《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学案
线面平行导学案
§2.2.1 直线与平面平行的判定主备人：（） 审核人：（）审核领导第一课时一、课标及考纲要求：1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理；2.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；二、教学重点、难点直线与平面平行的判定定理及应用。
三、 教学过程设计：（一）创设情景、揭示课题引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知 1、投影问题 直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行， 那么α与a 的位置关系如何？是否可以保证直线a 与平面α平行？ 探究：（1）这两条直线共面吗？（2）直线a 与平面α相交吗？探究发现：直线a 与直线b 共面，直线a 与平面α____________相交(填可能与不可能)， 直线a 与平面α_______________(填位置关系) 学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示： a ααb α => a ∥α a ∥b例1 已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．（引导学生思考后，师生共同完成） 证明：连结BD ，在ABD ∆中，αa α ab F EA∵,E F 分别是,AB AD 的中点，∴//EF BD ，EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面， ∴//EF BCD 平面．该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维1、已知直线a,b ，平面α,a ∥b ,a ∥α.则b 与α的位置关系是（ ） A 、b ∥α B 、b ⊂α C 、b ∥α或 b ⊂α D 、b 与α相交2、下列命题正确的是（ ）A 、若直线a 平行于平面内的无数条直线，则a ∥α。
线面平行判定导学案
线面平行学案莒县实验高级中学一、学习目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理；（2）能应用定理证明简单的线面平行问题。
2、过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理。
3、情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、重点、难点重点：直线和平面平行的判定定理与性质定理的归纳及其应用。
难点：直线和平面平行的判定定理与性质定理的探索过程及其应用。
三、学法学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理与性质定理。
四、【自主探究一】【回顾知识，提出问题】1、（1）空间中直线与平面有哪几种位置关系？（分别用文字语言、图形语言、符号语言表示）（2）你能从生活中举几个直线与平面平行的实例吗？（3）当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门轴所在平面具有什么样的位置关系呢？（4）观察“书本模型”： 将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？【发现问题】1、门扇两边所在的直线有什么样的位置关系呢？2、书的硬皮封面的对边所在的直线有什么样的位置关系呢？【探究问题】3、如右图，平面α外的直线a 平行平面α内的直线b ，则： （1）直线a 和直线b 共面吗？ （2）直线a 与平面α相交吗？【解决问题】4、直线与平面平行的判定定理：【知识挖掘】 （1）定理的____个条件缺一不可，用六个字刻画为_______、_______、_______ （2）判定定理简记为：________________________ （3）数学思想方法：空间问题________平面问题【自主探究二】【提出问题】观察教室顶面与墙的交线，它与地面什么关系?它与地面和墙之间的交线什么关系？【解决问题】1.直线与平面平行的性质定理：2.线面性质定理的符号语言： 。
5.2平行关系的性质导学案
5.2平行关系的性质自主备课 学习目标1. 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
学习重点：两个性质定理学习难点：性质定理的证明；性质定理的正确运用。
自主学习阅读课本,回答以下问题1、如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内所有直线平行吗？2、分别位于两个平行平面内的直线有什么位置关系？3、两个平面互相平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？4、若一个平面与两个平行平面同时相交，则交线有什么位置关系？41-65,,,////,,,.A B C D AB AC BD AC BD C D AC BDαα=例题如图在同一平面内，面， 且与面分别交于点求证： A BC Dα12..//..//b a b b A B b C b D b b αααααααα≠≠≠⊂⊂⊂课本练习、如果直线a//平面，直线，那么与一定平行吗？为什么？、如果直线a//直线b,且a//平面，那么与的位置关系是（）相交 或5-l ,,,,623A B C D E F AB BC EF αβγαβγαβγ===例题 如图168，平面，，两两平行，且直线与，， 分别交于点。
直线m 与，，分别交于， ，，，求DE 的长αβγ1,2ααααααααα课本练习题、已知两条直线m,n 及平面，判定下面四个命题是否正确：（1）若m//,n//,则m//n（2）若m//,m//n 则n// （3）若m//,则m 平行于内的所有直线（4）若m 平行于内无数条直线，则m//、如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条 直线与另一个平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.在平面内D.平行或在平面内3、如果3个平面把空间分成4个部分，那么这3个平面有怎样 的位置关系？分成6部分呢？G F D E CB A l m自学检测1、已知直线L∥平面α，直线m在平面α内，则直线L和m的位置关系是()A．相交B．平行C．平行或异面D．异面⊂α，点B∈β，则在β内过点B 2、若平面α∥平面β，直线a≠的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3、如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（）A 只和这个平面内一条直线平行；B 只和这个平面内两条相交直线不相交；C 和这个平面内的任意直线都平行；D 和这个平面内的任意直线都不相交。
04直线与平面平行判定定理和性质定理 (教案教学设计导学案)
⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.
正确命题是________(填序号)．
5．下列说法正确的个数是________．
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α；
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行；
1．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝ ，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
2．已知直线m，n及平面α，β，有下列关系：
①m，n⊂β；②n⊂α；③m∥α；④m∥n.
现把其中一些关系看作条件，另一些关系看作结论组成一个正确的结论，应是________．
7．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
8．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交
4．如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()
A．MN∥PDB．MN∥PA
C．MN∥ADD．以上均有可能
5．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
⇒α∥β
三、线面平行的性质定理
表示
位置
图形
文字
符号
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则
高中数学必修二《线面平行、面面平行的证明》导学案
1线面平行、面面平行的证明导学案<一>、知识点梳理(1)线面平行的判定定理:////,,a ba ba .(2)线面平行的性质定理:b a b aa //,,//.(3)面面平行的判定定理:////,//,,,b a P baba(4)面面平行判定定理推论：////,//,,,,,,d b c a Q dc P badc ba (5)面面平行判定定理推论：////,//(6)面面平行的性质定理:b a ba //,,//.(7)面面平行的证明还有其他方法: //,,a a.[基础自测]1．(教材习题改编)若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是()A ．a 平行于α内的所有直线B ．α内有无数条直线与a 平行C ．直线a 上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 垂直2．设m ，l 表示直线，α表示平面，若m?α，则l ∥α是l ∥m 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(教材习题改编)已知不重合的直线a ，b 和平面α，①若a ∥α，b?α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b?α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b?α，上面命题中正确的是________(填序号)．<二>、例题分析考点1：线面平行例1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点 E 是PD 的中点.求证：PB//平面AEC ；变式练习1：(2012·东北三校联考)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；ABCDEP。
2.2直线、平面平行的判定及其性质
§2.2直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理3.考点一 线面平行、面面平行的基本问题例1．(1)有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 (2)．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点二 直线与平面平行的判定与性质例2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．变式：如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .考点三 平面与平面平行的判定与性质例3.如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．变式：如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点． 求证：(1)平面AD 1E ∥平面BGF ；(2)D 1E ⊥AC .例4. 如图，直三棱柱'''ABC A B C -，90BAC ︒∠=，AB AC ==1AA '=，点,M N 分别为'A B 和''B C的中点. (1)证明：MN ∥平面''A ACC ；(2)求三棱锥'A MNC -的体积。
高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1） 求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________； 答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。
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第5课时 直线与平面、平面与平面平行的性质 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明. 2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.
如图,足球门的上边框与地面平行,我们发现不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么原因吗?
问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,因为太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的 ,影子恰好是 与地面的 ,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子. 问题2:直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言: 线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 .
符号表示:错误！未找到引用源。⇒ .图形: 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 平行.用符号语言表示为:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.
问题3:面面平行的其他性质: ①若两个平面平行,则一个平面内的 都和另一个平面 .这条性质,给我们提供了证明 的另一种方法,可以作为 运用.
②夹在两平行平面间的两条平行线段 ,这一点和平面内夹在两条平行线之间的 类似.
③和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于 的两个平
面 .该性质同时是 的一种判定方法. 问题4:线线、线面、面面平行如何相互转化: 由上可以看出三者之间可以进行适当转化,即由两相交直线和平面平行可以推出两个 ;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出 .直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了知识间的相互依赖关系.
1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线( ). A.只有一条,不在平面α内 B.有无数条,不一定在α内 C.只有一条,且在平面α内 D.有无数条,一定在α内 2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( ). A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有 条. 4.已知在三棱锥P-ABC中,D,E 分别是PA,PB上的点,DE∥平面ABC,求证:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
线面平行的性质和判定的综合应用 底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.
空间中两直线平行的证明 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行. 面面平行的性质定理的应用 如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN∥平面α.
如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证: AE∥平面BC1D.
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH. 如图,直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截.求证:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 1.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( ). A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不可能有 2.下列命题不正确的是( ). A.若两个平面没有公共点,则这两个平面平行 B.若两个平面平行于同一条直线,则这两个平面平行 C.若两个平面都平行另一个平面,则这两个平面平行 D.若一个平面内任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 3.已知两平行平面α、β间的距离为2,点A∈α,B∈β,且AB的长为4.若A为α内的定点,B为β内的动点,则点B运动所形成的图形是 .
4.已知:如图,平面α、β满足α∥β,A、C∈α,B、D∈β,E∈AB,F∈CD,AC与BD异面,且错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.求证:EF∥β. 如图三棱锥A—BCD,在棱AC上有一点F. (1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行; (2)求证该截面为平行四边形.
考题变式(我来改编):
答案 第5课时 直线与平面、平面与 平面平行的性质 知识体系梳理 问题1:一个平面 光线所在平面 交线 问题2:平行 a∥b 交线 问题3:①任一条直线 平行 线面平行 判定定理 ②相等 平行线段相等 ③同一个平面 平行 面面平行
问题4:线线平行 面面平行 平面平行 直线和平面平行 基础学习交流 1.C 设直线a与点P确定的平面为β,则β与α的交线b就是与直线a平行的直线.由β的唯一性知直线b也是唯一的.
2.D 由直线a与点B确定的平面γ与β的交线b,就是与直线a平行的直线.由γ的唯一性知直线b也是唯一的. 3.2 以直线a为轴,以2d为半径,作一个圆柱,则圆柱面与β的两条交线与直线a相距2d. 4.解:因为DE∥平面ABC,DE⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以DE∥AB,所以在△PAB中,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 重点难点探究 探究一:【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.
因为D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB. 又因为B1C1∥BC且B1C1=BC,
所以B1C1∥EB且B1C1=EB.
所以四边形EBC1B1是平行四边形,
即EB1∥BC1.因为AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.
又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.
【小结】本题给出证明线面平行的另一种方法:要证明线面平行可以先证明过直线的平面与另一平面平行,即面面平行⇒线面平行. 探究二:
【解析】已知:如图所示,a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b. 证明:在平面α内任取一点A,且A∉b, ∵a∥α,∴A∉a,
∴过a和A只有一个平面γ,设γ∩α=m,
∵a⊂γ,∴a∥m,
同理,在平面β内任取一点B,且B∉b, 则B和a确定平面δ,设δ∩β=n, 则a∥n,∴m∥n. ∵m⊄β,n⊂β,
∴m∥β. 又∵m⊂α,α∩β=b,∴m∥b, 又∵m∥a,∴a∥b. 【小结】本题解法的最大特点就是线面平行的判定和性质的交替应用,这也是该类问题的通法,即证明线线平行的问题往往可先证明线面平行,再由线面平行证出线线平行. 探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC. ∵α∥β,
∴AC∥BD. 又∵M、N为AB、CD的中点, ∴MN∥BD. 又∵BD⊂平面α, ∴MN∥平面α. (2)若AB、CD异面,过A作AE∥CD,交α于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED. ∵AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC,且与α、β的交线为ED、AC.
∵α∥β,∴ED∥AC. 又∵P、N分别为AE、CD的中点, ∴PN∥ED,∴PN∥平面α,
同理可证,MP∥BE,∴MP∥平面α,
∴平面MPN∥平面α. 又∵MN⊂平面MPN, ∴MN∥平面α. 【小结】本题的解题思路是由面面平行得线面平行,这是证明线面平行的一种基本思路.在本题的解答时容易忽略对AB、CD位置关系的讨论. 思维拓展应用
应用一:∵ABDCD1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,
∵AD1⊄平面BC1D,BC1⊂平面BC1D,
∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D. ∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1. 又∵AE⊂平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.
应用二:如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点.
又M是PC的中点, ∴MO∥PA. 又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM, ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH, ∴AP∥GH. 应用三:(1)当AC、DF共面时, 连接AD,BE,CF, 则AD∥BE∥CF.
从而错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. (2)当AC、DE异面时,连接CD,设CD∩β=G, 连接AD、BG、GE、CF, ∵α∥β,平面ACD∩β=BG,平面ACD∩α=AD,
∴BG∥AD,∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 同理可证:EG∥CF,∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, ∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 综合(1)(2)知:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 基础智能检测 1.B 设平面α内的n条直线交于一点P,过直线a与点P的平面与α只有一条交线,所以这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条. 2.B 若两个平面平行于同一条直线,这两个平面可能相交,也可能平行,B不正确. 3.以A在β上的射影为圆心,2错误！未找到引用源。为半径的圆 以A为球心,以4为半径作球,该球与β的交线就是圆,其半径为错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。.
4.解:连接AD,在AD上找分点G,使错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,连接EG、FG.又错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,∴EG∥BD,∴EG∥β,
由错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,得FG∥AC,AC∥β,FG⊄β,
∴FG∥β,FG∩EG=G,
∴平面EFG∥β,
∴EF∥β. 全新视角拓展 (1)在平面ABC中,过点F作FG∥AB交BC于点G,在平面ACD中,过点F作FE∥CD交AD于点E,在平面ABD中,过点E作EH∥AB交BD于点H,则截面EFGH为所求.
(2)∵FG∥AB,EH∥AB, ∴FG∥EH. ∵EF∥CD,CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,
∴EF∥平面BCD. 又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=GH,