(word完整版)高一T同步(函数恒成立问题3星)

同步：函数恒成立问题(★★★)
知识梳理 恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，
（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；
（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f
（1）当0>a 时 ],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立2()0b a f αα⎧-<⎪⇔⎨⎪>⎩或20b a αβ⎧≤-≤⎪⎨⎪∆<⎩ 或2()0
b a f ββ⎧->⎪⎨⎪>⎩ ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩
⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时
],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0
)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立2()0b a f αα⎧-<⎪⇔⎨⎪>⎩ 或20b a αβ⎧≤-≤⎪⎨⎪∆<⎩ 或2()0
b a f ββ⎧->⎪⎨⎪<⎩
类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切；
αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切.
类型4：
)
()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切【对于函数恒成立问题可以借助于函数图象去解决，二次函数图象及其他函数的利用是解这类题的关键.】
典例精讲
例1（★★★）已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
解：首先讨论0542=-+m m 时，此时5-=m 或1=m .
（1）当5-=m 时，原不等式变为0324>+x ， 解得不等式为8
1->x ， 与对一切实数x 恒成立矛盾. 所以不合题意.
当1=m 时，原不等式变为03>，对一切实数x 恒成立, 所以符合题意.
（2）0542
≠-+m m ，不等式是二次不等式，要使得不等式对一切实数x 恒成立，
需要，满足⎪⎩⎪⎨⎧<-+--=∆>-+0)54(12)1(16054222m m m m m ，解得191<<m . 综上所述，实数m 的取值范围为191<≤m .
【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当1=m 时，对一切实数x 恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】
巩固练习
1.（★★★）若不等式02)1()1(2
>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围. 解：（1）当01=-m 时，原不等式化为02>恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0
)1(8)1(012m m m ， 所以，)9,1[∈m .
【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参 数m ，所以要讨论m-1是否是0.题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以 为0.】
2.（★★★）若关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围. 解：设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),04
42
min >+-=a a x f 解得04<<-a
例2（★★★）已知函数2
()3f x x ax a =++-，
⑴在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
⑵若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
解：（1） 分析：()y f x =的函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点.
在R 上()0f x ≥恒成立，
等价于()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤. （2）22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝
⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a . ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 73
a ∴≤ 又4a >Q a ∴不存在.
②当222
a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤Q 42a ∴-≤≤ ③当22
a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <-Q 74a ∴-≤<-
综上所述，72a -≤≤.
【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】
巩固练习
1.（★★★）已知函数2
()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的 取值范围.
解法一：题目中要证明a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立，若把a 移到等号的左边，
则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.
2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.
（1）()2
410a a ∆=--≤
22a ∴--≤≤-+
（2）24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或 2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .
解法二：（利用根的分布情况）
（1）当22a -
<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()54,3
a ∴≤∉+∞ a ∴不存在; （2）当222
a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥， 222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a ；
（3）当22
a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥- 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a .
【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，因为当对称轴变化时，函数取得最值的位置不同，在解恒成立问题时，要用到求函数最值.】
例3（★★★）若任意．．
实数[1,2]x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是 . 解：将不等式变形得：x
x a 22+<，分离参数后，题目中是任意[1,2]x ∈使得不等式成立，所以转化为恒成立问题，设x
x x f 22)(+= ，只要min )(x f a <即可， 易知函数x
x x f 22)(+=在[1,2]x ∈上是单调递增的， 所以4)1()(min ==f x f . 故5<a .
【此题可以转化成二次函数求最小值大于0，但这需要讨论，有些复杂. 如果用分离参数的方法做就非常简单，避免了分类讨论，在讲解过程中可以跟学生强调这种方法的巧妙性.】
巩固练习
1.（★★★）函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成 立，求实数a 的取值范围.
解：方法一：对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，可转化为022>++a x x ，
分离参数得x x a 22-->，
令x x x g 2)(2--=，只需要max )(x g a >. 1)1()(2++-=x x g
在),1[+∞∈x 上，当1=x 时取得最大值，3)(max -=x g ，故3->a . 方法二：2)(++=x
a x x f ，对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立， 只需要0)(min >x f 即可. 但此时要注意讨论a 的取值范围.
（1）当0=a 时，2)(+=x x f 在),1[+∞∈x 上单调递增，
03)(min >=x f 成立.
（2）当0<a 时, 2)(++=x
a x x f 在),1[+∞∈x 上单调递增， 03)1()(min >+==a f x f 成立，所以3->a .
（3）当10<<a 时, 2)(++=x
a x x f 在),1[+∞∈x 上单调递增, 03)1()(min >+==a f x f ,
所以10<<a ；当1≥a 时, 2)(++=x
a x x f 在),1[+∞∈x 上最小值在 a x =时取到，即022)()(min >+==a a f x f 恒成立.
综上所述，实数a 的取值范围3->a .
【此题在于问题的转化，如果不转化就要分类讨论求函数的最小值，分类讨论比较繁琐；如果能转化，分离参数避免了分类讨论，这种转化能力需要在平时给学生强调.】
回顾总结
（1）函数恒成立问题的理解：________ _
（2）函数恒成立问题常见的几种解法：_______ ______。