高等数学(同济版)第四章复习资料

第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、

原函数与不定积分的概念 1.原函数:设函数及在区间上有定义，若满足

或，则称为在区间上的一个原函数例如：由于，故是的一个原函数

关于原函数，一般有如下两个问题需要解决： (1). 在什么条件下, 一个函

数的原函数存在? (2). 若函数的原函数存在, 它如何表示下面的原函

数存在定理能解决这两个问题. 2.原函数存在定理定理1. 若函数在区

间上连续，则在上存在原函数，即. 推论：初等函数在定义区间上有原函数

定理2. 若函数是的一个原函数，则的所有原函数都在函数族(是任意常数)

内. 证明： (1).因为，所以是的原函数 (2).设是的任一原函数，

即，又，两式相减得，故(为某个常数)，它属于函数族定理2

说明，一个函数的所有原函数在形式上只差一个常数.函数的全体原函数又

叫不定积分 3.不定积分：称函数在区间上的原函数全体为的不定积分，

记作，其中—积分号; —被积函数; x—积分变量;—被积表达式. 注：

1°.若是的一个原函数，则就是的不定积分,即不定积分是原函数族.

2°.，或其中为任意常数，称为积分常数，不可省缺3°.

或 4.不定积分的几何意义: 函数的原函数的图形称为积分曲线

例1. 例2. 例3. 设曲线通过点, 且其上任一点处切线

的斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程解：设所求曲线方程

为，由题知曲线上任一点处的切线斜率为是的一个原函数.于是又

曲线过点，故有，解得.于是所求曲线的方程为. 二、基本积分表 1.

(为常数). 2. 3. (). . 或. 4. 5. 或 6. . 7. . 9. 8. 10. . 11. . 12.

13. . 例4.

例 . 例6. 三、不定积分的性质 1. ； 2.； 3.. 例7. 例8. 例9. . 例10. .

练习： 1. 若是的一个原函数，则提示：，2.若是的原函数 ,

则 . . . 提示: 已知,所以，于是 3. 若的导函数为，则的一个原函数为( B ) A. ;

B. ;

C. ;

D.. 提示：；；第二节换元积分法

一、换元法的基本思想设，可导，则有，于是二、第一类换元

法从左到右的计算称为第一类换元法；从右到左的计

算称为第二类换元积分法定理 1.设函数具有原函数，可导，则有换元

公式：也称配元法或凑微分法注：第一换元法的使

用：. 例1.. 例2. . 例

3. . 例

4.

例5. 例 .

例 . 例8. 求 . ，于是

有，解得，于

是 . . 例9.

例10. . 例11. 例12.

例13. . 例14. . 同样方法得 . 例

15. . 例16. . 例17. . 例18. 求.

解法1： . 解法2：

例19. 求. 解法1：解法

2： . 或例20.

求 . . 解法1：解法2：. 注：. 常用的几种凑

微分的形式 1. 2. 3. 4.; 5.; 6.; 7.

8. 三、第二类换元法定理 2.设是单调可导函数，且，

其中是的反函数.(也称代元法，证明：设的原函数

为，令，则，即是的原函数，从而有2°.

变量还原注：1°.的单调性，保证其具有反函数例21. 求 (). ，解：令 ,,则 .于

是 . 例22. 求 () 解：令，，则，于是 .

例23. 求 (). ( 解：当时，令，， .于

是，当时，令，则，于是 . 将和两种情形下的结果合并起来得例24. 求 .(倒代换) 解：设，则，于是. 当时，有

当时，有相同的结果. 第二类换元法常见类型 (1). ，令或； (2). ,

令； (3). , 令； (4). , 令 (5). 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换. 常用基本积分公式的补充 : 16.; 17. 18.; 19.;

20.21.22.23.24. ; ; ; .

例25. 例

26. . 例27.

求，解：令，则，，

由于，，有，即，从，于

是 . 第三节分部积分法分部积分公式：若函数及或推导：由于或，整理得

或，两端求不定积分得，或 . 注：

1°. 比更容易计算2°.选取及的一般方法：把被积函数看做两个函数

之积,按“反对幂指三”的顺序前者为后者为例1. 若写

成计算复杂例2. . 例3. 例4. .

例5. 例6. . 例7. ，于是例7. 于

是例9.

于是例10.求解：令，则，，于是

第四节有理函数的积分一、有理函数的积分 1.有理函数：. 当时，是假分式；当时，是真分式. 2.有理函数的分解： (除法)，

其中为次数小于的多项式，为次数小于2l的多项式，且例如：

例1.求 . ，有，从而，解得，于是 . 例2.求 . ，有，从

而，解得，于是

例3.求 . ，有，从而，解得，于是 . . 例4.求

解： . 例5.求. 解：例6. 求 . 解： . 正常解法太繁琐：第一步：令，比较系数定得第二

步：化为部分分式，即令比较系数定. 第三步：分项

积分二、可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式的积分：万

能代换法,即令有理函数的积分. 例7. 求，将其转化成

关于的解: 令， ,则， , ，

于是 2.简单无理函数的积分：对被积

函数为简单根式的无理函数的积分,可通过根式代换化为有理函数的积分.例

如： (1).对形如的积分，可做变换：的积分，可做变换：. (2).对

形如 (3).对形如的积分，可做变换：，其中为、的最小公倍数. 例

8. 求 . 解：令，则，，于是例9.

求 . 解：令，则，，于是 . 例10. 求

解：令，则，，于是例11. 求解：

令 ,，于是，

则， .