 O 为位似中心，相似比为1，在3第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD ，则点 C 的坐标为（）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是（ ）8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（ ）A ． 4:00 气温最低B ． 6:00 气温为 24℃C ． 14:00 气温最高D ．气温是 30 ℃的为 16:009．在反比例函数 y13m图象上有两点 A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，x 1＜ 0＜y 1，y 1＜ y 2 ，则 m 的取值x范围是（ ）A ． m ＞1B ． m ＜1C ． m ≥1D ． m ≤1333310．如图， △ ABC 、 △ EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC 、 EF 的中点，直线 AG 、FC 相交于点 M ．当 △ EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是（）A ． 23B ． 3 1C ． 2D ．3 1二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）11．计算：－ 10 ＋ (＋6) ＝ _________12．中国的领水面积约为370 000 km 2，将数 370 000 用科学记数法表示为 _________13．一组数据 2、 3、 6、 8、 11 的平均数是 _________14．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量 x （千克）之间的函数图象由线段OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买1 千克这种苹果可节省 __元15．定义运算 “ * ”，规定 x* y ＝ ax 2 ＋ by ，其中 a 、b 为常数， 且 1*2 ＝ 5，2*1 ＝ 6，则 2*3 ＝ _________16．如图，∠ AOB ＝30°，点 M 、 N 分别在边OA 、 OB 上，且 OM ＝ 1， ON ＝ 3，点 P 、 Q 分别在边 OB 、 OA 上，则 MP ＋ PQ ＋ QN 的最小值是 _________三、解答题（共8 小题，共 72 分）17．（本题 8 分）已知一次函数y＝ kx＋ 3 的图象经过点(1 ，4)求这个一次函数的解析式求关于 x 的不等式kx＋ 3≤ 6 的解集18．（本题 8 分）如图，点 B、 C、 E、 F 在同一直线上，BC＝ EF， AC⊥ BC 于点 C，DF ⊥ EF 于点 F，AC＝DF求证： (1) △ ABC≌ △ DEF(2) AB∥ DE19．（本题 8 分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2， 3，4(1) 随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是 2 的概率②第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率20．（本题 8 分），如图，已知点A(－ 4， 2)、 B(－ 1，－ 2) ，□ABCD 的对角线交于坐标原点O(1)请直接写出点 C、 D 的坐标(2)写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程(3)直接写出□ ABCD 的面积21．（本题 8 分）如图，AB 是⊙ O 的直径，∠ ABT＝ 45 °， AT＝ AB(1)求证： AT 是⊙O 的切线(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C，连接 AC ，求 tan∠ TAC 的值22．（本题 8 分）已知锐角△ ABC中，边BC 长为 12，高 AD 长为 8(1) 如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E、 F 分别在 AB 、AC 边上， EF 交AD于点 K①求EF的值AK②设 EH ＝ x，矩形EFGH 的面积为S，求 S 与 x 的函数关系式，并求S 的最大值(2)若 ABAC ，正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上，另两个顶点分别在△ ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长23．（本题 10 分）如图，△ ABC 中，点 E 、P 在边 AB 上，且 AE＝ BP，过点 E、 P 作 BC 的平行线，分别交 AC 于点 F 、 Q．记△ AEF 的面积为 S1，四边形 EFQP 的面积为 S2，四边形 PQCB 的面积为 S3 (1)求证： EF ＋ PQ＝ BC(2)若 S1＋ S3＝ S2，求PE的值AE(3)若 S3－ S1＝ S2，直接写出PE的值AE24．（本题 12 分）已知抛物线y＝ x2＋ c 与 x 轴交于A(－ 1， 0) ， B 两点，交 y 轴于点 C(1)求抛物线的解析式(2) 点 E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点 F 作 FG ⊥ y 轴于点G，连接CE、 CF，若∠ CEF ＝∠ CFG ，求 n 的值并直接写出m 的取值范围（利用图 1 完成你的探究）(3) 如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、 B）， PM⊥ x 轴交抛物线于点 M，∠ OBQ ＝∠OMP ， BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求△ PBQ 的周长2015 武汉市数学中考试题一、选择题1.A 【解析】有理数中，负数小于0，零小于正数，所以最小的是 -3.备考指导：有理数大小比较的一般方法：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大.2.C 【解析】二次根式有意义，被开方数是非负数，故x-2 ≥ 0， x 大于等于 2.备考指导：代数式有意义的条件，一般从三个方面考虑：（1）当表达式是整式时，可取全体实数；（2）当表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当表达式是二次根式时，被开方数非负．3.A 【解析】考查提取公因式法分解因式．原式=a(a-2).备考指导：因式分解的一般步骤：若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.4.C 【解析】本题共 5 个数据，已经从小到大排列好，第 3 个数据 12 就是这组数据的中位数．备考指导：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，当数据个数为奇数时，即为中间的一个，当数据个数为偶数时，中位数就是中间两个数的平均数 .5.C 【解析】本题考查整式的基本运算，对选项进行逐项分析选项逐项分析正误A 2x2-4x 2=-2x 2≠ -2 ×B 3x+x=4x ≠ 3 x2 ×C 3x· x=3 x 2 √D 4x6÷ 2x 2=2x4≠ 2x3 ×备考指导：整式加减，实质是合并同类项，只把系数相加减，字母及字母的指数不变;整式乘法，系数相乘作为积的系数，相同的字母按照同底数幂的乘法法则相乘，单独的字母（式）作为积的一个因式；整式相除，系数相除作为商的系数，相同的字母按照同底数幂的除法法则相除，被除式中单独的字母（式）作为积的一个因式.6.A 【解析】∵线段 CD和线段 AB关于原点位似，∴△ODC∽△ OBA，∴ODCD 1 ，即 OD CD 1，∴ CD=1， OD=2，∴ C（ 2,1 ） .OB AB 36 3 3一题多解—最优解：设 C（ x,y ）, ∵线段 CD和线段 AB关于原点位似，∴xy1, ∴ x=2，y=1，∴ C（2,1 ） .6 3 3备考指导：每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．7.B 【解析】圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，因此这个几何体的主视图是两个长方形组成,下面长方形的长大于上面长方形的长，且上面长方形位于下面长方形的中间，所以选择 B.备考指导：确定简单组合体的三视图，首先确定每一个组成部分的三视图，再按照几何体组合方式确定各个组成部分的排放位置.8.D 【解析】从图像可以看出最低点对应点时间是4:00 时 , 即 4:00 时温度最低，故 A 正确；6:00 对应的温度为24℃，故 B 正确；图形最高点对应14:00 时，即 14:00 时温度最高，故C正确；气温是30℃时对应两个时间 12： 00 时和 16 时，故 D 错误 .备考指导：解决此类问题的时，要注意结合函数图像和题意弄清横轴、纵轴的实际意义，以及图像上特殊点的实际意义．此类问题一般的解答方式是根据一个坐标找到对应图像上的点，再确定这个点的另一个坐标;图像的最高（低）点对应函数最大（小）值.9.D 【解析】 x1＜ 0＜ x2时， y1＜ y2, 说明反比例函数图像位于一三象限，故1-3m＞0，所以 m≤1 . 3易错警示：对于 x1＜0＜ x2时， y1＜ y2 , 部分同学容易误认为y 随 x 增大而增大，故错误得出1-3m＜ 0. 考虑反比例函数增减性要在同一个分支上，x1＜ 0＜ x2说明点 A、B 不在同一个分支上，故不能利用增减性来解答.备考指导：① 反比例函数yk (k 为常数，且k 0)的图像是双曲线，当k > 0时，双曲线x的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随 x 值的增大而减小；当k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内若在双曲线同一分支上，则两点纵坐标符号相同，一分支上，则两点纵坐标符号相反，横坐标符号相反y 值随 x 值的增大而增大 . ②两个点横坐标符号相同，两个点若不在双曲线同.10.D 【解析】先考虑让△ EFG和△ BCA重合，然后把△ EFG绕点 D 顺时针旋转，连结 AG、DG，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ ADG=∠FDC,DA=DG，DF=DC，故∠ DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA又.根据等腰三角形的“三线合一”可知∠ FDG=90°，所以∠ DFG+∠DGF=90°，即∠ DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠ AMC=∠MGF+∠CFG=∠ AGD+∠ DGF+∠ CFG=∠ DFC +∠DGF+∠CFG =90°. 故点M 始终在以 AC为直径的圆上，作出该圆，设圆心为 O，连结 BO与⊙ O相交于点 P，线段 BP的长即为线段 BM长的最小值 .BP=AO-OP= 3 -1 ，故选 D.【难点突破】本题发现点 M始终在以 AC为直径的圆上是解题的重要突破口 . 考虑让△ EFG和△ BCA重合，然后把△ EFG绕点 D顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法 .二、填空题11.-4【解析】-10+(+6)=-(10-6)=-4.备考指导：有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时其和为零，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 .12.3.7× 105【解析】∵370 000的整数数位有 6 位，∴ a=3.7， n=6－ 1=5 ，即 370 000=3.7×105．备考指导：用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a×10 n的形式（其中 1≤a＜ 10，n 为整数），其方法是（ 1）确定 a，a 是只有一位整数的数；（ 2）确定 n，当原数的绝对值≥ 10时， n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜ 1 时， n 为负整数， n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．13.62 3 6 8 116 ．【解析】51（ x 1＋ x 2＋ x 3 x n ）．备考指导： 平均数计算公式为算术平均数：x 1， x 2 x n 的平均数 x ＝n14.2【解析】 当每次买苹果少于 2 千克时，每千克 20÷2=10 元 / 千克，故 3 千克分三次且每 次买 1 千克时需10× 3=30 元；设 AB 表达式为 y=kx+b, 把（ 2,20 ）、（ 36,4 ）代入上式20 2k b 所以 y=8x+4, 当 x=3 时， y=28，故可节省30-28=2 元 .36 4k ，解得 k=8,b=4, b备考指导： 分段函数要注意自变量适用范围，要确定好函数图象的“拐点” ，确定函数值一定要分清需要根据哪一段函数图象来解答 . 根据图象提供已知点的坐标确定每段图像的表达式是解答此类题目的前提 .15. 10【解析】由题意知，a 2b 5 ，所以 a 1 ，所以 x ※ y=x 2+2y, 所以 2※ 3=22+24a b 6 b 2× 3=10.新定义翻译 ：新定义的实质是解二元一次方程组，从而确定常数值， 最后转化为求代数式的值.本题以新定义的形式出现，使简单问题新颖化，能很好的考查同学们的阅读理解能力.16．111 1分别交 OA 、 10 【解析】作 M 关于 ON 对称点 M ，点 N 关于 OA 的对称点 N ，连接 MN ON 于 Q ，P ，此时 MP+PQ+NQ 的值最小 . 由对称性质知， 1 11 1MP=MP ，N Q=NQ ，所以 MP+PQ+NQ= N .连接1 1 1 1 1 111ON 、 OM ，则∠ MOP=∠ POM=∠ N OM=30°，所以∠ N OM=90°. 又 ON=ON=3， OM =OM=1,所以 MN= OM 1 ON 1 = 10 .11【指点迷津】 线段和的最小值问题， 一般都是将几条线段转化为同一条线段长度， 根据两点之间线段最短来说明 . 一般是通过做对称点转化到同一条线段上， 根据勾股定理计算最小值.三、解答题17.【思路分析】（ 1）把（ 1,4 ）代入 y=kx+3 可确定表达式； （ 2）移项、合并同类项、系数化 1，可确定不等式解集.解：（ 1）把（ 1,4 ）代入 y=kx+3 得，4=k+3K=1∴一次函数解析式为y=x+3;(2)kx＋ 3≤ 6X+3 ≤6∴x≤ 3.备考指导：（ 1）确定函数解析式，用待定系数法，将已知点坐标代入表达式解出常数即可；（2）解不等式的基本步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1，注意在不等式两边同乘或同除一个不为的0 的数，需考虑正负对不等号方向的影响.18.【思路分析】由 AC ⊥BC，DF ⊥ EF，知∠ ACB= ∠ DFE ，结合 AC＝ DF ， BC＝ EF 可说明△ABC≌ △ DEF ；（2）△ ABC≌ △ DEF ，故∠ ACB= ∠ DFE ，所以 AB∥DE.证明：（1）∵ AC⊥ BC， DF ⊥ EF ，∴∠ ACB= ∠DFE ，∵A C ＝DF ， BC＝ EF ，∴△ ABC≌ △ DEF ；（2）∵△ ABC≌ △ DEF ，∴∠ ACB= ∠ DFE ，∴AB ∥DE.备考指导：（ 1）当题目中已知两边“SS”时，根据三角形全等的判定条件，可选择“SAS ”，或“ SSS”进一步探索推理的思路；若已知一边一角“ SA ”时，可根据题意再补上一角或另一边，应用“ SAS”，或“ ASA ”，或“ AAS ”进行说理；若已知两角“ AA ”时，则应补上一边，利用“ AAS ”，或“ ASA ”进行推理．总之，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法；（ 2）证明两直线平行，就要说明这两条直线形成的内错角相等或同为角相等或同旁内角互补．19.【思路分析】 (1) 所有等可能结果有四种，“摸出的小球标号是 3”的结果有一种，故“摸出的小球标号是3”的概率为1；4（2）首先找到所有的等可能情况数和满足条件的情况数，然后根据概率的公式进行计算即可.解：（ 1）P 摸出的小球标号是3=14（ 2）列表如下：1 2 3 41 (1， 1) (1， 2) (1， 3) (1， 4)2 (2， 1) (2， 2) (2， 3) (2， 4)3 (3， 1) (3， 2) (3， 3) (3， 4)4 (4， 1) (4， 2) (4， 3) (4， 4)①由列表可知：共有 16 种等可能的结果，其中结果共有 2 种，∴P(一个标号是1，另一个标号是2)=21 ；②共有 16 种等可能的结果，其中16 8第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的结果共有1种，∴P(第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是2)=1.16备考指导：求概率的方法：（1）直接公式法：P(A)mm 为事件 A 发生的总次数；，其中 n 为所有事件的总和，n（2）列举（列表或画树状图）法：当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A 发生的次数 m 及总事件发生的结果数 n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算.一般步骤为：①判断使用列表法还是画树状图法：列表法一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件 A 出现的结果m；④用公式mP( A)n求事件 A 发生的概率 .20.【思路分析】 (1)平行四边形是中心对对称图形，对称中心是原点，所以可以根据点关于原点的对称规律写出C、D 坐标：（2）可以从中心对称、平移或旋转的角度来说明;（ 3）点B、 C 的纵坐标相同，故 BC∥ x 轴，同理 AD ∥ x 轴 .BC 长度可由点 B 、 C 的很坐标来计算， BC 上的高是 A 、 B 两点纵坐标的差 .解：（ 1） C（ 4,-2）、D （ 1,2）；（2）AB绕点O旋转180°得到线段CD，或作AB关于原点O的中心对称图形得到线段CD;(3)BC=5 ， BC 上的高为 4，所以平行四边形 ABCD 的面积为 5×4=20.备考指导：在平面直角坐标系内，关于x轴对称的两点,横坐标不变,纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两点 ,横坐标互为相反数 ,纵坐标不变；关于原点对称的两点 , 横纵坐标都互为相反数 .21.【思路分析】（1）由 AB=AT ，知∠ ATB= ∠ B=45 °，故∠ BAT=90 °，AT是⊙O的切线；（2）设⊙ O 半径为 r ，延长 TO 交⊙ O 于 D ，连接 AD ，则∠ CAD =∠BAT=90°，∠TAC=∠OAD= ∠D. 通过△ TAC ∽△ TDA ，说明 TA 2=TC · TD ，即 4r2= TC(TC+2r), 可以用 r 表示 TC， tan∠AC TCTAC= tan ∠ D=.AD AT证明：（ 1）∵ AB=AT ，∴∠ ATB= ∠ B=45 °，∴∠ BAT=90 °，∴ A T 是⊙O 的切线；（ 2） 设 ⊙ O 半径为 r ，延长 TO 交⊙ O 于 D ，连接 AD.∵CD 是直径，∴∠ CAD= ∠ BAT=90 °，∴∠ TAC= ∠ OAD= ∠ D. 又∠ ATC= ∠ DTA ， ∴△ TAC ∽△ TDA ，∴TA TC ，TD AT∴ T A 2=TC · TD ，即即 4r 2= TC(TC+2r),解得 TA=（ 5 - 1） r ,∴tan ∠TAC= tan ∠D=ACTC =( 5 - 1)r = 5 - 1 . AD AT 2r 2备考指导： (1) 圆的切线的判定方法有三种：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；这种方法不常用． ②若圆心到直线的距离等于圆的半径， 则这条直线是圆的切线； 这种证明方法通常是在直线和圆没有公共点时， 通过“作垂直， 证半径” 的方法来证明直线是圆的切线．③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 这种证明方法通常是在直线和圆有公共点，通过“连半径，证垂直”的方法来证明直线是圆的切线．(2) 涉及角的三角函数时，应该把这个角放在直角三角形中来考虑，如果这个角不在直角三 角形中， 可以在其他直角三角形中用它的等角来替换， 最终把三角函数关系转化为直角三角形边的比值来解答 .EF AK 22. 【思路分析】 （ 1）根据△ AEF ∽△ ABC ，对应高的比等于相似比可得，即EF AD - DK，代入数值可确定BC ADEF的值；BCADAK（ 2）结合EF的值，用 x 表示 EF,从而可以把 矩形 EFGH 的面积为 S 写成 x 的二次函数，根据AK二次函数可确定 矩形的最大面积 .(3) 分两种可能：①两顶点 M 、 N 在底边 BC 上，根据（ PQ 3 1）知和 AK=8-PQ 求解 ；AK2②两顶点 M 、N 在腰 AB 上时，作 AB 上的高，转化为（ 1）形式求解 .解：（ 1）∵ EF ∥ BC ， ∴△ AEF ∽△ ABC ，EF AK EF AK∴AD，即8BC12∴EF 3；AK 2（ 2）由题意知 EH=KD=x ， AK=8-x.∵EF 3，AK 2 ∴ EF 3 ，8 - x 2∴EF=3(8 x) ,233∴S=EF × EH=(822 x) x= - （x - 4） 24 ,2∴ S 的最大值是 24； （3） ①两顶点在底边BC 上时，由（ 1）知 PQ 3，∵ PQMN 是正方形，AK2∴ AK=AD-DK=AD-PQ=8-PQ ，∴ PQ3 ， 8-PQ2∴ P Q=4.8 ；②正方形 两顶点M 、N 在腰 AB 上时如图时 ,作 CH ⊥AB 于 H ，交 PQ 于 G ，则CG=CH-HG=CH-PQ=9.6-PQ ，如图：∵ A B=AC ， AD ⊥BC ， ∴BD=6又 AD=8 ， ∴AB=10 ，∴AB × CH=BC ×AD ， ∴CH=9.6.由（ 1）知PQAB25 ，即 PQ 25 ，CGCH249.6 - PQ 24∴PQ=240，494.8 或240综上， 正方形 PQMN 的边长为 .49备考指导： (1) 相似三角形对应高的比等于对应边的比；（2）最值问题，最终转化为二次函数最值问题来解答. 根据相似列比例式、勾股定理、三角函数都表示线段长度的方法；（3）对于“神同形异” 、层层递进式的几何证明计算题，后面的结论一般都需要前面结论来证明，注意前后结论之间的“继承性”.23.（本题 10 分）如图，△ ABC 中，点 E 、 P 在边 AB 上，且 AE＝ BP，过点 E、 P 作 BC 的平行线，分别交 AC 于点 F 、 Q．记△ AEF 的面积为 S1，四边形 EFQP 的面积为 S2，四边形 PQCB 的面积为 S3(1)求证： EF ＋ PQ＝ BC(2)若 S1＋ S3＝ S2，求PE的值AE(3)若 S3－ S1＝ S2，直接写出PE的值AE【思路分析】（ 1）作 QN∥ AB ，交 BC 于 N，通过证明△ AEF ≌△ QNC 可以证明EF＋PQ＝BC ；（2）△ AEF ∽△ APQ，根据面积比等于相似比的平方，用PE、AE 、S1 2，再由△ AEF 表示 S∽△ ABC ，用 PE、AE 、S1 2，两种表示方法列等式可求解；（ 3）根据△ AEF ∽△ ABC ，表示 S用 PE、AE 、S1表示S3，根据S3－S1＝S2列等式可求解 .证明：（ 1）作 QN ∥ AB ，交 BC 于 N，则∠ NQP= ∠A ，∠ QNC= ∠ B.∵EF∥BC，∴∠ AEF= ∠ B，∴∠ AEF= ∠ QNC.∵PQ∥BC ，∴四边形 PQNB 是平行四边形，∴BN=PQ ， QN=PB=AE ，∴△ AEF ≌△ QNC ，∴EE=NC ，∴ B C=BN+NC= EF ＋ PQ ； （2）∵ EF ∥ PQ ∥BC ，∴△ AEF ∽△ APQ ∽△ ABC∴S 1AE 2AE 22（2S 1S 2AP AE PE ）整理得 S 2=2AEPE PE 2 S 1 ①；AE 2同理S 1AE 2AE 2AE 2，S 1 S 2 S 3 AB 2（ AE PE PB2= 2） （2AE PE ）∵ S 1＋ S 3＝ S 2，∴S 1S 1AE 22，2S 2 （2AES 1 S 2 S 3PE ）（2AE2PE ） S 1 ②，整理得 S 2=2AE 22（2AE2①=②即2AE PE PEPE ）AE 2S 1 = 2AE 2 S 1整理得 PE 2=4AE 2， PE=2AE ，∴PE=2；AE(3) ∵△ AEF ∽△ ABC ，∴ S 1 AE 2 AE 2=AE 2 2 ，S 1 S 2 S 3 AB 2 AE PE PB2 2AE PE（ （））∵ S 3- S 1＝ S 2，∴S 1 S 1 AE 2，S 1 S 2 S 32S 3 （2AE 2PE ）（2AE2PE ）整理得 S 3=S 1 ，2AE 2（2AE22AE PE 2PE ）S 1 -S 1=PE∴AES 12AE 22整理得 PE 2=2AE 2， ∴ P E= 2 AE ，PE=2.AE备考指导： (1)证明两条线段的和等于一条线段一般是把长线段分为两段，证明这两段分别 与已知的两段相等； （ 2）当题目中涉及多个量时， 根据他们的数量关系用其中一个量表示出 其他量，再列式求解，相似、三角函数等都是数量之间互相转化的工具.23. 【思路分析】（ 1）因为 A 点在抛物线上，把 A 点坐标代入抛物线即可求出 c 的值，从而求出抛物线的解析式 .（2）先在第二象限内取一合适的点E ，作出符合题目条件的图形，如答题图，因为题目所求与点 E 的坐标有关， 故想到要构造直角三角形， 使其长度能用含 m ，n 的代数式表示 . 过点C 作CH ⊥ EF 于点 H ，FG ⊥ y 轴于点 G 后，很容易发现△ EHC ∽△ FGC ，从而利用相似三角形的 对应边成比例求 n 的值，把 y=n 代入抛物线的解析式，确定出 m 的取值范围 .（3）首先用含 t 的代数式表示出PB 的长度，然后需要表示PQ 和 QB 的长度 . 根据图形易发 现△ OPM ∽△ QPB ，利用相似三角形的对应边成比例可表示出 PQ 的长度，再利用勾股定理求出 QB 的长度，即可求出△ PBQ 的周长 . 解：（ 1）把（ 1,0）代入 y= 1x2c ,得 c=-1,所以抛物线解析式为 y= 1x21；222（ 2）作 CH ⊥EF 于点 H ，则，△ EHC ∽△ FGC. ∵E （ m,n ） , ∴F （ m,1m 2 1 ） ,22又 C （0，- 1），2∴ E H=n+1,CH=-m,FG=-m,CG=1m 2,22∵△ EHC ∽△ FGC ，1EH FG n- m∴ 2，CH ，即- m1CG2m2∴ n + 1=2,2 ∴ n = 3(-2 ＜ m ＜ 0) ；2（3）由题意知点P（t，0）的横坐标为，M（t，1t2 1 ），△ OPM ∽△ QPB ，2 2∴ OP PQ ，PM PB其中， OP=t,PM= 1-1t2 ,PB=1-t,PQ= 2t ,BQ= PB2 PQ2 = t 2 1 , 2 2 1 t 1 t2t t 2 1∴PQ+BQ+PB= + +1-t=2.1 t 1 t难点突破：本题中的第（ 2）小题探索题，作出符合题目条件的图形是突破口，题目涉及点的坐标时，过点作 x 轴或 y 轴的垂线，构造出直角三角形，利用相似三角形来解答是解答此类题目一般思路 .备考指导：中考压轴题，基本都是二次函数和几何图形的综合考查，解答方法万变不离其宗：用坐标表示线段，列方程求解.在这两个过程中，相似、三角函数、勾股定理是最常用的运算工具，是连接数形之间的桥梁.。
武汉三中2015年分配生考试数学试题
武汉三中2015年高中招生分配生考试一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图：将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后，得到△A ＇B ＇C ＇；若∠A ＝40°，∠B ＇＝110°；则：∠BCA ＇＝（ ）A ．110°B ．80°C ．40°D ．30°2．从长度分别是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 线段中任选三条线段，能组成三角形的概率是（ ）A ．41B ．31C ．21D ．1 3．如图：是一个正方体被截去一个角后的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设：a 、b 、c △ABC 的三边长，二次函数：y ＝(a －21b)x2－cx －a －21b ，在x ＝1时，取最小值﹣52b ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数被遮盖），那么被遮盖的两个数依次是（ ）A ．80，2B ．80，2C ．78，2D ．78，26．一直三个数x 、y 、z 满足2−=+y x xy，34=+z y yz，34−=+x z zx ，则zxyz xy xyz ++的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣41D ．417．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为32π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．9πB ．93πC ．23233π−D ．32233π−8．如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）A ．9－3B ．9C ．9－325D ．9－3239．a 、b 是有理数，如果∣a －b ∣＝a ＋b ，那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中（ ） A ．只有(1)正确B ．只有(2)正确C ．(1)(2)都正确D ．(1)(2)都不正确10．如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，双曲线y ＝xk(k ＞0)经过边OB 的中点C 和AE 的中点D ，已知等边△OAB 的边长为4，则等边△AEF 的边长为（ ）A ．45－4B ．45－8C ．8D ．45二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，△ABC 中：∠C ＝90°，∠CAB ＝50°；按以下步骤作图；①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于2EF 的长为半径画弧，两弧交于G 点； ③作射线AG 交BC 边于点D ．则∠ADC ＝12．已知：a ＝251−，b ＝251+，则722++b a 之值＝13．若不等式组{0421≤−>+x a x 有解，则a 的取值范围是 14．如图，已知动点A 在函数y ＝x4(x>0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC ，直线DE 分别交x 轴、y 轴于点P 、Q ，当QE ：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于15．九（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题据进行如下整理，请解答以下问题(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整(2)若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比(3)若该小区有1000户家庭，根据调查数据统计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型罐上的横截面图，已知图中ABCD为等腰梯形（AB ∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．(1)求证：KE ＝GE(2)若KG 2=KD •GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由(3)在(2)的条件下，若sinE=53，AK=23，求FG 的长，AK=2，FG 长度是18．（本题8分）对于给定的抛物线y ＝x 2＋ax ＋b ，使实数p 、q 适合于ap ＝2（b ＋q ）(1)证明：抛物线y ＝x 2＋px ＋q 通过定点；(2)证明：下列两个二次方程，x 2＋ax ＋b ＝0与x 2＋px ＋q ＝0中至少有一个方程有实数解19．（本题8分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1（元）与国内销售量x （千件）的关系为y 1=⎩⎨⎧<<+−≤<+)62(1305)20(9015x x x x 若在国外销售，平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系为y 2=⎩⎨⎧<≤+−≤<)62(110t 5)20(100t t (1)用x 的代数式表示t 为：t=；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系为：y 2= ；当 ＜x ＜ 时，y 2=100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w （千元）与国内销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？20．（本题8分）设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(1)若x 12＋x 22＝6，求m 的值(2)求21221121x mx x mx −+−的最大值。
【全国百强校】湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数25-i 的共轭复数是（ ） A ．2+i B ．i -2 C ．i --2 D ．2-i 【答案】D考点：复数的运算；共轭复数的概念．2.如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10 场比赛中得分的中位数为（ ）A ．15B ．15.5C ．16D ．16.5【答案】A 【解析】试题分析：根据中位数的概念可知，该运动员在这10场比赛中得分的中位数为15，故选A ． 考点：茎叶图及中位数的概念．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（ ）名学生． A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】B 【解析】试题分析：用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取35015334⨯=++，故选B ．考点：分层抽样．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则"(0)0"f =是“函数()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：必要不充分条件．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ） A ．6n = B ．6n < C ．6n ≤ D ．8n ≤【答案】C 【解析】试题分析：根据给定的程序框图可知，0,2S n ==，第1次循环：1,42S n ==；第2次循环： 11,624S n =+=；第3次循环：11111,824612S n =++==，此时跳出循环，输出S 的值为1112，所以判断框中填写的内容可以是6n ≤，故选C ．考点：程序框图．6．已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（ ）A ．()5,36B ．()5,35C ．()5,30D ．()4,30 【答案】A 【解析】试题分析：根据回归直线方程可知，回归直线方程经过样本的中心点，此时3456755x ++++==，2030304060365y ++++==，故选A ．考点：回归直线方程．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±= D ．x y ±= 【答案】C考点：双曲线的简单的几何性质．8．已知函数()2log f x x =，任取一个01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00f x >的概率为（ ）A ．14 B ．12 C ．34 D ． 23【答案】D 【解析】试题分析：由题意得总的基本事件涉及的区间长度为13222-=，由对数函数的性质解()00f x >，可得01x >，所以使得()00f x >的区间为(1,2]，长度为211-=，所求概率12332P ==，故选D ． 考点：几何概型． 9．已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是（ ）【答案】C考点：利用导数研究函数的单调性．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =【答案】C 【解析】试题分析：因为抛物线方程为2:2(0)C y px p =>，所以焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ，由抛物线性质 52p MF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p -+=，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即(5,4)2p M -，代入抛物线的方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．所以抛物线的方程为24y x =或216y x =． 考点：抛物线的标准方程．11.在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L 距离”定义为：||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L 距离”之和等于定值(大 于||F 1F 2||)的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A考点：轨迹方程．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，属于中档试题，本题的解答中设出设12(,0),(,0)F c F c -和动点(,)M x y 的坐标，根据题设条件列出关系式后，分类讨论去掉绝对值号，从而确定动点的轨迹方程，结合本题的选项可得动点的轨迹，得到答案．12.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >.若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上有（ ）个零点 A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 【答案】B考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了求导公式、导数的运算法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，着重考查了分类讨论的数学思想、化简、变形能力，属于中档试题，本题的解答中，先求解函数的导数()f x '，判定函数的单调性，确定函数的单调区间，求解函数的最小值，由条件列出不等式求解实数k 的取值范围，对k 进行分类讨论，并分别判断在区间(上的单调性，求出()1f 和f ，判断符号，即可能证明结论．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落人区间[481,720]的人数为 ． 【答案】12【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人中抽取1人，所以从编号1840 的人中，恰好抽取4802420=人，接着从编号[]481,720共240人抽取2401220=人，故答案为12． 考点：系统抽样．14.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 ． 【答案】①④考点：用样本估计总体．15．点F 是抛物线2:2(0)x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为．考点：抛物线的简单性质．【方法点晴】本题考查双曲线的标准方程及其简单的几何性质，同时考查了抛物线的几何性质和考生的运算能力，其中确定P的坐标是解答的关键，本题的解答中，确定双曲线C的渐近线的方程by xa=，代入22x py=，得到点2222(,)bp b pPa a，利用点P是线段1FF的中点，可得(,)24c pP，确定,a c的关系，由此即可得出双曲线C的离心率．16．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120 ；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120 ；……；依此规律得到n级分形图．（1）4级分形图中共有______条线段；（2）n级分形图中所有线段长度之和为______．【答案】（1）45 （2）29[1()]3n-【解析】考点：归纳推理；数列求和．【方法点晴】本题主要考查了通过观察、方向、猜想、归纳数列通项公式的方法，着重了等比数列的前n 项函数公式，考查了推理能力和计算能力，属于难度较大题，本题的解答中得到当1,2,3,4n =时，线段的条数，第2问中，从1问中，得到线段条数的通项公式，2122111332232333n -+⨯⨯+⨯++⨯⨯ ，利用等比数列的前n 项和公式即可得出．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a <；命题:q 实数x 满足5|72|<+x ． （1）当1-=a 时，若q p ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()1,3--；（2）12-≤≤-a ． 【解析】试题分析：先分别求解,p q 分别为真命题时，x 的取值范围，（1）在根据q p ∧为真，求解x 的取值范围；（2）由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，从而求解x 的取值范围． 试题解析：（1）p 真，则13-<<-x ；q 真，则16-<<-x , 因为q p ∧为真,则p 真且q 真,故x 范围为()1,3--;(2)p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，因为p 真，有a x a <<3,所以⎩⎨⎧-≥-≤631a a ，故12-≤≤-a .考点：命题真假的判定与应用． 18．（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速 （km /h ）分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90后得到如图的频率 分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率． 【答案】（1）众数与中位数的估计值均等于77.5，平均值为77；（2）158．平均数的估计值为：770.0287.50.0582.50.0677.50.0472.50.0267.50.0162.55=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯）（考点：古典概型及其概率的计算公式，频率分布直方图中众数、中位数、平均数． 19.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈．若()f x 在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x 在1[,]e e上的最大值． 【答案】（1）11,2a b ==；（2）最大值为1(1)2f =-. 【解析】试题分析：（1）对()f x 进行求导，()f x '求出切线方程，只需求出其斜率即可，利用函数在1x =处的导数值求解斜率，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于,a b 的方程求解,a b 的值；（2）研究区间上函数的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定函数的最大值． 试题解析：（1）'()2af x bx x=-． 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得'(1)01(1)2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得：21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞．此时，2'11()x f x x x x-=-=，令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，得1x >．所以()f x 在1(,1)e 上单调递增，在(1,)e 上单调递减，所以()f x 在1[,]e e 上的最大值为1(1)2f =-．考点：导数的几何意义；利用导数求解函数的最值． 20.（本小题满分12分）（1）在区间]5,1[和]4,2[上分别任取一个整数，记为b a ,，则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率?（2）在区间]5,1[和]4,2[上分别任取一个实数，记为b a ,，则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率?【答案】（1）154；（2）1532．又⎪⎩⎪⎨⎧>>21a b ba ，即⎩⎨⎧>>ab b a 2，即阴影区域，则32158415===矩形阴S S P考点：古典概型和几何概型的概率的计算公式． 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切 圆的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）2)1(22=+-y x ．考点：椭圆的几何性质及圆的标准方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、直线的圆锥曲线的综合应用和圆的标准方程的求解，运算量较大，属于中档试题，本题第2问的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，得出关于x 的一元二次方程，运用韦达定理得出221212228412,3434k k x x x x k k-+=-⋅=++，求解AB ，求解2AF B ∆的面积，求解k 的值，从而得到圆的半径，即可求解圆的标准方程，其中准确计算、仔细化简是解答本题的关键，也是一个易错点． 22.（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax =-，R a ∈．（1）求)(x f y =的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0=a 时，)(x f y =单调递增区间是(),-∞+∞；当0>a 时，单调递增区间为()0,∞-，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32a ，递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0a ；当0<a 时，单调递增区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,a ，()+∞,0；递减区间为：⎪⎭⎫⎝⎛0,32a ；（2）1a <. 【解析】试题分析：（1）求解函数的导数()(32)f x x x a '=-，分类讨论求解函数的单调区间；（2）把曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点转化为关于x 的方程3210x ax x --+=只有一个根，设32()1g x x ax x =--+，利用函数()g x 的单调性和最值转化为方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >或者1()0g x <且2()0g x <，再转化为31()122xh x x =--+，利用()h x 的性质，求解实数a 的取值范围．又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数， 又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1，所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. 考点：利用导数求解函数的单调区间；利用导数研究函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间即利用导数研究函数的最值的应用，体现了利用导数研究函数的综合应用，同时着重考查了数学转化的思想和分类讨论的解题思想方法的应用，试题南段较大，属于难题，本题第2问的解答中，把曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点转化为关于x 的方程3210x ax x --+=只有一个根，设出32()1g x x ax x =--+，利用函数()g x 的单调性和最值转化为方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >或者1()0g x <且2()0g x <，再转化为31()122xh x x =--+，利用()h x 的性质，求解实数a 的取值范围，其中步步转化为函数的性质是解答本题的一大难点，需要平时注意总结和积累．高考一轮复习：。
武汉华师一附中2015年高中招生专县生考试数学试题(word版有答案)
华中师大一附中2015年高中招生考试数学测试考试时间：80分钟 卷面总分：150分 2015.3.29 说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是正确的.）1. 如果实数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式2222a a b c ac a -++-+可以化简为（ ）A. a b c ---B. a b c --C. a b c ---D. a b c +-2. 如图，反比例函数4y x=-的图象与直线y kx b =+交于 (1,),(,1)A m B n -两点，则OAB △的面积为（ ） A. 112 B. 4 C. 152 D. 1323. 设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根，则3212415x x -+等于（ ）A. -4B. 8C. 6D. 04. 已知,,a b c 分别是ABC △的三边长，且满足44422222222a b c a c b c ++=+，则ABC △是 （ ）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5. 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板，他向同学 们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板 将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径．．为（单位：mm)（ ） A. 802 B. 4010 C. 2517 D. 1006. 如图，ABC △为O ⊙的内接三角形，36,60BC A ==︒∠，点D 为 BC上一动点，BE OD ⊥直线于E ，当点D 由B 点 沿 BC运动到点C 时，点E 经过的路径长为（ ） A. 123π B. 83π C. 273 D. 54二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）7. 方程3164(1)x x x +=+的所有根的和为 .8. 在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，随机地从这5瓶饮料中取2瓶，取到至少．．有1 瓶过保质期的饮料的概率为 .9. 关于x 的方程211a a x =--无解，则a 的值是 . 10. 一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，分别以各自的速 度在甲乙两地间匀速行驶，行驶1小时后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回出发地，拿上文件后（取文件时间不计）立即再从甲地开往乙地.结果快车先到达乙地，慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶时间为x (h)，两车之间的距离为y (km)，y 与x 的函数图象如图所示，则a = .11. 已知4a ≥，当13x ≤≤时，函数2234y x ax =-+的最小值为-23，则a = .12. 如图，在单位为1的正方形网格纸上，123345567,,,A A A A A A A A A △△△，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形.若123A A A △的顶点坐标分别为123(2,0),(1,1),(0,0)A A A -，则依图中所示规律，2015A 的坐标．．为 .13. 有一张矩形风景画，长为90cm ，宽为60cm ，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大 44%，若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为a cm ，左、右边衬的宽都为b cm ，那么 ab = .三、解答题（本大题共4小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）14. （本题满分14分）已知,m n 是方程2310x x ++=的两根.（1）求162102(5)53m m m m m-+-⋅---的值； （2）求33m n n m+的值.15. （本题满分15分）如图，ABC △中，,AC BC I =为ABC △的内心，O 为BC 上一点， 过B I 、两点的O ⊙交BC 于D 点，1tan ,63CBI AB ==∠.（1）求线段BD 的长；（2）求线段BC 的长.16. （本题满分18分）如图，四边形ABCD 中，,90,6,3,AD BC BCD AD BC DE =︒==∥∠ AB ⊥于,E AC 交DE 于F .（1）求AE AB ⋅的值；（2）若4CD =，求AF FC的值； （3）若6CD =，过A 点作AM CD ∥交CE 的延长线于M ，求ME EC 的值.17. （本题18分）二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，与y 轴交于C 点.（1）若2AB =，且抛物线的顶点在直线2y x =--上，试确定,m n 的值；（2）在（1）中，若点P 为直线BC 下方抛物线上一点，当PBC △的面积最大时，求P 点坐标；（3）是否存在整数,m n ，使得112x <<和212x <<同时成立？请证明你的结论.。
武汉二中20152016学年高一上学期期中考试数学试题
武汉二中2015——2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷考试时间: 2015年11月6日 上午8: 00—10: 00 试卷满分: 150分一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合},0)3(|{N x x x x M ∈<-=的真子集的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数xe y =的反函数是（ ）A. xe y -=B. xe y -= C. 2ln 21x y =D. 3ln 31x y = 3. 集合},{,}log ,3{2b a Q a P ==, 且}3,1,0{=⋃Q P , 则=⋂Q P （ ）A. 0B. ∅C. }0{D. }0,3{4. 设集合}1,0{,},,{==B c b a A , 则从A 到B 的映射的个数有 （ ）A. 3B. 6C. 8D. 9 5. 函数]4323ln[122+--++-=x x x x xy 的定义域是（ ）A. )1,0()0,4[⋃-B. ]1,0()0,4[⋃-C. )1,0()0,4(⋃-D. ),2[]4,(∞+⋃--∞6. 已知10005.12125==y x , 则=-xyxy（ ）A. 1B. 2C. 0D.31 7. 函数x x y +--=31的最大值为M , 最小值为N , 则NM的值为 （ ）A.2B. 1C. －1D. 28. 设7.11.33.09.0,9.0,7.1===c b a , 则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c << 9. 下列各式中可以得到n m >的个数为（ ）(1)10,<<<a a a nm; (2)n m 44log log >; (3)n m 3.03.0log log >; (4)5log 5log n m <; (5)33n m >A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10. 已知实数a . b 满足等式b a 20162015=, 下列五个关系式: ①0＜b ＜a ; ②a ＜b ＜0; ③0＜a ＜b ; ④b ＜a ＜0; ⑤a ＝b . 其中成立的关系式有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 已知函数)(x f 是R 上的增函数, 且函数图像经过)1,3(,)1,0(B A -两点, 那么1|)1(|<+x f 的解集的补集．．是 （ ）A. )2,1(-B. )4,1(C. ),4[)1,(∞+⋃--∞D. ),2[]1,(∞+⋃--∞12. 函数⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R π1)(, 下列结论不正确．．．的是 （ ）A. 此函数为偶函数B. 此函数不单调C. 函数值域为],1[πD. 方程x x f f =)]([有两解二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分13. 已知函数b a x g x+=)(的定义域和值域都是]0,1[-, 则=+b a .14. 设函数2211)(x x x f -+=, 则f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (21)＋f (31)＋f (41)＋f (51)＝ . 15. 定义在R 上的奇函数)(x f , 当0>x 时, x x x f ln )(2+=, 则)(x f 在R 上的表达式为____________.16. 已知集合}065|{2≤--=x x x A , ]12,3[--=m m B , 若B B A =⋂, 则实数m 的取值范围是_______.三、解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）定义在),(),(b a a b ⋃--上的奇函数)(x f , 在),(b a 上是增函数, 判断)(x f 在区间 ),(a b --上的单调性并证明.18. （本小题满分12分） (1) 计算: ]ln )33(4[log ]3log27[log 23210log 2153432e --⋅-(2) 已知31=+xx , R m b a ∈>>,0,0 求2472322-⋅-+--x x x x 的值.已知奇函数)(x f 是定义在)3,3(-上的减函数, 不等式0)3()3(2<-+-x f x f 的解集是A , 集合}51|{≤≤⋂=x x A B , 求函数B x x x x g ∈+-=,1215)(2的最大值和最小值.20. （本小题满分12分）如图, 已知底角为 45的等腰梯形ABCD , 底边BC 长为cm 7, 腰长为cm 22, 当一条垂 直于底边BC （垂足为F ）的直线l 把梯形ABCD 分成两部分, 令x BF =||(0>x , 单位:cm ), 求直线l 左边部分的面积y 关于x 的函数解析式, 并画出图像.21. （本小题满分12分）已知函数++∈∈++=N c N a c x ax x f ,(,2)(2)满足①5)1(=f ; ②11)2(6<<f . (1) 求函数)(x f 的解析表达式;(2) 若对任意]2,1[∈x , 都有12)(+>mx x f 成立, 求实数m 的取值范围．设函数)(x f 满足:①对任意实数n m ,都有)()(2)()(n f m f n m f n m f ⋅=-++; ②对任意R m ∈, 都有)1()1(m f m f -=+恒成立; ③)(x f 不恒为0, 且当10<<x 时,1)(<x f ．(1) 求)0(f , )1(f 的值;(2) 判断函数)(x f 的奇偶性, 并给出你的证明(3) 定义: “若存在非零常数T , 使得对函数)(x g 定义域中的任意一个x , 均有)()(x g T x g =+, 则称)(x g 为以T 为周期的周期函数”．试证明: 函数)(x f 为周期函数, 并求出)32017()33()32()31(f f f f ++++ 的值．武汉二中2015——2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷参考答案: (其他解答方法, 参照给分) 一、选择题. CDCCA DCCBC DC 二、填空题. 13. 23- 14. 015. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>---+=000)ln(0ln )(22x x x x x x x x f 16. 272≤≤m三、解答题17. )(x f 在上为),(a b --增函数. 2分, 证明如下: 对于a x x b -<<<-21有a x x b >->->21, 因为)(x f 在),(b a 上为增函数, 所以有)()(21x f x f ->-. . . . . (1) 4分, 又)(x f 为奇函数, 所有对于任意),(),(b a a b x ⋃--∈恒有)()(x f x f -=-, 所以)()(,)()(2211x f x f x f x f -=--=-6分,代入(1)得:)()()()(2121x f x f x f x f <⇒->- 8分, 由增函数的定义可知, )(x f 在区间),(a b --上为增函数.10分. 18. (1). 21-6分 (2).4516- 6分, 247-没有化简的, 扣2分.19. 解: 由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒>-<<<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-622,36060333333333222x x or x x x x x x x 分 6分 故}52|{,}62|{≤<=<<=x x B x x A 8分, 由二次函数的图像和性质得52126)5()(max -==g x g10分, 20421)1021()(min -==g x g 12分.没有指出什么时候取最值, 扣2分. 两个地方只扣一次. 20.解: 过D A ,分别作BC AG ⊥于G , DH ⊥BC 于H , 因为ABCD 是等腰梯形, 底角450, AB =22cm 所以BG =AG =DH =HC =2cm , 又BC =7cm , 所以AD =GH =3cm , ……2分 （1）当点F 在BG 上时, 即]2,0(∈x 时, y =221x ……………4分 （2）当点F 在GH 上时, 即(2,5]x ∈时, y =2+2(x －2)=2x －2 ……………6分 （3）当点F 在HC 上时, 即(]7,5∈x 时, y =-⨯+2)73(212)7(21-x 10)7(212+-x……8分∴函数的解析式为(](](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+--∈-∈=7,510)7(215,2222,02122x x x x x x y ………………10分 函数图像如下: (图像没有标明关键点的坐标的, 灵活处理)……12分21. 解: （1）∵5)1(=f ∴a c c a -=⇒++=325……1分, 又∵1144611)2(6<++<⇒<<c a f ……2分, 所以有: 3431<<-a , 又+∈N a , 2,1==c a , 所以22)(2++=x x x f ……6分（2）法一: 设1)1(212)()(2+--=--=x m x mx x f x g , x ∈[1, 2], 则由已知得: 当211≤⇒≤-m m 时, 024)1()(min ≥-==m g x g , 此时m ≤2; ……2分当32211<<⇒<-<m m 时, 04)1(44)1()(2min ≥--=-=m m g x g , 此时无解; ……2分当321≥⇒≥-m m 时, 049)2()(min ≥-==m g x g , 此时无解． 综上所述, m 的取值范围为]2,∞-(用不等式表示也可)．……2分 法二: 由已知得, x x m 1)1(2+≤-在]2,1[∈x 上恒成立．由于函数xx y 1+=在[1, 2]上单调递增, 所以2512≤+≤x x , 故22)1(2≤⇒≤-m m (参照上面解法给分)22. 解: （1）由于)(x f 不恒为0, 故存在0x , 使0)(0≠x f , 令0,0==n x m , 则)0()(2)()(000f x f x f x f =+, 所以1)0(=f , ……2分 令)1(2)0()2(12f f f n m =+⇒==,由)1()1(m f m f -=+并令1=m 得: )0()2(f f =, 结合以上结果可得1)1(2=f ……3分 又令21==n m , 2)21()21(2)0()1(<⋅=+f f f f (因为1)21(<f ) 所以, 1)1(<f , 故1)1(-=f ; ……4分（2）令x n m ==,0, 得: )()0(2)()(x f f x f x f =-+, 以及有1)0(=f 即有)()(x f x f =-, 即有)(x f 为偶函数; ……6分（3）由)1()1(m f m f -=+并取x m -=+1得)2()(x f x f +=-, 又)(x f 为偶函数, 则)()2(x f x f =+, 即)(x f 是以2为周期的周期函数; ……8分令)31(21)32()31(2)0()32(3122f f f f f n m =+⇒=+⇒==, 再令)31()32(2)31(1)31()32(2)31()1(31,32f f f f f f f n m =+-⇒=+⇒==．而1)32(<f , 解得, 21)32(,21)31(-==f f , ……10分由)1()1(m f m f -=+得, )34()32(,)35()31(f f f f ==, 所以0)36()35()34()33()32()31(=+++++f f f f f f 又由于)(x f 是以2为周期的周期函数,21)31()32017(0336)32017()33()32()31(==+⨯=++++f f f f f f ……12分。
【全国百强校】湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题解析(解析版)
考试时间:2015年11月13日上午8:00—10:00 试卷满分:150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。
）1.已知命题022,:2>++∈∀x x R x p ,则p ⌝是( ) A . ,0R x ∈∃022020<++x x B . ,R x ∈∀0222<++x x C . ,0R x ∈∃022020≤++x x D . ,R x ∈∀0222≤++x x【答案】C考点：全称命题的否定。
2.抛物线2ax y =的准线方程是 ( )A. 2a y -=B. 4a y -=C. a y 21-=D. ay 41-= 【答案】D 【解析】试题分析：首先将方程化为标准方程y a y a x 21212⋅==.当0>a 时，a y 41-=；当0<a 时，a y 41-=。
所以抛物线2ax y =的准线方程是 ay 41-=。
故选D 。
考点：求抛物线的准线方程。
3.已知函数,cos )(x b x x f +=其中b 为常数,那么“0=b ”是“)(x f 为奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C考点：以函数奇偶性为背景的充分性、必要性判断。
4．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2eB. eC.ln 22D. ln 2【答案】B 【解析】试题分析：因()ln f x x x =，所以1+=x x f ln )('.由2ln )('00=+=1x x f 解得，e x =0。
故选B 。
考点：求导数并求对数方程。
5.与双曲线12322=-y x 有共同的渐近线，且经过点)52,3(A 的双曲线的方程为（ ）A ．1121622=-x yB ．14222=-y x C ．1271822=-x y D ．14622=-y x【答案】C 【解析】试题分析：与双曲线12322=-y x 有共同的渐近线的双曲线方程可设为）（0≠=-λλ2322y x ，然后将点A 的坐标代入求出-9=λ，所以所求双曲线的方程为1271822=-x y 。
湖北省武汉市中考数学试题及解析(2015)
湖北省武汉市中考数学试卷(2015)一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．2．若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）26．如图，在直角坐标系中，有两点A （6，3），B （6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（）7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）CD8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）9．在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，10．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）+1 C D﹣1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．计算：﹣10+（+6）=．12．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为．13．一组数据2，3，6，8，11的平均数是．14．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．15．定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=．16．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．18．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．19．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．20．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．22．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．23．如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ=BC；（2）若S1+S3=S2，求的值；（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．24．已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y 轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）26．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（），=，又7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（）C D8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（）9．在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，＜．10．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）+1 C D﹣1，===OM=AC=1OM=﹣二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．2514．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．）代入得：，解得：2，16．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．=故答案为三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；18．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．，19．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；的概率为：的概率为：=；的小球的概率为：20．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．x﹣==，即==））﹣x=TAC==22．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．=的值是．=，EF=xa=AB=AC=a=的边长是或．23．如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ=BC；（2）若S1+S3=S2，求的值；（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．，==1=，AN=﹣=（（﹣（ah+（（﹣=3=2（ah=（﹣±1+=1+，=．24．已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y 轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，）代入﹣∴抛物线解析式为），，CG=，=2（﹣，）PM=，PQ=．PQ+BQ+PB=．。
武汉二中广雅中学2015-2016学年度下学期期末模拟考试七年级数学试题(word版)甄选
武汉二中广雅中学2015-2016学年度下学期期末模拟考试七年级数学试题(word 版)（优选.)武汉二中广雅中学2015~2016学年度下学期七年级期末模拟考试一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．实数3的值在（ ）之间 A ．0~1B ．1~2C ．2~3D ．3~4 2．要使x 31-有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥31B ．x ≤31C ．x ＞31D ．x＜31 3．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）A ．企业招聘，对应聘人员进行面试，选择抽样调查B ．调查某批次汽车的抗撞击能力，选择抽样调查C ．上飞机前的安全检查，为了省时省力，采用抽样调查的形式进行安检D ．为了调查2016欧洲杯决赛（皇马VS 马竞）的收视率，选择全面调查4．不等式组⎩⎨⎧-≥≤-x x 35312的解集表示在数轴上正确的是（ ）5．满足x －9＜3x －3的最小负整数为（ ）A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．如图，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°．设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，则下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）A ．⎩⎨⎧-==+1590y x y xB ．⎩⎨⎧-==+15290y x y xC ．⎩⎨⎧-==+y x y x 21590D ．⎩⎨⎧-==152902y x x7．我校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了40名学生，调查了解他们一周课外阅读的时间，并将调查结果绘制成如图所示的直方图．根据图中信息，估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约为（ ）A ．50%B ．55%C ．60%D ．65% 8．在平面直角坐标系中，对于点P (x ，y )，我们把P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，A 2的伴随点为A 3，……，这样依次得到点A 1、A 2、A 3、……、A n ．若点A 1(2，2)，则点A 2016的坐标为（ ）A ．(－2，0)B ．(－1，3)C ．(1，－1)D ．(2，2)9．若关于x 的不等式⎩⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ）A ．6＜m ＜7B ．6≤m ＜7C ．6≤m ≤7D ．6＜m ≤710．△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE与∠BAC的平分线AD 交于点P，△ABC的两外角平分线交于点H，HG⊥CA交CA延长线于G，HF⊥CB交CB的延长线于F，以下结论：①∠APE＝45°；②∠1(∠BAH－∠DAC)；④∠AHG APB＝3(∠AHG＋∠BHF)；③∠ABP＝2＝∠BHF，正确有（）A．①③④B．①②C．②③④D．①②③二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．已知三角形三边长分别为3、7、m，则m的取值范围是____________12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF．若∠1＝80°，则∠2＝____________13．等腰三角形（底角相等）一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则顶角的度数为____________14．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机余下的全部售出，销售总额超过55万元，求这批计算机最少有____台15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝____________度16．△ABC 中，∠ACB ＝80°，D 是AC 延长线上一点，DE ⊥AB 于E ，∠ABC 和∠ADE 的平分线交于点F ，则∠F 的度数为____________度三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）解方程组：(1)⎩⎨⎧=+=-152553t s t s (2) ⎩⎨⎧+=-+=-)5(2)1(55)1(3x y y x18．（本题8分）解不等式（组）并把解集在数轴上表示出来(1) 2(x ＋5)≤3(x －5) (2)⎪⎩⎪⎨⎧->+-≥--13214)2(3x x x x19．（本题8分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行了问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图(1) 参加调查的人数共有________人，在扇形图中，表示“其它”的扇形圆心角为_________度(2) 将条形图补全完整(3) 若该校有5000名学生，则估计喜欢篮球的学生有_________人20．（本题8分）如图，已知A(3，1)、B(－2，－3)(1) 求△AOB的面积(2) 将△AOB作适当平移后，使得A移到D(1，3)，B移到点E，O移到F，画出图形，并写出E、F的坐标21．（本题8分）△ABC中，CD⊥AB于D(1) 若∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交CA于E，交CD于F，如图1，求证：∠1＝∠21(∠B－∠(2) 若∠B＞∠C，CG平分∠ACB，如图2，求证：∠DCG＝2A)22．（本题10分）某市建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖土石方640 m3．现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表所示：(1) 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共10台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种各需多少台？(2) 如果每小时支付的租金不超过1500元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么有几种不同的租用方案？那种方案支付的租金最少？23．（本题10分）(1) 如图1，将△ADE沿DE折叠后，使A落在∠BAC的内部A′处，试判断∠1、∠2与∠A的数量关系，并证明(2) 如图2，将△ABC沿着DE折叠后，使A落在∠BAC的内部①若∠1＋∠2＝80°，则∠A＝___________②若AE∥BD，∠A＝50°，则∠2＝___________(3) 如图3，将△ADE沿着DE折叠后，使A落在∠BAC外部A′处，试判断∠1、∠2与∠A的数量关系，并证明你的结论24．（本题12分）平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴正半轴交于D (b ，0)，与y 轴正半轴交于A (0，a )，且0|4|22=+-+--b a b a(1) 求△AOB 的面积(2) 若p (x ，y )，为直线AB 上一点，且S △AOP ≤43S △BOP ，求P 点横坐标的取值范围(3) 如图，点C 为线段OB 之间一动点，不与O 、B 重合，CF ⊥CA 交AB 于F ，过F 作AB 的垂线交∠OAC 的平分线于E 点，∠AOD ＝135°，则∠E 、∠ODA 、∠BAC 之间是否有某种确定的数量关系？试证明你的结论最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
2015年湖北省武汉市中考真题数学
)
C.12 D.17 解析：把 3，8，12，17，40 从小到大排列，可得 3，8，12，17，40， 所以这组数据 3，8，12，17，40 的中位数为 12. 答案：C 5.下列计算正确的是( 2 2 A.2a -4a =-2 2 B.3a+a=3a )
C.3a·a=3a 6 3 2 D.4a ÷2a =2a 解析：A、原式=-2a ，错误； B、原式=4a，错误； 2 C、原式=3a ，正确； D、原式=2a ，错误. 答案：C
1 . 3
答案：B 10.如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、 FC 相交于点 M.当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是( )
A.2- 3 B. 3 +1 C. 2 D. 3 -1 解析：AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图.
OD DC ，又 OB=6，AB=3， OB AB
A.
B. C.
D. 解析：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形.
答案：B 8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息，下列说法错误的是( )
A.4：00 气温最低 B.6：00 气温为 24℃ C.14：00 气温最高 D.气温是 30℃的时刻为 16：00 解析：A、由横坐标看出 4：00 气温最低是 24℃，故 A 正确； B、由纵坐标看出 6：00 气温为 24℃，故 B 正确； C、由横坐标看出 14：00 气温最高 31℃； D、由横坐标看出气温是 30℃的时刻是 12：00，16：00，故 D 错误. 答案：D
∵△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点， ∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC， ∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF.∴A、D、C、M 四点共圆. 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即 BM≥BO-OM， 当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小， 此时，BO= BC OC
武汉二中届高三高考模拟考试数学试题及答案(二)(理)
湖北省武汉二中2015届高三高考模拟考试（二）（理）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知i 是虚数单位,则21ii-等于（ ）A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i +【知识点】复数的除法. 【答案解析】 A 解析 ：解：22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i +==+=-+--+,故选答案A. 【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数,变成a+bi 这种形式即可. 2. 设集合}}{{|(1)0,|0A x x x B x x =+>=≥,则A B ＝（ ）A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. RD. ∅【知识点】一元二次不等式;集合的并集运算.【答案解析】 B 解析 ：解：{01}A x x x =><-或,(0,)A B ⋂=+∞,故选B. 【思路点拨】把集合A 的范围求出后和集合B 取交集即可. 3. 定义行列式运算：12142334a a a a a a a a -＝,若将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)m m > 个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是（ ）A.8πB.3π C.56π D.23π 【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数.【答案解析】 C 解析：解：()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,其图象向左平移(0)m m >个单位长度后解析式为()2cos()6fx x m π=++,其为偶函数,则6m k ππ+=,当0k =时, min 56m π=. 【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m 的式子,求得最小值.4. 已知点(1,1),(2,)A B y -,向量(1,2)a =,若//AB a ,则实数y 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【知识点】向量平行的坐标运算.【答案解析】 C 解析 ：解：(3,1),(1,2)AB y a =-=,//AB a ,则6-(y-1)=0,解得y=7. 【思路点拨】找到AB 和a 的坐标,利用向量共线的充要条件12210x y x y -=即可求得.5. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为（ ） A.256B.83C.113D. 4【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z （a ＞0,b ＞0）过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by （a ＞0,b ＞0）取得最大12∴4a+6b=12即2a+3b=6则23231(23)()6a b a b a b +=++⨯6613131225666a b b a +++===,当且仅当66b a ab =即 65a b ==时取等号,故选A.【思路点拨】由已知可得2a+3b=6,则23231(23)()6a b a ba b +=++⨯,然后利用基本不等式可求最小值.【典型总结】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题,要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）A.14B.15C.120D.1100【知识点】抽样方法;概率的计算.【答案解析】 C 解析 ：解：抽取40人中高级管理人员共40102200⨯=人, 则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率214020P ==,答案C 正确. 【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.7. 如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题：①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图； ②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题 的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【知识点】三视图和直观图的转化.【答案解析】 A 解析 ：解：易知①③成立,对于②,存在满足题意的三棱锥,其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点,侧棱长是底面直角三角形直角边的2. 【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、 侧棱长和底面三角形直角边的等量关系.8. 已知函数||2()x f x e x =+（e 为自然对数的底数）,且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围为（ ） A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】 A 解析 ：解：∵f （x ）=e |x|+x 2,∴f （-x ）=e |-x|+（-x ）2=e |x|+x 2=f（x ）则函数f （x ）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f （-x ）=f （x ）=f （|-x|） ∴f （3a-2）=f （|3a-2|）＞f （a-1）=f （|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a 2-10a+3＞0, 解得a ＜12或a ＞34故选A ．【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f （3a-2）＞f （a-1）转化成f （|3a-2|）＞f （|a-1|）,根据单调性建立不等关系,解之即可．【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用,绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力,属于基础题．9. p 是双曲线221916x y -=左准线上一点,12F F 、分别是其左、右焦点,2PF 与双曲线右支交于点Q,且23PQ QF =,则1||QF 的值为（ ）A. 165B. 4C.10225D.172【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义.【答案解析】 D 解析 ：解：设Q 的横坐标为x,因为23PQ QF =得x=3310,由双曲线的第二定义得21533917()()31052a QF e x c =+=+=.【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q 的横坐标,再利用双曲线的第二定义得1||QF 的值. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,则1()2014f 的值为（ ） A.1256B.1128C.164D.132【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值.【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R 上的函数f （x ）满足f(0)＝0,f(x)+f(1−x)＝1, 1()()32x f f x =,11(1)(0)1,(1)1;()(1)122f f f f f ∴+=∴=+-=,1111();()(1)2232f f f ∴==11()32f ∴=.111145820142187>>,且当0≤x1＜x2≤1时,有f （x1）≤f （x2）, ∴111()()()145820142187f f f ≥≥,又211111()()()145824862162f f f ===611()22f =712=,7625771111111()()()(1)3232322f f f f =====,711()20142f ∴=1128=,故选B.【思路点拨】根据已知条件,可求出1111(),()2232f f ==,再因为当0≤x1＜x2≤1时,有f （x1）≤f （x2）,可找到1()2014f 的范围为111()()()145820142187f f f ≥≥,再根据1111(),()2232f f ==求出11()()14582187f f 和的值, 为同一个值, 所以1()2014f 的值也等于这个值．二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分) (一)必考题(1114题)11. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60/km h 是否合理,对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆. 【知识点】频率分布直方图.【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为 1-0.3-0.1=0.6,则车速低于限速的汽车数量为300*0.6=180 【思路点拨】求出低于限速的频率,再用样本容量乘以频率即可11题图得到满足题意的汽车数量.12. 某程序的框图如图所示,若输出的结果不大于37,则输入的整数i 的最大值为 . 【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 5 解析 ：解：由S=0,n=0得出S=0+20+1=2,n=1； 由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2； 由S=5,n=2得出S=5+22+1=10,n=3； 由S=10,n=3得出S=10+23+1=19,n=4； 由S=19,n=4得出S=19+24+1=36＜37,n=5； 由S=36,n=5得出S=36+25+1＞37,∴当S=36时为满足条件时输出的结果,应终止循环, 因此判定输入的整数i 的最大值为5．【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S 的值,直到满足S 不大于37时,进而即可得出结论． 13. 已知不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++=的一切实数x y z 、、都成立,则实数a 的取值范围为 .【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.【答案解析】 (,2][4,-∞-⋃+∞ 解析 ：解：由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2）≥（1×x+2×y+2×z ）2，∴-3≤x+2y+2z≤3，当且仅当2221221x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩, 即y ＝z ＝2x ＝23时，右边取等号；同理当且仅当y ＝z ＝2x ＝− 23时左边取等号．所以13a ->,解得a ∈(,2][4,)-∞-⋃+∞【思路点拨】由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x 2+y 2+z 2）≥（1×x+2×y+2×z）2，即可得出x+2y+2z 的取值范围,进而求得a 的取值范围.14. 如图,对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,26的“分裂”中最大的数是 ；32013的“分裂”中最大的数是 . 【知识点】归纳推理．【答案解析】 11 220132012+12题图解析 ：解：对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂”中最大的数是11；在m 3（m 为奇数）的“分拆”的最大数是m 2+m-1,所以20132+2012=4054181,写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；在m 3中,所分解的最大数是m 2+m-1．根据发现的规律可求．(二)选考题(1516题)15. （几何证明选讲）如图,在O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =,则AE ＝ . 【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得： CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,又CF •CB=5,∴AE •EB=5,即AE •（AB-AD ）=5,又AB=6,∴AE •（6-AE ）=5,解之得AE=1．故答案为：1【思路点拨】由于CD 垂直于直径AB,且EF ⊥BC,AB 为圆的直径,根据射影定理得,CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,从而得出AE •EB=5,又AB=6,从而有AE •（6-AE ）=5,由此可解出AE 的值．16. （坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M,而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．解析 ：解：∵曲线C 的极坐标方程是p=2sin θ,两边同时乘14题图以ρ,化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心,以1为半径的圆．直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 可【思路点拨】曲线C 化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,直线l 的方程是三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值. 【答案解析】 （1）T π=（2）max min ()2,()1f x f x == 解析 ：解：（1）2()[2(sin coscos sin )sin ]cos 33f x x x x x x ππ=++ 222sin cos x x x x =sin 222sin(2)3x x x π==+于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2T ππ==分（2）50,24336x x ππππ≤≤∴≤+≤1sin(2)1,1223x y π∴≤+≤≤≤则max min ()2,()1f x f x ∴== （12分）【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2)3x π+,即可求出最小正周期T;(2)由x 得范围得到23x π+的范围，从而求得最大值和最小值.18. （本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n,点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若2n n b na =,求数列}{n b 的前n 项和.【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式.【答案解析】 （1）11()2n n a -= （2）11634994n n n T -+=-⨯解析 ：解：（1）因为点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上,所以1220n n a S ++-= （1分）当1n >时,1220n n a S -+-= （2分）两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+== （3分）又当1n =时,2121211122220,22a S a a a a +-=+-=== （4分） 所以数列}{n a 是首项11a =,公比12q =的等比数列,其通项公式为11()2n n a -= （6分） （2）由（1）知,214n nn nb na -==, （7分） 记数列}{n b 的前n 项和为n T ,则22123114444n n n n nT ---=+++++ （8分） 3231442444n n n n nT ---=+++++ （9分） 两式相减得32111111634354444334n n n n n n n T ----+=++++-=-⨯ （11分）所以数列}{n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯ （12分） 【思路点拨】（1）由已知条件可得1? 2a +S 20n n +-=,可得n ≥2时, 1220n n a S -+-=,（2）根据（1）和条件求出b n ,再利用错位相消法求出其前n 项和T n ,然后化简整理求出前n 项和．19. （本题满分12分）如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的 平面互相垂直.//,,222,.AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥===⊥ （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ,使//EC FBD 平面？若存在,求出EFEA；若不存在,请说明理由.【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系.【答案解析】（12）略解析：解：（1）设O为AB的中点,连接OD、OE,因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO AB⊥, 所以EO⊥平面ABCD,所以EO OD⊥,在直角梯形ABCD中,由CD＝OB,//CD OB可得OD AB⊥,由OB、OD、OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA＝OB＝OD＝OE＝1 （2分）由AB＝2CD＝2BC＝2得(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E-, 所以(1,1,1)EC=-,平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD =（4分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ,所以||3 sin|cos,|||||ECODEC ODEC ODθ=〈〉==即直线EC与平面ABE（6分）（2）存在点F,且13EFEA=时,有//EC 平面FBD （7分）证明如下：由111,0,333EF EA⎛⎫==--⎪⎝⎭,所以42,0,33FB⎛⎫=-⎪⎝⎭（8分）设平面FBD 的法向量为(,,)n a b c=,则有n BDn FB⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以4233a ba c-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取得1a=,得(1,1,2)n=（10分）因为(1,1,1)(1,1,2)0EC n=-=,且EC⊄平面FBD,所以//EC平面FBD.即点F满足13EFEA=时,有//EC平面FBD. （12分）【思路点拨】（1）由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系,确定平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD=, (1,1,1)EC=-,利用向量的夹角公式,可求直线EC与平面ABE所成的角;=EC v⋅=即可.20. （本题满分12分）中国蓝球职业联赛（CBA ）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a 万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】解析 ：解：（1）设n 为比赛的场数,n a 为第n 场比赛的票房收入,则2153,2,2n n n n a a a an a S a +==+= （2分）4n ≥,∴组织者至少可以获得票房收入是：24454182S a a +⨯==万元 （2）（理）当ξ表示决出胜负的比赛场数,则ξ的取值为4,5,6,7, （5分） 14211(4)()28P C ξ=== （6分） 1352411(5)()24P C C ξ=== （7分）1362515(6)()216P C C ξ=== （8分） 1372615(7)()216P C C ξ=== （9分）ξ的概率分布列为：4567 5.8125841616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, （11分）所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a ）+（3a+2a ）+（3a+3a ）,计算可得答案；（2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点A ,且离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(1,0)B -的直线l ,使得l 与椭圆C 交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【答案解析】（1）2214x y +=（2）略解析 ：解：（1）由题意知c e a =, 即22222231,44c a b a c a ==-=,所以,椭圆的方程为222241x y a a+= （2分）又因为A 为椭圆上的点,所以2211214a a +=解得24a =,可知21b =,所以,椭圆C 的方程为2214x y += （5分）（2）因为直线l 经过椭圆内的点(1,0)B -,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l 的斜率不存在时,其方程是1x =,代入2214x y +=得y =,可知(1(1,M N --,所以,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O （7分） 当直线l 的斜率存在时,可设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =+, 由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)8440k x k x k +++-=, 22121222844,1414k k x x x x k k --+==++, （9分）若以MN 为直径的圆经过坐标原点O,则0OM ON = （10分） 可得222121212121212(1)(1)(1)()0x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++=即2222222448(1)01414k k k k k k k--+++=++,解得2k =±.综上所述,存在过点(1,0)B -的直线l ,使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O,l的方程为2222y x y x =+=--或 （13分）221(0,0)y ab b +=>>经过点A (1,)2,且离心率e=,结合b 2=a 2-c 2,即可求得椭圆C 的方程;（2）因为直线l 经过椭圆内的点B （-1,0）,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N ．当直线l 的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l 的斜率存在时,设方程是y=k （x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN 为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值； （2）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数b 的取值范围； （3）若1b =-,证明对任意的正整数n ,不等式33311111()123nk f k n =∑<++++成立. 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【答案解析】解析 ：解：（1）由10x +>,得1x >-. ()f x ∴的定义域为()1,-+∞ （1分）因为对(1,)x ∈-+∞,都有()(1),(1)()f x f f f x ≥∴是函数的最小值, 故有'(1)0f =. （2分） 又'()2,'(1)2012b bf x x f x =+∴=+=+,解得4b =- （3分） 经检验,当4b =-时,()f x 在(1,1)-上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)f 为最小值, 故满足()(1)f x f ≥成立. （4分） （2）222'()211b x x bf x x x x ++=+=++,又函数()f x 在定义域上是单调函数. '()0'()0f x f x ∴≥≤或在()1,-+∞上恒成立 （6分）即2211222()22b x x x ≥--=-++恒成立,由此得12b ≥； （8分）若'()0f x ≤,则201b x x +≤+在()1,-+∞上恒成立.即2211222()22b x x x ≤--=-++恒成立. 因为2112()22x -++在()1,-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立.综上所述,实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （10分）（3）当1b =-时,函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)h x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)'()3211x x h x x x x x +-=-+-=-++,当(0,)x ∈+∞时,'()0h x <, 所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减又(0)0,h =∴当[)0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h <=,即23ln(1)x x x -+<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时,有3()f x x < （12分）*1,(0,)k N k ∈∴∈+∞,取1x k =,则有311()f k k <.33311111()123n k f k n =∴∑<++++（14分） 【思路点拨】（1）由x+1＞0,得f （x ）的定义域为（-1,+∞）.因为对x ∈（-1,+∞）,都有f （x ）≥f （1）,所以f （1）是函数f （x ）的最小值,故有f ′（1）=0由此能求出b. (2)由()21bf x x x '=++,函数f （x ）在定义域上是单调函数,知f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在（_1,+∞）上恒成立．由此能求出实数b 的取值范围．（3）当b=1时,函数f （x ）=x 2-ln （x+1）．令h （x ）=f （x ）-x 3=-x 3+x 2-ln （x+1）,则2()32h x x x '=-+33311111()123n f k n =∑<++++。
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1 2015年武汉二中分配生考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10小题，共30分） 1.规定“△”为有序实数对的运算，如下所示：（a，b）△(c，d)=(ac+bd，ad+bc).若对任意实数a，b都有（a，b）△（x，y）=（a，b），则（x，y）为（ ） A.(0，1) B. (1，0) C. (-1，0) D. (0，-1)
解：依题意：，恒有=>，选B.
2.用“△”、“O”、“ □”分别表示三种物体的重量.若==+□□，则△、O、□这三种物体的重量比为（ ） A.2：3：4 B. 2：4：3 C. 3：4：5 D. 2：5：4
解：令，，，令
=> => => 令，，则，∴，选B
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别为边AB、AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC.若∠DMN=110°，则∠DEA=（ ） A.40° B. 50° C. 60° D.70° 选A.
4.对左下方的几何体变换位置或视角，则可以得到几何体是（ ）
解：B 5.某台球桌为如图所示矩形ABCD，小球从A沿45°角出击， 恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC=( ) A.1：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 3：5
解：选C 2
6.在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A.22yxx B.22yxx C. 22yxx D. 22yxx 解：第一次变换后，第二次变换后，选C.
7.某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=100%孵化出的小鸡数孵化所用的鸡蛋数分别如图1，图2所示：
如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用（ ）个鸡蛋. A.3000 B.2700 C.2500 D.2400
解： 即， ∴，选C.
8.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E，设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ） 3
分析：取的中点，考虑⊙的大小变化，⊙与相切时最小，时圆最大，选C. 9.已知点A（11xy，）、B（22xy，）均在抛物线224(03)yaxaxa上，若
12xx<，121xxa+，则（ ）
A. 12yy> B. 12yy< C. 12yy= D. 12yy与的大小不能确定 解：∵抛物线开口向上，对称轴为，考虑与的大小， 即可比较 ∴，∴ 选B.
10.设I是△ABC的内心，r是其内切圆半径，R是其外接圆半径.若AI的延长线交△ABC的外接圆于点P，则IAIP=( ) A. 2Rr B. 22Rr C. 22Rr D. 222Rr 解：延长BO交⊙O于D，作IH⊥AC于H，证明Rt△DPB∽Rt△AHI即可 选A.
二、填空题（共6小题，共18分） 11.罗马数字有7个基本符号，它们分别是Ⅰ，Ⅴ，Ⅹ，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000.罗马数依靠着7个符号变换组合来表示的如Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅺ，Ⅻ，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用Ⅸ，Ⅹ，Ⅺ，Ⅻ，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是 . 填52.
12.如图，直线y=x与直线14yx分别与双曲线(0)kyxx交于A、B两点，3OABS，则k= .
填2. 13.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率是 . 4
14.在下表中，我们把第i行第j列的数记为ija，（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ija，，规定如下：当ij时，ija，=1；当i按此规定，13a，= 1 ；表中的25个数中，共有 15 个1. 计算1111,22133144155+iiiiiaaaaaaaaaa，，，，，，，，，= .
15、现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间.如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的半分比是 . 填写：35%或65%
16、 如图，△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于点D，AD=3，则⊙O面积的最大值为 . 解：易得
∵，∴ ∴，，填
三、解答题（共9题，共72分） 17、（本题6分）解方程：
解：令，则，整理得 解得或，∴（无解）或 解得 18、（本题6分）在平面直角坐标系中，将直线y=kx+3绕原点逆时针旋转90°刚好经过点（-2，1），求不等式kx+3≦x+2的解集 解：原直线经点，该点绕原点逆时针旋转90°后为点，又旋转后的直线经过点 ∴易得新直线解析式为，∴旋转前的直线解析式为
∴的解集为.
11a， 12a， 13a， 14a， 15a， 21a， 22a， 23a， 24a， 25a， 31a， 32a， 33a， 34a， 35a， 41a， 42a， 43a， 44a， 45a， 51a， 52a， 53a， 54a， 55a， 5
19、（本题6分）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面作图，可以得到四边形的“好线”：如图1，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过O作OE∥AC交CD与点E，则直线AE即为一条“好线”. （1）试说明图1中的直线AE是“好线”的理由； （2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当的说明（不需要说明理由）.
图1 图2EOABC
DA
BC
D
EF
分析：（1）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”,根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积,只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等,结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积,再根据等式的性质即可证明； （2）根据两条平行线间的距离相等,只需借助平行线即可作出过点F的“好线”． （1）设AE与OC的交点是F． 因为OE‖AC, 所以S△AOE=S△COE, 所以S△AOF=S△CEF, 又因为,折线AOC能平分四边形ABCD的面积, 所以直线AE平分四边形ABCD的面积,即AE是“好线”． （2）连接EF,过A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则AE为一条“好线”． ∵AG‖EF, ∴S△AGE=S△AFG． 设AG与EF的交点是O． 则S△AOF=S△GOE, 又AE为一条“好线”,所以AE为一条“好线”． 6
20、（本题7分）如图，A是直线l：y=3x上一点，AB⊥l于点A，交y轴正半轴于B(0，2). （1）求A点的坐标； （2）将△OAB沿着AB翻着至△O1AB，则直线O1B的解析式为: ； 将△OAB沿着OA翻着至△OAB2，则直线OB2的解析式为: ； 将△OAB绕O点顺时针旋转90°至△OA3B3，则直线A3B3的解析式:_______________. (第(2)问直接写出答案，不写过程.)
xyl：y=3x
A
OB
解：（1）作AH⊥y轴于H，设，由△∽△有 即，解得：，∴
（2）①；②；③
21、（本题7分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4.现作如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1、2、3、4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘. （1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部和边界）的概率； （2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M落在正方形ABCD面上的概
率为34？若存在，指出一种具体的平移过程？若不存在，请说明理由. y
x1O 解：（1）正方形四个顶点的坐标分别是A（-2，2）；B（-2，-2）；C（2，-2）；D（2，2）， 列表得： a 1 2 3 4 b 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 7
MHGFECOAB
D
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） M点的坐标所有的情况有共16种， 其中落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4种，所
以M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率是；
（2）若使点M落在正方形ABCD面上的概率为，则只有4个点不在正方形内部，所以可把正方形ABCD向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度或者向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度即可．
22、（本题8分）如图，⊙O的弦，C是优弧︵AB的中点，点是劣弧︵AB上任意一点，过作⊙的切线，与⊙在点、处的切线、分别交点、，、与弦分别交于点、. （1）求证：平分； （2）求的长度. （1）证明：易得，得证. （2）过作的平行线交、的延长线于、. 则，由（1）知，∴ ∴，同理，∴ 设交于，由∥易得，同理 ∴.
23.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限内，、分别是、上的点，将△沿翻折，使点恰好落在线段上的点处.经过抛物线：（）顶点的每一条直线总平分矩形的周长，若点在线段上，的长为整数，且抛物线与线段有两个不同的交点，求实数的取值范围. 解：设抛物线的顶点. 则，①，，② ∵经过抛物线的顶点的每一条直线总平分矩形的周长 ∴即为矩形的中心，也是的中点， ∴，. ，则