2011年高考一轮数学复习 8-2双曲线 理 同步练习(名师解析)

第8章 第2节 知能训练·提升考点一：双曲线的定义1．已知F 1、F 2是双曲线x22－y 2＝1的左、右焦点，P ，Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化 解析：由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2. 答案：C2．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24解析：由题意得|PF 1|－|PF 2|＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，由此解得|PF 1|＝6，|PF 2|＝4，又|F 1F 2|＝21＋12＝213，且|F 1F 2|2＝|PF 2|2＋|F 1P |2，即PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积是12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.答案：B3．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．12 解析：由题意，a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，根据题意，点P 在靠近焦点F 1的那支上， 且|PF 2|＝3|PF 1|，所以由双曲线的定义，|PF 2|－|PF 1|＝2|PF 1|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝3，|PF 2|＝9，故△F 1PF 2的周长等于3＋9＋10＝22. 答案：A考点二：双曲线的方程 4．过点(2，－2)且与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1B.x 24－y22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y 24＝1解析：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，据已知点(2，－2)在双曲线上，代入得λ＝－2.从而所求方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝kx (k ＞0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y25a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2b2＝1 解析：由y ＝kx (k ＞0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝0的一条渐近线，知k ＝b a .又e ＝5k ，故有c a ＝5·ba⇒c 2＝5b 2⇒a 2＝4b 2，故方程为x 24b 2－y 2b2＝1.答案：C考点三：双曲线的性质6．(2010·广西桂林十八中月考)已知抛物线y 2＝365x 的准线与双曲线x 29－y 2b＝1(b ＞0)的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±53xD ．y ＝±35x解析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，利用性质准确求得b 的值是解题关键．抛物线的准线为x ＝－95，双曲线的左准线为x ＝－99＋b ，∴99＋b ＝95，∴b ＝16，即双曲线方程为x 29－y 216＝1，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±43x ，故选B.答案：B7．(2010·江西模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线斜率大于零的渐近线l交双曲线的右准线于P 点，F (c,0)为右焦点．(1)求证：直线PF 与渐近线l 垂直； (2)延长FP 交左准线于M ，交双曲线左支于N ，使M 为PN 的中点，求双曲线的离心率．解：(1)证明：右准线为x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P (a 2c ，abc)，又F (c,0)，∴k PF ＝ab c －0a 2c－c ＝－ab ，又∵k l ＝ba，∴k PF ·k l ＝－1，∴PF ⊥l .(2)PF 的方程为y ＝－ab(x －c )，又左准线为x ′＝－a 2c ，∴M (－a 2c ，a (a 2＋c 2)bc)．又∵M 是PN 的中点，∴N (－3a 2c ，a (3a 2＋c 2)bc )．∵N 在双曲线上，∴9a 2c 2－a 2(3a 2＋c 2)2b 4c 2＝1，即9e 2－1e 2(3＋e 2e 2－1)2＝1， 令t ＝e 2，则t 2－10t ＋25＝0，∴t ＝5，即e ＝ 5.8．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，F 1、F 2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且F 1M →·F 2M →＝－14.(1)求双曲线的方程；(2)设A (m,0)和B (1m，0)(0＜m ＜1)是x 轴上的两点．过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C 、D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E .证明直线DE 垂直于x 轴．解：(1)根据题设条件，F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 设点M (x ，y )，则x 、y 满足⎩⎨⎧x ＝－a 2cy ＝－b ax.因e ＝c a ＝52，解得M (－2a 5，2b 5)，故F 1M →·F 2M →＝(－2a 5＋c ，2b 5)·(－2a 5－c ，2b 5)＝45a 2－c 2＋45b 2＝－14. 利用a 2＋b 2＝c 2，得c 2＝54，于是a 2＝1，b 2＝14.因此，所求双曲线的方程为x 2－4y 2＝1.(2)证明：设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，则直线l 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m )．于是C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)两点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1－m (x －m ) ①x 2－4y 2＝1 ②将①代入②得(x 21－2x 1m ＋m 2－4y 21)x 2＋8my 21x －4y 21m 2－x 21＋2mx 1－m 2＝0.由x 21－4y 21＝1(点C 在双曲线上)，上面方程可化简为(m 2－2x 1m ＋1)x 2＋8my 21x －(x 21－2mx 1＋m 2x 21)＝0.由已知，显然m 2－2x 1m ＋1≠0.于是x 1x 2＝－x 21－2mx 1＋m 2x 21m 2－2x 1m ＋1.因为x 1≠0，得x 2＝－x 1－2m ＋m 2x 1m 2－2x 1m ＋1.同理，C (x 1，y 1)、E (x 3，y 3)两点坐标满足⎩⎨⎧y ＝y 1x 1－1m(x －1m )x 2－4y 2＝1. 可解得x 3＝－x 1－21m ＋(1m)2x 1(1m )2－2x 11m＋1＝－m 2x 1－2m ＋x 11－2x 1m ＋m 2.所以x 2＝x 3，故直线DE 垂直于x 轴.1.(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析：双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消y 得x 2－b a x ＋1＝0，由题意，知Δ＝(ba)2－4＝0.∴b 2＝4a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2. ∴ca＝ 5. 答案：C2．(2009·全国卷Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点．若AF →＝4FB →，则C 的离心率为( )A.65B.75C.85D.95解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (c,0)，由AF →＝4FB →， 得(c －x 1，－y 1)＝4(x 2－c ，y 2)，∴y 1＝－4y 2.设过F 点的斜率为3的直线方程为x ＝y3＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 3＋c ，b 2x 2－a 2y 2－a 2b 2＝0.则有(b 23－a 2)y 2＋2b 2c 3y ＋b 4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6b 2c 3(b 2－3a 2)， ①y 1y 2＝3b4b 2－3a 2. ②将y 1＝－4y 2分别代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－3y 2＝－6b 2c3(b 2－3a 2)，－4y 22＝3b4b 2－3a 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2b 2c3(b 2－3a 2)，y 22＝－3b44(b 2－3a 2).∴4b 4c 23(b 2－3a 2)2＝－3b 44(b 2－3a 2). 化简得16c 2＝9(3a 2－b 2)＝9(3a 2－c 2＋a 2)．∴25c 2＝36a 2.∴e 2＝3625，即e ＝65.答案：A 3．(2009·湖南)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：若∠F 1B 2F 2＝60°，则∠B 2F 1F 2＝60°，∴tan60°＝bc ＝3⇒b 2＝3c 2.从而3c 2＝c 2－a 2，－a 2＝2c 2(舍)． 若∠B 2F 1B 1＝60°，则∠B 2F 1F 2＝30°，淋浴房 / 整体淋浴房 吘莒咝∴tan30°＝b c ＝33⇒c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)．∴e 2＝32，e ＝62.答案：624．(2009·重庆)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若双曲线上存在点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c<1，在△PF 1F 2中，据正弦定理有|PF 2||PF 1|＝ac ，且|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝2ac c －a ，|PF 2|＝2a 2c －a.又|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2ac c －a ＋2a 2c －a>2c ⇒c 2－2ac －a 2<0⇒e 2－2e －1<0⇒1<e <1＋ 2.答案：(1，2＋1) 5．(2008·全国Ⅰ)双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与F A →同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F (c,0)(c ＞0)，则c 2＝a 2＋b 2.不妨设l 1：bx －ay ＝0，l 2：bx ＋ay ＝0， 则|F A →|＝|b ×c －a ×0|a 2＋b 2＝b ，|OA →|＝OF 2－AF 2＝a . 因为|AB →|2＋|OA →|2＝|OB →|2，且|OB →|＝2|AB →|－|OA →|，所以|AB →|2＋|OA →|2＝(2|AB →|－|OA →|)2，于是得tan ∠AOB ＝|AB →||OA →|＝43.又BF →与F A →同向，故∠AOF ＝12∠AOB ，所以2tan ∠AOF 1－tan 2∠AOF ＝43. 解得tan ∠AOF ＝12或tan ∠AOF ＝－2(舍去)．因此b a ＝12，a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b .双曲线的离心率为e ＝c a ＝52.(2)由a ＝2b 知，双曲线的方程可化为x 2－4y 2＝4b 2.①由l 1的斜率为12，c ＝5b 知，直线AB 的方程为y ＝－2(x －5b )．②将②代入①并化简，得15x 2－325bx ＋84b 2＝0.设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝325b 15，x 1·x 2＝84b 215.③AB 被双曲线所截得的线段长 l ＝1＋(－2)2·|x 1－x 2| ＝5·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].④将③代入④，并化简得l ＝4b3，而由已知l ＝4，故b ＝3，a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y29＝1.1.双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是( )A ．[42，－4,4)B ．[42－4,2]C ．(42－4,2)D ．[42－4,2)解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝c 2，∵2a ＋2b ＋2c ＝8，∴a ＋b ＋c ＝4. ∵(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，∴(4－c )2≤2c 2⇒c 2＋8c －16≥0⇒c ≥42－4或c ≤－42－4(负根舍去)． 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a ＋b >c .而a ＋b ＋c ＝4，∴c <2，即42－4≤c <2. 答案：D2．已知平面内有一固定线段AB ，其长度为4，O 为AB 的中点，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|AB |2|OP |的最大值是________．解析：由双曲线的定义，可知动点P 的轨迹为以A 、B 两点为焦点，3为2a 的双曲线靠近点B 的一支，显然|OP |的最小值为a ，故|AB |2|OP |的最大值为43.答案：43。