2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三下学期第二次高考适应性考试数学(文)试题
四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(理)试题(解析版)
四川省宜宾市第四中学高2020届第二次高考适应性考试理科数学一､选择题1.已知集合(){}ln 1A x y x ==-,{}240B x x =-≤,则AB =A. {}2x x ≥- B. {}12x x <<C. {}12x x <≤D. {}2x x ≥C可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．(){} ln 1{|1}A x y x x x ==-=＞，{}{}24022B x x x x =-≤=-≤≤；∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．故选C ． 2.已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A.B. 1D.12A根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+ 所以z == A3.某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（）A. 96B. 72C. 48D. 36B根据分层比例列式求解. 由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 4.已知向量a ，b 的夹角为2π，且()2,1a =-，2b =，则2a b +=（ ） A. B. 3C利用222(2)ab a b +=+计算．由已知22(a =+=cos02a b a b π⋅==，∴222(2)a b a b +=+222244(5)4221a a b b =+⋅+=+⨯=， ∴221a b +=．故选C ．5.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度D通过变形sin 2sin 2(())612x x f x ππ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦，通过“左加右减”即可得到答案. 根据题意sin 2sin 2(())612x x f x ππ⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦，故只需把函数sin2y x =的图象 上所有的点向右平移12π个单位长度可得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故答案为D.6.若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A. 52B. 1C. 2D. 0C画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C7.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A. －30 B. －40 C. 40 D. 50C先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221rrrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r=，可得23x y 的系数为()33252140C -=-； 令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.故选：C .8.已知双曲线C ：2221y x b-=的一条渐近线过点(,4)b ，则C 的离心率为（ ）A.5 B.32C. 5D. 3C求得双曲线的渐近线方程，由题意可得2b =，再由离心率公式，计算可得所求值．双曲线2221y C x b-=：的渐近线方程为y bx =±，由题意可得24b =，可得2b =， 则双曲线的离心率为145ce a==+=．故选C ． 9.若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A. 0B. 2-C. 52-D. 3-C试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立， ∵y=-x-1x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数 ∴115222x x --≤--=- ∴a≥-52∴a 的最小值为-52故答案为C ． 由三视图还原原几何体如图，可知该几何体直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体体对角线长为22222223++=．∴该三棱柱外接球的半径为3． 体积V 34(3)433ππ=⨯=．故选B ． 11.已知ABC 是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A. 2-B. 32-C. 43-D. 1-B以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量PA ，PB ，PC ，得到2()22(3)⋅+=--PA PB PC x y y ，进而可求出结果.如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--， 所以(2,2)PB PC x y +=--，222333()22(3)22(222⋅+=-=+---PA PB PC x y y x y ≥， 当3P 时，所求的最小值为32-.故选：B12.函数()()3132x f x x x e x =---在区间[)(]3,22,3-⋃上的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5C令()()31302xf x x x e x =--=-，得()22123xx x e x -=-，在坐标系中分别作出函数()()22x g x x x e =-，()213h x x =-的图像，则两个图像的交点个数即()f x 的零点个数．令()()31302xf x x x e x =--=-，得()22123x x x e x -=-. 设()()22x g x x x e =-，()213h x x =-.()()22e xg x x '=-.当32x -≤<-时，()0g x '>；当22x -<<时，()0g x '<；当23x <≤时，()0g x '>.所以()gx 的极小值为()()()222222g eh=-<，极大值为()()()222222geh --=+>-，又()()3151336g h e -=>=-，()()33g h >，且()h x 在)3,3⎡--⎣，()3,0-上单调递增， 在()0,3，(3,3⎤⎦上单调递减.结合这两个函数的图象，可知这两个函数的图象共有4个交点，从而()[)(]3,22,3f x -⋃上共有4个零点.函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标；常用解题方法有：直接作函数()y f x =的图像，直接解方程()0f x =，分离参变量，分离函数（如本题：令()0f x =得到()y g x =，()y h x =两个函数）．二､填空题13.已知直线1l ：30kx y ++=，2l ：30x ky ++=，且12l l //，则k 的值______.1-根据两直线平行列关于k 的方程，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l //，即可得出实数k 的值.直线1l ：30kx y ++=，2l ：30x ky ++=，且12l l //， 则11k k⨯=⨯，解得1k =-或1.当1k =时，1:30l x y ++=，2:30l x y ++=，两直线重合，不合乎题意；当1k=-时，1:30l x y -++=，即30x y --=，2:30l x y -+=，两直线平行，满足题意.因此，1k=-.故答案为：1-14.不等式sin 2cos21x x +>在区间[0,2]π上的解集为__________．5(0,)(,)44πππ⋃原不等式可化为sin(2)42x π+>，利用正弦函数的性质和整体法可求其解集.由sin 2cos21x x +> 有sin(2)4x π+>， 所以3222,444k x k k Z πππππ+<+<+∈ ， 解出,4k x k k Z πππ<<+∈，又[]0,2x π∈，所以04x π<<或54x ππ<<，故解集为5(0,)(,)44πππ⋃. 故答案为：5(0,)(,)44πππ⋃. 15.已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为_____.解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率．若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==.若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，同理可得e =16.已知函数()12y f x =+-（R x ∈）为奇函数，()211x g x x -=-，若函数()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1miii x y =+∑=________.3m分别判断函数()f x 与()g x 的对称性，结合函数的对称性进行求解即可． 解：因为函数(1)2y f x =+-为奇函数， 所以函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，211()211x g x x x -==+--关于点(1,2)对称， 所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，()11212()()24322mi i m m i m mx x x y y y m x y =++⋯+++∴+⋯+=⨯+⨯+==∑ 故答案为：3m 三､解答题17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值. （1）3π；（2（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1cos 2B =，根据()0,B π∈可求得结果；（2）利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用基本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果.（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sinB B AC C A A C =+=+A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠2cos 1B ∴=，即1cos 2B =由()0,B π∈得：3B π=（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=即()max 4ac =∴三角形面积S 的最大值为：14sin 32B ⨯=18.2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的,A B 两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？（2）从A 和B 的车型中各随机抽取1车，以X 表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X 的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这10辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（1）填表答案见解析，有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）分布列答案见解析，数学期望：1.2.（3）采购B 款车型.（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）利用相互独立事件概率乘法公式计算出分布列，并求得数学期望. （3）分别计算出两种车型的平均利润，由此判断出采购B 款车型. （1）填表如下：由列联表可知()22200507030508.33 6.63510010080120K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关. （2）由题意可知，A 型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B 型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12.且X 可能的取值为0,1,2. ()313010220P X ==⨯=，()7131111021022P X ==⨯+⨯=，()717210220P X ==⨯=， X 的分布列为：其数学期望()317012 1.220220E X =⨯+⨯+⨯=.（3）用频率估计概率，这100辆A 款出租车的平均利润为：()11910252031453725100⨯+⨯+⨯+⨯30.1=(万元)， 这100辆B 款出租车的平均利润为：()12215283534404010100⨯+⨯+⨯+⨯30.7=(万元)， 故会选择采购B 款车型.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，,,D E F 分别为111,,AA AC A C 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==.（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角1B CD C 的余弦值；（1）证明见解析；（2）2121-（1）通过证明AC EF ⊥，AC BE ⊥得线面垂直；（2）建立空间之间坐标系，利用法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值. 解：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形.又,E F 分别为11,AC A C 的中点，AC EF ∴⊥又AB BC =，AC BE ∴⊥,BE EF E BE ⋂=⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEFAC ∴⊥平面BEF .（2）由（1）知，1//EF CC 由1CC ⊥平面ABC ，EF ∴⊥平面ABC .如图建立空间直角坐称系E xyz -.由题意得()()()()()0,2,0,1,0,0,1,0,1,0,0,2,G 0,2,1,B C D F -()(),0,0,20,2,1.F G()()2,0,11,2,0CD CB ∴==,,设平面BCD 的法向量为(),,n a b c =， 00n CD n CB ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，2020a c a b +=⎧∴⎨+=⎩，令2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量()2,1,4n =--，又平面1CDC 的法向量为()0,2,0EB =，2121n EB cos n EB n EB⋅∴⋅==-⋅. 所以二面角1 B CD C --的余弦值为2121-. 20.已知定点S ( -2，0) ，T (2，0)，动点P 为平面上一个动点，且直线SP 、TP 的斜率之积为34-. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点B 为轨迹E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交轨迹E 于M ，N 两点，且F (1，0)恰是△BMN 的垂心?若存在，求l 的方程;若不存在，说明理由.（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）存在，3163321y x =-.（1）设(,)P x y ，由34SP TP k k ⋅=-结合两点间斜率计算公式，整理化简即可； （2）根据题意，设直线l的方程为y x m =+，()()1122,,,M x y N x y ，因为MF BN ⊥，所以0MF BN ⋅=，结合直线和椭圆联立的方程组，求出m 的值，根据题意，确定出m 即可得出结果.【详解】（1）设(,)P x y ，由已知有3224y y x x ⋅=-+-， 整理得动点P 的轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠±（2）由（1）知，E的方程为221(2)43x y x +=≠±，所以(,B又()1,0F，所以直线BF 的斜率BF k =假设存在直线，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥.设的斜率为k ，则1BFk k ⋅=-，所以k =设的方程为3y x m =+，()()1122,,,M x y N x y .由22143y m x y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22131230x m ++-=，由()()224131230m ∆=-⨯⨯->，得33m -<<， ()2121212313m x x x x -+==. 因为MFBN ⊥，所以0MF BN ⋅=，因为()(11221,,,MF x y BN x y =--=-，所以1212(1)(0x x y y --=，即()12121)(033x x x m x m --++-=， 整理得()212124(1)03x x x x m -+--+=，所以22412(3)(1)()0313313m m ----⋅-=，整理得221480m --=，解得m =或21m =-，当m =时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当21m =-时，满足33m -<<，所以存在直线：321y x =-，使得F 是BMN ∆的垂心. 21.已知函数()1ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈.（1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20fx x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.（1）当0a >时，极小值a ；当0a =时，无极值；当0a <时，极大值a ；（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况进行分类讨论 ()f x 的极值.（2）构造函数()()2ln 2hx f x x x =-++，通过()h x 的导函数()'h x 研究()h x 的零点，对a 分成1110,,0,222a a a a ≥=--<<<-进行分类讨论，结合()h x 有三个零点，求得a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭， 当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值a ， 当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值a .（2）设()()2ln 2hx f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()22121a ah x x x-'=-+()22212x a x ax+--= ()()()2120x x a x x-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点.②若12a=-，则()0,x ∈+∞，()0h x '≥（仅()10h '=）.()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点.③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立.由()10h<，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h>，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2ea <-， 322ea ∴-<<-.并且，当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-，()()()2222242242h e e a e e e e ---=++-<+--4150e <+-<，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()hx 有三个零点的a 的取值范围为3,22e⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的方程为y =kx .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）曲线C 与直线l 交于A 、B两点，若OA OB +k 的值.（1）24cos 10ρρθ-+= （2）3或3-（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求出曲线C 的极坐标方程；（2）设出直线l 的极坐标方程[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，与曲线C 的极坐标方程联立，可得214cos 10ρρθ-+=，即可得到121124cos ,10ρρθρρ+==>，根据ρ的几何意义可知，1212OA OB ρρρρ+=+=+=1θ，于是可得k 的值．（1）2232,4103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. （2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40ρρθρρ∆θ∴+==>=->，1212OA OB +=+=+=ρρρρ1cos 2θ∴=±满足>0∆，1π6θ∴=或56π，l的倾斜角为6π或56π，则1tan 3k θ==或3-． 23.已知,x y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334xy +≥； （2）当0xy >时，不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围． （1）见证明；（2）35[,]22-. （1）由柯西不等式即可证明；（2）可先计算11x y+的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.解：（1）由柯西不等式得22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤+≥⋅ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴()22243()3xy x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号．∴22334x y +≥；（2）1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，即可转化为|2||1|4a a -++≤，当2a ≥时，421a -≤，可得522a ≤≤， 当1a 2-<<时，34≤，可得1a 2-<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35[,]22-．。
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学(文)试题
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|}2＝302A x x x ->-，集合{|}2＝4B x Z x x ∈≤，则()RA B ⋂＝（ ）A ．{}|03x x ≤≤B ．{﹣1，0，1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{1，2}2．已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）（ ）A ．甲的直观想象素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数据分析素养C ．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D ．乙的六大素养整体水平低于甲4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()21xxf x x =++的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为（ ）A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中ω>0，||,24ππϕ≤-为f (x )的零点：且()|()|4f x f π≤恒成立，()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11B ．13C ．15D ．179．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e-=-D ．()cos x xy e e -=+10．已知四棱锥P ABCD -的棱长都是12，,,E F M 为,,PA PC AB 的中点，则经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A ．B ．C ．72D ．9611．如图，O 为ABC 的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO 的值( )A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图象交于点P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．44B ．34C ．24D ．14二、填空题13．函数2(21)x y x e =+在点()0,1处的切线方程为_________________. 14．已知4tan 23α=-，则sin cos 3cos2ααα-=______. 15．设数列{}n a 满足()*121,n n a a n n N +=++∈，12a =，则数列(){}1nna -的前40项和是_____．16．已知函数1ln ()1()xk xf x e k x-+=--∈R 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上） ①2k =；②2k >；③00ln x x =-；④0112x e <<.三、解答题17．设函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-.（1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC 中，若5()264A f π-=-，且2,cos CD DA BD ABD ==∠=BC 的值. 18．下表为2021年至2021年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x =年份2015-．（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2021年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：221221()ˆˆˆ,,,()()()()ni ii nii x y nxynad bc bay bx K n a b c d a b c d a c b d xnx ==--==-==+++++++-∑∑．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，ABC 是边长为2的等边三角形，12AA AB =.（1）求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求点C 到平面AEF 的距离.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为(c,0)F ，左顶点为A ，右顶点B 在直线:2l x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．21．设函数()ln x f x x x ae =-，()p x kx =，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()ln 1()x x f x ϕ'=+-，(1)e ϕ=，函数()ϕx 与函数()p x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：()00(1)x p y ϕ<<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=．（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB⋅=，求动点P到直线l的最近距离．23．已知a，b均为正数，且1ab=.证明：（111()2a b≥+；（2）22 (1)(1)8 b aa b+++≥.参考答案1．C 【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A 和集合B ，之后利用补集和交集的定义求得结果. 【详解】集合2{230}A x x x =-->{|3x x =>或1}x <-，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤，故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目. 2．C 【分析】由诱导公式分别判断sin 20190︒<，cos20190︒<，由复数的几何意义即可得解. 【详解】由()sin 2019sin 20191800sin 2190︒=-︒=︒<，()cos2019cos 20191800cos2190︒=-︒=︒<，所以z 在复平面对应的点为()sin 219,cos219︒︒，在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了诱导公式的应用和复数的几何意义，属于基础题. 3．C 【分析】由雷达图提供的信息逐项分析即可得解. 【详解】对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误；对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误；对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分，数学运算素养为4分，故选项C 正确；对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都优于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了统计图的应用，属于基础题. 4．B 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得()f x 的一个减区间． 【详解】解：对于函数2()3sin 23sin 23cos 23cos 232666f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令2226k x k ππππ-+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ++，k Z ∈，可得函数的单调递减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得选项B 正确， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题． 5．B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．A 【分析】根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：1()22111xx x f x x x =+=-+++的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞， 21()2ln 20(1)x f x x ∴'=+>+恒成立，()f x ∴在(,1)-∞-，(1,)-+∞单调递增，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →-∞时，20x →，11xx →+， ()1f x ∴→，故排除B ，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题． 7．B 【分析】根据()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，可得0b a -=，从而得到()2f x ax a =-，再根据()f x 在()0,∞+上单调递减，得到0a <，然后用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选：B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．C 【分析】先由()|()|4f x f π≤，()04f π-=可得ω为正奇数，再由()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值得到16ω≤，结合选项进行验证. 【详解】 由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以()14f π=±，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①，又()04f π-=，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②，由①②，得122()1k k ω=-+，12,k k Z ∈，又()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，所以()24128T πππ≥--=，即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤，所以4πϕ=-，此时()sin(15)4f x x π=-，当(,)1224x ππ∈-时，3315(,)428x πππ-∈-， 当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 9．D 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x xy e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 10．B 【分析】先由平面的基本性质找出经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面图形MNFQE ，先证明QEF △是等腰三角形，并求出QEFS，再证明四边形MNFE 是矩形，并求出MNFES ，即可得到答案.【详解】根据题意，作出四棱锥P ABCD -的图像如图所示，因为E 、F 分别为PA 和PC 的中点，所以//EF AC ，且12EF AC =， 设BC 中点为N ，M 为AB 中点，则//MN AC ，且12MN AC =， 所以//MN EF ，且MN EF =，四边形MNFE 为平行四边形，M 、N 、E 、F 四点共面，设MN 中点为H ，作//HQ PB ，且交PD 于点Q ，交EF 于点I 则点Q 在平面MNFE 上，故五边形MNFQE 即截四棱锥P ABCD -所得截面； 因为14BH BD =，所以134PQ PD ==， 又162PF PC ==，3QPF π∠=，由余弦定理QF ==QE = 所以QEF △是等腰三角形，QI EF ⊥，又12EF AC ===所以3QI ===，所以11322QEFSEF QI =⋅=⨯= 又//EM PB ，//QI PB ，且QI EF ⊥，所以EM EF ⊥， 所以四边形MNFE 是矩形，162EM PB ==，所以矩形MNFE 的面积6MNFES EM EF =⋅=⨯=所以截面积QEFMNFES S S=+==故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，考查空间直线的关系，并涉及到余弦定理的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题. 11．B 【分析】取AB 、AC 的中点D 、E ，可知⊥OD AB ，OE AC ⊥，所求AM AO AD AO AE AO =+，由数量积的定义结合图象可得2||AD AO AD =，2||AE AO AE =，代值即可． 【详解】解：取AB 、AC 的中点D 、E ，可知⊥OD AB ，OE AC ⊥M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+∴111()222AM AO AB AC AO AB AO AC AO =+=+，AD AO AE AO =+，由数量积的定义可得·cos AD AO AD AO OAD =∠， 而cos AO OAD AD ∠=，故2||4AD AO AD ==； 同理可得2||1AE AO AE ==， 故5AD AO AE AO +=， 故选：B ．【点睛】本题为向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．D 【分析】设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率． 【详解】解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()f x =，则在P 处的切线斜率'()4k f m m ===+， 即42m m +=，得4m =则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，则)221a PF PA =-==，即1a =，4c = ∴双曲线的离心率c e a ==故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论． 13．10x y -+= 【分析】求导得2(214)xy x x e '=++，将0x =代入求出导数值，从而根据导数的几何意义、直线的点斜式方程得出结论． 【详解】解：∵2(21)xy x e =+，∴2(214)xy x x e '=++， ∴当0x =时，1y '=，∴函数在点()0,1处的切线方程为()110y x -=⋅-，化简得10x y -+=， 故答案为：10x y -+=． 【点睛】本题主要考查函数在某点处的切线方程的求法，属于基础题． 14．115±【分析】由题意得，4sin 2cos 23αα=-，而2211tan 2cos 2αα+=，则3cos 25α=±，由此结合二倍角公式即可求出答案． 【详解】解：∵4tan 23α=-，∴4sin 2cos 23αα=-，∴111sin cos 3cos 2sin 23cos 2cos 223αααααα-=-=-， ∵2211tan 2cos 2αα+=，∴3cos 25α=±， ∴11sin cos 3cos 25ααα-=±， 故答案为：115±． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，属于基础题． 15．840 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式()1n a n n =+，再并项求和求解前40项和即可. 【详解】因为()*121,n n a a n n N +=++∈，且12a =，故2n ≥时，214a a -=，326a a -=，…12n n a a n --=，累加可得()()22246 (212)n n n a n n n +=++++==+， 11,2n a ==满足上式，即()1n a n n =+，故(){}1nn a -的前40项和1223344 5....39404041S =-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯即()20240222 4 (24028402)S ⨯+=⨯+⨯⨯=⨯=.故答案为：840 【点睛】本题主要考查了累加法求解数列通项公式、并项求和以及等差数列的求和公式等.属于中档题. 16．①③ 【分析】()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令()e ln 1x g x x x x k =---+，求出'()g x ，研究()g x 的性质，而'()0g x =在(0,)+∞上有唯一解t ，()g x 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，考虑0x →和x →+∞时函数的变化，只能有0x t =，这样可判断①③正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误． 【详解】由题意知()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令()e ln 1x g x x x x k =---+，11()(1)e (1)e xx x g x x x x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭，令0g x '=（）得1e x x =，当0x >时，1e xx=有唯一解t ，满足e 1t t =，故()g x 在(0,)t 上单调递减，(,)t +∞上单调递增.又因为0x →，();,()g x x g x →+∞→+∞→+∞，因此0t x =，即()00g x =，故002,ln 0k x x =+=.另外，令1()ln ,()10h x x x h x x'=+=+>，故h x （）在(0,)+∞上单调递增，11111e 10,ln 2ln 0e e 2224h h ⎛⎫⎛⎫=-+<=-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误. 故答案为①③． 【点睛】本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件．本题难度较大，属于困难题． 17．（1）[,],63k k k Z ππππ-++∈.（2）6【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开sin(2)6x π+，由二倍角的余弦公式整理22cos x ，再由辅助角公式化简得到()sin(2)16f x x π=--，再由三角函数的性质求出()f x 的增区间即可；（2）由5()264A f π-=-求出cos A 和sin A ，再由正弦定理求出AD ，利用()cos cos BDC ABD A ∠=∠+∠求出cos BDC ∠，再由余弦定理即可求出BC .【详解】（1） 由题意，211cos 2()sin(2)2cos 2cos 226222xf x x x x x π+=+-=+-⨯ ，化简得，()sin(2)16f x x π=-- ，由 222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈ ；（2）由（1）知，()sin(2)16f x x π=--所以5()sin 12624A f A ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，解得1cos 4A =，所以sin A由cos ABD ∠=，得sin ABD ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BD AD A ABD=∠，解得2AD =， 由2CD DA =，可得4DC =，()1cos cos 4BDC ABD A ∠=∠+∠==， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：216102436BC =++=，解得6BC =. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用，考查学生的分析计算能力，属于中档题.18．（1）ˆ7122.5y x =+，377.5万元；（2）可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．（1）由已知求得b 与a 的值，则线性回归方程可求，取5x =求得y 值即可； （2）列出22⨯列联表，求得2K ，与临界值表比较得结论． 【详解】解：（1）由题易得 2.5x =，200y =，42130ii x==∑，412355i i i x y ==∑，所以4142221423554 2.5200355ˆ71304 2.554i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以ˆˆ20071 2.522.5ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ7122.5yx =+． 由于2020-2015=5，所以当5x =时，ˆ71522.5377.5y=⨯+=， 所以预测2021年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元． （2）由题可得22⨯列联表如下：故2K的观测值2105(10304520)555610307590k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈.，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于中档题． 19．（1）见解析；（2.（1）取AB 的中点D ，连接DE 、1A D ，推导出四边形1DEFA 为平行四边形，可得出1//EF A D ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）计算出三棱锥F AEC -的体积以及AEF 的面积，利用等体积法可求得点C 到平面AEF 的距离.【详解】（1）如图，取AB 的中点D ，连接DE 、1A D ，E 是BC 的中点，//DE AC ∴且12DE AC =， 由三棱柱的性质知11//AC A C 且11AC A C =，F 是11A C 的中点，1//A F AC ∴且112A F AC =， 1//A F DE ∴且1A F DE =，∴四边形1DEFA 是平行四边形，1//EF A D ∴，EF ⊄平面11ABB A ，1A D ⊂平面11ABB A ，//EF ∴平面11ABB A ；（2）由题可得2111142332F ACE ACE V AA S -=⨯⨯=⨯⨯=△，在AEF 中，AE =AF ==1EF A D ===，AE 2==，12AEFS∴==△，设点C到平面AEF的距离为h，则133C AEF AEFV h S-=⨯⨯=△，解得65h=．【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．（Ⅰ）22x y143+=；（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．【分析】（Ⅰ）根据条件解得a,b值，（Ⅱ）设点P（x0，y0），解得D点坐标，即得以BD为直径的圆圆心坐标以及半径，再根据直线PF方程，利用圆心到直线PF距离与半径大小关系作判断. 【详解】（Ⅰ）依题可知B（a，0），a=2，因为c1ea2==，所以c=1，b=故椭圆C的方程为22x y143+=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则()2200x y1y043+=≠①当x0=1时，点P的坐标为（1，±32），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆22(2)(1)1x y-+-=与直线PF相切．②当0x≠1时直线AP的方程为()yy x2x2=++，点D的坐标为04yD2x2⎛⎫⎪+⎝⎭，，BD中点E的坐标为02y2x2⎛⎫⎪+⎝⎭，，故02yBEx2=+直线PF的斜率为0PFykx1=-，故直线PF 的方程为()00y y x 1x 1=--，即00x 1x y 10y ---=， 所以点E 到直线PF的距离2y d BEx 2====+,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题题. 直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断. 21．（1）10a e<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求函数求导，分离参数，构造函数ln 1()xx g x e +=，利用导数研究其单调性，由其在()0,+∞上有两个零点，即可求得参数a 的范围； （2）根据题意，求得参数a ；将要证明的问题转化为求证212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，令21x x t -=，通过构造函数()22tt F t e et -=--，以及1()12t t e tG t e -=-+，通过上述两个函数的单调性即可证明. 【详解】（1）()ln xf x x x ae =-的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae =+-′，则()f x 在()0,∞+上存在两个极值点等价于()0f x '=在()0,∞+上有两个不等实根， 由()ln 10xf x x ae =+-=′，解得ln 1exx a +=， 令ln 1()xx g x e +=，则1(ln 1)()xx x g x e -+'=，令1()ln 1h x x x=--，则211()h x x x '=--，当0x >时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =， 所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以，1x =是()g x 的极大值也是最大值， 所以max 1()(1)g x g e==，所以1a e <，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x 大于0且趋向于0， 要使()0f x '=在(0,)+∞有两个根，则10a e<<； （2）证明：()()ln 1()ln ln 11xxx x f x x x ae ae ϕ=+-+--==+′，由(1)e ϕ=，得1a =，则()x x e ϕ=， 要证()00(1)x p y ϕ<<成立， 只需证1221122212x x x x x x e e e e ek x x +-+<=<-，即()121212122112x x x x x x x e ee e ex x -++-<<-，即212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 设210t x x =->，即证2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证22t t e e t -->，令()22t t F t e et -=--，则()221102t tF t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'，所以()F t 在(0,)+∞上为增函数，所以()(0)0F t F >=，即21tt e e t -<成立；要证112t t e e t -+<，只需证112t t e t e -<+，令1()12tte t G t e -=-+，则()()()222121()02121ttt t e e G t e e --'=-=<++， 所以()G t 在()0,∞+上为减函数，所以()(0)0G t G <=，即112t t e e t -+<成立； 所以2112tt t e e e t -+<<成立，即()00(1)x p y ϕ<<成立. 【点睛】本题考查利用导数由函数的极值点个数求参数范围，以及利用导数证明不等式，属综合中档题.22．（1）直线l ：20x y -+=；曲线C ：2y x =；（2． 【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角差的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程； （2）设出过P 且平行于l 的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值． 【详解】（1）直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为(sin cos )2ρθρθ-=， 即sin cos 2ρθρθ-=，可得2y x -=，即20x y -+=； 曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即为22sin cos ρθρθ=， 可得2y x =；（2）设过点20000()(),P x y y x <且平行于l的直线的参数方程设为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入抛物线方程2y x =，可得200021022t y x t ⎫-+-=⎪⎪⎭+， 设,PA PB 对应的参数分别为12,t t ，可得212002()t t y x =-，又2PA PB ⋅=，即有200|1|y x -=，由200y x <，可得2001y x =-，即2001x y =+，P 到直线20l x y -+=:的距离：20111224d y ⎡⎤⎛⎫===-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当012y =，054x =时，动点P 到直线l的最近距离为8．【点睛】本题主要考查的是直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2023届四川省宜宾市高三三模数学(文)试题【含答案】
2023届四川省宜宾市高三三模数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}20log 1P x x =<<{}2Q x x =≤A ．B ．C ．D ．P Q =∅ R P Q ⋃=P Q ⊆Q P⊆【答案】C【分析】化简集合，根据集合的运算和集合的关系的定义依次判断各选项即可.P 【详解】因为对数不等式的解集为，20log 1x <<{}12x x <<所以，又，{}12P x x =<<{}2Q x x =≤所以，A 错误；P Q P = ，B 错误；Q P Q = ，C 正确，D 错误；P Q ⊆故选：C.2．已知复数，且，其中a 是实数，则（ ）34i z =+94i z az +=-A ．B ．C ．D ．2a =-2a =1a =3a =【答案】B【分析】由共轭复数的概念得，根据复数相等的充要条件即可求解.34i z =-【详解】因为，所以，34i z =+34i z =-所以，()34i 34i 3344i 94ia a a a ++-=++-=-所以，解得.339444a a +=-=-，2a =故选:B.3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,{}13,5A =,{}2,4,6B =事件3可表示为：,事件4可表示为：,{}4,5,6C ={}1,2D =因为，所以事件1与事件3不互斥，A 错误；{}5A C = 因为为不可能事件，为必然事件，A B ⋂A B ⋃所以事件1与事件2互为对立事件，B 正确；因为，所以事件2与事件3不互斥，C 错误；{}4,6B C = 因为为不可能事件，不为必然事件，C D ⋂C D ⋃所以事件3与事件4不互为对立事件，D 错误；故选：B.4．已知p ：，q ：表示椭圆，则p 是q 的（ ）13m <<22113x y m m +=--A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论.q【详解】若方程表示椭圆，22113x y m m +=--则，103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得或，12m <<23m <<故：或，又p ：，q12m <<23m <<13m <<所以p 是q 的必要不充分条件，故选：C.5．已知角的终边上一点的坐标，其中a 是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）α(),2a A ．B ．C ．D ．cos tan ααsin cos ααsin tan ααtan α【答案】A【分析】先根据定义求出，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.sin ,cos ,tan ααα【详解】因为角的终边上一点的坐标且a 是非零实数，所以根据三角函数的定义知，α(),2a，，，sin α=cos α=2tan a α=选项A ，，故选项A 正确；cos tan 0αα>选项B ，，因为的正负不知，故选项B 错误；22sin cos 4aa αα=+a选项C ，的正负不知，故选项C 错误；sin tan αα=a 选项D ，，因为的正负不知，故选项D 错误；2tan a α=a 故选：A.6．已知数列的前n 项和为，则使得最小时的n 是（ ）1211n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭n S n S A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】分与讨论项的正负即可求解.()15n n *≤≤∈N ()6n n *≥∈N 【详解】当时，数列恒为负， ()15n n *≤≤∈N 1211n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭当时，数列恒为正， ()6n n *≥∈N 1211n ⎧-⎫⎨⎩⎭所以当时最小.5n =n S 故选:B.7．已知两个平面，，两条直线l ，m ，则下列命题正确的是（ ）αβA ．若，，则αβ⊥l ⊂αl β⊥B ．若，，，则l ⊂αm β⊂m l ⊥αβ⊥C ．若，，，，则l ⊂αm α⊂m β∥l β αβ∥D ．若l ，m 是异面直线，，，，，则l ⊂αl β m β⊂m α∥αβ∥【答案】D【分析】根据直线、平面的位置关系一一判断求解.【详解】对于A ，若，，则或或与相交，A 错误；αβ⊥l ⊂αl β l β⊂l β对于B ，若，，，则与可以相交或平行，B 错误；l ⊂αm β⊂m l ⊥αβ对于C ，若，，，，则与可以相交或平行，C 错误；l ⊂αm α⊂m β∥l β αβ对于D ，因为，，所以存在直线，m β⊂m α∥,m m m α''⊂∥因为l ，m 是异面直线，所以l 与相交，m '因为，所以，,,m m m m ββ''⊂⊄∥m β'∥又因为，，所以，D 正确，l ⊂αl β αβ∥故选:D.8．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）()()2322,023,0x m x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩2-m A ．B ．C ．D ．0m <0m ≤0m >0m ≥【答案】A【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合()f x [)0,∞+m 可求得实数的取值范围.()min 2f x =-m 【详解】当时，，则，0x ≥()3223f x x x =-()()26661f x x x x x '=-=-当时，，此时函数单调递减，01x <<()0f x '<()f x 当时，，此时函数单调递增，1x >()0f x ¢>()f x 所以，函数的极小值为，()f x ()11f =-因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，()f x 2-0m ≥()f x (),0∞-此时，函数在上无最小值，不合乎题意；()f x (),0∞-当时，函数在上单调递减，在上单调递增，0m <()f x (),m -∞()0m ,此时，函数在上的极小值为，且，则，()f x (),0∞-()2f m =-21-<-()()min 2f x f m ==-综上所述，.0m <故选：A.9．已知点是圆上的一个动点，点是直线上除原点外的任意一点，M ()22:44C x y -+=N y x =O 则向量在向量上的投影的最大值是（ ）OMONA ．B ．C ．D ．22【答案】A【分析】取点，则，设点，其中，利用向量投影的定(),N a a 0a ≠()42cos ,2sin M θθ+02πθ≤<义以及三角恒等变换可求得向量在向量上的投影的最大值.OMON 【详解】取点，则，设点，其中，(),N a a 0a ≠()42cos ,2sin M θθ+02πθ≤<所以，向量在向量上的投影为OMON cos ,OM ON OM OM ON OM OM ON⋅=⋅⋅，OM ON ON⋅==若向量在向量取最大值，则，OMON 0a >所以，cos ,OM OM ON θθ==+，π2sin 24θ⎛⎫=++≤+ ⎪⎝⎭因为，则，02πθ≤<ππ9π444θ≤+<当且仅当时，等号成立，故向量在向量上的投影的最大值是为.ππ42θ+=OMON 2故选：A.10．已知曲线，直线，垂直于轴的直线分别与、交于、两点，则:ln C y x =:2l y x =y C l M N 的最小值是（ ）MNA ．B ．CD ．1ln 22-11ln 22+【答案】D【分析】设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可得出，利MN y t =t ∈R M N e 2t tMN =-用导数求出函数的最小值，即为所求.()e 2t tf t =-【详解】设直线的方程为，其中，MN y t =t ∈R 由可得，即点，由可得，则，ln x t =e =t x ()e ,tM t 2x t =2t x =,2t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭由图象可知，，令，其中，则，e 2t t MN =-()e 2t t f t =-t ∈R ()1e 2tf t '=-当时，，此时函数单调递减，ln 2t <-()0f t '<()f t 当时，，此时函数单调递增，ln 2t >-()0f t '>()f t 所以，，()()ln 2min minln 21ln 2ln 2e 22MNf t f -+==-=+=故选：D.11．如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中，则在图1中（ ）12DH DA =EF EG =A ．B ．C ．D ．427116112148【答案】D【分析】利用条件求出，再利用图1和图2中水的体积相等，求出，从而求出结果.D HJKV -EF 【详解】因为DA ，DB ，DC 三条棱与地面所成角均相等，所以三棱锥为正三棱锥，设正D HJK -方体的棱长为2，则，所以，则图1中1DH DK DJ ===11111113326D HJK DHJ V S DK -==⨯⨯⨯⨯=，则，所以.1226V EF =⨯=124EF =1124248EF EG ==故选：D.12．在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，若，，则面积的最大值ABC2b a =2c =ABC 是（ ）A B ．2C ．D．4323【答案】C【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故cos C sin C .ABCS =△【详解】由余弦定理可得，222222224454cos 244a b c a a a C ab a a +-+--===所以sin C =因为，，所以，即，解得.2b a =2c =a b c b a c +>⎧⎨-<⎩322a a>⎧⎨<⎩2,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以1sin 2ABCS ab C a ==△==当时，.2204,499a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()max164343ABC S ===△故选：C.二、填空题13．在等比数列中，，，则___________.{}n a 22a =-68a =-4a =【答案】4-【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 462aa q =⋅所以，所以，4842q -==-22q =所以.242224a a q ==-⨯=-故答案为：4-14．甲，乙，丙3名大学生分到A ，B 两个学校实习，每个学校至少分到1人，则甲，乙二人在同一个学校实习的概率是______．【答案】13【分析】利用捆绑法结合古典概型分析运算.【详解】每个学校至少分到1人，共有种不同的安排方法，2232C A 6⋅=甲，乙二人在同一个学校实习，共有种不同的安排方法，22A 2=所以甲，乙二人在同一个学校实习的概率是.2163P ==故答案为：.1315．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do ）的音阶频率为f ，则简谱中七个音1（do ），2（re ），3（mi ），4（fa ），5（so ），6（la ），7（si ）组成的音阶频率分别是f ，，，，98f 8164f43f ，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个32f 2716f243128f 音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则α()βαβ>αβ______．52lg lg lg 2αβ+-=【答案】0【分析】根据条件求出和，再求的值.αβ52lg lg lg 2αβ+-【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，，9898256243989898由题意，，，98α=256243β=.25259256lg lg lg 2lg ()2lg108243αβ⎡⎤⎛⎫+-=⨯÷==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：0.16．已知双曲线C ：的左，右焦点分别为，作()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F 2F 渐近线的垂线交C 于A ，B 两点，若，则的周长为______．3AB =1ABF【答案】18【分析】根据题意设直线的方程，利用弦长公式求得.AB b =【详解】由题意可得：焦点在x 轴上，，,2a c b ==则双曲线C ：，渐近线，222213x y b b -=()22,0F b y x =不妨设直线，)()()1122:2,,,,AB y x b A x y B x y =-联立方程，消去y 得，)2222213y x b x y b b ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩22836390x bx b -+=则，()22221212939363239480,,28b b b b b x x x x ∆=-⨯=>+==，解得3==b =可得，3a =由双曲线的定义可得，12126,6AF AF BF BF -=-=则，()()()11221112AFBF AF BF AF BF AB +-+=+-=可得，1115AF BF +=所以的周长.1ABF 1118AF BF AB ++=故答案为：.18【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．三、解答题17．在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，．ABC sin sin 21cos 1cos 2A BA B =-+(1)证明：；B C =(2)求的最小值．21cos a b cB ++【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）利用二倍角公式，两角和正弦公式化简条件等式可得，由此证明结论；sin sin C B =（2）结合余弦定理知，利用基本不等式求其最小值.2121cos a b a c cB c a +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为，sin sin 21cos 1cos 2A B A B =-+所以，2sin sin cos 1cos cos A B BAB =-，sin cos sin cos sin A B B A B =-()sin sin A B B+=又，πA B C ++=∴，sin sin C B =∴，c b =故．B C =（2）∵b c =∴，2222122212215cos a b a b ac a c c B c a c b c a ++⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪+-⎝⎭当且仅当，即时，等号成立．a c c a =a c =∴的最小值为5．21cos a b cB ++18．近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：样本号i 12345678910研发投入ix 224681014161820营业收入iy 1416303850607090102130并计算得，，，，．101100ii x==∑101600ii y==∑10211400ii x==∑102149200ii y==∑1018264i ii x y==∑(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r ，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；0.300.75r ≤<0.75r ≥(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．附：相关系数．r =5.745≈【答案】(1)，两个变量线性相关程度较高0.99(2)该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．1608【分析】（1）由条件数据求，利用关系，,x y ()()11001110i i iii iyx x x y y y x ==--=-∑∑，求值，代入公式求相关系数即可；()1020211110i i i i x xx x==--=∑∑()10202211110i i i i y yy y==--=∑∑（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m ，由条件，列关系式求即可.m 【详解】（1）因为，，101100ii x==∑101600ii y==∑所以，，又，，，10x =60y =1018264i ii x y==∑10211400ii x==∑102149200ii y==∑所以，()()1010118264101060610224ii iii i x x y x y y x y ==--==-⨯⨯=-∑∑，()10210211110400*********ii ii x x x x==-==-⨯⨯=-∑∑，()1022211011492001060132000i i i i y y yy ==--==-⨯=∑∑所以，22640.992298r ===≈≈故两个变量线性相关程度较高．（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m ，则，解得，100268600m =1608m =所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．160819．如图（1），在边长为的正三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 中点，将沿DE 折起，4ADE使二面角为直二面角，如图（2），连接AB ，AC ．A DEB --(1)求四棱锥的体积；A BCED -(2)在图（2）中，过点E 作平面EFG 与平面ABD 平行，分别交BC ，AC 于F ，G ．求证：平EG ⊥面ABC ．【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】（1）作DE 中点O ，连接AO ，证明平面BCED ，结合锥体体积公式求解；AO ⊥（2）根据面面平行性质定理证明，，由此可证，根据线面垂直判定AB FG ∥BD EF ∥OF BC ⊥定理证明平面AOF ，根据平面几何结论证明，由此证明平面ABC ．BC ⊥EG AC ⊥EG ⊥【详解】（1）作DE 中点O ，连接AO ，由已知，∴．AD AE =AO DE ⊥因为二面角为直二面角，A DE B --所以平面 平面，ADE ⊥BCDE 又平面 平面，平面，ADE BCDE DE =AO ⊂ADE ∴平面BCED ．AO ⊥由已知，2,4AD AE DE BC ====AO =BCED所以四棱锥A BCED -梯形的面积，BCED ()1242S =⨯+=所以四棱锥的体积A BCED -133=⨯=（2）∵平面平面ABD ，//EFG 平面平面，平面平面，EFGABC FG =ABD ABC AB =∴，同理，//AB FG //BD EF 又，//DE BF ∴四边形为平行四边形，BFED ∵，12BF DE BC ==∴F 为BC 中点，∴G 为AC 的中点，又，EA EC =∴，EG AC ⊥∵平面，平面，AO ⊥BCED BC ⊂BCED ∴，又AO BC ⊥OF BC⊥∵，平面AO FO O = ,AO FO ⊂AOF ∴平面，平面，BC ⊥AOF AF ⊂AOF ∴，BC AF ⊥∵点为直角三角形的斜边的中点，G AFC AC ∴，GF GA =因为，GE 是公共边，∴，2EA EF ==GEA GEF △△≌∴，90FGE AGE ∠=∠=︒故，又EG GF ⊥EG AC⊥又，平面，AC GF G ⋂=,AC GF ⊂ABC ∴平面.EG ⊥ABC 20．已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是A yBC ()1,0-()1,0AB AC ．3(1)求点的轨迹的方程；A D (2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，()220x py p =>A D E F EF 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)()22113y x x -=>(2)直线过定点，定点为EF (0,P 【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点的轨迹的方程；(),A x y 0x >A D （2）设、，将抛物线的方程与曲线联立，列出韦达定理，求出直线的()11,E x y ()22,F x y C D EF 方程并化简，即可求得直线所过定点的坐标.EF 【详解】（1）解：设点，，(),A x y 0x >因为直线、的斜率之积是，所以，．AB AC 3()3111AB AC y yk k x x x =⋅=≠+-整理可得，因此，点的轨迹的方程为.2213y x -=A D ()22113y x x -=>（2）解：设、，()11,E x y ()22,F x y 由得，，可得()2222113x pyy x x ⎧=⎪⎨-=>⎪⎩2630y py -+=236120p ∆=->p >由韦达定理可得，，126y y p +=123y y =因为，，所以，，2112x py =2222x py=12x x ==因为，()22121212121222ABy y x x x x k x x p x x p--+===--所以，直线的方程为，AB ()12112x x y y x x p +-=-即2121211212121222222x x x x x x x x x x xy x x x x p p p p p p ++++=-+=-=所以，直线过定点.AB (0,P 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+21．已知函数．()3211132a f x x x ax +=+++(1)讨论的单调性；()f x (2)若，，求实数a 的取值范围．[]12,0,3x x ∈()()12272f x f x -<【答案】(1)答案见解析；(2).18,05⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1），讨论与的大小关系即可求单调性；()()()1x f x x a =++'a 1（2），则，分、与讨论，求出函数()()()max ming a f x f x =-()272g a <0a ≥3a ≤-30a -<<的最值即可求解.()f x 【详解】（1），()()()()211x a f a x a x x +++=+'+=当时，，的增区间为，无减区间；1a =()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，，由得的增区间，，1a <1a ->-()0f x >()f x (),1-∞-(),a -+∞由得的减区间；()0f x <()f x ()1,a --当时，，由得的增区间，，1a >1a -<-()0f x ¢>()f x (),a -∞-()1,-+∞由得的减区间.()0f x '<()f x (),1a --（2）时，令,03x ≤≤()()()max min g a f x f x =-①若，在恒成立，所以在为增函数．0a ≥()0f x '≥[]0,3()f x []0,3,即，∴a 无解.()()()15272730222g a f f a =-=+<a<0②若,在恒成立．3a ≤-()0f x '≤[]0,3∴，解得，∴.()()()152********g a f f =-=--<185a >-1835a -<≤-③当时，在为减函数，在为增函数．30a -<<()f x ()0,a -(),3a -.()()32min 11162f x f a a a =-=-+1）当，即时，，()()30f f ≥905a -≤<()()()3211527136222g a f f a a a a =--=-+++∴，在上单调递增．()()()21151530222g a a a a a '=-++=--+>()g a 9,05⎡-⎫⎪⎢⎣⎭，合题意；()()2702g a g <=2）当，即时，，()()03f f >935a -<<-()()()3211062g a f f a a a =--=-+∴，在上单调递减．()()2112022g a a a a a '=-+=--<()g a 93,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭，合题意.()()27392g a g <-=<综上，a 的范围是．18,05⎛⎫- ⎪⎝⎭22．在平面直角坐标系中，曲线E 的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩αx 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线：与E 交于A ，B 两点，射线：1l π04θββ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭2l 与E 交于C ，D 两点．π4θβ=+(1)求曲线E 的极坐标方程；(2)求的取值范围．OC ODOA OB++【答案】(1)；2cos 10ρθ-+=(2).【分析】（1）把曲线E 的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式求解作答.（2）把、的极坐标方程分别代入曲线E 的极坐标方程，利用韦达定理列式求解作答.1l 2l 【详解】（1）由消去参数得，即，cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α(221x y+=2210x y +-+=把代入圆E 的普通方程得圆E 的极坐标方程：.222cos x y x ρρθ⎧+=⎨=⎩2cos 10ρθ-+=（2）把代入得：，θβ=2cos 10ρθ-+=2cos 10ρβ-+=设点，则，于是，1122(,),(,)A B ρθρθ12ρρβ+=OA OB β+=同理，，π4OC OD β⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因此，而，即，OC OD OA OB β+==+π04β-<<()tan 1,0β∈-所以的取值范围是.OC OD OA OB++23．已知函数的最大值为2．()()20,0f x x b a b =-->>(1)求的值；a b +(2)证明：．()1441231a b a b++≥+【答案】(1)1a b +=(2)证明见解析【分析】（1），根据绝对值三角不等式可求解；()22f x x a x b=+--（2）利用“乘1法”证明，又，利用基本不等式证明即可.149a b +≥()()41231313a b a b =++()4331a b ≥+【详解】（1），当时取等号，()()()2222f x x a x b x a x b a b=+--≤+--=+x b ≥∵，，∴，0a >0b >a b a b+=+∴由题可知，∴.()22a b +=1a b +=（2），()()1445590,140b a a b a b a b a a b b ⎛⎫++=++≥+=>> =⎝+⎪⎭当且仅当时等号成立.12,33a b ==，()()2412212331313331a b a b a b ⎛⎫=≥= ⎪++++⎝⎭当且仅当时等号成立.12,33a b ==∴．()1441231a b a b++≥+。
四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三数学一诊模拟试题文
3072 边形，
并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率
计算的最精确数据 . 如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内
随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为
0.8269 ，那么通过该实验计算出来的圆
周率近似值为 ：（参考数据：
四川省宜宾市叙州区第二中学 2020 届高三数学一诊模拟试题 文
第 I 卷 ( 选择题 共 60 分）
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题所给出的四个选项中， 只 有
一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置
.）
1．已知全集为 R ，集合 A
-1-
8 、 入 场 前 提 醒 自 己 作 到 ”四 心 “： 一是 保持” 静心“ ，二是 增强 ”信心 “，三 是做题”专 心“， 四是考 试”细心 “。 9、 不 要 一 心 想 得 满 分 ： 特别 是对平 时成绩 中等上 下的 同学来 说，一 心想得满分 是大忌 。当然 ，应该得
的分 一定要 得，该 放弃的敢于 放弃。 如果有时间再 攻暂 时放弃 的题。
B．
4
5
C．
2
D． 5
6．设 a 0.20.3 ， b log 0.3 0.2 ， c 0.40.2 ，则
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b a c
7．已知曲线 C1 : y 2 sin 2x ， C 2 : y sin 2x cos 2x ，则下面结论正确的是
A．把曲线 C1向右平移 个长度单位得到曲线 C 2 8
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|}2＝302A x x x ->-，集合{|}2＝4B x Z x x ∈≤，则()RA B ⋂＝（ ）A ．{}|03x x ≤≤B ．{﹣1，0，1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{1，2}2．已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）（ ）A ．甲的直观想象素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数据分析素养C ．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D ．乙的六大素养整体水平低于甲4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()21xxf x x =++的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为（ ）A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中ω>0，||,24ππϕ≤-为f (x )的零点：且()|()|4f x f π≤恒成立，()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11B ．13C ．15D ．179．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B CD ．310．已知四棱锥P ABCD -的棱长都是12，,,E F M 为,,PA PC AB 的中点，则经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A ．B ．C ．72D ．9611．如图，O 为ABC 的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO 的值( )A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图象交于点P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是（ ）A B C D二、填空题 13．()5212x x +-展开式中的6x的系数为_______14．安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A 安排照顾老人甲，志愿者B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有______种15．设数列{}n a 满足()*121,n n a a n n N +=++∈，12a =，则数列(){}1nn a -的前40项和是_____．16．已知函数1ln ()1()xk xf x e k x-+=--∈R 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上） ①2k =；②2k >；③00ln x x =-；④0112x e <<.三、解答题17．设函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-.（1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC 中，若5()264A f π-=-，且2,cos 4CD DA BD ABD ==∠=，求BC 的值. 18．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图. 表1：一级滤芯更换频数分布表图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率； （2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；（3）记,m n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若19m n +=，且{}8,9m ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定,m n 的值.19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1B BC ∆是全等的等边三角形.（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11cos 4B BA ∠=，求二面角1C B B A --的余弦值. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为(c,0)F ，左顶点为A ，右顶点B 在直线:2l x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．21．设函数()ln x f x x x ae =-，()p x kx =，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()ln 1()x x f x ϕ'=+-，(1)e ϕ=，函数()ϕx 与函数()p x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：()00(1)x p y ϕ<<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=．（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．C 【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A 和集合B ，之后利用补集和交集的定义求得结果. 【详解】集合2{230}A x x x =-->{|3x x =>或1}x <-，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤，故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目. 2．C 【分析】由诱导公式分别判断sin 20190︒<，cos20190︒<，由复数的几何意义即可得解. 【详解】由()sin 2019sin 20191800sin 2190︒=-︒=︒<，()cos2019cos 20191800cos2190︒=-︒=︒<，所以z 在复平面对应的点为()sin 219,cos219︒︒，在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了诱导公式的应用和复数的几何意义，属于基础题. 3．C 【分析】由雷达图提供的信息逐项分析即可得解. 【详解】对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误；对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误；对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分，数学运算素养为4分，故选项C 正确；对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都优于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了统计图的应用，属于基础题. 4．B 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得()f x 的一个减区间． 【详解】解：对于函数2()3sin 23sin 23cos 23cos 232666f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令2226k x k ππππ-+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ++，k Z ∈，可得函数的单调递减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得选项B 正确， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题． 5．B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．A 【分析】根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：1()22111xx x f x x x =+=-+++的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞， 21()2ln 20(1)x f x x ∴'=+>+恒成立，()f x ∴在(,1)-∞-，(1,)-+∞单调递增，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →-∞时，20x →，11xx →+， ()1f x ∴→，故排除B ，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题． 7．B 【分析】根据()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，可得0b a -=，从而得到()2f x ax a =-，再根据()f x 在()0,∞+上单调递减，得到0a <，然后用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选：B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．C 【分析】先由()|()|4f x f π≤，()04f π-=可得ω为正奇数，再由()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值得到16ω≤，结合选项进行验证. 【详解】 由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以()14f π=±，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①，又()04f π-=，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②，由①②，得122()1k k ω=-+，12,k k Z ∈，又()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，所以()24128T πππ≥--=，即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤，所以4πϕ=-，此时()sin(15)4f x x π=-，当(,)1224x ππ∈-时，3315(,)428x πππ-∈-， 当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 9．A 【分析】求出A 关于4x y +=的对称点A '，根据题意，则1A C '-为最短距离，即可得答案； 【详解】设点A 关于直线4x y +=的对称点(),A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ， 根据题意，1A C '-为最短距离，先求出A '的坐标，AA '的中点为3,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，直线AA '的斜率为1，故直线AA '为3y x =-，由34223a bb a +⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得4a =，1b =，所以A C '=故11A C '-=， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10．B 【分析】先由平面的基本性质找出经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面图形MNFQE ，先证明QEF △是等腰三角形，并求出QEFS，再证明四边形MNFE 是矩形，并求出MNFES ，即可得到答案.【详解】根据题意，作出四棱锥P ABCD -的图像如图所示，因为E 、F 分别为PA 和PC 的中点，所以//EF AC ，且12EF AC =，设BC 中点为N ，M 为AB 中点，则//MN AC ，且12MN AC =， 所以//MN EF ，且MN EF =，四边形MNFE 为平行四边形，M 、N 、E 、F 四点共面，设MN 中点为H ，作//HQ PB ，且交PD 于点Q ，交EF 于点I 则点Q 在平面MNFE 上，故五边形MNFQE 即截四棱锥P ABCD -所得截面； 因为14BH BD =，所以134PQ PD ==， 又162PF PC ==，3QPF π∠=，由余弦定理QF ==QE = 所以QEF △是等腰三角形，QI EF ⊥，又12EF AC ===所以3QI ===，所以11322QEFSEF QI =⋅=⨯= 又//EM PB ，//QI PB ，且QI EF ⊥，所以EM EF ⊥， 所以四边形MNFE 是矩形，162EM PB ==，所以矩形MNFE 的面积6MNFES EM EF =⋅=⨯=所以截面积QEFMNFES S S=+==故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，考查空间直线的关系，并涉及到余弦定理的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题. 11．B 【分析】取AB 、AC 的中点D 、E ，可知⊥OD AB ，OE AC ⊥，所求AM AO AD AO AE AO =+，由数量积的定义结合图象可得2||AD AO AD =，2||AE AO AE =，代值即可． 【详解】解：取AB 、AC 的中点D 、E ，可知⊥OD AB ，OE AC ⊥M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+∴111()222AM AO AB AC AO AB AO AC AO =+=+，AD AO AE AO =+，由数量积的定义可得·cos AD AO AD AO OAD =∠， 而cos AO OAD AD ∠=，故2||4AD AO AD ==； 同理可得2||1AE AO AE ==， 故5AD AO AE AO +=， 故选：B ．【点睛】本题为向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．D 【分析】设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率． 【详解】解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()f x =，则在P 处的切线斜率'()4k f m m ===+， 即42m m +=，得4m =则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，则)221a PF PA =-==，即1a =，4c = ∴双曲线的离心率14c e a ==． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论． 13．30 【分析】利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求. 【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即3235(2)C x - .第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，即2222253(2)C xC x -，第三种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即124454(2)C x C x -，合并同类项，系数为80+1201030--=，故填30. 【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题. 14．18 【分析】先从CDEF 中安排两位志愿者照顾乙，再从剩余的除去A 的三位志愿者中选择两位照顾丙，计算得到答案. 【详解】先从CDEF 中安排两位志愿者照顾乙，有24C 种选择，再从剩余的除去A 的三位志愿者中选择两位照顾丙，有23C 种选择，剩余一位和A 照顾甲，故共有224318C C ⋅=种安排方法.故答案为：18. 【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．840 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式()1n a n n =+，再并项求和求解前40项和即可. 【详解】因为()*121,n n a a n n N +=++∈，且12a =，故2n ≥时，214a a -=，326a a -=，…12n n a a n --=，累加可得()()22246 (212)n n n a n n n +=++++==+， 11,2n a ==满足上式，即()1n a n n =+，故(){}1nn a -的前40项和1223344 5....39404041S =-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯即()20240222 4 (24028402)S ⨯+=⨯+⨯⨯=⨯=.故答案为：840 【点睛】本题主要考查了累加法求解数列通项公式、并项求和以及等差数列的求和公式等.属于中档题. 16．①③ 【分析】()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令()e ln 1x g x x x x k =---+，求出'()g x ，研究()g x 的性质，而'()0g x =在(0,)+∞上有唯一解t ，()g x 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，考虑0x →和x →+∞时函数的变化，只能有0x t =，这样可判断①③正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误． 【详解】由题意知()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x .令()e ln 1x g x x x x k =---+，11()(1)e (1)e xx x g x x x x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭，令0g x '=（）得1e x x =，当0x >时，1e xx=有唯一解t ，满足e 1t t =，故()g x 在(0,)t 上单调递减，(,)t +∞上单调递增.又因为0x →，();,()g x x g x →+∞→+∞→+∞，因此0t x =，即()00g x =，故002,ln 0k x x =+=.另外，令1()ln ,()10h x x x h x x'=+=+>，故h x （）在(0,)+∞上单调递增，11111e 10,ln 2ln 0e e 2224h h ⎛⎫⎛⎫=-+<=-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误. 故答案为①③． 【点睛】本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件．本题难度较大，属于困难题． 17．（1）[,],63k k k Z ππππ-++∈.（2）6【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开sin(2)6x π+，由二倍角的余弦公式整理22cos x ，再由辅助角公式化简得到()sin(2)16f x x π=--，再由三角函数的性质求出()f x 的增区间即可；（2）由5()264A f π-=-求出cos A 和sin A ，再由正弦定理求出AD ，利用()cos cos BDC ABD A ∠=∠+∠求出cos BDC ∠，再由余弦定理即可求出BC .【详解】（1） 由题意，211cos 2()sin(2)2cos 2cos 226222x f x x x x x π+=+-=+-⨯ ，化简得，()sin(2)16f x x π=-- ，由 222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈ ；（2）由（1）知，()sin(2)16f x x π=--所以5()sin 12624A f A ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，解得1cos 4A =，所以sin A由cos 4ABD ∠=，得sin 4ABD ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BD AD A ABD=∠，解得2AD =， 由2CD DA =，可得4DC =，()1cos cos 4BDC ABD A ∠=∠+∠==， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：2161024368BC =++⨯=，解得6BC =. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用，考查学生的分析计算能力，属于中档题.18．（1）0.024；（2）分布列见解析，525EX =；（3）8,11m n == 【分析】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而X 的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到X 的分布列及数学期望；（3）由19m n +=，且{}8,9m ∈，可知若8m =，则11n =，或若9m =，则10n =，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可. 【详解】（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A ，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以()0.60.20.20.024P A =⨯⨯=.（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X 的可能取值为8，9，10，11，12，从而(8)0.20.20.04,(9)20.20.40.16P X P X ==⨯===⨯⨯=，(10)20.20.40.40.40.32,(11)20.40.40.32P X P X ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=， (12)0.40.40.16P X ==⨯=.所以X 的分布列为80.0490.16100.32110.32120.1610.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）.或用分数表示也可以为14884528910111225252525255EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）. （3）解法一：记Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元） 因为19m n +=，且{}8,9m ∈， 1°若8m =，则11n =，116084000.480112000.162352EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；2°若9m =，则10n =，2160980102000.324000.162368EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为12EY EY <，故选择方案：8,11m n ==.解法二：记,ηξ分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）1°若8m =，则11n =，,ηξ的分布列为该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为1112800.616800.48800.8410800.162352E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；2°若9m =，则10n =，2ξ的分布列为2216098000.5210000.3212000.162368E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为1122E E E E ηξηξ+<+ 所以选择方案：8,11m n ==. 【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1) 取BC 的中点O ，连接1,AO B O ，可得AO BC ⊥，1B O BC ⊥，从而可得BC ⊥平面1B AO ，即可得到结论.(2) 设AB a ,由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=，在1AB C ∆中，有22211AB AO B O =+，则以1,,OA OB OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角的余弦值. 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接1,AO B O ， 由于ABC ∆与1B BC ∆是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥，且1AO B O O =，所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1B AO ，所以1BC AB ⊥.（2）设AB a ，ABC ∆与1B BC ∆是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=， 在1AB C ∆中，有22211AB AO B O =+，以1,,OA OB OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1,0,0,0,,0,2a A B B ⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面1ABB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100220022ax ay n AB n AB ax ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩，令1x =，则n =，又平面1BCB 的一个法向量为(1,0,0)m =， 所以二面角1C B B A --的余弦值为cos ||||n m n m θ⋅==⋅【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查求二面角的余弦值，求二面角的相关问题常用向量法，属于中档题.20．（Ⅰ）22x y 143+=；（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【分析】（Ⅰ）根据条件解得a,b 值，（Ⅱ）设点P （x 0，y 0），解得D 点坐标，即得以BD 为直径的圆圆心坐标以及半径，再根据直线PF 方程，利用圆心到直线PF 距离与半径大小关系作判断. 【详解】（Ⅰ）依题可知B （a ，0），a=2，因为c 1e a 2==，所以c=1，b =故椭圆C 的方程为22x y 143+=．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：设点P （x 0，y 0），则()22000x y 1y 043+=≠①当x 0=1时，点P 的坐标为（1，±32），直线PF 的方程为x=1， D 的坐标为（2，±2）．此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+-=与直线PF 相切． ②当0x ≠1时直线AP 的方程为()00y y x 2x 2=++， 点D 的坐标为004y D 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为002y 2x 2⎛⎫⎪+⎝⎭，，故002y BE x 2=+ 直线PF 的斜率为0PF 0y k x 1=-，故直线PF 的方程为()00y y x 1x 1=--，即00x 1x y 10y ---=， 所以点E 到直线PF的距离2y d BEx 2====+,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题题. 直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断. 21．（1）10a e<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求函数求导，分离参数，构造函数ln 1()xx g x e +=，利用导数研究其单调性，由其在()0,+∞上有两个零点，即可求得参数a 的范围； （2）根据题意，求得参数a ；将要证明的问题转化为求证212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，令21x x t -=，通过构造函数()22tt F t e et -=--，以及1()12t t e tG t e -=-+，通过上述两个函数的单调性即可证明. 【详解】（1）()ln xf x x x ae =-的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae =+-′，则()f x 在()0,∞+上存在两个极值点等价于()0f x '=在()0,∞+上有两个不等实根， 由()ln 10xf x x ae =+-=′，解得ln 1exx a +=， 令ln 1()xx g x e +=，则1(ln 1)()xx x g x e -+'=，令1()ln 1h x x x=--，则211()h x x x '=--，当0x >时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =， 所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以，1x =是()g x 的极大值也是最大值， 所以max 1()(1)g x g e==，所以1a e <，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x 大于0且趋向于0， 要使()0f x '=在(0,)+∞有两个根，则10a e<<； （2）证明：()()ln 1()ln ln 11xxx x f x x x ae ae ϕ=+-+--==+′，由(1)e ϕ=，得1a =，则()x x e ϕ=， 要证()00(1)x p y ϕ<<成立， 只需证1221122212x x x x x x e e e e ek x x +-+<=<-，即()121212122112x x x x x x x e ee e ex x -++-<<-，即212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 设210t x x =->，即证2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证22t t e e t -->，令()22t t F t e et -=--，则()221102t tF t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'，所以()F t 在(0,)+∞上为增函数，所以()(0)0F t F >=，即21tt e e t -<成立；要证112t t e e t -+<，只需证112t t e t e -<+，令1()12tte t G t e -=-+，则()()()222121()02121ttt t e e G t e e --'=-=<++， 所以()G t 在()0,∞+上为减函数，所以()(0)0G t G <=，即112t t e e t -+<成立； 所以2112tt t e e e t -+<<成立，即()00(1)x p y ϕ<<成立. 【点睛】本题考查利用导数由函数的极值点个数求参数范围，以及利用导数证明不等式，属综合中档题.22．（1）直线l ：20x y -+=；曲线C ：2y x =；（2． 【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角差的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程； （2）设出过P 且平行于l 的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值． 【详解】（1）直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为(sin cos )2ρθρθ-=， 即sin cos 2ρθρθ-=，可得2y x -=，即20x y -+=； 曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即为22sin cos ρθρθ=， 可得2y x =；（2）设过点20000()(),P x y y x <且平行于l的直线的参数方程设为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入抛物线方程2y x =，可得200021022t y x t ⎫-+-=⎪⎪⎭+， 设,PA PB 对应的参数分别为12,t t ，可得212002()t t y x =-，又2PA PB ⋅=，即有200|1|y x -=，由200y x <，可得2001y x =-，即2001x y =+，P 到直线20l x y -+=:的距离：20111224d y ⎡⎤⎛⎫===-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当012y =，054x =时，动点P 到直线l的最近距离为8．【点睛】本题主要考查的是直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题 Word版含答案
四川省宜宾叙州区第二中学2020届第一次高考适应性考试理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷选择题(60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z＝对应的点位于A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限2．已知集合A＝｛x|x（x﹣2）＜0}，B＝｛y|y＝}，则A∩B＝A．［1,2）B．（0，2）C．［0,2) D．［0,+∞）3．已知函数，则＝A．B．C．﹣log32 D．log324．α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则α∥β”是“m∥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数,前人取半，中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？"下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图,若输出的S＝15（单位：升)，则输入的k的值为A．45 B．60 C．75 D．1006．已知函数f（x）＝(2x+2﹣x）ln｜x｜的图象大致为A．B． C．D．7．为得到函数y＝cos（2x+）的图象,只需将y＝sin2x的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关,关税百钱．欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲C．乙应出的税钱约为32 D．丙付的税钱最少9．若,则cos(30°﹣2α)＝A．B．C．D．。
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学下学期第一次在线月考试题文[含答案]
f(x) = 1x2−x + alnx
20．（12 分）已知函数 2
．
（I）当a > 0时，讨论函数f(x)的单调性；
ln2 3
（II）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，证明:
f(x1) + f(x2) > −
2
− 4．
21．已知抛物线 C ：
y2 2 px （ p 0 ）的焦点是椭圆 M ：
16．1840
b2 c2 a2 2sinC sinA
17．（1）
bc
sinB ，
a bc 由 sinA sinB sinC 得 c2 a2 b2 ac ，
cosB c2 a2 b2 1
2ac
2，
B π
0 B π，
3；
（2）由（1）得
B
π 3
SΔABC
，
1 2
acsinB
B．a > c > b
C．b > a > c
D．b > c > a
8．已知函数
f
x
sin2x
sin
2x
3
，将其图象向左平移
（
＞0）个单位长度后
得到的函数为偶函数，则 的最小值是
A． 12
B． 6
C． 3
5 D． 6
9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，
1
f(x) = |x|−
5．函数
x的大致图像为
A．
B．
C．
D．
6．已知曲线
x2 a2
y2 b2
1 （a
0，b
0 ）的一条渐近线经过点 (
2020届四川省宜宾市叙州区第二中学高三一诊模拟数学(文)试题(解析版)
2020届四川省宜宾市叙州区第二中学高三一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】 由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B 【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题。
2．某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可。
【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数为21045C =，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为11246430C C C +=，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为302453=， 故答案选C【点睛】本题考查概率的求法，考查分层抽样，古典概型。
排列组合的知识，属于基础题。
3．设121iz i i+=--，则||z =（） A ．0 B ．1C ．5D ．3【答案】B【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模。
【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题。
四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三数学三诊模拟考试试题文[含答案]
6 cos 2sin 1 0
已知曲线 C 的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点，
极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 经过点
P
3, 3,倾斜角
3
．
（I）写出曲线 C 直角坐标方程和直线 l 的参数方程；
（II）设 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点, 求 AB 的值．
x2 x1
1
ln t
，故只需证
2(t 1) 1 t
C．
0,
D．
z 2i 2．复数 2 i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知命题
，则 为
A．
B．
C．
D．
4．对于 a, b 是任意非零实数，且 a b ，又 c R ，则有
A． lg(a b) 0
B． ac2 bc2
11 C． a b
bˆ i1
n
(xi x)2
， aˆ yˆ bˆx
i 1
19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD // BC, AB AD AC 3, PA BC 4, M 为线段 AD 上一点， AM 2MD ， N 为 PC 的中点. （I）证明： MN // 平面PAB; （II）求四面体 N BCM 的体积.
C
(0,
)
，∴
C
3
.
a sin A
b sin B
2 sin
4 3
3
a 4 3 sin A,b 4 3 sin B
（2）由正弦定理可知，
【精准解析】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三下学期第一次在线月考数学(文)试题
2020年春四川省叙州区第二中学高三第一学月考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|2,1,0,1,2,3A x x B =<=-，则A B =（ ）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A ，由此求得AB【详解】由2x <，解得22x -<<，所以{1,0,1}A B ⋂=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 2.定义运算,,a b ad bc c d=-，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 试题分析：221,2212,12,z i i i z i i i==-=--=-+，所以复数z 对应的点在第二象限，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.a bi - 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】C 【解析】 【分析】利用折线图的性质直接求解．【详解】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a=（）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B．a b=，则a与b的夹角为( )5.已知,a b均为单位向量，若-23A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】 由23a b -=可求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式，即可求出a 与b 的夹角．【详解】因为23a b -=，所以()2221443a b a ba b -=-=-⋅+=，解得12a b ⋅=． 设a 与b 的夹角为θ，1cos 2a b a bθ⋅==，所以3πθ=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量夹角公式和向量的模的计算公式的应用，属于基础题．6.函数3()x xx f x e e-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象． 【详解】()()()33x x x x x x f x f x e e e e----==-=-++，所以，函数()y f x =为奇函数，排除当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；又()322222821f e e e e--==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题．7.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 8.设函数()2sin (3)cos 2f x x a x ax =--+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点（0，0）处的切线方程为（ ） A. 3y x = B. 5y x = C. -5y x = D. -3y x =【答案】B【分析】f x是奇函数，求得参数a，再对函数求导，利用点斜式求得切线的方程.根据函数()f x【详解】因为()是奇函数，且其定义域为R，故()()030f a=--=，解得3a=，故()()23,23f x sinx x f x cosx'=+=+，则()05f'=，故过点()0,0点的切线方程为5y x=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用函数奇偶性求参数的值，属综合基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A. 43B. 2C. 6D. 25【答案】C【解析】由题可得立体图形：则AP BP==++=所以最长棱AB AC PC BC===+==,161646,4,1645,42为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可 10.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是()A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 23x π=【答案】C 【解析】分析：根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，得到g （x ）=3sin （2x ﹣6π），从而得到g （x ）图象的一条对称轴是3x π=.详解：将函数f （x ）=3sin （4x+6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin （2x+6π）的图象， 再向右平移6π个单位长度，可得y=3sin[2（x ﹣6π）+6π]=3sin （2x ﹣6π）的图象，故g （x ）=3sin （2x ﹣6π）．令 2x ﹣6π=kπ+2π，k∈z，得到 x=2k •π+3π，k∈z．则得 y=g （x ）图象的一条对称轴是3x π=，故选C ．点睛：本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin （ωx+∅）的图象的对称轴，属于中档题． y=Asin （ωx+∅）图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x 本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减. 11.设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ）A. 0ab >且0a b +>B. 0ab <且0a b +>C. 0ab >且0a b +<D. 0ab <且0a b +<【答案】B 【解析】 【分析】容易得出31log 0.40-<<，2log 31>，即得出10a -<<，1b >，从而得出0ab <，0a b +>．【详解】10.413<<，31log 0.40∴-<<. 又2log 31>，即10a -<<，1b >，0ab ∴<，0a b +>．故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．12.过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =； 圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =，设双曲线2213yx-=的左右焦点为1(2,0)F-，2(2,0)F，连接1PF，2PF，1F M，2F N，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r-=---2212(||4)(||1)PF PF=---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF=--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c=+-=+--=-=）．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选A．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知4a=，||1b=，2a b⋅=，则向量2a b-在b方向上的投影为__________．【答案】3【解析】【分析】先求出()2a b b-⋅的值，再由()2a b bb-⋅可得结果.【详解】因为4a=，1b=，2a b⋅=，所以()221413a b b a b -⋅=⋅-=-=,向量2a b -在b方向上的投影为()2331a b b b-⋅==,故答案为3. 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）.14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________. 【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==- 所以2a c==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且3AB =,14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.【答案】33【解析】 【分析】先计算球的半径为7，确定球心为HG 的中点，根据边角关系得到3AC =，计算面积得到答案.【详解】球O 的表面积为24287R R ππ=∴=如图所示：,H G 为11,BC B C 中点，连接HG90BAC ︒∠=，故三角形的外心在BC 中点上，故外接球的球心为HG 的中点.在Rt OGC ∆中：112,72OG BB OC R ====，故3CG =； 在Rt ABC ∆中：223BC CG ==，3AB =，故3AC =，故332ABC S ∆=故答案为33【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.16.以抛物线C ：22(0)y px p=>的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点.已知||26AB =，||210DE =，则p 等于__________． 【答案】2.【解析】 【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p 的值. 【详解】如图：||26AB =，||6AM =，||210DE =，||10DN =，||2pON =， 2(6)3A x p ∴==，||||OD OA =，∴2222||||||||ON DN OM AM +=+∴2291064p p+=+，解得：2p =，故答案为2．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中 档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S . 【答案】（1）21n a n -＝（2）324 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，列出关于1a 和d 的方程组，解方程组即可求解； （2）由题意，写出数列前n 项和公式，根据等比中项公式列方程，求解m 值，即可求解. 【详解】（1）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝.∴()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩，解得112a d ＝，＝， ()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝.（2）由（1）知，()21212n n n S n +-==.314m S a S ，，成等比数列，2314m S S a ∴=，即22927m ＝解得9m ＝，2218324m S =∴=【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题.18.2019年11月15日，我市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75).把年龄落在[)15,35和[)35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为2:3.（1）求图中,a b 的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值x ；（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的22⨯列联表，根据此统计结果，问能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？【答案】（1）0.010a =，0.035b =；x =39；（2）填表见详解；没有99%把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动 【解析】【详解】（1）依题意，青少年人，中老年人的频率分别为25，35， 由210100.0305a +⨯=310100.015200.0055b +⨯+⨯=得0.010a =，0.035b =由频率分布直方图中的平均数计算公式可得：200.1300.3400.35x =⨯+⨯+⨯500.15600.05700.0539+⨯+⨯+⨯=综上所述：0.010a =，0.035b =，x 39=. （2）由题意可知，“青少年人”共有2100405⨯=，“中老年人”共有1004060-=人 完成22⨯列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年人 15 25 40 中老年人 35 25 60 合计 5050100结合列联表()2210035251525 4.17 6.63550506040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯故没有99%把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动.【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求解，以及2K 的计算和利用2K 进行判断，属综合基础题.19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AC AB ⊥，PH BC ⊥，2PA PC AC AB ====.H 为AC 的中点P .（1）求证：PA AB ⊥； （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）见证明（2）217【解析】 【分析】（1）由已知可得PH AC ⊥，又PH BC ⊥，由线面垂直的判定定理得到PH ⊥面ABC ，进而得到PH AB ⊥，结合AB AC ⊥，又可证得AB ⊥面PAC ，再由线面垂直的性质得到AB ⊥PA ；（2）利用P ABC A PBC V V --=，可得1PH AB ACh PC h ⨯⨯=⨯，再利用已知数据求解即可.【详解】（1）在等边PAC ∆中，H 为AC 中点 ∴PH AC ⊥∵PH BC ⊥，且AC BC C ⋂= ∴PH ⊥面ABC ∵AB ⊂平面ABC ∴PH AB ⊥∵AB AC ⊥，PH AC H ⋂= ∴AB ⊥面PAC ∴PA AB ⊥.（2）在Rt ABC ∆中，2228BC AB AC =+=，∴BC =，同理PB =故在PBC ∆中，PC 边上的高1h ==设点A 到平面PBC 的距离为h ，P ABC A PBC V V --=. ∴111113232PH AB AC h PC h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴1PH AB AC h PC h ⨯⨯===⨯即点A 到平面PBC. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查了等体积转化的解题技巧，是中档题．20.已知点()1,0F -，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点H ，且11022PF PH PF PH ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线AB 与MN 分别交轨迹C 于A B M N ，，，四点.求AB MN +的取值范围.【答案】（1）22143x y += (2) 4877，⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）设动点()P x y ，，则()4H y -，，由11022PF PH PF PH ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开计算得到x y ，的关系式即可；(2)当直线AB 的斜率不存在（或者为0）时，可求出A B M N ，，，四点坐标，即可得到7AB MN +=；当直线AB 的斜率存在且不为0时，设为k ，直线AB 的方程为()1y k x =+，与轨迹C 的方程联立，结合根与系数的关系可得到AB +MN 的表达式，然后利用函数与导数知识可求出AB MN +的取值范围． 【详解】（1）设动点()P x y ，，则()4H y -，， 由11022PF PH PF PH ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2214PF PH =， 所以()2221144x y x ++=+， 化简得22143x y +=.故点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB x ⊥轴， 可设()()331,1,2,02,022A B M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 347AB MN AB MN ，，==∴+=，当直线AB 的斜率为0时，AB y ⊥轴，同理得7AB MN +=，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设为k ，则直线AB 的方程为：()1y k x =+，设()()1122A x y B x y ，，，，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得:()22223484120k xk x k +++-=，则222121222841214414403434k k k x x x x k k-∆=+>+=-=++，， 所以()()()()()()()()224222222212121212222221441641648141343434k k k AB x x y y k x x x x k k k k ⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤=-+-=++-=+-=⎣⎦⎢⎥+++⎣⎦， 则()2212134k AB k +=+，直线MN 的方程为：()11y x k=+， 同理可得：()2222112112134134k k MN k k ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 所以()()22221211213434k kAB MN k k +++=+++令21t k =+，则()1,t ∈+∞()12123141t tg t t t ∴=++-， ()()()()228423141t t g t t t -∴=+-'，由()0g t '>，得2t >；()0g t '<，得12t <<；()g t ∴在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增()()4827g t g ∴≥=， 又()()2711212773141121t t t g t t t t t -=+=+<+-+-，故()4877g t ，⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述，AB EF +的取值范围是4877，⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题． 21.已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1. 【解析】 【分析】（1）根据()0f x '≥在()0,1上恒成立可得实数m 的取值范围．（2）由题意得()1ln F x x x=-，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义求得20011a x x =+，又由0001ln x ax b x -=+，得002ln 1b x x =--，从而得到020011ln 1a b x x x +=+--，然后再利用导数求出函数()211ln 1(0)h x x x x x =+-->的最小值即可． 【详解】（1）∵()1ln f x x mx x=--，∴()211f x m x x=+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数， ∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-． （2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-， ∴a b +的最小值为1-．【点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础，而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力和转化意识的运用，属于基础题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标.【答案】(1) 40x y +-=,2C的参数方程为x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. (2) 31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合(1)的结论，设),sin Q ϕϕ，利用点到直线的距离公式可得到d 的表达式，利用三角函数求最值即可得到d 的最小值，即PQ 的最小值，进而可以得到Q 点的直角坐标．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+= 即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=， 2C ∴的参数方程为x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.（2）设曲线2C 上动点为Q ),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C的距离：=, ∴当sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即6πϕ=时，d ，即PQ 362162x y sin ππ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义得到156x x ++-≥，从而可得所求范围．（2）由分析法得到即证明不等式1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭成立即可，然后根据,a b 的大小关系分类讨论证明即可．【详解】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥．故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集，则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-．（2）证明：由,a b 为不相等的正数，要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >，只需证1a b b a a b -->，整理得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立． 【点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案．（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．。
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绝密★启用前四川省叙州区第一中学高2020届第二次高考适应性考试文科数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}260A x x x =--<，{}10B x x =-<，则A B ⋂的值是 A ．()-,1∞ B ．()-2,1C ．()-3,-1D ．()3,+∞2．若复数312a iz i+=-（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的虚部为 A ．3-B ．3iC ．3D ．3i -3．已知向量1(8,)2a x =，(,1)b x =，0x >，若2a b -与2a b +共线，则x 的值为 A ．4B ．8C ．0D ．24．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是A ．这10天中，12月5日的空气质量超标B ．这10天中有5天空气质量为二级C ．从5日到10日，PM 2.5日均值逐渐降低D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是475．在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE = A ．1136AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+ D ．1536AC AB -6．已知数列{}n a 满足11n n na a n +=+，11a =，则数列{}1n n a a +的前10项和为 A ．1011B ．1110 C ．910D ．1097．已知0.22018a =，20180.2b =，2018log 0.2c =，则 A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>8．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥ B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l αD ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m9．已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，A ，B 为抛物线C 上两点，且6AF BF +=．则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．3B ．2C ．25 D ．23 10．在ABC △中，)sin(3)2sin(3A A -=-ππ，)cos(3cos B A --=π则ABC △为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11．已知抛物线1C ：2y tx =(0,0)y t >>在点4(,2)M t处的切线与曲线2C ：x y e =相切，若动直线y a=分别与曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 A ．ln 313+ B ．ln 313- C ．1ln 22+ D ．1ln 22- 12．过点(1,0)P -的直线与圆22:(3)4E x y -+=相切于M ，N 两点，且这两点恰好在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为A ．7B ．2C ．35D ．7二、填空题第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为______.14．经过点()()1002，、，且圆心在直线2y x =上的圆的方程是____. 15．已知直线10kx y k -+-=恒过定点A ，且点A 在直线()200,0mx ny m n +-=>>上，则mn 的最大值为_____________16．定义11222n n n a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________．三．解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，csin bB=. （Ⅰ）求A ；（II ）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.（命题意图）本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.19．（12分）如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E F ，分别为AC ，AB 的中点PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP . （1）证明：AP ⊥平面BPC ；（2）若3AP =，棱PC 上是否存在一点M ，使得E APF P EMB V V --=？ 若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线:24l x y +=与椭圆有且只有一个交点T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程和点T 的坐标；（II ）设O 为坐标原点，与OT 平行的直线l '与椭圆C 交于不同的两点A B ，，直线l '与直线l 交于点P ，试判断2PTPA PB⨯是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.21．e 是自然对数的底数，0a >，已知函数()x af x x e=+，x ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；（II ）对于()xg x e =，证明:当2a e≥时，()()()111x f x g x g e ≥≥+.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()f x x a x b =-++（Ⅰ）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解集； （Ⅱ）若0a >，0b >，且42a b ab +=，求证：()92f x ≥．四川省叙州区第一中学高2020届第二次高考适应性考试文科数学参考答案1．B 2．C3．A4．C5．D6．A7．C8．B9．B10．B11．D12．D13．51 14．()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 15．1 16．16773k ≤≤17．（1）∵cos sin sin b a A B A ==，∴tan 3A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cosBC B C C -=-∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-，∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =.∵6A π=，∴23B π=.∵2a =，∴2a c ==. ∴113sin 22322ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 18．（1）当日需求量n≥17时，利润y ＝85．当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85．所以y 关于n 的函数解析式为1085,17{85,17n n y n -<=≥（n ∈N ）．（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元， 16天的日利润为75元，54天的日利润为85元， 所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4． ②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7． 19．（1）依题意得，AE EP EC ==，所以AP PC ⊥ 因为E F ，分别为AC ，AB 的中点，所以EF BC ∥因为AC BC ⊥所以EF AC ⊥又因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到， 所以EF PE ⊥ACPE E =，AC ⊂平面APC ，PE ⊂平面APC则EF ⊥平面APC 所以EF AP ⊥，即BC AP ⊥BC PC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC解法一：（2）若E APF P EMB V V --=， 则F APE B MCE V V --=因为EF BC ∥且12EF BC =所以2APE EMC S S =△△， 又AE EC =所以M 为PC 的中点解法二：（2）因为AC BC ⊥，30BAC =︒，4AB =， 所以23AC =，3AE PE ==，2BC = 又3AP =，所以33APE S =△由（1）知EF ⊥平面APC 若E APF P EMB V V --=，则133EMC S BC ⨯=△，所以33EMC S =△由（1）知，在Rt APC 中，222AP PC AC +=，即()222323PC +=解得3PC =；所以PEC 为正三角形，33PEC S =△即12EMC PEC S S =△△，所以M 为PC 的中点。