高中数学 第1章 计数原理 1.1 两个基本计数原理教学案 苏教版选修2-3
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高中数学-打印版
最新版高中数学 第一章 计数原理
本章要览
知识概要 ⎩
⎨⎧⨯⨯⨯+++=....N ;...N .12121n n m m m m m m ＝理，（２）分步乘法计数原理，（１）分类加法计数原基本计数原理 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-+---=≤!A ;;!!1...21A ;.2n n m n m n m n n n n n m m n n
n m n （４）公式：排列个元素全部取出的一个（３）全排列：）（）＝（））（（（２）排列数公式：），按一定顺序排列个（个元素中任取（１）定义：从排列 ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+---==≤-+-.,C ;)!(!!!)1)...(2)(1(A A C ;)(.311m n m n n m n m n m n m n C C m n m n m m n n n n n m m n （３）性质：（２）公式：个，组成一组个元素中任取（１）定义：从组合 ⎪⎩
⎪⎨⎧∈≤≤=∈++++++=++-+--).,();(......).41*2210N r n r o b a C T N n b C b a C b C b a C a C b a r r n r n r n n n r r n r n n n n n n n （２）通项：（１）（１ 5.杨辉三角:o n C +1n C +…+n n C =2n .
学法指导
1.应用于解题时,先根据条件,确定问题分类标准.
2.确定是排列或是组合问题后,应确保所求问题的解答不重不漏.
3.二项式定理应用时,要注意通项公式.。
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
两个基本计数原理教案
§1.1 两个基本计数原理【学习目标】:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；【学习过程】一、情境引入：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法?二、新课导学：1. 分类计数原理(又称为加法原理)：完成一件事，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有_______________________________ 种不同的方法.2. 分步计数原理(又称为乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事有 __________________________种不同的方法.思考1：分类计数原理与分步计数原理的共同点，区别：三、例题欣赏：例1．一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？例2．(1) 在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？(2) 在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法例3．为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？(3) 密码为4-6位，每位均为0到9这10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？例4．如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,不同的涂色方案有多少种？变题1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变题2：若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？【针对训练】班级姓名学号1．某中学的一幢5层教学楼有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有___________不同的走法?2．在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有__________种?3．四名研究生各从A 、B 、 C 三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。
高中数学选修2-3第一章计数原理教案11分类加法计数原理和分步乘法计数原理.doc
1・1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）・教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.授课类型：新授课・课时安排：2课时・教具：多媒体、实物投彫仪.教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一•排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用冇关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的來说，就是研究按某一•规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课, 我们从具体例子出发來学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1・1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1・2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从卬地到乙地共冇多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法.（3）知识应用例1•在填写高考志愿表时，一名高中毕业牛了解到，A,B两所大学各有一些白己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B人学生物学数学会计学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共冇多少种选择呢？分析：由于这名同学在A , B两所人学屮只能选择一所，而且只能选择一个专业，乂由于两所大学没冇共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A , B 两所人学屮的--所.在A大学小有5种专业选样方法，在B大学中有4种专业选择方法.又由于没冇一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理, 这名同学可能的专业选择共有5+4=9 (种)・变式：若还冇C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在笫1类方案中有"种不同的方法，在第2 类方案中有®种不同的方法，在笫3类方案中有®种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有〃类不同方案，在每一•类中都有若T-种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在笫1类办法中有"种不同的方法，在笫2类办法中有加2 种不同的方法……在第n类办法中有加”种不同的方法.那么完成这件事共有7V = /% + 加2 + ° …+ m n种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立,用任何一类屮的任何一-种方法都nJ以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A2，-, B、，B?,… 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码:字母数字得到的号码/IZ2A?/犷A,A4As比A,\8£我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而它们各不相同，因此共冇6X9 = 54个不同的号码.探究：你能说说这个问题的特征吗？(2)发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N = mxn种不同的方法.(3)知识应用例2.设某班冇男生30名，女生24名•现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，冇24种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有30X24二720种不同的选法•探究：如果完成一件事需耍三个步骤，做第1步有“种不同的方法，做第2步有®种不同的方法，做第3步有加3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要〃个步骤，做每一•步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做笫1步有"种不同的方法，做笫2步有加2种不同的方法……做第n步有加“种不同的方法•那么完成这件事共冇N = m A x m2x • • • x m n种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存, 完成任何其小的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理界同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事耍分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只冇当各个步骤都完成后, 才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2木不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1木书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层小各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有笫1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先耍考虑的是取哪两个学科的帖，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书, 冇4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，冇3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =加］+ + m3 =4+3+2=9;(2 )从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层収1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N -加］x m2 x m3 =4 X 3 X 2=24 .(3) N = 4x3 + 4x2 + 3x2 = 26o例4.耍从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分別挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画屮选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步, 从3幅呦屮选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画屮选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3 X 2=6 ・6种挂法可以表示如下:左边左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙右边得到的挂法左丙右甲左丙右乙分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其屮各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤屮的方法互和依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.练习1.填空：(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会川第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是—；(2 )从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B 的路线有—条.2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.(1 ) 从屮任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C村，不同(2 )从3个年级的学生屮各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3.在例1中，如果数学也是A人学的强项专业，则A人学共有6个专业可以选择, B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有6 + 4 = 1()(种).这种算法有什么问题？例5•给程序模块命名，需耍用3个字符，其中首字符要求用字母A〜G或U〜Z,后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少个程序命名？分析：耍给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符.而首字符乂可以分为两类.解：先让算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+ 6= 13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9 = = 1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例6.核糖核酸(RNA)分子是在牛•物细胞屮发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链屮每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据. 总共有4种不同的碱基，分别用A, C, G, U表示.在一个RNA分子屮，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子分析：用图1. 1-2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U屮任选一个来占据.解:100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1-2所示.从左到右依次在每一个位置中，从A , C , G , U中任选一个填人，每个位置冇4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4-4••…4 = 4】°° （个）例7•电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只冇0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节來表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问: （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值祁有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解木题.解：（1）用图1.1-3來表示一个字节.第1位第2位第3位第8位图1 . 1 一3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2= 28 =256个不同的字符;（2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6 763个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符.前一个字节冇256种不同的表示方法，后一个字节也冇256 种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256X256 = 65536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.例&计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底冇多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多了模块组成.如图1.1-4,它是一个具冇许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？•开始•字模块丄字模块2 字模块3•18条执行略径45条执行酰径2B条执行路径•字模块•38条执行路径•給東图1. 1 一4分析：整个模块的任意-条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束•而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成;第2步可山子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91 （条）；了模块4或了模块5屮的了路径共有38 + 43 = 81 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有91X81 = 7 371 （条）.在实际测试屮，程序员总是把每一个了模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需耍的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再测试各个模块Z间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3X2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172 + 6=178 （次）・显然，178打7371的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例9•随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门岀台了一•种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉们数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解：将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母屮选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 X25X24X10X9X8=11 232 000 （个）.同理，字母纽合在右的牌照也有11232 000个.所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000 （个）.辆汽车上牌照.川两个★数原理解决计数问题时，最重耍的是在开始计算之前要进行仔细分析一需耍分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类示再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”一完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步Z间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1 •乘积（q +0 + Q3）（也+ b? + $）（q + C2 + C3 + C4 + C5）展开后共有多少项?2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字纟fl成，其屮前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
高中数学苏教版选修2-3第1章《计数原理》(1-5-1)ppt课件
＋
C
2 5
(2x)3·－23x2
2
＋
C
3 5
(2x)2·－23x2
3
＋
C
4 5
(2x)－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
法二
2x－23x2
5＝
4x3－35 32x10
1．5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
【课标要求】
1．能熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常 数项、有理项等)．
2．能正确区分“项”、“项的系数”和“二项式系数” 等概念．
【核心扫描】
1．二项式定理，掌握通项公式．(重点)
2．用二项式定理进行有关的计算和证明．(难点)
自学导引 1．二项式定理
＝
1 32x10
[C
0 5
(4x3)5＋C
1 5
(4x3)4(－3)＋C
2 5
(4x3)3·(－3)2＋C
3 5
(4x3)2·(－3)3＋C
4 5
(4x3)(－3)4＋C
5 5
(－3)5]＝
1 32x10
(1
024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
24
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
25
规律方法 熟练掌握二项式(a＋b)n的展开式，是解答好
与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可 先将式子化简，然后再展开．
高中数学教案选修2-3数学教案
技数原理，不同的选法数是 N 3 2 6 种，6 种选法可以表示如下：
日班
晚班
甲
乙
甲
丙
乙
甲
乙
丙
丙
甲
丙
乙
所以，从 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，6 种不同的选法
例 4，若分给你 10 块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？ n 块糖呢？
课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用 课堂练习： 课后作业：
1.1 基本计数原理
（第一课时）
教学目标：
（1）理解分类计数原理与分步计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点： （1）理解分类计数原理与分步计数原理 （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程 一、复习引入： 一次集会共 50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？ 某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？ 二、讲解新课： 问题 1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。已知当天 长途车有 2 班，列车有 3 班。问共有多少种走法？ 设问 1： 从济南到北京按交通工具可分____类方法? 第一类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法; ∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法 设问 2：每类方法中的每种一方法有什么特征？ 问题 2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有 3 种走法，从天 津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？ 从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤 第一步, 由济南去天津有___种方法 第二步, 由天津去北京有____种方法, 设问 2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1 分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有 K 种途径，由第 1 种途径有 n1 种方法可以完成， 由第 2 种途径有 n2 种方法可以完成，……由第 k 种途径有 nK 种方法可以完成。那么，完成这件工作共有 n1+n2+……+nK 种不同的方法。 1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！ 2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集！ 3 每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n1 种不同的方法，完成第 2 步有 n2 种不 同的方法，……，完成第 K 步有 nK 种不同的方法。那么，完成这件工作共有 n1×n2×……×nK 种不同方法 1 标准必须一致、正确。 2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。 3 若完成某件事情需 n 步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这 n 个步骤后, 这件事情才算完成。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》7
通过实例分析,让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并弄清它们之间的内在联系与主要区别,能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题; 2通过探究活动,使学生在经历两个原理发现的过程中,理解由特殊到一般的归纳推理思维,体会一般到特殊的演绎推理思维,培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和应用数学知识分析问题、解决问题的能力; 3通过合作交流,培养学生周密思考、细心分析的良好习惯,使学生在现实生活中面对复杂的现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而制订出完善的处理方案,体验数学知识的广泛应用性学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些简单的计数问题,已经具备了一定的归纳、类比能力,在平时的学习中会自学或不自觉地使用“分类〞和“分步〞的方法来思考和解决问题,这些都是学生学习两个计数原理的认知根底,形成了学生思维的“最近开展区〞两个计数原理深刻地反映了人类计数最根本的思想,即“分解〞的思想,具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去计数分类用加法原理,分步用乘法原理,单纯这点学生是容易理解的学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍,局部同学对乘法原理的运算结果难以理解这是需要在教学中着力解决的问题对于学生而言,“计数〞是其学习数学的根本能力之一,简单的计数问题,其解决方法就是“数〞数,但复杂的问题呢要使学生意识到,只会机械地“数〞是不够的,必须从简单的、已能解决的计数问题中,抽象出能够解决一“类〞问题的方法,并明确界定适用该方法的问题的“类〞学习的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程,从而掌握解决实际计数问题的流程,即:分析问题→构造方法→选择原理→解决问题学生学习的难点那么是在具体问题解决中,区别使用计数原理本节内容中的课本引例、例题和习题,学生通过预习大多都能看懂为了贴近学生实际生活,激发学生学习兴趣,在创设情境和例题的选用上,教学时选择了学生所熟悉的校园生活事例学生在合作交流中,对问题的理解可以得到互补完善从学生答复下列问题和学生间的相互评价中,使老师更多地了解学生的理解程度采用教师引导启发、学生分组合作学习的方式进行教学利用多媒体显示问题情境,让学生通过小组活动,具体地分析比拟,进而归纳总结,遵循从特殊到一般的思维过程,既关注学生的认知根底,又促使学生在原有认知根底上获取知识,学会思考,提高思维能力,保持高水平的思维活动,符合学生的认知规律凸显数学知识发生开展的过程,力求教学内容的生活化,创设真实、自然、贴近学生实际的教学情境,组织形式多样的教学活动,做到为用而学,在用中学自始至终地关注学生的情感、态度和价值观,充分利用直观、形象等图文并茂、灵活多样的教学方式,努力营造宽松、民主、和谐的教学气氛,让学生积极参与课堂活动,感受成功的喜悦【导入】设置情境，引入新课【活动】探索研究，形成概念评论问题1:要开学了, 通过查询,小高得知:从太仓到南京,一天当中适宜的直达高铁车有2个班次,直达客车有3个班次,那么一天中乘坐这些交通工具从太仓到南京会有多少种不同的直达方法问题2:小高想从南京大学两个学院中选择一个专业,那么他可能的专业选择有多少种问题3:从太仓到南京要途径常州, 上午从太仓去常州坐高铁有3个班次, 下午从常州到南京坐汽车有2个班次, 那么从太仓到南京要途径常州有多少种不同的方法问题4:小高去黄山时带有4件不同的外衣,3件不同的外裤,那么小明有多少种搭配穿衣的方法【设计意图】问题驱动,引导学生感知计数原理对4个问题,讨论它们的异同、特点,总结模型分类计数原理:如果完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m n 种不同的方法分步计数原理:如果完成一件事需要两个步骤,做第一步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m×n 种不同的方法问题5:小高因为优秀成为家里弟妹的典范,经常帮助弟妹解答疑难,这是表妹小红的问题:在由电键组A与B所组成的并联电路中,如图1,仅合上1只开关接通电路使电灯发光,有多少种不同的方法如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达图1图2 变式:如果电键组A、B组成如图3的串联电路中,仅合上2只开关接通电路,使电灯发光的不同方法有多少种如果再增添一组电键C呢继续添加呢在数学上该怎么表达【设计意图】推广模型,帮助学生建构计数原理分类计数原理加法原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有种不同的方法,在第2类方式中有种不同的方法,……,在第n类方式中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法活动3【活动】比拟归纳，深化概念评论问题6:两个计数原理有什么异同相同点:都是完成一件事的不同方法的种数的问题不同点:分类计数原理是将办事方法分为假设干类,每一类方法之间是相互独立的,用任一种方法都可以完成这件事情;而分步计数原理是将办事方法分成假设干步进行,各个步骤相互依存,必须是各个步骤都完成了,这件事情才完成问题7:区别分类和分步的依据是什么分类时各类方法都能独立完成这件事;而分步时每一步都不能独立完成这件事例题1小明在学校不仅认真学习,还非常积极地参加学校的活动,他竞选上了系文艺部长,现在需要举办一次艺术节活动,要在 3 名教师,8名男生和5 名女生当中1选出一人主持这个文娱演出,会有多少种不同的选法2如果需要教师、男生、女生各1人共同主持,有多少种不同选法3如果需要1名教师、1名学生来主持,会有多少种不同的选法例题2小明为了更好地和以前的教师及同学联络,上网注册了一个电子邮箱我们知道,在申请电子邮箱的时候,除了用户名还要有密码为了确保电子邮箱的平安, 在注册时,要设置电子邮箱密码,在某网站设置的信箱中: 1密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个2密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的一个,这样的密码共有多少个3密码为4—6位,每位均为0到9这10个数字中的一个,这样的密码共有多少个例题3 江苏省太仓高级中学社团活动很丰富，小高同学习小组的5名同学准备报名参加心理协会、辩论协会、推理协会，每人限报其中的一项且必须报一项，不同的报名方法有多少种？总结:请同学们思考解决计数应用问题的方法和步骤: 1、完成的这件事是什么2、如何完成这件事3、它们属于分类还是分步是否独立完成4、运用哪个计数原理5、进行计算【设计意图】通过这两个例题,让学生辨析两个计数原理的异同,初步掌握解决计数应用问题的策略活动4【练习】学以致用，培养能力评论练习1 生活中有很多的计数问题,那么现在你能举出一些用分类或是分步原理进行计数的例子吗请学生举例,视时间决定请2到3位学生如:学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤菜1假设你只吃一样菜,你有多少种选择2假设要配成一荤一素一汤的套餐,可以配制出多少种不同的品种4现有甲、乙、丙、丁4种不同的花供选种，要求在如图环形花坛里每块区域种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么有种不同的种法总数，请同学们课后思考区域变成4块或5块呢？5【活动】总结反思，感悟收获评论请同学们说说今天这堂课的收获, 最后总结: 一个中心问题:计数; 两个根本原理:分类加法原理,分步乘法原理; 三个核心关键:完成怎样的一件事,需要分类,还是分步。
高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.1(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
解
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这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所．在 A 大学中
有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由 于两所大学没有共同的强项专业， 因此根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 5＋4＝9.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A
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大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12.
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【学习要求】 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
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2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 【学法指导】 两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基 本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与 分步.
填一填·知识要点、记下疑难点
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两个计数原理 1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
1.1两个基本计数原理(1)
例题: 例题: 用四种颜色给如图所示的地图上色， 用四种颜色给如图所示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 要求相邻两块涂不同的颜色，共有 多少种不同的涂法？ 多少种不同的涂法？
练习: 练习: 书架上原来并排放着5 书架上原来并排放着5本不同的 现要插入三本不同的书， 书，现要插入三本不同的书，那么 不同的插法有多少种？ 不同的插法有多少种？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地， 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 种不同的走法。 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
加法原理） 分类计数原理 （加法原理）
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n类办法， 在第一类办法中有m 种不同的方法， 在第一类办法中有m1种不同的方法，在 第二类办法中有m 种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法，……， ， 在第n类办法中有m 种不同的方法． 在第n类办法中有mn种不同的方法． 那么完成这件事共有 ____________________种不同的方法 种不同的方法． ____________________种不同的方法． N＝m1十m2十…十mn ＝ 十 要点： 分类， 要点： （1）分类， 相互独立（并联） （2）相互独立（并联） （3）各类办法之和
3.把四封信任意投入三个信箱中, 3.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 把四封信任意投入三个信箱中 ( A. 12 B.64 C.81 ) D.7
4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车 4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站， 火车上有10名乘客 的可能方式有 （ ）种 A. C. 510 50 B. 105 D. 以上都不对
1.1 两个基本计数原理
两个基本计数原理一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能够利用两个基本计数原理解决一些简单的计数问题。
2、过程与方法：经历由实际问题归纳概括出两个基本计数原理。
体验发现数学、应用数学的过程。
3、情感态度价值观：体会数学源于实际并应用于实际的道理，提高学生学习数学、研究数学的兴趣。
二、教学重、难点1、教学重点：如何从实际问题中总结得出两个基本计数原理，并应用原理更加方便的解决实际问题。
2、教学难点：如何正确选择计数原理解决问题。
三、教学过程教师活动教学过程学生活动同学们还记不记得我们高中数学第一个知识点讲的是什么？集合计数在我们生活中是广泛存在的，那么我们如何计数？如何更好地计数？这节课我们就一起来学习两个简单的计数方法。
假期要到了，同学们是想外出旅游呢，还是想回家呢？不管是外出还是回家，都要面临一个问题，那就是乘车。
（一）引入思考：2元集合A={aa21、}的子集有多少个？n元集合A={a1、aa n2⋯⋯}}的子集有多少个？总结：这就是我们数学上的一类问题，计数问题。
（二）讲新问题一：从重庆到贵州，可坐直达火车火车和直达汽车，火车有2个班次，汽车有3个班次，那么从重庆到贵州共有多少种不同的方法？思考对于一般情况，如果完成一件事有n 类不同方案呢？强调：分类加法的核心在于：将解决问题的方案分类，每一类中的每一种方法都能直接完成这件事。
我们知道，重庆有很多特产，回家呢，我想给我家人买一些重庆的特产回去。
从重庆坐直达车可以到贵州，但是呢，车费比较贵，如果去武隆转车的话会节约大概一半的车费分析：1、要我们完成的事情是什么？2、完成这个事情有几类方法？3、每类方法能否独立完成这件事情？4、每类方法中分别有几种不同的方法？5、完成这件事情共有多少种不同的方法？2+3=5 种思考：你能举出类似的例子吗？总结：都是为了完成一件事。
完成一件事情，有两类不同方案第1类方案有m种不同方法第2类方案有n种不同方法那么，完成这件事情共有m+n种不同方法。
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唐玲 学 习 资 料 专 题 1.1 两个基本计数原理 第1课时 分类计数原理与分步计数原理
1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车． 问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？ 提示：两类，即乘飞机、乘火车． 问题2：这几类方法相同吗？ 提示：不同． 问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？ 提示：7＋5＝12(种)． 2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球． 问题4：不同的摸法有多少种？ 提示：3＋5＝8(种)． 3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员． 问题5：不同选法的种数为多少？ 提示：26＋24＝50.
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2
种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…唐玲
＋mn种不同的方法. 1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车． 问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？ 提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京． 问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？ 提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系． 问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？ 提示：7×5＝35 种． 2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}． 问题4：能组成的集合{x，y}的个数为多少？ 提示：3×3＝9(个)． 3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员． 问题5：不同的选法的种数为多少？ 提示：26×24＝624种．
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情． 2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积． 唐玲
[例1] 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？ [思路点拨] 先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和． [精解详析] 从中选1人去献血的方法共有4类： 第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法； 第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法； 第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法； 第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法． 利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法． [一点通] 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种． 解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法． 答案：4 2．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________． 解析：假设另两边长分别为a，b(a，b∈Z)，不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1，2，3，…11；当b＝10时，a可取2，3，…，唐玲
10；当b＝6时，a只能是6. 故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 答案：36 3．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学
生物学 数学 化学 会计学 数学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4
＝9(种).
[例2] 要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？ [思路点拨] 该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行． [精解详析] 先排第一天，可排5人中任一人，有 5 种排法； 再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法； 再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法； 同理，第四、五天各有 4 种排法． 由分步计数原理可得值班表不同的排法共有： N＝5×4×4×4×4＝1 280 (种)．
[一点通] 利用分步计数原理解决问题应注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 唐玲
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事． 4. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．
解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法． 答案：216 5．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________． 解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步： 第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法； 第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法． 故共有4×3＝12种不同的配法． 答案：12 6．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？ (2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？ 解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36. (2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.
[例3] 有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加． 唐玲
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ [思路点拨] (1)从老师、男、女同学中选 1人，用分类计数原理． (2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理． (3)分类计数原理与分步计数原理的综合． [精解详析] (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法． 由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法． (3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法． 由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法． [一点通] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条． 解析：解决这件事分两类完成： 第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条； 第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成． 第1步，确定A的值，有4种不同的方法； 第2步，确定B的值，有3种不同的方法． 由分步计数原理，共可确定4×3＝12(条)直线． 所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)． 答案：14 8．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法． 唐玲
解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法． 答案：40 9．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？ (2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？ 解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类： 第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法． 根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法． (2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成： 第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法； 第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法． 由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
1．利用分类计数原理解题的步骤 (1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏； (2)计数：求出每一类中的方法数； (3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果． 2．利用分步计数原理解题的步骤 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．