Rossler系统的比例微分控制

第２２卷第４期Ｖ０１．２２Ｎｏ．４重庆工学院学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ

ｓｃｉｅｎｃｅ）

２００８年４月Ａｐｒ．２００８

Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的比例微分控制’王伟８，张秋富ｂ（兰州交通大学ａ．数理与软件工程学院；ｂ．非线性研究中心，兰州７３１３０７０）

摘要：采用比例微分控制器（ＰＤＣ）实现Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的混沌控制．给出了混沌系统的控制结果．ｔｏｎｇ—ｇｕｏ理论分析和数值仿真表明：这种控制方法可以实现混沌控制的２个目标，即稳定系统中的不稳定周期轨道和产生新的稳定动力学行为．关键词：比例微分控制器；混沌控制；Ｒｏｓｓｌｅｒ系统中图分类号：ＴＰ２７３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—０９２４（２００８）０４—０１３６—０３

ＰｒｏｐｏｎｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＣｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｆｏｒＲｏｓｓｌｅｒＳｙｓｔｅｍ

ＷａｎｇＷｅｉ８，ＺｈａｎｇＱｉｕ—ｆｕｂ（ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；ｂ．ＴｈｅＣｅｎｔｒｅｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒｓＩｕｄｙ，

【舢ｚ｝ｌｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，【ａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃ＆ｉｎａ）；Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＰｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＣｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ（ＰＤＣ）ｉｓｕｓｅｄｔｏｒｅａｌｉｚｅｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｆｏｒＲｏｓｓｌｅｒｓｙｓ—ｔｅｍ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｏｆｔｈｉｓｓｙｓｔｅｍｐｒｏｖｉｄｅｄ；Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｍｅｏｒｅｔｉｃａｌ

ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔｔｈｉｓｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｃａｌｌ

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ｏｒｂｉｔｉｎｔｈｅｓｔａｂｌｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆ

ｎ州ｓｔａｂｌｅ

ｄｙｎａｍ－

ｉＣＳ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＰｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＣｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ；ｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ；Ｒｏｓｓｌｅｒｓｙｓｔｅｍ

近年来，混沌的控制与同步成为非线性科学中的一个研究热点，科学工作者已提出了大量的混沌控制与同步的方法ｕ＿６Ｊ，如系统状态变量延迟反馈法…３、系统变量正比例脉冲反馈法［２］２、系统变量的数值仿法［４Ｊ等．本研究采用经典的比例微分控制器实现Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的混沌控制．由于这种控制方法只需要单个状态变量对系统的部分状态方程进行反馈就可以实现混沌控制的目的，这就克服了目前大多数状态变量反馈法需要多个进行全局反馈的缺陷，所以这种控制方法在工程中十分容易实现，因而具有较高的应用价值．’

１控制方法

系统考虑如下的ｎ阶自制或非自制非线性动力学

·收稿日期：２００７—１２—２５作者简介：王伟（１９８０一），男，河北张家口人，硕士研究生，主要从事混沌控制理论研究．

　万方数据王伟，等：Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的比例微分控制１３７

露＝Ｆ（菇，弘，ｔ）（１）其中：并∈Ｒ“，Ｆ＝（＾，ｆ２，ｆ３，…，厶）是／１，维光滑的向量场；／１为系统的参数．当肛取一定范围的值时，系统（１）处于混沌运动．现对式（１）所表示的系统的状态变量茹ｉ取比例微分控制得：茹’ｉ＝ｋｌ戈ｉ＋ｋ２ｘｆ（２）其中：ｋ１，ｋ２是本控制方法中的２个可调参数．调整ｋ１，ｋ２的值可以实现不同的控制目标．将露ｆ按如下方法进行反馈ｆ巧＝ｉｓ（Ｘｌ笫２…ＸＰｉ名。产）１誓２ｉｓ（茗ｌＸ，２…Ｘ，ｉＸｎ∥’（３）Ｌ龙’ｆ２ｋｌ茗ｆ＋ｋ２ｘ’ｉＪ＝ｉ，Ｊ＝１，２，…，ｒ１．由式（３）所示的反馈方式可知：Ｆ（）中的子系统五（）不受反馈控制作用而自由演化．若系统Ｚ（）中无状态变量戤，也不受控制作用而自由演化，则本控制方法只需对系统的一部分子系统进行控制．这就大大减小了控制的代价和在实际工程系统中实现控制的难度，因为非线性系统的可观测性和可控性仍是一个未解决的难题．２Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的理论分析０．Ｅ．Ｒｏｓｓｌｅｒ构造了几个简单但具有混沌行为蒯｝线性方程组，其中最具有代表性的是他在１９７６年提出的如下方程组［７］：ｆ露＝一（Ｙ一石）ｒ｛夕＝算＋ａｙ（４）Ｌ２＝ｚ（戈一ｃ）＋ｂ其中：口＝０．２，ｂ＝０．２，ｃ＝５．７．和ａ＝０．２，ｂ＝Ｏ．２，ｃ＝１１．混沌吸引子分别如图１中的ａ），ｂ）所示．本研究中主要研究当ａ＝０．２，ｂ＝０．２，ｃ＝５时混沌的控制．令系统（４）的右端为零：这样得到系统的２个平衡点为：ｓｌ＝（ｏ，０，０），ｓ２＝（一曲＋ｃ，（ａｂ—ｃ）／ａ，一（ａｂ—ｃ）／ａ）．当口＝０．３，ｂ＝０．２，ｃ＝５时，得到系统的２个实平衡点为：ｓｌ＝（０，０，０），ｓ２＝（４．９４，一１６．８６，１６．４７）下面讨论这２个实平衡点的稳定性．对于平衡点ｓｌ＝（０，０，０）其雅可比矩阵为：㈠－０１］㈣

它的特征方程为Ｐ３＋４．７ｐ２—０．３ｐ＋４．９４＝０所以其特征值为：Ｐ１＝０．１３０６＋０．９８９３ｉ，Ｐ２＝０．１３０６—０．９８９３ｉ，Ｐ３＝一４．９６１

２，故５ｌ＝（０，０，Ｏ）是不

对于平衡点３２＝（４．９４，一１６．８６，１６．６７），其雅可比矩阵为：ｆ－ｏ－１－１］ｌ１ｏ．３ｏＩ（６）

其特征值分别为：Ｐｌ＝一０．０１９９＋４．２０２

７ｉ，Ｐ２＝

一０．０１９９—４．２０２７ｉ，Ｐ３＝０．２７９

７，所以５２为不稳

４０¨２０

１００５０Ｏ５０

－５０－５０ｂ）

图１混沌系统在不同参数下的吸引子

混沌系统的比例微分控制对于不动点ｓ２＝（４．９４，一１６．８６，１６．钾）．在该条件下取状态变量Ｙ为受控变量设置比例微分控制器Ｙ’＝ｋｌＹ＋后２于．原系统变形为：ｒ露＝一ｋ２·髫一Ｙ一０．２·詹２‘Ｙ＋彳｛少＝石＋０∥２Ｙ（７）

【２：ｚ．（菇一５）＋０．２

　万方数据】３８熏庆．Ｙ－擎院学报对于实施反馈后的系统（７），当ｋｌ＝１时其与原系统有檑同的不动点．将系统（７）遴行线性佬，褥其Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为：｜一ｋ２一（１＋０．２ｋ２）１｜Ａ＝｜１０。２０ｌ（ｓ）名。石一５把Ａ，点投入其特征多项式为：Ａ，一Ａｌ＝Ａ３＋（５．４２９７＋ｋ２）Ａ２＋（５．６２９７ｋ２—０．０９０８）Ａ＋５．６２２７由Ｒｏｕｔｈ．Ｈｕｒｗｉｔｚ判据【８３得：豢０．０１６３＜ｋ２＜２８７６５３。４６６７酵，系统的不动点是稳定的．图２为ｋ２＝１０时，混沌系统（４）的Ｍａｆｌａｂ仿真结果。获蚕２中可看高这种控制方法是有效的，系统通过这种控制能很好地控制到平衡点．柚乐统撼制后的相田５０ｔ∞ｂ）系蠡屯控制后变量★的时城田０５０ｌ∞ｄ）系跪旌稍后主重ｘ神时城霹图２系统控制后的相图及时域图４结束语本研究分析了Ｒｏｓｓｌｅｒ混沌系统的稳定性，设计了比例微分控制器，实现了它的混沌控制与同步，用Ｌｙａｐｕｎｏｖ定壤证明了这种控制方法的有效性．理论分析和数值仿真都表明了这种控制方法是有效的．该方法可以用来实现一般系统的混沌控制与同步．

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（责任编辑刘舸）

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