【考点】由累加法与累积法求通项精编版
1用累加法求an
1用累加法求an=an－1+f（n）型通项例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1 则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)评注：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。
2、用累积法求an= f（n）an－1型通项例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an（2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an解：（1）由条件an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1) （2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－2(n（n＋1）)评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。
一轮复习-数列通项公式的求法
d d 因此数列 a n 构成以 为首项，以c为公比的等比数列， a1 c 1 c 1 d d n 1 d d ) c an (a1 ) c n1 即：an (a1 c 1 c 1 c 1 c 1
c 1
c 1
数列an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an .
练习5．设数列{an }满足
a1 . an 3
2 an . n 1 2 3 1
n1 a Aa B A n 形如 n1 的递推式
相除法 两边同除以 A
求 an 通项公式.
解： an 3an1 3
分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好
解：由 an 2an1 1 得： an 1 2(an1 1) ∴ {an 1} 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列 故 an 1 2 2 ∴ an 2 1
n n1
2n
已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列 的通项公式
已知数列{an },满足 an1 an 2n 1
所以数列
{an }的通项公式 an n
2
2、累乘法
a 若数列 {an } ,满足 n 1 f ( n)(n N ) an
其中数列 { f (n)}前n项积可求，则通项 an 可用
逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。
令 bn an1 an 则数列{bn} 是以4为公差的等差数列 b1 a2 a1 2 ∴ bn b1 (n 1)d ∴bn an 1 an 4n 2 两边分别相加得： ∴a2 a1 4 1 2 an a1 4[1 2 3 (n 1)]
数列求通项知识点总结与题型归纳讲义
10.3数列求通项知识梳理.数列求通项1.利用n S 与n a 的关系求通项公式；2.累加法：若已知1a 且()()12n n a a f n n --=≥的形式；3.累乘法：若已知1a 且()()12nn a f n n a -=≥的形式；4.构造法：若已知1a 且()12,0,1n n a pa b n p p -=+≥≠≠的形式qpa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）；题型一.利用Sn 与an 的关系考点1.已知Sn 与an 的关系求an1．已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 5＝9，数列{b n }的前n 项和S n =23b n +13．（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，∴d =12（a 5﹣a 3）＝2，又∵a 3＝5，∴a 1＝1，∴a n ＝2n ﹣1，当n ＝1时，S 1=23b 1+13，∴b 1＝1，当n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1=23b n −23b n ﹣1，∴b n ＝﹣2b n ﹣1，即数列{b n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴b n ＝（﹣2）n ﹣1，2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2=3(−1)(∈∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2S n＝3（a n﹣1），2S n﹣1＝3（a n﹣1﹣1），两式作差可得2a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝3a n﹣1，所以数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n＝3n；3．记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＜0，a n2﹣3a n＝4﹣6S n．（1）求数列{a n}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，12−31=4−61，所以a1＝﹣4或a1＝1（舍）当n≥2时，因为2−3=4−6，所以K12−3K1=4−6K1，两式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+3）＝0，因为a n＜0，所以a n﹣a n﹣1＝﹣3，所以数列{a n}是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，所以a n＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．考点2.带省略号1．设数列{a n}满足1+32+⋯+(2−1)=2o∈∗)．（Ⅰ）求a1，a2及{a n}的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n，当n＝1时，a1＝2，当n＝2时，a1+3a2＝4，∴a2=23，∵a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n，①，∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1），②①﹣②得：（2n﹣1）•a n＝2，∴a n=22K1，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴=22K1；2．已知数列{a n}，a n＝2n+1，则12−1+13−2+⋯+1r1−=（）A．1+12B．1﹣2n C．1−12D．1+2n【解答】解：a n+1﹣a n＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n∴1r1−=12∴12−1+13−2+⋯+1r1−=12+122+⋯+12=1−12故选：C．题型二.累加法1．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；【解答】解：（1）由a1＝1，a n+1＝a n+n+1，可得n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）＝1+2+3+...+n=12n（n+1），即a n=12n（n+1），n∈N*；2．设数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝3•22n﹣1，则数列{a n}的通项公式是a n＝22n﹣1．【解答】解：∵a1＝2，a n+1﹣a n＝3•22n﹣1，∴n≥2时，a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝2+3•2+3•23+…+3•22n﹣3＝2+3⋅2(1−4K1)1−4=22n﹣1；当n＝1时a1＝2适合上式．∴=22K1．故答案为：22n﹣1．3．在数列{a n}中，1=2，r1=+B(1+1)，则数列{a n}的通项a n＝．【解答】解：a1＝2＝2+ln1，3=2+B2+B(1+12)=2+ln [2×（1+12）]＝2+ln 3，4=2+B3+B(1+13)=2+ln 4．由此可知a n ＝2+lnn ．故选：D ．题型三.累乘法1．在数列{a n }中，已知（n 2+n ）a n +1＝（n 2+2n +1）a n ，n ∈N +，且a 1＝1，求a n 的表达式．【解答】解：由题意，r1r1=∵a 1＝1，∴{}是以1为首项，0为公差的等差数列，∴=1，∴a n ＝n ．2．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n +1=3K13r2a n （n ≥1），求a n 的通项公式．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝3，a n +1=3K13r2a n （n ≥1），∴K1=3K43K1（n ≥2），∴a n =K1⋅K1K2•…•32•21⋅1=3K43K1•3K73K4•…•58•25•3=63K1，当n ＝1时也成立．∴a n =63K1．3．已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，且2na n +12+（n ﹣1）a n a n +1﹣（n +1）a n 2＝0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为a n ＝(12)K1⋅．【解答】解：∵2na n +12+（n ﹣1）a n a n +1﹣（n +1）a n 2＝0，∴（2na n +1﹣（n +1）a n ）•（a n +1+a n ）＝0，∵数列{a n }为正项数列，∴2na n +1﹣（n +1）a n ＝0，∴r1=r12，∴21=22，32=34，43=46，…K1=2(K1)，两边累乘得，1=22×34×46×⋯×2(K1)=n •(12)K1∴a n =(12)K1⋅，故答案为：(12)K1⋅，题型四.构造法1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n +1＝2a n +1，且a 1+2a 2＝a 3．（1）求数列{a n }的通项公式；【解答】解：（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n +1＝2a n +1，整理得：a n +1+1＝2（a n +1），由a 1+2a 2＝a 3＝2a 2+1，解得a 1＝1，故数列{a n +1}是以a 1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；所以=2−1．2．已知数列{a n }满足a n ＝3a n ﹣1+3n （n ≥2，n ∈N *），首项a 1＝3．（1）求数列{a n }的通项公式；【解答】解：（1）数列{a n }满足=3K1+3（n ≥2，n ∈N *），∴−3K1=3，又∵3n ≠0，∴3−K13K1=1为常数，∴数列{3}是首项为13=1、公差为1的等差数列，∴3=n，∴=⋅3（n∈N*）；3．已知数列{a n}满足1=12，r1=+1，则a2021＝（）A．12019B．12020C．12021D．12022【解答】解：因为r1=+1，则1r1−1=1，又1=12，则11=2，所以数列{1}是首项为2，公差为1的等差数列，则1=+1，所以=1r1，则a2021=12021+1=12022．故选：D．。
高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结
数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系.然后猜想检验.即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝，n；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n ). 累积法.如a n ＋1a n＝f (n )； (5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0.且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差.即.然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k =-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤=<<=(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成.那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性.则常可考虑选用倒序相加法.发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时.常将“和式”中“同类项”先合并在一起.再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+.利用累加法(逐差相加法)求解。
专题03 累加法累乘法求数列通项(精编版)
专题03 累加法累乘法求数列通项【必备知识点】◆累加法若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=-+，则称数列{}n a 为“变差数列”，求变差数列{}n a 的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121≥-+⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n n f f f f a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累加法. 具体步骤：21(1)a a f -= 32(2)a a f -= 43(3)a a f -=1(1)n n a a f n --=-将上述1n -个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：2132431()()()()n n a a a a a a a a --+-+-++-=(1)(2)(3)(1)f f f f n ++++-整理得：1n a a -=(1)(2)(3)(1)f f f f n ++++-【经典例题1】已知数列{}n a 满足11a =，对任意的n *∈N 都有11n n a a n +=++，则10a =（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66【经典例题2】已知数列{}n a 满足12nn n a a +-=，11a =，则5a =（ ）A ．30B ．31C ．22D ．23【经典例题3】已知数列{}n a 满足12a =，()111n n a a n n +-=+，则10a =（ ）A ．238B ．289C ．2910D ．3211【练习1】已知数列{n a }满足*22212,3(N )n n n a a a n -==+∈，1*212(1)(N )n n n a a n ++=+-∈，则数列{n a }第2022项为（ ） A ．1012352-B ．1012372-C ．1011352-D ．1011372-【练习2】已知数列{}n a 满足122()3n n n a a n a *+-=∈=N ，，则8a =（ ）A ．511B ．502C ．256D ．255【练习3】已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________【练习4】数列{}n a 中，11211,n n a a a n n+==++，则5a =__________.【练习5】已知数列{}n a 满足11a =，且1,(2)n n a a n n --=≥，若12n nb a =，n 为正整数，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________．【练习6】若数列1{}+-n n a a 是等比数列，且11a =，22a =，35a =，则n a =________．◆累乘法若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a nn ∈=+，则称数列{}n a 为“变比数列”，求变比数列{}n a 的通项时，利用)2()1()3()2()1(113423121≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n n f f f f a a a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累乘法。
累加法求数列的通项公式
06
总结与拓展
Chapter
累加法优缺点总结
要点一
适用性广
累加法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等 。
要点二
易于理解
累加法的原理简单明了，容易理解和掌握。
累加法优缺点总结
累加法优缺点总结
计算量较大
对于复杂数列，累加法可能需要大量的计算步骤，增加 了求解的难度。
对初始条件敏感
累加法的结果受初始条件影响较大，不同的初始条件可 能导致不同的通项公式。
得出通项公式
通过前n项和表达式，利用求和公式或差分方法，推导出原数列的通项公式。
对得出的通项公式进行验证，确保其符合原数列的性质和规律。
03
实例分析：等差数列通项公式 求解
Chapter
等差数列定义及性质
定义
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
性质
等差数列具有均匀变化的特性，即相邻两项的差是一个常数。
性质
适用于具有相邻两项之差为常数或具 有某种特定规律的数列。
适用范围及条件
适用范围
适用于等差数列、部分特殊数列（如相邻两项之差为等比数列的数列）。
条件
要求数列的相邻两项之差具有某种规律，且该规律能够用数学表达式表示。
与其他方法比较
与累乘法比较
累乘法适用于相邻两项之比为常数或具有某种特定规律的数列，而累加法适用于相邻两项之差为常数或具有某种特定 规律的数列。
的。因此，可以得到等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。
04
实例分析：等比数列通项公式 求解
Chapter
等比数列定义及性质
专题一数列通项公式求法详解八种方法
关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nn a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B)42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项 公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b nn n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12-=n s n答案：（1）n a =3232+-n n ，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：)(52N n n a n ∈+=例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：na n 12-=（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(1+=+n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c dλ，所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a . 答案：12-=nn a构造2：相邻项的差为特殊数列例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a .提示：变为)(31112n n n n a a a a --=-+++. 构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n +=--11】例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 nb a n n 11==例13：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n n bqd n a c 建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .例14：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ② 由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等 积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可 通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例15： 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2)1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=-- 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积：设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+. 试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 答案： 1224-+-=n n n S方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 . 答案S ＝44.5 方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 答案 2)13(11n n a a a s n n -+--=-.试一试1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 .简析：由于与n k k k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111个个、分别求和. 方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f a n -+= ； （2）11++=n n a n =n n -+1；（3）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n（5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n . [例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n ，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 答案 0 [例9] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。
求数列通项公式之累加法
求数列通项公式之累加法数列通项公式是指对于给定的数列，可以通过计算来得到数列中第n 项的表达式。
在数学中，有很多方法可以求解数列的通项公式，其中之一就是累加法。
首先，我们先来介绍一下数列及累加的概念。
数列是按照一定规律排列的一串数，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示，其中$a_i$表示数列中的第i项。
累加则是将一系列数进行求和的操作。
对于一个数列$a_1,a_2,a_3,...$，我们可以通过累加法求解其通项公式。
具体步骤如下：Step 1：观察数列的差分序列首先，我们观察原数列的差分序列，即将连续两项之间的差值构成一个新的序列。
通过观察原数列和其差分序列之间的规律，我们可以找到一种递推关系式，从而推导出原数列的通项公式。
Step 2：尝试构造递推关系式基于观察的差分序列，我们可以尝试构造递推关系式。
递推关系式是指通过已知的几项数值，来计算下一项的公式。
假设原数列的差分序列为$b_1,b_2,b_3,...$，我们可以假设$b_n$与前几项的关系为：$b_n = c_1 \cdot b_{n-1} + c_2 \cdot b_{n-2} + ... + c_k\cdot b_{n-k}$其中，$c_1,c_2,...,c_k$为待确定的系数。
Step 3：确定递推关系式中的系数为了确定递推关系式中的系数，我们需要利用原数列的前几项进行迭代计算。
对于差分序列，我们可以根据已知的几项计算出下一项。
然后，将计算出的差分序列代入递推关系式，从而确定$c_1,c_2,...,c_k$的值。
Step 4：求解初始条件通过递推关系式，我们可以得到原数列的通项公式。
然而，为了完整地表示数列的通项公式，我们还需要确定初始条件，即$a_1,a_2,...,a_k$的值。
初始条件可以通过已知的数列前几项来确定。
Step 5：整理得到通项公式将所得的递推关系式和初始条件整理，就可以得到数列的通项公式。
通过以上的步骤，我们可以利用累加法求解数列的通项公式。
利用累加法算通项公式
利用累加法算通项公式
利用累加法来推导通项公式有时候是不可行的，因为累加法适用于已知通项公式的情况。
通项公式是指数列中第n项与n之间的关系式。
如果我们已知通项公式为an = f(n)，则可通过累加法来推导。
假设我们已知数列的首项是a1 = f(1)，我们可以通过累加法来得到数列的第n项an的公式。
过程如下：
1. 计算前n项和Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an；
2. 观察前n项和Sn与n之间的关系，寻找规律；
3. 推导出Sn与n的关系式；
4. 通过Sn和n的关系式，推导出an与n的关系式。
举个例子说明：
假设有一个等差数列，首项为a1，公差为d。
我们希望推导出通项公式。
1. 首先，我们计算前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)；
2. 观察前n项和Sn，我们可以发现第k个数项是a1 + (k-1)d，其中k是第k个数的下标；
3. Sn可以写成Sn = n*a1 + (1+2+3+...+(n-1))*d = n*a1 + (n*(n-1)/2)*d，我们得出Sn与n之间的关系。
4. 通过Sn与n之间的关系，我们可以推导出an与n之间的关系为an = a1 + (n-1)*d，这就是等差数列的通项公式。
在实际推导中，我们可能需要使用更复杂的数学方法来求解Sn与n之间的关系式，如求和公式等。
高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结(可编辑修改word版)
n n 1 n n n 1⎨ 1 ≠数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1) 观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式 a n ； (2) 利用前 n 项和与通项的关系 a n ＝Error!Error! (3) 公式法：利用等差(比)数列求通项公式；a n ＋1(4) 累加法：如 a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且 A ≠1)．2、求和常用的方法：(1) 公式法：a n ＝f (n )；① S = n (a 1 + a n ) = na + n (n - 1) dn2 12 ⎧ na 1(q = 1) ② S n = ⎪a (1- q n ) (q 1) ⎩⎪ 1- q(2) 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：①1 11n (n 1) n n 1 ② 1 1 ( 1 1 ) n (n k ) k n n k ③ 1 1 1 ( 1 1 ); 1 1 1 1 1 1 1 k 2 k 2 1 2 k 1 k 1 k k 1 (k 1)k k 2 (k 1)k k 1 k④ 1 1 [ 1 1] n (n 1)(n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)⑤ 2(n ) 2122(n1)(3) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法) .(4) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前 n 项和公式的推导方法) .(5) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题n 1nn n n +1 n nn1 考点 1：求数列的通项 [题型 1] a n +1 = a n + f (n )解法：把原递推公式转化为 a n +1 - a n = f (n ) ，利用累加法(逐差相加法)求解。
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【考题】（1）已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（2）已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11212+⨯=-∴a a
12223+⨯=-a a
1
3234+⨯=-a a
1121+-=--)(n a a n n
相加得：112
12
11321221-=-+-=-+-+++=-n n n n n n a a n )()]([ ∴2121n a n a n =+-= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而利用逐差求和法求得数列{}n a 的通项公式。
【专项巩固题】A 组
1． 在数列{}n a 中，)11ln(,211n
a a a n n ++==+，则（ ）
A.n ln 2+
B.n n ln )1(2-+
C.n n ln 2+
D.n n ln 1++
2． 已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a n .
3． 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .
4． 已知数列{}n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n
（Ⅰ）求32,a a
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式
5． 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
【考题】已知n n n a a a 2,111==+，求数列}{n a 的通项公式
【解析】：∵n n n a a 21=+∴n n
n a a 21=+，得 11
22=a a 22
32=a a 33
42=a a ……
11
2--=n n n a a 上述各式相乘得：13211
213423122222----⋅⋅=⋅⋅⋅⋅n n n n n a a a a a a a a a a 即2)
1()1321(1
22--++++==n n n n a a 又11=a ，所以2)1(2-=n n n a
【专项巩固题】A 组 6． 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
7． 已知a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1
(n ≥2)；求数列{a n }的通项公式
8． 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
9． 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公
式。