高等数学(同济版)第四章复习资料
第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质
一、
原函数与不定积分的概念 1.原函数:设函数及在区间上有定义，若满足
或，则称为在区间上的一个原函数 例如：由于，故是的一个原函数
关于原函数，一般有如下两个问题需要解决： (1). 在什么条件下, 一个函
数的原函数存在? (2). 若函数的原函数存在, 它如何表示 下面的原函
数存在定理能解决这两个问题. 2.原函数存在定理 定理1. 若函数在区
间上连续，则在上存在原函数，即. 推论：初等函数在定义区间上有原函数
定理2. 若函数是的一个原函数，则的所有原函数都在函数族(是任意常数)
内. 证明： (1).因为，所以是的原函数 (2).设是的任一原函数，
即，又，两式相减得 ， 故(为某个常数)，它属于函数族 定理2
说明，一个函数的所有原函数在形式上只差一个常数.函数的全体原函数又
叫不定积分 3.不定积分：称函数在区间上的原函数全体为的不定积分，
记作， 其中—积分号; —被积函数; x—积分变量;—被积表达式. 注：
1°.若是的一个原函数，则就是的不定积分,即不定积分是原函数族.
2°.，或其中为任意常数，称为积分常数，不可省缺 3°.
或 4.不定积分的几何意义: 函数的原函数的图形称为积分曲线
例1. 例2. 例3. 设曲线通过点, 且其上任一点处切线
的斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 解：设所求曲线方程
为，由题知曲线上任一点处的切线斜率为 是的一个原函数.于是 又
曲线过点，故有，解得.于是所求曲线的方程为. 二、基本积分表 1.
(为常数). 2. 3. (). . 或. 4. 5.
或 6. . 7. . 9. 8. 10. . 11. . 12.
13. . 例4.
例 . 例6. 三、
不定积分的性质 1. ； 2.； 3.. 例7.
例8. 例9. . 例10. .
练习： 1. 若是的一个原函数，则提示：，2.若是的原函数 ,
则 . . . 提示: 已知,所以 ，于
是 3. 若的导函数为，则的一个原函数为( B ) A. ;
B. ; C. ; D.. 提示：；； 第二节 换元积分法
一、换元法的基本思想 设，可导，则有，于是 二、第一类换元
法 从左到右的计算称为第一类换元法；从右到左的计
算称为第二类换元积分法 定理 1.设函数具有原函数，可导，则有换元
公式： 也称配元法或凑微分法 注：第一换元法的使
用：. 例1.. 例2. . 例
3. . 例4.
例5. 例 .
例 . 例8. 求 . ，于是
有， 解得 ，于
是 . . 例9.
例10. . 例11. 例12.
例13. . 例14. . 同样方法得 . 例
15.
. 例16. . 例17. . 例18. 求.
解法1： . 解法2：
例19. 求. 解法1： 解法
2： . 或 例20.
求 . . 解法1：解法2：. 注：. 常用的几种凑
微分的形式 1. 2. 3. 4.; 5.; 6.; 7.
8. 三、第二类换元法 定理 2.设是单调可导函数，且，
其中是的反函数.(也称代元法 ， 证明：设的原函数
为，令，则 ， 即是的原函数，从而有 2°.
变量还原 注：1°.的单调性，保证其具有反函数
例21. 求 (). ，解：令 ,,则 .于
是 . 例22. 求 ()
解：令，，则， 于是 .
例23. 求 (). ( 解：当时，令，， .于
是 ， 当
时，令，则，于是 .
将和两种情形下的结果合并起来得 例24. 求 .(倒代
换) 解：设，则，于是. 当时，有
当时，有相同的结果. 第二类换元法常见类型 (1). ，令或； (2). ,
令 ； (3). , 令； (4). , 令 (5). 分母中因子次数较高时, 可试用倒
代换. 常用基本积分公式的补充 : 16.; 17. 18.; 19.;
20.21.22.23.24. ; ; ; .
例25. 例
26. . 例27.
求 ，解：令，则， ，
由于，，有，即 ，从 ，于
是 . 第三节 分部积分法 分部积分公式：若
函数及 或 推导：由于 或 ， 整理得
或 ， 两端求不定积分得， 或 . 注：
1°. 比更容易计算 2°.选取及的一般方法：把被积函数看做两个函数
之积,按“反对幂指三”的顺序 前者为后者为 例1. 若写
成计算复杂 例2. . 例3. 例4. .
例5. 例6. .
例7. ， 于是 例7. 于
是 例9.
于是 例10.求 解：令，则，，于是
第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 1.有理函数：.
当时，是假分式；当时，是真分式. 2.有理函数的分解： (除法)，
其中为次数小于的多项式，为次数小于2l的多项式，且 例如：
例1.求 . ，有，从而 ，解得，
于是 . 例2.求 . ，有，从
而 ，解得， 于是
例3.求 . ，有， 从而，解得，
于是 . . 例4.求
解： . 例5.求. 解：
例6. 求 . 解： .
正常解法太繁琐： 第一步： 令，比较系数定得 第二
步： 化为部分分式， 即令 比较系数定. 第三步： 分项
积分 二、可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式的积分：万
能代换法,即令有理函数的积分. 例7. 求 ，将其转化成
关于的 解: 令 ， ,则， , ，
于是 2.简单无理函数的积分：对被积
函数为简单根式的无理函数的积分,可通过根式代换化为有理函数的积分.例
如： (1).对形如的积分，可做变换： 的积分，可做变换：. (2).对
形如 (3).对形如的积分，可做变换：，其中为、的最小公倍数. 例
8. 求 . 解：令，则，，于是 例9.
求 . 解：令，则，，于是 . 例10. 求
解：令，则，，于是 例11. 求解：
令 ,，于是 ，
则， .
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
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如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有
F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. (下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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铃
说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限 多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.
再求
x(t).
由
dx dt
v(tg)tv0, 知
x0x(0)
o
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x(t) 1 2gt2 v0 tx0
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铃
❖微分与积分的关系 从不定积分的定义可知
d d [ f ( x ) d ] x f ( x ) , 或 x d [ f ( x ) d ] f ( x ) d x x
dx v(t)
(运动速度)
dt
再dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
xx(t)
x0x(0) o
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铃
先求v(t). 由 d v g , 知
dt
v(t) (g)dtgtC1
x
xx(t)
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
2 x x 2 C , dx
故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C.
大一高数数学第4章知识点
大一高数数学第4章知识点大一上学期的高数课程，第4章是一个非常重要的章节，内容涉及到了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。
在这一章中，我们将学习如何判断函数的连续性，如何求函数的导数，并且学习了一些常见的求导法则和求导公式。
接下来，我将结合学过的内容，给大家简单回顾一下这一章的主要知识点。
首先，我们来看一下连续性的概念。
在数学上，一个函数在某个点处连续，意味着这个函数在这个点的函数值与极限值相等。
这一点在我们解题时非常重要，因为只有在函数连续的情况下，才能应用后续的求导公式和方法。
我们常用的判断函数连续性的方法有三个：第一个是利用函数在某个点的极限是否存在来判断，第二个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否相等来判断，第三个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否都存在来判断。
熟练掌握这些方法，对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，我们来看一下导数和微分的概念。
在数学中，导数表示了函数在某个点处的变化率，可以理解为函数曲线在这个点处的斜率。
导数的计算方法有很多，常见的有用基本公式、利用求导法则和应用链式法则等。
其中，基本公式主要包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等，我们需要牢记它们的推导过程和具体的应用。
而求导法则主要包括和差法、积法、商法等，可以简化一些复杂函数的求导过程。
链式法则则用于求解复合函数的导数，将复合函数分成多个函数相乘的形式来求解，非常实用。
除了导数的计算，我们还需要学习导数的一些应用。
其中，最常见的就是求函数的极值。
在求解极值的过程中，我们需要使用一阶导数和二阶导数的概念，通过求导判断函数的增减性和凹凸性，从而求得函数的极值点。
此外，导数还可以用于求解函数的最优化问题，如求解函数的最大值、最小值等。
在这个过程中，我们需要利用导数的性质，结合具体的问题进行分析和求解。
总结一下，大一高数数学第4章的内容主要包括了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。
理解和掌握这些知识点，对于后续的高数学习和解题都非常重要。
大一上学期同济版高数第四章牛莱公式
= f [ϕ(x)]ϕ′(x) − f [ψ(x)]ψ′(x)
x −t 2 Φ 1 ） 例1： (x) = e dt 求Φ′（ 0 ′ x −t2 e d t = e−x2 解： Q Φ′(x) = 0
∫
∫
∴ Φ′(1) = e
−x2 x=1
=e
−1
9
例2：求 ：
d x2 sint ∫π t d t dx
o a
x ξ
b x
x + ∆x
Φ(x + ∆x) − Φ(x) = lim f (ξ) = f (x) ∴ Φ′(x) = lim 7 ξ→x ∆x→ 0 ∆x
说明: 说明 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时也 初步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。 从而为通过被积函数的原函数计算定积分开辟了道路。 2) 变限积分求导:
解： 根据复合函数的求导法则及求导公式有：
sin d x2 sint ＝ x2 (x2 )′ ∫π t d t x2 dx
2x⋅ sin x 2sin x2 ＝ ＝ 2 x x
10
2
−13 t ln(1+ t 2) d t ′ −3 x ln(1+ x2) = 例3： ∫ x ：
确定的
Φ(x) = ∫ f (t)dt
a
6
x
定理1. 定理 若
则变上限函数
x a
Φ(x) = ∫ f (t) dt
y
y = f (x)
Φ(x)
证:
∀x, x + ∆x∈[a, b] , 则有
Φ(x + ∆x) − Φ(x) = 1 x+∆x f (t)dt ∆x ∫x ∆x f (ξ)∆x (x <ξ < x + ∆x) = f (ξ) = ∆x
同济七版NUAA高数课件 第四章 不定积分 第四节 几种特殊类型函数的积分
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
dt
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论：有理函数的原函数都是初等函数.
注意： 有理函数积分尽量用其他方法
解 先对分母进行有理化
原式 (
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
例13 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
1
1 x
2
dx
2 ln 1 2x 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
A (2) ( x a)n ;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
Aln | x a | C (n 1)
x
1 4
ln
tan
x 2
1 tan 4
x
C.
三、简单无理函数的积分
讨论类型 R( x, n ax b), R( x, n ax b ), cx e
同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(4-6章)】【圣才出品】
第四章不定积分习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：解：2．求下列不定积分：（g是常数）；解：3．含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程，其中为未知函数的导数，f（x）为已知函数．如果将函数y＝φ（x）代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数y＝φ（x）就称为这个微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：解：（1）因为，得C＝0，所以所求的解为，因为，得C1＝2，因此因为，得C2＝－2，所以所求的解为4．汽车以20m／s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度．可执行下列步骤：（1）求微分方程满足条件及的解；（2）求使的t值；（3）求使s＝50的k值．解：（1），因为，得C1＝20，因此因为，得C2＝0，所以所求的解为（2）令，解得（3）根据题意，当时，s＝50，即解得k＝4，即得刹车加速度为－4m／s2．5．一曲线通过点（e2，3），且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为y＝f（x），则点（x，y）处的切线斜率为f＇（x），由条件得因此f（x）为的一个原函数，得又根据条件曲线过点（e2，3），有f（e2）＝3解得C＝1，即得所求曲线方程为y＝lnx＋16．一物体因为静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m／s），问（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360m需要多少时间？解：（1）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，位移函数为s＝s（t），则由假设可知s（0）＝0，因此s（t）＝t3，所以所求距离为s（3）＝27（m）．（2）因为t3＝360，得7．证明函数arcsin（2x－1），arccos（1－2x）和都是的原函数．证：因此结论成立．习题4-2换元积分法1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（例如：。