重庆市长寿中学2017-2018学年高二数学下学期第三次月考试题理
重庆八中2017-2018学年高二下学期第四次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年重庆八中高二（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p5．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．已知命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x≤0，2x≠3B．“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题D．命题“∀x∈R，sinx＜x”是真命题7．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．08．已知不等式＞0的解集为（﹣1，2），则二项式（ax﹣）6展开式的常数项是（）A．5 B．﹣5 C．15 D．259．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（）A．18种B．36种C．48种D．54种10．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，函数f（x﹣2）是奇函数，且f（4）=1，则f A．2016 B．﹣2016 C．1 D．﹣111．已知函数，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（）A．M+N=8 B．M﹣N=8 C．M+N=6 D．M﹣N=612．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=的定义域为．14．已知f（x）=，（i为虚数单位），则f（f（1﹣i））=．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（﹣2）=2，则f（4）=．16．重庆八中开设6门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学这道题得分ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞．请考生从第22～24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆八中高二（下）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．【解答】解：若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．∴若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的必要非充分条件．故选B．4．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ＞1）=p ，则P （﹣1＜ξ＜0）等于（ ）A ． pB ．1﹣pC ．1﹣2pD ．﹣p【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N （0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P （ξ＞1）=p ，即可求出P （﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴正态曲线关于ξ=0对称， ∵P （ξ＞1）=p ， ∴P （ξ＜﹣1）=p ，∴P （﹣1＜ξ＜0）=﹣p ． 故选：D ．5．函数y=lncosx （）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决． 【解答】解：∵cos （﹣x ）=cosx ，∴是偶函数，可排除B 、D ，由cosx ≤1⇒lncosx ≤0排除C ， 故选A ．6．下列说法正确的是（ ）A ．已知命题p ：∃x 0＞0，2x0=3，则￢p 是∀x ≤0，2x ≠3B ．“p ∧q 为假命题”是“p ∨q 为假命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈（0，1），lnx +x 2=0”是真命题D ．命题“∀x ∈R ，sinx ＜x ”是真命题 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出特称命题的否定判断A；由复合命题的真假判断判断B；利用函数零点判定定理判断C；举例说明D错误．【解答】解：命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x＞0，2x≠3，故A错误；由p∧q为假命题，可知p、q中至少一个为假命题，则p∨q可能为真命题；反之，p∨q为假命题，可知p、q均为假命题，则p∧q为假命题．∴“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的必要不充分条件，故B错误；令f（x）=lnx+x2，f′（x）=＞0在（0，1）上恒成立，f（x）=lnx+x2在（0，1）上为增函数，又f（1）=1＞0，当x＞0且趋于0时，f（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上有零点，即命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题，故C正确；当x=0时，sin0=0，∴命题“∀x∈R，sinx＜x”是假命题，故D错误．故选：C．7．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考点】二次函数的性质．【分析】当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得，m=﹣2，故选：C．8．已知不等式＞0的解集为（﹣1，2），则二项式（ax﹣）6展开式的常数项是（）A．5 B．﹣5 C．15 D．25【考点】二项式定理．【分析】由条件解分式不等式求出a的值，再根据二项展开式的通项公式，令x的系数等于零求出r的值，可得展开式的常数项．【解答】解：不等式＞0，即0，根据它的解集为（﹣1，2），可得=﹣1，a=﹣1．=•x6﹣3r，二项式（ax﹣）6=（﹣x﹣）6=（x+）6的展开式式的通项公式为T r+1令6﹣3r=0，求得r=2，可得展开式的常数项是=15，故选：C．9．5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（）A．18种B．36种C．48种D．54种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列知识求解即可．【解答】解：若甲排在第一位，则乙可能排在第三、四或五位有3种可能，其余三人任意排列，有3A33种排列；若甲排在第二位，则乙可能排在第四或五位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列；若甲排在第三位，则乙可能排在第一或五位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列；若甲排在第四位，则乙可能排在第一或二位有2种可能，其余三人任意排列，有2A33种排列．综上可得，满足条件的所有不同的排列有（3+3×2）A33=54种，故选：D．10．已知函数f（x）（x∈R）是偶函数，函数f（x﹣2）是奇函数，且f（4）=1，则f A．2016 B．﹣2016 C．1 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，从而求出函数值即可．【解答】解：∵f（x﹣2）为奇函数，∴f（x﹣2）=﹣f（﹣x﹣2），∴f（x+2﹣2）=﹣f[﹣（x+2）﹣2]，∴f（x）=﹣f（﹣x﹣4），∴f（x﹣4）=﹣f[﹣（x﹣4）﹣4]，∴f（x﹣4）=﹣f（﹣x），∴f（x﹣4）=﹣f（x），而f（x）是偶函数，∴f（x﹣4﹣4）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=﹣[﹣f（x）]，∴f（x﹣8）=f（x），∴周期为8，∴f=f（﹣8）=﹣f（4）=﹣1，故选：D．11．已知函数，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（）A．M+N=8 B．M﹣N=8 C．M+N=6 D．M﹣N=6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由已知中函数的解析式，可以判断出函数的单调性，进而得到f（x）的最大值M和最小值N，进而得到答案．【解答】解：∵函数为增函数故M==+cos1N==﹣cos1故M+N=6故选C12．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=的定义域为[3，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据使函数f（x）=的解析式有意义，得到不等式组：，解得答案．【解答】解：若使函数f（x）=的解析式有意义，自变量x须满足：，解得：x∈[3，+∞），故函数f（x）=的定义域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）14．已知f（x）=，（i为虚数单位），则f（f（1﹣i））=3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分段函数值的求法结合复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：由f（x）=，得f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2，∴f（f（1﹣i））=f（2）=1+2=3．故答案为：3．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（﹣2）=2，则f（4）=20．【考点】抽象函数及其应用．【分析】观察题设条件，可先令x=y=0求出f（0），再令x=2，y=﹣2，求出f（2）的值，即可得出结论．【解答】解：由题意令x=y=0，则有f（0）+f（0）=f（0），故得f（0）=0令x=2，y=﹣2，则有f（﹣2）+f（2）﹣8=f（0）=0，又f（﹣2）=2∴f（2）=6，∴f（4）=f（2）+f（2）+2×2×2=20．故答案为：20．16．重庆八中开设6门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有1290．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，若都选1门，有A63=120种；若有1人选2门，则有=540种，若有2人选2门，则有=540种，若有3人选2门，则有=90种，故共有120+540+540+90=1290种，故答案为：1290．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{b n}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q由=54，得，从而q=3因此又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故a n=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（2）令两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又．18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽（）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分．（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学这道题得分ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）用每一空的得分乘以得分人数作和，然后除以总人数得答案；（2）由图表分别求出两空答对的概率，进一步求得得分分别为0、2、3、5的概率，列出分布列，再由期望公式求得期望．【解答】解：（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得：，据此可估计该校高三学生该题的平均分为3.0；（2）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，P（ξ=0）=（1﹣0.8）（1﹣0.3）=0.14，P（ξ=2）=（1﹣0.8）0.3=0.14，P（ξ=3）=0.8（1﹣0.3）=0.56，P（ξ=5）=0.8•0.3=0.24．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．【分析】（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间．（Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，构造函数，利用单调性去判断．【解答】解：（Ⅰ）f'x=0减极小值，；增区间为（Ⅱ）由题，对于函数，有∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3，从而，所以，当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a﹣1＜0，∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3），此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a；∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数的两个零点，﹣﹣﹣﹣即有，消去a有2x1lnx1﹣x1=2x3lnx3﹣x3令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增要证明⇔⇔因为g（x1）=g（x3），所以即证构造函数，则只需要证明单调递减即可．而，，所F′（x）在上单调递增，所以F′（x）＜F′（）=0．∴当0＜a＜1时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生从第22～24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l 的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|2=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2acosθ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，由消掉t，得y=x﹣2，所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y2=2ax，y=x﹣2；（2）把直线l的参数方程代入y2=2ax，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a），因为|MN|2=|PM||PN|，所以（t1﹣t2）2=（t1+t2）2﹣4t1t2=t1t2，即8（4+a）2=5×8（4+a），解得a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…综上，所求不等式的解集为．…（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…2016年11月24日。
重庆市长寿中学2017-2018高二下学期第三次月考试物理试题含答案解析
重庆市长寿中学2017-2018高二下学期第三次月考试物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．自动充电式电动车的前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接．骑车者用力蹬车或电动车自动滑行时，发电机向蓄电池充电，将其他形式的能转化成电能储存起来．现使车以500J 的初动能在粗糙的水平路面上自由滑行，第一次关闭自充电装置，其动能随位移变化关系如图线①所示；第二次启动自充电装置，其动能随位移变化关系如图线②所示，则第二次向蓄电池所充的电能是（ ）A ．500JB ．300JC ．250JD ．200J 2．已知金属甲发生光电效应时产生光电子的最大初动能跟入射光的频率关系如直线a 所示。
现用某单色光照射金属甲的表面，产生光电子的最大初动能为E 1，若用同样的单色光照射金属乙表面，产生的光电子的最大初动能为E 2。
则金属乙发生光电效应时产生光电子的最大初动能跟入射光的频率关系图线应是（ ）A ．dB ．bC ．cD ．b 、c 、d 都有可能 3．如图，半径为R 的圆盘均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、 b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、 c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q （q >0）的固定点电荷，已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为（k 为静电力常量）A ．k 23q RB ．k 2109q RC ．k 2Q q R +D ．k 299Q q R + 4．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面,并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G 1,在月球表面的重力为G 2．已知地球半径为R 1,月球半径为R 2,地球表面处的重力加速度为g,则A ．"玉兔号"月球车在地球表面与月球表面质量之比为12G G B ．地球的质量与月球的质量之比为212221G R G R C ．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为21G G D5．如图所示，几位同学在做“摇绳发电”实验：把一条长导线的两端连在一个灵敏电流计的两个接线柱上，形成闭合回路．两个同学迅速摇动AB 这段“绳”．假设图中情景发生在赤道，地磁场方向与地面平行，由南指向北．图中摇“绳”同学是沿东西站立的，甲同学站在西边，手握导线的A 点，乙同学站在东边，手握导线的B 点．则下列说法正确的是A ．当“绳”摇到最高点时，“绳”中电流最大B ．当“绳”摇到最低点时，“绳”受到的安培力最大C ．当“绳”向下运动时，“绳”中电流从A 流向BD ．在摇“绳”过程中，A 点电势总是比B 点电势高6．在下列叙述中，正确的是（ ）A ．随着科技的发展，今后温度可以达到绝对零度B ．布朗运动就是液体分子的热运动C ．让一定质量的气体吸收热量，其内能可能减小D ．分子间的距离r 存在某一值r 0，此位置分子力为零．若r<r 0时，减小分子间距，分子势能将减小7．在水面下同一深处的两个点光源P 、Q 发出不同颜色的光，在水面上P光照亮的区域大于Q 光照亮的区域，下列说法正确的（ ）A ．P 光的频率大于Q 光B ．P 光在水中的传播速度小于Q 光C ．若Q 光照射某金属能发生光电效应，则P 光照射该金属也一定能发生光电效应D ．让P 光和Q 光通过同一双缝干涉装置，P 光的条纹间距大于Q 光二、实验题8．Ⅰ某同学利用如图甲所示的装置测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上砝码盘．通过改变盘中砝码的质量，测得6组砝码的质量m 和对应的弹簧长度l ，画出m 一l 图线，对应点已在图上标出，如图乙所示．（重力加速度210m/s g ）①采用恰当的数据处理，该弹簧的劲度系数为________N/m ．（保留3位有效数字） ②请你判断该同学得到的实验结果与考虑砝码盘的质量相比，结果____________．(填“偏大”、“偏小”或“相同”)Ⅱ实际电压表内阻并不是无限大，可等效为理想电流表与较大的电阻的串联．现要测量一只量程已知的电压表的内阻，器材如下：①待测电压表（量程3V ，内阻约3kΩ待测）一只；②电流表（量程3A ，内阻0.01Ω）一只；③电池组（电动势约为3V ，内阻不计）；④滑动变阻器一个；⑤变阻箱（可以读出电阻值，0-9999Ω）一个；⑥开关和导线若干．某同学利用上面所给器材，进行如下实验操作：（1）该同学设计了如图甲、乙两个实验电路．为了更准确地测出该电压表内阻的大小，你认为其中相对比较合理的是_______（填“甲”或“乙”）电路．（2）用你选择的电路进行实验时，闭合电键S ，改变阻值，记录需要直接测量的物理量：电压表的读数U和_____________________（填上文字和符号）；（3）由所测物理量选择下面适当坐标轴，能作出相应的直线图线，最方便的计算出电压表的内阻：_______（A）U-I （B）1UI-（C）1RU-（D）U-R（4）设直线图像的斜率为k、截距为b，请写出待测电压表内阻表达式V R=__________．三、解答题9．如图所示，压力传感器能测量物体对其正压力的大小，现将质量分别为M、m的物块和小球通过轻绳固定，并跨过两个水平固定的定滑轮(滑轮光滑且较小)，当小球在竖直面内左右摆动且高度相等时，物块始终没有离开水平放置的传感器。
重庆市杨家坪中学2017-2018学年高一下学期第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年重庆市杨家坪中学高一（下）第三次月考数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b2．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．1323．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．664．学校教务处要从某班级学号为1﹣60的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，485．下列说法正确的是（）A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=sinx+（0＜x＜π）的最小值为2C．函数y=|x|+的最小值为2D．函数y=lgx+的最小值为270，则a的值是（）A．17.5 B．27.5 C．17 D．147．已知A是圆心为O的圆周上的一定点，若现另在圆周上任取一点B，则的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，若不等式对任意A、C都成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（﹣∞，）9．已知x＞0，y＞0，且（x+1）（y+1）=9，则x+y的最小值是（）A．4 B．5 C．D．10．函数f（x）=2x3﹣7x2﹣4x，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．B．C．D．11．在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7] B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）12．△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=，则sin ∠BAC=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．先后拋掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2x y=1的概率为．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC 的最小角的正弦值为．15．实数x，y满足，则的最小值为．=（n∈N*），则a n的最小值是．16．数列{a n}满足a1=﹣，a n+1三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l1：（a+1）x+y﹣2a+1=0，l2：2x+ay﹣1=0，a∈R，（1）若l1与l2平行，求a的值；（2）l1过定点A，l2过定点B，求A，B的坐标，并求过A，B两点的直线方程．18．已知变量S=sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的概率．19．某制造商3月生主了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表．据此，估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．20．已知函数f（x）=﹣x+b的图象过点（2，1），若不等式f（x）≥x2+x﹣5的解集为A，且A⊆（﹣∞，a]．（1）求a的取值范围；（2）解不等式＜1．21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个△PMN，其中边MN⊥BC，点P在曲线MAB上运动．（1）设∠MOD=30°，若PM=PN，求△PMN的面积；（2）求剪下的铁皮△PMN面积的最大值．=，数列{b n}满足b n=．22．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n+1（Ⅰ）求证：数列{b n}为等比数列并求{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}的前n项的和为S n，且c n=．求证：n≥2时，S n2≥2（++…+）．2017-2018学年重庆市杨家坪中学高一（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b【考点】不等关系与不等式．【分析】通过取特殊值，判断A，C，D，通过绝对值的性值得到B一定成立．【解答】解：对于A，若a=2，b=1，c=﹣4，d=﹣5，显然ab＜cd，故A不一定成立；对于B，若|a|＜b，则﹣b＜a＜b，故a+b＞0一定成立，对于C，若a=4，b=3时43=64，34=81，不成立，对于D，当a=1，b=﹣2时，不成立，故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．132【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的通项公式，可得a1+a11=12，依据等差数列的前n项和公式即可求解．【解答】解：在等差数列中，∵a1+a5+a8=a2+12，∴2a1+10d=12，即a1+a11=12，则S11=（a1+a11）=66．故选：B．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．66【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，约分计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，由于S=1×==66．故选：D．4．学校教务处要从某班级学号为1﹣60的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，48【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：系统抽样方法抽取6名，则样本间隔为60÷6=10，故选：B5．下列说法正确的是（）A．函数y=x+的最小值为2B．函数y=sinx+（0＜x＜π）的最小值为2C．函数y=|x|+的最小值为2D．函数y=lgx+的最小值为2【考点】基本不等式．【分析】A．x＜0时无最小值；B．令sinx=t，由0＜x＜π，可得sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；D．当0＜x＜1时，lgx＜0，无最小值．【解答】解：A．x＜0时无最小值；B．令sinx=t，∵0＜x＜π，∴sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+，f′（t）=1﹣=＜0，∴函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减，∴f（t）≥f（1）=3．因此不正确．C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+，f′（t）=1﹣==，∴函数f（t）在t∈（0，]上单调递减，在t∈[，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（）=2．因此f（t）的最小值为2，因此正确．D．当0＜x＜1时，lgx＜0，无最小值，因此不正确．故选：C．70，则a的值是（）A．17.5 B．27.5 C．17 D．14【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用线性回归方程恒过样本中心点，代入样本中心点求出a的值．【解答】解：由表格得=5，=50．∵y关于x的线性回归方程为y=6.5x+a，∴50=6.5×5+a，∴a=17.5．故选A．7．已知A是圆心为O的圆周上的一定点，若现另在圆周上任取一点B，则的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】以角度为测度，即可求出的概率．【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，，则概率为=，故选：C．8．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，若不等式对任意A、C都成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（﹣∞，）【考点】余弦定理．【分析】由内角A、B、C成等差数列，可解得：A+C=，原式整理可得λ＜﹣，利用基本不等式可解得λ的范围．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，可解得：B=，A+C=．∴⇒λ＜﹣，⇒λ＜﹣，⇒λ＜2﹣（A+C）2﹣，⇒λ＜2﹣﹣，⇒λ＜﹣．故选：A．9．已知x＞0，y＞0，且（x+1）（y+1）=9，则x+y的最小值是（）A．4 B．5 C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x+2y转化为条件形式，即x+2y=（x+1）+（2y+1）﹣2，然后利用基本不等式求最小值【解答】解：因为x+y=（x+1）+（y+1）﹣2，因为x＞0，y＞0，所以x+1＞0，y+1＞0，所以根据基本不等式可知（x+1）+（y+1）﹣2≥2﹣2=2﹣2=6﹣2=4．当且仅当x+1=y+1=3时取等号，即x=y=2时，x+y的最小值是4．故选：A．10．函数f（x）=2x3﹣7x2﹣4x，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】将f（x）的解析式分解因式，结合实数的性质，利用标根法（穿针引线法）可得答案．【解答】解：根据题意得：2x3﹣7x2﹣4x＜0，分解得：x（2x2﹣7x﹣4）＜0，即x（2x+1）（x﹣4）＜0，解得：x＜﹣或0＜x＜4，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣）∪（0，4），故选：A．11．在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7] B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】由x⊗y=x（1﹣y），把（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，知a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＜2．由此能求出结果．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，a（x﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，∴a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＞2而f（x）===（x﹣2）++3≥2+3=7，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7．故选：C．12．△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=，则sin ∠BAC=（）A．B． C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设BM=1，AC=h，利用两角和差的正切公式计算tan∠BAM，列出方程解出AC，即可求出AB，得出sin∠BAC．【解答】解：设∠BAM=α，∠CAM=β，BC=3BM=3，AC=h．则tanβ=，tan（α+β）=，∴tanα==．又sinα=，∴cosα=，∴tanα=．∴，解得h=．∴AB==．∴sin∠BAC===．故选：A．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．先后拋掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2x y=1的概率为．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6种结果，满足条件的事件需要先整理出关于x，y之间的关系，得到2x=y，根据条件列举出可能的情况，根据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6=36种结果∵log2x y=1∴2x=y，∵x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，∴x=1，y=2；x=2，y=4；x=3，y=6共三种情况．∴P==故答案为：14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC的最小角的正弦值为．【考点】余弦定理．【分析】设出等差数列的三边为3，3+x，2x+3，由余弦定理列式求解x，则利用余弦定理可求答案．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为3，3+x，3+2x，（x＞0），则cos120°==﹣，化简得：x2+x﹣6=0，解得x=2或﹣3（舍去），∴三角形的3边长分别为：3，5，7．设最小角为θ，则cosθ==，解得：sin=．故答案为：．15．实数x，y满足，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．=（n∈N*），则a n的最小值是﹣8．16．数列{a n}满足a1=﹣，a n+1【考点】数列递推式．=两边取倒数，然后两边同乘以n+1得，=，可判【分析】对a n+1定{}是等差数列，从而可求，进而可得a n，由a n的性质可求答案．=，两边取倒数得=，【解答】解：a n+1两边同乘以n+1得，=，∴{}是等差数列，首项为﹣，公差为，∴=，∴，又a1=﹣，=﹣8，n≥3时，a n＞0，∴a n的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l1：（a+1）x+y﹣2a+1=0，l2：2x+ay﹣1=0，a∈R，（1）若l1与l2平行，求a的值；（2）l1过定点A，l2过定点B，求A，B的坐标，并求过A，B两点的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）因为l1∥l2，由A1B2﹣A2B1=0，能求出a的值，需要检验，（2）先求出定点坐标，再根据斜率公式求出斜率，根据点斜式求出直线AB的方程．【解答】解：（1）l1与l2平行，则a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2，当a=1时，l1与l2重合，故舍去，当a=﹣2时，满足，所以a=﹣2，（2）∵l1过定点A，l2过定点B，∴A（2，﹣3），B（，0），∴k AB==﹣2，∴直线AB的方程为y+3=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣1=0．18．已知变量S=sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】由题意可得S≥0等价于a≥b，（Ⅰ）为古典概型，列出总的基本事件，找出符合条件的基本事件即可；（Ⅱ）为几何概型，由区域的面积之比可得答案．【解答】解：设事件A为“S≥0”，当0≤a≤3，0≤b≤2时，对S=sin≥0成立的条件为a≥b，（Ⅰ）基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b 的取值，事件A包含9个基本事件，（后9个）故P（A）==；（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，（如图）所以所求的概率为=19．某制造商3月生主了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表．据此，估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，画出对应的频率分步直方图．（2）误差不超过0.03mm，看出是即直径落在[39.97，40.03]范围内的概率为0.2+0.5+0.2．（3）做出每一组数据的区间的中点值，用这组数据的中间值分别乘以对应的这个区间的频率，得到这组数据的总体平均值．【解答】解：（1）根据所给的频数和样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，（2）误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97，40.03]范围内的概率为0.2+0.5+0.2=0.9（3）整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20=40.00（mm）20．已知函数f（x）=﹣x+b的图象过点（2，1），若不等式f（x）≥x2+x﹣5的解集为A，且A⊆（﹣∞，a]．（1）求a的取值范围；（2）解不等式＜1．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）先求出b的值，再解不等式即可得到a的范围．（2）分类讨论即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）依题意，可得b=3f（x）≥x2+x﹣5即﹣x+3≥x2+x﹣5，即x2+2x﹣8≤0，∴A=[﹣4，2]⊆（﹣∞，a]，∴a≥2∴a的范围为[2，+∞）．（2）即由（1）知a≥2，当a=2时，不等式的解集为（3，+∞）；当2＜a＜3时，不等式的解集为（2，a）∪（3，+∞）；当a=3时，不等式的解集为（2，3）∪（3，+∞）；当a＞3，不等式的解集为（2，3）∪（a，+∞）．21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个△PMN，其中边MN⊥BC，点P在曲线MAB上运动．（1）设∠MOD=30°，若PM=PN，求△PMN的面积；（2）求剪下的铁皮△PMN面积的最大值．【考点】弧度制的应用．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，进=MN•AQ可求；而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为代入三角形的面积公式S△PMN二次函数的最值求解．【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点，∵PM=PN，∴点P在线段AB上，∵∠MQD=30°，∴MQ=1，OQ==MN•AQ=×3×（2+）=…．…∴S△PMN（2）设∠MOD=θ，则MQ=2sinθ，OQ=2cosθ．设P到MN的距离为h，则h≤|AQ|=2+2cosθ，∴S △PMN =MN •h ≤（2+2sin θ）（2+2cos θ）=2 （1+sin θcos θ+sin θ+cos θ）令sin θ+cos θ=t ∈，则S △PMN =2 （1++t ）=（t +1）2当t=即θ=，且P 在线段AB 上时，S △PMN 取得最大值，最大值为．…22．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，a n +1=，数列{b n }满足b n =．（Ⅰ）求证：数列{b n }为等比数列并求{b n }的通项公式；（Ⅱ）数列{c n }的前n 项的和为S n ，且c n =．求证：n ≥2时，S n 2≥2（++…+）．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）由a n +1=，可得a n +1+2=+2=，可得=，即可证明．（II ）由（I ）可得：a n +2=n ×3n ﹣1，可得c n =．可得=（s n +s n ﹣1）=﹣，利用“累加求和”方法可得： =2（++…+）﹣+1．n ≥2时，要证明：S n 2≥2（++…+）．只要证明：1﹣≥0即可．利用n≥2时，≤=，即可证明．【解答】证明：（I ）∵a n +1=，∴a n +1+2=+2=，∴=，即b n +1=3b n ，∴数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为3，∴b n =3n ﹣1． （II ）由（I ）可得：a n +2=n ×3n ﹣1，∴c n ===．∴=（s n +s n ﹣1）（s n ﹣s n ﹣1）=（s n +s n ﹣1）==﹣，∴=（）++…++=﹣+﹣+…+﹣+1=2（++…+）﹣+1．n≥2时，要证明：S n2≥2（++…+）．∴只要证明：1﹣≥0即可．即证明+…+≤1．∵n≥2时，≤=，∴+…+≤+…+=1﹣＜1成立．因此：n≥2时，S n2≥2（++…+）．2018年10月22日。
重庆市铜梁县2017_2018学年高二数学12月月考试题理
重庆市铜梁县2017-2018学年高二数学12月月考试题理一、选择题（每小题5分）1.已知向量,,则( )A. B. C. D.2、圆与的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离3、已知函数,则“是奇函数”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.B.C. D.5、若直线与圆的两个交点关于直线对称,则中k,b的值分别为( ) A. B. C. D.6、已知命题:函数在上为增函数,:函数在上为减函数,则在命题:;:;:和:中,真命题是( ) A., B., C., D.,7、在三棱锥中,,,且,则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8、经过两直线与的交点,且平行于直线4x-2y+7=0的直线方程是( )A.x-2y+9=0B.4x-2y+9=0C.2x-y-18=0D.x+2y+18=09、命题“对任意的”的否定是( )A.不存在B.存在C.存在D.对任意的10、在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )A.2条B.3条C.4条 D无数条11、如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1.若二面角C－AB－C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为( )．A．1 B.C. D.12、已知实数满足: ,则A. B. C. D.二、真空题（每小题5分）13.圆关于直线x=0对称的圆的方程为.14、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的菱形,,侧棱底面,,为的中点,则四面体的体积为__________.15、已知命题:函数在区间上是减函数,若“”是假命题,则的取值范围是.16、函数y=f(x)的图象与函数y=)1(log 2--x 的图象关于直线y=-x 对称，则f(2)+f(3)之值为.三、解答题（17至21题每题12分，22题10分） 17、已知圆经过C （1，-1）， D （-1，1）,且圆心在直线x+y-2=0上1.求圆的方程;2.设是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB 是圆的两条切线,A,B 为切点,求四边形PAMB 面积的最小值.18、如图,在四棱锥中,底面,,,,是的中点.1.求和平面所成的角的大小; 2.证明平面;19、已知命题:函数(且)在区间上单调递增,命题:函数对于任意都有恒成立.如果为真命题,为假命题,求实数的取值范围.20、求过两圆与的交点且与直线相切的圆的方程.21、如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)若,梯形的面积为,求平面与底面所成二面角的大小.22、已知圆O:222=+y x ,直线l:y=k x -2. (1)若直线l 与圆O 相切,求k 的值;(2)若直线l 与圆O 交于不同的两点A,B,当∠AOB 为锐角时,求k 的取值范围; (3)若k=21,P 是直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线PC,PD,切点为C,D,探究:直线CD是否过定点。
长寿区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
长寿区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A．B．C．D．2． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．123． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°4． “24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 5． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种6． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．±2C．或3D ．1或27． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（ ）A．B ．πC．D．8． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥βC ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥αD ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β9． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥ 10．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．211．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．3二、填空题13．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．14．已知函数y=log（x 2﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －mx（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．17．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．18．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 三、解答题19．已知函数xx x f ---=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+（1）求A B ，B A C R ⋂)(；（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点.（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值．21．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数 0 1 2 3 4 5次以上（含5次） 下一年保费倍率85% 100% 125% 150% 175% 200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：1055y bx =+．（1）求b ；（2）广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车， （i ）估计李先生购车时的商业车险保费；（ii ）若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S 店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费（即不出险），你认为李先生是否应该接受建议？说明理由．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）22．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围．23．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣n （n ﹣1）． （1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；（2）设数列的前n 项和为P n ，求证：P n ＜；（3）设C n =，T n =C 1+C 2+…+C n ，试比较T n 与的大小．24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其设计创意如下：在长4cm 、宽1c m 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上. （1）当点N 与点A 重合时，求NMF ∆面积；（2）经观察测量，发现当2NF MF -最小时，LOGO 最美观，试求此时LOGO 图案的面积.25．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .26．已知函数f （x ）=log 2（x ﹣3）， （1）求f （51）﹣f （6）的值； （2）若f （x ）≤0，求x 的取值范围．长寿区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：∵，∴3x+2=0，解得x=﹣． 故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2． 【答案】C 【解析】解：由题意知当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．故选C ．3． 【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．4． 【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A. 5． 【答案】A【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种． 故选：A ．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题6． 【答案】D【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选D．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．7．【答案】C【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以sinθ=，又因为﹣＜θ＜，所以θ=，所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）=，所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档8．【答案】D【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题故选：D【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9．【答案】C【解析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．考点：空间直线、平面间的位置关系．10．【答案】C【解析】因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以，故选C答案：C11．【答案】B【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12．【答案】A【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x2﹣4x﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．二、填空题13．【答案】4或．【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．14．【答案】a≤4．【解析】解：令t=x 2﹣ax+a ，则由函数f （x ）=g （t ）=logt 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，故有，解得a ≤4，故实数a 的取值范围是a ≤4， 故答案为：a ≤4【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．【答案】 （0，2）【解析】解：令x=0，得y=a 0+1=2∴函数y=a x+1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （0，2）故答案为：（0，2）． 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点16．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2x m x ，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－me＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m＝－3e.17．【答案】 6 ．【解析】解：根据题意可知：f （x ）﹣2x是一个固定的数，记为a ，则f （a ）=6，∴f （x ）﹣2x =a ，即f （x ）=a+2x，∴当x=a 时，又∵a+2a=6，∴a=2，∴f （x ）=2+2x，∴f （x ）+f （﹣x ）=2+2x +2+2﹣x =2x +2﹣x+4≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，∴f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于6，故答案为：6．【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．【答案】【解析】试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍），因此3a b =，因为b a a b =，所以3333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==a b +=考点：指对数式运算三、解答题19．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或922a ≤≤。
【高二】重庆市铜梁县2017-2018学年高二《数学》月月考试题理及答案
重庆市铜梁县2017-2018学年高二数学12月月考试题理一、选择题（每小题5分）1.已知向量,,则( )A. B. C. D.2、圆与的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离3、已知函数,则“是奇函数”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A. B.C. D.5、若直线与圆的两个交点关于直线对称,则中k,b的值分别为( )A. B. C. D.6、已知命题:函数在上为增函数,:函数在上为减函数,则在命题:;:;:和:中,真命题是( )A.,B.,C.,D.,7、在三棱锥中,,,且,则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8、经过两直线与的交点,且平行于直线4x-2y+7=0的直线方程是( )A.x-2y+9=0B.4x-2y+9=0C.2x-y-18=0D.x+2y+18=09、命题“对任意的”的否定是( )A.不存在B.存在C.存在D.对任意的10、在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )A.2条B.3条C.4条 D无数条11、如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1.若二面角C－AB－C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为( )．A．1 B. C. D.12、已知实数满足: ,则A. B. C. D.二、真空题（每小题5分）13.圆关于直线x =0对称的圆的方程为 .14、在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为的菱形,,侧棱底面,,为的中点,则四面体的体积为__________. 15、已知命题:函数在区间上是减函数,若“”是假命题,则的取值范围是 .16、函数y=f(x)的图象与函数y=)1(log 2--x 的图象关于直线y=-x 对称，则f(2)+f(3)之值为 .三、解答题（17至21题每题12分，22题10分） 17、 已知圆经过C （1，-1）， D （-1，1）,且圆心在直线x+y-2=0上1.求圆的方程;2.设是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB 是圆的两条切线,A,B 为切点,求四边形PAMB 面积的最小值.18、如图,在四棱锥中,底面,,,,是的中点.1.求和平面所成的角的大小; 2.证明平面;19、已知命题:函数(且)在区间上单调递增,命题:函数对于任意都有恒成立.如果为真命题,为假命题,求实数的取值范围.20、求过两圆与的交点且与直线相切的圆的方程.21、如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)若,梯形的面积为,求平面与底面所成二面角的大小.22、已知圆O:222=+y x ,直线l:y=k x -2. (1)若直线l 与圆O 相切,求k 的值;(2)若直线l 与圆O 交于不同的两点A,B,当∠AOB 为锐角时,求k 的取值范围; (3)若k=21,P 是直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线PC,PD,切点为C,D,探究:直线CD 是否过定点。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高三下学期3月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（﹣∞，0）∪（0，2]D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx4．已知等差数列数列{a n}满足a n+a n=4n，则a1=（）+1A．﹣1 B．1 C．2 D．35．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．66．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．37．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），则tanα等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣38．过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A．2 B．C．D．19．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣112．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，则a1+a3+a5=______．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为______．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是______．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=______．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程=（n∈N*）17．已知数列{a n}中，a1=，a n+1（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，求证：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，XK2=．n=a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知，==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（﹣∞，0）∪（0，2]D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵1≤2x≤8，∴0≤x≤3，∴A=[0，3]，∵log2（x2﹣x）＞1，∴，∴x＞2或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：A3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数；②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案．【解答】解：对于A，f（x）=xtanx，不是奇函数，故不满足条件①；对于B，f（x）=xe x，不是奇函数，故不满足条件①；对于C，f（x）=x+lnx，（x＞0），不是奇函数，故不满足条件①；对于D，f（x）=x﹣sinx既是奇函数，且函数图象与x有交点，故f（x）符合输出的条件．故选：D．4．已知等差数列数列{a n}满足a n+a n=4n，则a1=（）+1A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+a n=4n，写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．+1+a n=4n，【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a n+1∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{a n}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=2a1+d=4=2a1+2即a1=1．故选：B．5．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵，∴的最小值为4．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D ．7．若α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），则tan α等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），可得5（cos α﹣sin α）（cos α+sin α）=（cos α﹣sin α），可得：cos α+sin α=．1+2sin αcos α=．，解得：tan α=．故选：A ．8．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与其交于A ，B 两点，若|AF |=4，则|BF |=（ ）A ．2B ．C ．D ．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF |=4，求出A 的坐标，然后求出AF 的方程求出B 点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F （1，0），准线方程为x=﹣1， 设A （x ，y ），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y==2，即A（3，2），则AF的斜率k==，则直线AF的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以设圆上一点P（x0，y0），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，k AP•k BP=﹣1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．【解答】解：设P点坐标（x0，y0），k AP•k BP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|==1，即t=1．故t的最小值为1．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出||的范围，用，，表示出，代入数量积公式得出关于||的式子，根据||的范围得出答案．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ），∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=．∴||＜1．∴•=（）•（）=﹣（）+．∵MN是单位圆O的直径，∴=﹣1，=，∴•=﹣1+．∴﹣≤•＜0．则•的最小值为﹣，故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，则a1+a3+a5=1．【考点】二项式定理的应用．【分析】由（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，令x=0可得：2=a0+a1+…+a5；令x=﹣2可得：0=a0﹣a1+a2+…﹣a5．相减即可得出．【解答】解：由（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，令x=0可得：2=a0+a1+…+a5；令x=﹣2可得：0=a0﹣a1+a2+…﹣a5．相减可得：2（a1+a3+a5）=2，则a1+a3+a5=1．故答案为：1．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为0．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴当x=0时，2x﹣=﹣，函数f（x）=sin（2x﹣）+最小值为0．故答案为：0．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率．【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m==18，∴恰有一个空盒的概率是p=．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=2．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C 作CE ⊥AD 交AD 延长线于E ，利用相似三角形得出DE ，即可求出AE ，从而得出AC ．【解答】解：过C 作CE ⊥AD 交AD 延长线于E ． 则△ABD ∽△ECD ．∴=．∴DE=，∴AE=AD +DE=． ∵∠CAE=∠BAC ﹣∠BAD=30°， ∴AC==2．故答案为：2．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17．已知数列{a n }中，a 1=，a n +1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由题意可得﹣1=2（﹣1），即可证明{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n 项和，再利用放缩法即可证明．【解答】证明：（1）∵a n +1=，∴2a n +1﹣a n +1a n =a n ，∴﹣1=2（﹣1），∵a 1=，∴﹣1=2，∴{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴﹣1=2n，∴a n=，（2）b n==n•（）n，令S n=1•（）1+2•（）2+…+n•（）n，∴S n=1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，∴S n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1=1﹣，∴S n=2﹣＜2，故：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，K2=．n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，∴后四组的频数27，24，21，18，∴所以视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）由题意可知9人中年级在1﹣50名给我951﹣1000名的人数分别为3人好6人，∴X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1，E（X）=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，∴BD=，∴∠BDC=45°，又BC=，∴CD=2，∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴，∴PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=﹣3，则=（1，﹣3，﹣2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值为．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）由c+=3（c﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，知2y2+y1=0，由，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c﹣），…∴b=c，∴a2=2b2，…∴e===．…（2）设直线l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，由，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时，=﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a＞，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1﹣x2），所以原式等价于＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），又h′（t）=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2018年9月28日。
重庆市长寿中学高2018届高三下5月预测模拟理科数学试题(含答案)
重庆市铜梁中学高2018届高三下5月预测模拟理科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上； 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上； 4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.(改编)设集合P ={3，log 2a }，Q ={a ，b }，若{}1PQ =，则P Q =（ ）A ．{3，1}B ．{3，2，1}C ．{3， 2}D ．{3，0，1，2}2.(改编)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d ＝ad －bc ，若复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪i z －1z ＝－2，则z =（ ）A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i3.函数4lg ||||x x y x =的部分图象大致是（ ）4. (原创)某校举行校园歌手大赛，小明，小张，小军，小李四人参加比赛，比赛结果 公布后，李老师向这四人询问情况，小明说：“我获了一等奖”；小张说：“是小李获一等 奖“；小军说：“是小明或小军获一等奖”；小李说：“是小张获一等奖”.四个人中，有两 句话是对的，由此可推断出获一等奖的是（ ）A ．小明B ．小张C ．小军D ． 小李5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”若两只老鼠打洞长度之和为41332-尺，则两老鼠打洞的天数是（ ）（第10题图）A ．4B ．5C ．6D ．76.如右图是计算11113531+++⋯+值的程序框图，则图中①②处应填的语句分别是（ ） A. 2n n =+, 16i > B. 2n n =+, 16i ≥ C. 1n n =+, 16i > D. 1n n =+, 16i ≥7.将3本相同的小说，2本相同的诗集全分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种 8.设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ）A ．2eB ．1eC ．e 1e -D ．e 2e -9.(改编)已知二元函数(),f x y ax by =+，若()()()1,1101,2401,130f f f --≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则()()1,121,01f z f -=-的取值范围为（ ）A ．(][),31,-∞-+∞ B ．[]3,1- C ．(][),40,-∞-+∞ D ．[]4,0-10.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为（ ）A.169πB. 169π+C. 89π+D. 163π+11.(原创)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若3A F B F=,||3AC =，则抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x = C ．23y x = D ．24y x =12.(原创)已知0ω>，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在1212,[0,]()2x x x x π∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
重庆长寿中学2018-2019学年高二数学文月考试题含解析
重庆长寿中学2018-2019学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21参考答案：B2. 已知，则的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B3. 定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列的前n 项的“均倒数”为，又，则=( )．A. B. C. D.参考答案：C4. 已知抛物线：，则其焦点坐标为（）A．(0,－1) B．(0,1) C．(－1,0) D．(1,0)参考答案：B，焦点在y轴正半轴，故焦点坐标是(0,1),故选B.5. 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )A．B．C．D．参考答案：D考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件，根据双曲线的焦距排除A，B，再由抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切排除C．解答：解：∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴排除选A和B，∵的渐近线方程为y=±2x，把y=2x代入抛物线y=+1，得，，∴抛物线y=+1与y=2x不相切，由此排除C．故选：D．点评：本题考查双曲线标准方程的求法，在选择题中合理地运用排除法往往能化繁为简，节约答题时间．6. 若函数的导函数为，则的解集为（）A. B. C. D.参考答案：C7. 某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将( )．A.画不出任何满足要求的三角形B.画出一个锐角三角形C.画出一个直角三角形D.画出一个钝角三角形参考答案：D8. 圆在点处的切线方程为（▲）A．B．C．D．参考答案：B略9. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A.2B.C.D.参考答案：D10. 下列说法正确的是( )A.方程表示过点且斜率为的直线B.直线与轴的交点为,其中截距C.在轴、轴上的截距分别为、的直线方程为D.方程表示过任意不同两点,的直线参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，“”是“方程的曲线为椭圆”的______条件。
黑龙江省哈尔滨市长寿中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市长寿中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则二项式展开式的常数项是（）A．160 B．20 C．﹣20 D．﹣160参考答案：D【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用微积分基本定理求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于0，求出常数项．【解答】解： =﹣cosx|0π=2∴=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r26﹣r Cr x3﹣r6令3﹣r=0得r=3故展开式的常数项是﹣8C63=﹣160故选D．【点评】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．2. 曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．3. 数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于（）A．（1－）B．（1－）C．（1－）D．（1－）参考答案：A略4. 直线m在平面α内，直线n在平面β内，下列命题正确的是（）A．m⊥n?α⊥βB．α∥β?m∥β C．m⊥n?m⊥βD．m∥n?α∥β参考答案：B选项B为面面平行的性质.5. 以下四个结论：① 若aα, bβ，则a, b为异面直线；② 若aα, bα，则a, b为异面直线；③ 没有公共点的两条直线是平行直线；④ 两条不平行的直线就一定相交．其中正确答案的个数是 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：A6. 已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由题意可得＜0，公差d＜0，进而可得S19＞0，S20＜0，可得答案．【解答】解：由+1＜0可得＜0又∵数列的前n项和S n有最大值，∴可得数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得S n＞0的n的最大值n=19，故选B7. 计算等于( )A. B. C. D.参考答案：A8. 已知圆O的半径为2，PA、PB为圆O的两条切线，A、B为切点（A与B不重合），则的最小值为（）A．﹣12+4B．﹣16+4C．﹣12+8D．﹣16+8参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．【解答】解：设PA与PO的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=?=||||cos2α=?cos2α=?cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y取得最小值：8．即?的最小值为8﹣12．故选：C．9. 设均为复数，若则称复数是复数的平方根，那么复数（是虚数单位）的平方根为（）A.或B.或C.或 D .或参考答案：A10. 若直线3x+y+a=0平分圆x2+y2+2x-4y=0 则a=A、－1B、1C、3D、－3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
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- 1 - 长寿中学2017-2018下期高2019届第三学月考试 理科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、设复数121,1,zizai若复数21zz为纯虚数，则实数a等于（ ） A、1 B、－1 C、2 D、2 2、下列结论正确的是（ ）
A、若向量//ab，则存在唯一的实数λ使得aλb； B、已知向量,ab为非零向量，则“,ab的夹角为钝角”的充要条件是“0ab”； C、“若3πθ，则1cos2θ”的否命题为“若3πθ，则1cos2
θ”；
D、若命题2:,10pxRxx，则2:,10pxRxx 3、设62()xx的展开式中含3x项的系数为A,二项式系数为B,则:AB（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A、 23+2 B、63+2
C、263++22 D、26+22 5、把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( ) A、1 B、12 C、13 D、14
6、在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n - 2 -
＝( )． A、7 B、8 C、9 D、10 7、如右算法框图，输出结果的值为( ) A、1 B、3
C、12 D.、32 8、若点(,)Pab在函数23lnyxx的图像上，点(,)Qcd在函数2yx的图像上，则22()()acbd-+-
的最小值为（ ）
A、2 B、2 C、22 D、8
9、双曲线M:12222byax（0,0ab）实轴的两个顶点为,AB，点P为双曲线M上除,AB外的一个动点，若PAQA且PBQB,则动点Q的运动轨迹为（ ） A 、圆 B、椭圆 C、 双曲线 D、 抛物线
10、对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，给出定义：设()fx是函数()yfx的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都
有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数32115()33212gxxxx，则122012()()()201320132013ggg( )
A、2011 B、2012 C、2013 D、2014 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上） 11、某次测量中，测量结果2(2,)(0) ξNσσ，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在 - 3 -
第15题图
(,4)内取值的概率为
12、语文中有回文句，如：“上海自来水来自海上”，倒过来读完全一样。数学中也有类似现象，如：88，454，7337，43534等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”！ 二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个； 三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个． 13、ABC中，0CACB，9ABAC，6,ABCS设P为ABC（含边界）内一点，P到三边ABBCAC、、的距离分别为,,xyz，则xyz的取值范围是
考生注意：14、15、16为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
14、直线1cos:1sin xtαlytα（t为参数）与圆24cos:14sinxθCyθ （θ为参数）相交所得的最短弦长为 15、如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点 A 作圆的切线与
DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = 35， BD = 4，则线段CF的长为______． 16、设函数()31,.gxxmxmR若存在0xR，使得0()40gx成立，则m的取值范围为
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（13分）已知函数)(1cos2)62sin()(2Rxxxxf （1）求)(xf的单调递增区间；（2）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为cba,,，已知
21)(Af，cab,,成等差数列，且9ABAC，求边a的值.
18（13分）“剪刀、石头、布”的游戏规则是：双方齐喊口令，然后同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，“食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”。“ 石头”胜“剪刀”， “剪
？ - 4 -
刀”胜“布”， “布”胜“石头”，若所出拳相同则为和局。现甲乙两人通过“剪刀、石头、布”进行比赛。 （1）设甲乙两人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率； （2）最近中国科学家在网上发布了“剪刀、石头、布”的致胜策略，引起了甲的关注，据甲认真观察，乙有以下出拳习惯：①第一局不出“剪刀”； ②连续两局的出拳一定不一样，即如本局出“剪刀”，则下局出“石头”、“布”中的一个。假设甲的分析是正确的，甲据此分析出拳，保证每局都不输给乙，在最多5局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜。游戏结束的条件是：一方胜3局或赛满5局，用X表示游戏结束时的游戏局数，求X的分布列和期望。
19（13分）已知函数xaxxfln)(,xaxxfxgln6)()(，其中aR． （Ⅰ）若)(xg在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围； （Ⅱ）设函数4)(2mxxxh,当2a时，若)1,0(1x，]2,1[2x，总有)()(21xhxg成立，求实数m的取值范围。
20、（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形ABCD对角线的交点。
（1）证明：平面EAC平面PBD；
（2）若060BAD，当四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分时，若二面角BAEC的大小为045，求:PDAD的值。
21、（12分）已知椭圆C：2222xyab=1（0ab）的离心率与双曲线2243xy=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sincos10αxαy相切（为常数）． - 5 -
（1）求椭圆C的方程； （2）若过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
OAOBtOPuuruuuruuur
（O为坐标原点），当3pBPAuuruur时，求实数t取值范围。
22、（12分）已知函数()1xfxeax（e为自然对数的底） （1）求函数()fx的单调区间； （2）当0a时，若函数()0fx对任意的xR恒成立，求实数a的值；
（3）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn - 6 -
高2014级“六校”高考理科数学预测题参考答案 一、选择题
1－5 BCDCB 6－10 CDDCB 10题提示：1()2102gxxx，()ygx的对称中心为（1,12），()(1)2gxgx
二、填空题 11、0.9 12、900000 13、12[,4]5 14、27 15、553 16、5(1,)3 13题提示：易得4,3,5abc，以C为原点建坐标系，则AB：34120xy则距离之和34123412251255xyxydxyxyyxd，再由线性规划知识可得：12[,4]5d
三、解答题 17、（1）()sin(2)6πfxx 单调递增区间为：[,]()36ππkπkπkZ 115(2)()sin(2)22,2,262666663πππππππfAAAπAA
因为,,bac成等差，所以2abc。由9ABAC，得cos9bcA，18bc - 7 -
由余弦定理：2222222cos()3431832abcbcAbcbcaaa 18、【解析】解 (1)甲胜乙的概率为：13P； （2）第一局乙不出“剪刀”，则只能出“石头”或“布”，此时甲只能出“布”才能保证不输给乙，甲胜的概率为12，不妨设第一局乙出“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此时甲应出“剪刀”才能保证不输给乙，所以第二局甲胜的概率为12；同理第三、四、五甲胜的概率也为12；X的可能取值为3，4，5。 3223
1111131311(3)(),(4)(),(5)1282221681616PXPXCPX
X 3 4 5
P 18 316 1116 7316EX
19解：（Ⅰ）xxaaxxgln5)(，)(xg的定义域为),0( 22255)('xaxaxxxaaxg
因为)(xg在其定义域内为增函数，所以),0(x，0)('xg
max222215155)1(05xxax
xaxxaaxax
而2515152xxxx，当且仅当1x时取等号，所以25a …………6分
（Ⅱ）当2a时，xxxxgln522)(，22252)('xxxxg 由0)('xg得21x或2x 当)21,0(x时，0)('xg；当)1,21(x时，0)('xg．所以在)1,0(上，