信号与线性系统 第8讲
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南京理工大学《信号与系统》ppt第8章
第8章 离散时间系统的时域与 变换域分析
8.1 离散时间系统与差分方程 8.2 常系数线性差分方程的求解
8.3 离散系统的单位样值响应和系统函数 8.4 离散系统的频响特性 8.5 数字滤波器的原理与结构 8.6 应用MATLAB分析离散时间系统
1
8.1
离散时间系统与差分方程Fra bibliotek8.1.1 线性时不变离散时间系统 离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器，当输入 信号x[n]经过该离散系统后，将变换成另一个序列------输 出信号y[n]，其框图如图8.1-1所示。
2 2 1 1
y1[n] y2 [n]
该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。 （3）假设输入信号为x[n]= x1[n-m]，则输出信号为
M 1 y[n] T[ x1[n m]] x1[n m k ] y1[n m] M1 M 2 1 k M
2 1
例8.2-4 求差分方程
y[n] 2 y[n 1] 3 y[n 2] x[n]
的完全解。
2 x [ n ] n u[n] ，且边界条件为 y[1] 1 , y[2] 0 其中
解：（1）齐次解为 yh [n] C1 3n C2 (1)n
2 x [ n ] n u[n] 代入差分方程的右端，得自由项为 （2）将
数乘单元：输入为y[n-1]，输出为ay[n-1]；
加法器单元：输入为x[n]和ay[n-1]，输出为y[n]。 因此，针对加法器可以写出： y[n] = x[n] + ay[n-1] 移项整理可得： y[n]-ay[n-1] = x[n]
(8.1-2)
-----一阶常系数线性后向差分方程
8.1 离散时间系统与差分方程 8.2 常系数线性差分方程的求解
8.3 离散系统的单位样值响应和系统函数 8.4 离散系统的频响特性 8.5 数字滤波器的原理与结构 8.6 应用MATLAB分析离散时间系统
1
8.1
离散时间系统与差分方程Fra bibliotek8.1.1 线性时不变离散时间系统 离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器，当输入 信号x[n]经过该离散系统后，将变换成另一个序列------输 出信号y[n]，其框图如图8.1-1所示。
2 2 1 1
y1[n] y2 [n]
该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。 （3）假设输入信号为x[n]= x1[n-m]，则输出信号为
M 1 y[n] T[ x1[n m]] x1[n m k ] y1[n m] M1 M 2 1 k M
2 1
例8.2-4 求差分方程
y[n] 2 y[n 1] 3 y[n 2] x[n]
的完全解。
2 x [ n ] n u[n] ，且边界条件为 y[1] 1 , y[2] 0 其中
解：（1）齐次解为 yh [n] C1 3n C2 (1)n
2 x [ n ] n u[n] 代入差分方程的右端，得自由项为 （2）将
数乘单元：输入为y[n-1]，输出为ay[n-1]；
加法器单元：输入为x[n]和ay[n-1]，输出为y[n]。 因此，针对加法器可以写出： y[n] = x[n] + ay[n-1] 移项整理可得： y[n]-ay[n-1] = x[n]
(8.1-2)
-----一阶常系数线性后向差分方程
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
信号与系统课件：第八章 通信系统
由三角恒等式
cos
ct
cos
ct
=
1 2
cos
+
1 2
cos
2ct
有 wt y t cos ct x t cosct cos ct
1 2
x
t
cos
1 2
x
t
cos
2ct
高频信号
现在
r t x t cos
两个特殊情况：
1） = 2，本振是载波的90度异相的，
r t 0, 信号是不可恢复的；
v(t) x(t) jxp (t)
V
(
j)
2 0
X
()
>0 <0
用 v(t)对复指数载波信号 e j0t 进行幅度调制
z(t) v(t)e j0t v(t)[cos(0t) j sin(0t)] (带通解析信号) Z ( j) V ( j( 0 ))
Z
(
j
)
2 0
X
(
j
(
0 )) <0
0 ,
从已调信号y(t)中恢复原始信号x(t)的过程称为解调.
xt yt
yt xt
e jct
e jct cosct j sin ct
e jct
正弦幅度调制
xt yt
cos ct
Y
j
1
2
X
j
c
c
Hale Waihona Puke 1 2Xj
c
1 2
X
j
c
按假设绘图
c M
正弦幅度调制的同步解调
先假设 =0
频分多路复用（FDM）
（例子：广播信号和模拟移动电话）
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统课件第八章
A2 z 2
A0 x(0), A1 x(1), A2 x(2)
例1、
F(z)
z2 z2 1
1 1 z2
1 z2 z4 z6
k0 1 2 3 4 5 6 101010
写成通式： f (k) 1 1 1k u(k) 2 优点：方便迅速，缺点：只能写出前几项的系
数不易得到通项。
域包括单位圆。
8、单位Z 变换的性质
在双边的情况下：
x(n n0 ) Z n0 X (z) 而在单边情况下
① 右移序列
Z
若 x(n)u(n) X (z) 对于 m 0
1
则有 x(n m)u(n) Z m X (z) Z m x(k)Z k km
当m=1，2 的情况下
x(n 1)u(n) z1 X (z) x(1)
(4) nu(n) z (z 1)2
z 1 z 1 z 1
同一个F(z) 不同的收敛 域，则有不 同的序列函 数
(5) anu(n)
1 1 az1
z za
z a
(6) anu(n 1)
1 1 az1
z za
z a
§ 8.3 Z 变换的性质
1、线性性质
x1(n) X1(z) Roc R1
x2 (n) X 2 (z) Roc R2 则a1 x1(n) a2 x2 (n) a1 X1(z) a2 X 2 (z)
Roc R1 R2
R1 R2 表示：R1和R2 相交的部分，但不一定变
小，亦可能扩大。
例1、求序列 anu(n) anu(n 1) 的 Z 变换。
解：已知：anu(n) z za
z a
而 anu(n 1) anu(n 1)zn anzn
清华大学信号与系统课件第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析
3
1
Re[ z ]
3
课件
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
lim n ( 3 z ) n 1
Re[ z ]
n
1 z 3 R x2
收敛半径
1 3
圆内为收敛域，
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
z0
z
1 3
2020/4/4
7阶极点
一阶极点
课件
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
n0
n0
liman1 az1
a n n
a
z
a
z
a
z
limn az1n az1
n
2020/4/4
课件
5
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有(n)zn nn1
n0
(r ) z (r m) z m
信号与系统-第8章
高频渐近线为斜率为40dB/10倍频的直线， 它与低频渐近线交于=1/T2处。
1/T2称为交接频率（断点）。
G2 ( )
40
20 1 -20 -40 10 102 103
1.系统函数的极点与时域特性的关系 （1） 若一阶极点位于s平面的坐标原点
（2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ， 且极点为负实数，p=-a<0
（3） 若一阶极点位于s平面的实轴， 且极点为正实数，p1=a>0
（4） 若有一对共轭极点位于虚轴， p1=jω0及p2=-jω0
（5） 若有一对共轭极点位于s左半平 面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0
应用拉普拉斯变换求解微分方程
• 当电路或系统的输入输出微分方程 已知时，可直接对微分方程应用单边拉 普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域 输出 Y(s) ，对其取逆变换得到时域解 y(t) 。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。 通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换 可以避开烦琐的求解微分方程的过程。 特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法 可以使计算量大大减小。
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
二次因式的幅频特性的对数增益为
1 2 2 2 2 G 20lg 2 20lg 1 T2 2T2 T2
1 1 G 20lg j 20lg 1 2T12 T1 T1
1 2 2 20lg 10lg(1 T1 ) T1
1 G( ) 20 lg 10 lg(1 2T12 ) T1
1/T2称为交接频率（断点）。
G2 ( )
40
20 1 -20 -40 10 102 103
1.系统函数的极点与时域特性的关系 （1） 若一阶极点位于s平面的坐标原点
（2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ， 且极点为负实数，p=-a<0
（3） 若一阶极点位于s平面的实轴， 且极点为正实数，p1=a>0
（4） 若有一对共轭极点位于虚轴， p1=jω0及p2=-jω0
（5） 若有一对共轭极点位于s左半平 面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0
应用拉普拉斯变换求解微分方程
• 当电路或系统的输入输出微分方程 已知时，可直接对微分方程应用单边拉 普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域 输出 Y(s) ，对其取逆变换得到时域解 y(t) 。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。 通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换 可以避开烦琐的求解微分方程的过程。 特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法 可以使计算量大大减小。
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
二次因式的幅频特性的对数增益为
1 2 2 2 2 G 20lg 2 20lg 1 T2 2T2 T2
1 1 G 20lg j 20lg 1 2T12 T1 T1
1 2 2 20lg 10lg(1 T1 ) T1
1 G( ) 20 lg 10 lg(1 2T12 ) T1
信号与线性系统-8
信号与线性系统-8(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：22，分数：100.00)绘出下列离散信号的图形。
（分数：8.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解是一个公比为的等比序列，且该序列起始于k=0。
其图形如图(a)所示。
(2).2δ(k)-ε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列也是起始于k=0的，其图形如图(b)所示。
2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列可看做是对连续时间信号(1+sin(2πt))ε(t)以每周期取16个样本点而得到的，故其图形如图(c)所示。
(4).k(2) -kε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解此序列起始于k=1，其图形如图(d)所示。
绘出下列离散信号的图形。
（分数：8.00）(1).k[ε(k+4)-ε(k-4)]（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解因故此信号的图形如图(a)所示。
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：
1
X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n
z z a1
当
z a1
j Im{z}
anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)
[(1)n
(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为
1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n
信号与系统教案第8章参考幻灯片
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
第8-6页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中6 心
信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析03.10.2020
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写
二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立 8.4 连续系统状态方程的解 8.5 离散系统状态方程的解
点击目录
第8-1页
，进入相关章节
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信号与系统 电子教案
03.10.2020
第八章 系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
三个内部变量和激励求
u(t)R2iL2(t)uS2(t)
iC(t)iL1(t)iL2(t)
出：
一组代数方程
第8-4页
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信号与系统 电子教案 状态与状态变量的定义
8.1 状态变量与状态方程 03.10.2020
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析03.10.2020
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写
二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立 8.4 连续系统状态方程的解 8.5 离散系统状态方程的解
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信号与系统 电子教案
03.10.2020
第八章 系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
三个内部变量和激励求
u(t)R2iL2(t)uS2(t)
iC(t)iL1(t)iL2(t)
出：
一组代数方程
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信号与系统 电子教案 状态与状态变量的定义
8.1 状态变量与状态方程 03.10.2020
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。