到达时间间隔与到达时刻的分布(应用随机过程,陈萍)
为什么泊松过程到达时间间隔服从指数分布证明
泊松过程是概率论和统计学中重要的随机过程之一，它描述了在一定时间内某一事件发生的次数。
在实际应用中，泊松过程常常用于描述诸如通联方式呼叫、交通流量、以及粒子的撞击等随机现象。
泊松过程的到达时间间隔服从指数分布是其重要性质之一，本文将对这一性质进行证明。
证明内容如下：1. 泊松过程的定义泊松过程是一种随机过程，其具体定义为：在任意时间段[0,t]内，事件的到达次数N(t)服从泊松分布，即N(t)~P(λt)，其中λ为事件的到达速率。
泊松过程具有无记忆性和独立增量等性质。
2. 指数分布的定义指数分布是一种连续概率分布，描述了随机变量等待的时间长度。
指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ为分布的参数，x 为随机变量的取值。
3. 证明泊松过程的到达时间间隔服从指数分布假设事件的到达时间分别为t1,t2,...,tn，其中ti表示第i个事件的到达时间。
根据泊松过程的定义，事件到达的时间间隔t2-t1,t3-t2,...,tn-tn-1分别服从指数分布，下面我们将对这一性质进行严格的证明。
考虑事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率，其中Δt为一个小的时间间隔。
根据泊松过程的定义，该时间段内到达次数N(Δt)服从泊松分布，即N(Δt)~P(λΔt)。
事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以表示为P(Δt) = P(N(Δt)=1)，即事件在该时间段内到达一次的概率。
当Δt趋近于0时，事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以近似为P(Δt) = λΔt。
而事件到达时间间隔在[t,t+Δt]之外的概率可以忽略不计，因为Δt趋近于0。
事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率密度函数为f(Δt) = λe^(-λΔt)。
而指数分布的概率密度函数也为f(Δt) = λe^(-λΔt)。
事件到达时间间隔服从指数分布。
4. 结论根据上述证明，可以得出结论：泊松过程的到达时间间隔服从指数分布。
随机数学(陈萍等编-课后习题答案)
t − t − (λ1 t ) e λ 1 e λ 2 = = λ1 − ( λ 1+ λ 2 ) t (λ 1 + λ 2) (λ1 + λ 2)t e
故此事件发生的概率与发生的时刻 t 无关，即事件与事件发生的 时间独立。
∞
3 解：
E
[
x
j
]= E
[E
[
x
j
︱ Y ]]=
∑ E[ x
k =0
j
︱
E( X n | Y ) = E( X n )
由单调收敛定理，
E ( X | Y ) = E lim X n | Y = lim E ( X n ) = E ( X ) ；
n →∞ n →∞
− 对可测函数 X,， X = X − X ， +
(
)
E(X |Y ) = E(X + − X − |Y ) = E( X )
①<≠ ②
。
( X , Y ) 服从以原点为圆心的单位圆上的均匀分布，则
E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) = 0 ，但 X 与 Y 不独立。
，， ②<≠③ 设 Y ~ U ( −11 ) X =Y ，
2
E ( XY ) = 0 = E ( X ) E (Y )，
1 证明
E(X |Y) = X ≠ E( X )
∞
显 然 ， Bi , i = 1, 2,... 是 F 上 的 可 列 不 交 集 列 ， 由 题 设 ，
∑ B ∈F，从而
i i =1
∪ A ∈ F，。
i i =1
∞
由于 F 为代数，故 Ai ∈ F ， i = 1, 2,⋯ ，从而
排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间
（1）萌芽阶段 1909~1920年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问
题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事 排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔 姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。 20世纪30年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要 的学科。
6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用
排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作 业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理 有关的几个应用例子。
（1）交通运输系统 港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久 等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机 起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场 调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站 内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑 的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。 （2）仓储配送服务 储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相 似之处。 （3）综合物流管理 在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点 的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡 与服务质量的好坏等等。 由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排 队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。
6.2.1.1 输入
输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和 适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成：
到达时间间隔与到达时刻的分布(应用随机过程,陈萍)
定理2.2.1 到达时间间隔序列1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立同分布的，且服从参数为λ的指数分布.这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性.证明 1）求1T 的分布. 由于1T 表示第一次事件发生之前所需的时间，故1{}T t >表示在[0,)t 时间段内事件还未出现，所以111()()1()1(()0)1,0t T F t P T t P T t P N t e t λ-=≤=->=-==-∀≥即1~()T E λ.2）求2T 的分布. 由平稳增量性，在时间区间[,)s s t +内事件发生的次数与s 无关，而只与时间间隔的长度t 有关，即21()(()()0)(()0),0t P T t T s P N s t N s P N t e t λ->==+-====∀≥由全概率公式，()()()()1221210||t T P T t P T t T s f s ds e P T t T s λ∞->=>===>=⎰即2~()T E λ且与1T 独立.3）求,2n T n >的分布.对于11,,,0n t s s -∀≥ ，有11111111(,,)(()()0)(()0)n n n n n tP T t T s T s P N t s s N s s P N t e λ----->===+++-++====即~(),2n T E n λ∀>，且相互独立.于是结论成立. □ 注意，定理2.2.1的逆命题也成立. 先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题.定理2.2.2 到达时刻n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布.证明 由定理2.2.1，1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立且k T 的特征函数是 ()()()00012222cos sin 1itx x x x k t e edx tx e dx i tx e dx t t i i t t λλλϕλλλλλλλλλ∞∞∞----==+⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰于是，1,1,2,nn k k T n τ===∑ 的特征函数是()111n n n k t t i it τλϕλλ-=⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∏而(),αβΓ分布的特征函数为()t it αβϕβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()~,n n τλ∴Γ 定理 2.2.3 若计数过程}0),({≥t t N 的到达时间间隔序列,1,2,k T k = 是相互独立同参数为λ的指数分布，则}0),({≥t t N 是参数为λ的泊松过程.证明 由指数分布的无记忆性知, 过程}0),({≥t t N 具有平稳独立增量.于是只要证明()~()N t P t λ.注意到n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布，且11{()}{}{}{}{}n n n n N t n t t t t ττττ++==>⋂≤=>->所以11100(())({})({})({})({})()()(1)!!n n n n n n t t x x P N t n P t P t P t P t x x e dx e dx n n λλττττλλλλ++---==>->=≤-≤=--⎰⎰令y x λ=并由分部积分法得()(()),0,0,1,2,!nt t P N t n e t n n λλ-==∀≥= 。
排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间
1971年，在一次关于排队论符号标准会议上决定，将Kendall符号扩充成为：
X/Y/Z/A/B/C 形式，其中前三项意义不变，而
A处填写系统容量限制N； B处填写顾客源数目m； C处填写服务规则，如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS等。 并约定，当排队系统模型为X/Y/Z/∞/∞/FCFS时，后三项可省略不用写出。如 M/M/1表示M/M/1/∞/∞/FCFS；M/M/c表示M/M/c/∞/∞/FCFS。 从上面的阐述中我们知道排队系统的数学模型形式多样，根据具体情况各有不 同。 M/M/c/∞表示输入过程是负指数分布，服务时间服从负指数分布，系统有c个服 务台平行服务（0＜c≤∞），系统容量为无穷，系统是等待制系统。 M/G/1/∞表示输入过程是负指数分布，顾客所需的服务时间为独立、服从一般 概率分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统。 GI/M/1/∞表示输入过程是负指数分布，顾客独立到达且相继到达的间隔时间服 从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指数分布，系统中只有一个服务台， 容量为无穷的等待制系统。 Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶爱尔朗分布，服务时间为独 立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为K（1≤K＜∞）的混合制系 统； D/M/c/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布，服务时间相互独立、 服从负指数分布，系统中有c个服务台平行服务，容量为K（c≤K＜∞）的混合制系统。
到达间隔的分布与服务时间的分布
例：某工厂有大批同类机床，机床发生故障可视为顾客的到达，
检验该顾客流是否为泊松流。取 n 6，并记录到故障相继发生
时刻分别为：
194，209，250，279，312，493（小时）
解：取 0.05，查正态分布表得 Z / 2 =1.96，
计算当 n 6时， v
12(n
1) ( (n
1 1) n
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 11月17 日星期 二上午 4时41 分6秒04 :41:062 0.11.17
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年11 月上午 4时41 分20.11. 1704:4 1Nove mber 17, 2020
e t
t 0
0
t 0
E(T )
1
，Var(T )
1
2
, (T )
Var(T ) 1
定理：输入过程是强度为 的泊松流顾客相继到达的时间间
隔T1,T2 ,Tn 独立同分布，且T1 是均值为（1/ ）的负指
数分布。 由上定理可得对一个顾客流是否为泊松流的一个检验方法：
（1） 对一个顾客流，首先确定一个较大的数 n ，然后观察并
同的负指数分布（参数为 k ），那么一个顾客走完这 k 个
服务台总共需要的服务时间就服从上述的 k 阶爱尔朗分
布。
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 1.1720. 11.17Tuesday, November 17, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。04:4 1:0604: 41:0604 :4111/ 17/2020 4:41:06 AM
离散系统建模与仿真理论基础_南开大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
离散系统建模与仿真理论基础_南开大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.SIMSCRIPT的第一个版本基于以下哪个算法？答案:事件调度算法2.有些统计工具软件总是会拟合出某个概率分布，而不论其是否合理。
答案:正确3.对于两个系统比较的相关抽样法，如果一个系统在模型结构的某一方面完全不同于另一个系统，则同步性将不再适用，或者说不能实现同步。
答案:正确4.比较两个系统性能时，统计显著性与仿真实验和输出数据有关。
答案:正确5.在无限源模型中，到达率（单位时间内到达顾客的平均数量）不受已进入排队系统顾客数量的影响。
答案:正确6.考虑到排队系统的多样性，有学者针对并行服务台系统提出了一套被广为采用的符号体系，这一体系缩略版为A/B/c/N/K，其中A代表什么含义（）？答案:到达间隔时间分布7.选择仿真软件时，需要考虑的输出特性不包括（）答案:动作质量8.发生在外部环境，对系统造成影响的活动和事件是指什么（）？答案:外生（活动或事件）9.发生在系统内部的活动和事件是指什么（）？答案:内生（活动或事件）10.下列关于随机数流的说法不正确的是（）。
答案:对于线性同余生成器而言，随机数流就是一组数据11.下列哪项不属于仿真历史的一个时期？答案:成熟期12.随机数生成后，若完全相同的随即数列重复出现，说明该方法发生了（）。
答案:退化13.在随机数检验中，即使一个数集通过了全部检验，也不能保证随机数生成器的随机性，因为还有很多方法可能得出不同的结论。
答案:正确14.在独立性检验中，如果不能拒绝原假设，意味着通过检验未发现存在依存关系的证据。
答案:正确15.在排队系统中，如果服务台数量减少，那么排队等待时间、服务台利用率，以及顾客到达后不能立即获得服务的概率都会（）？答案:增加16.连续型经验累积分布函数的反函数是：X=x(i-1)-ai(R-ci-1),其中ci-1＜R≤ci。
答案:错误17.舍选法就是不断生成服从某种统计分布的随机变量R直到满足条件为止。
应用随机过程第3章习题简答
第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ，
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为：
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
et?0t??rfs1tdt??ss?wfs1tdtw?r?1?e?r?1?det??s2?w?r?1??edsdet当w1r时?0平均到家时间是s的增函数所以1的ds期望时间在s0时最小
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理2.2.1 到达时间间隔序列1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立同分布的，且服从参数为λ的指数分布.
这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性.
证明 1）求1T 的分布. 由于1T 表示第一次事件发生之前所需的时间，故
1{}T t >表示在[0,)t 时间段内事件还未出现，所以
111()()1()1(()0)1,0t T F t P T t P T t P N t e t λ-=≤=->=-==-∀≥
即1~()T E λ.
2）求2T 的分布. 由平稳增量性，在时间区间[,)s s t +内事件发生的次数与s 无关，而只与时间间隔的长度t 有关，即
21()(()()0)(()0),0t P T t T s P N s t N s P N t e t λ->==+-====∀≥
由全概率公式，()()()()1221210||t T P T t P T t T s f s ds e P T t T s λ∞
->=>===>=⎰
即2~()T E λ且与1T 独立.
3）求,2n T n >的分布.对于11,,,0n t s s -∀≥ ，有
11111111(,,)
(()()0)(()0)n n n n n t
P T t T s T s P N t s s N s s P N t e λ----->===+++-++====
即~(),2n T E n λ∀>，且相互独立.于是结论成立. □ 注意，定理2.2.1的逆命题也成立. 先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题.
定理2.2.2 到达时刻n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布.
证明 由定理2.2.1，1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立且k T 的特征函数是 ()()()00012222cos sin 1itx x x x k t e e
dx tx e dx i tx e dx t t i i t t λλλϕλλλλ
λλλλλ∞∞∞
----==+⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰
于是，1,1,2,n
n k k T n τ===∑ 的特征函数是
()111n n n k t t i it τλϕλλ-=⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∏
而(),αβΓ分布的特征函数为()t it αβϕβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，()~,n n τλ∴Γ 定理 2.2.3 若计数过程}0),({≥t t N 的到达时间间隔序列,1,2,k T k = 是相互独立同参数为λ的指数分布，则}0),({≥t t N 是参数为λ的泊松过程.
证明 由指数分布的无记忆性知, 过程}0),({≥t t N 具有平稳独立增量.于是只要证明()~()N t P t λ.
注意到n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布，且
11{()}{}{}{}{}n n n n N t n t t t t ττττ++==>⋂≤=>->
所以
11100(())({})({})
({})({})
()()(1)!!n n n n n n t t x x P N t n P t P t P t P t x x e dx e dx n n λλττττλλλλ++---==>->=≤-≤=--⎰⎰
令y x λ=并由分部积分法得
()(()),0,0,1,2,!
n
t t P N t n e t n n λλ-==∀≥= 。
□ 由以上的结论可以看出，泊松分布和指数分布存在着紧密的联系，有人将定理2.2.1与定理2.2.3合起来作为泊松过程的定义，这种定义方法适宜于往更新过程乃至随机游动作进一步的推广；此外，这种定义实际上有助于读者理解泊松过程的无后效性并提供了模拟它的好方法，后面对此进行讨论.
EX 放射性物质在衰减过程平均每分钟放射出4个γ光子， 用)(t N 表示在观测时间区间(0,]t 内放射出γ光子的数目，且}0),({≥t t N 是泊松过程. 设计数器对检测到的γ光子只是每隔一个记录一次，令T 是两个相继被记录的光子之间的时间间隔（以分钟为单位），求T 的概率密度函数.
解 由题意，[](1)4E N λ==，故}0),({≥t t N 是参数4λ=的泊松过程。
设,1,2,k X k = 表示第1k -个与第k 个被记录的光子之间的时间间隔，且从放射出的第2个光子开始记录，显然212k k k X T T -=+，由定理2.2.1知，,1,2,k T k = 独立同指数分布，于是,1,2,k X k = 也是独立同分布的. 所以只要求出1X 的分布，即为T 的分布.注意到1{}X t >={在[0,)t 至多到达一个光子}，故
112444()()(()1)(()0)(()1)4(14),0,t t t P X t P T T t P N t P N t P N t e te t e t --->=+>=≤==+==+=+∀≥ 所以T 的分布函数为
411(14),0()()0
,0t T t e t F t P X t t -⎧-+≥=≤=⎨<⎩ 概率密度函数为
416,0()()0
,0t T T te t f t F t t -⎧≥'==⎨<⎩.。