高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系(理)巩固练习

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高考数学(理科)复习第八单元第48讲直线与圆锥曲线的位置关系

消去 y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,
由根与系数的关系可得 x1+x2=1-1+64��22,∴x2=12+-84��22,则
y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k=1+44�� 2 ,∴
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l:y=k(x+2)交椭圆于 P,Q 两点,若
�� = ��(�� + 2),
�� 2 4
+ ��2
=
1,
消去 y,利用根与系数的关系求得 x2,y2,
再由点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,得∠PAQ 为锐
点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k
第48讲 PART 08
直线与圆锥曲线的位置关系
课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题
课前双基巩固
知识聚焦
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度来看有三种:相离时,直线与圆锥曲线没有公共点;相切时,直线与圆锥曲线有一个公共点;相交时,直线与椭圆有两个公共点,
对称轴平行或重合;若圆锥曲线为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行.
课前双基巩固
若 a≠0,则当判别式 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交; 当判别式 Δ=0 时,直线与圆锥曲线相切; 当判别式 Δ<0 时,直线与圆锥曲线相离.
(3)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,还可以利用数形结合的方法解决.

高考数学专题突破教师版-直线与圆锥曲线的位置关系(巩固自测)

AMF 的面积等于 AFN 面积的 2 倍，
y1 2 y2 ，
2 y22 8 ，解得 y2 2 （负值已舍），
y1
4， 4
2
8 k
， k
4 3
．
故选 B 项．
10．（2019·安徽高三月考（理））已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线 C 于 A ，B
(| OP || OQ |)2 (OPOQ)2
1 128(1 cos2 )(1 sin2 ) 256 1 128(2 sin2 cos2) 256
2
2
1 32sin2 2 2 2 | sin 2 | „ 2 2 ，当 sin 2 1 即或 3 或 5 或 7 时，
x
my
p 2
，得
y2
2mpy
p2
0，
y2 2 px
由韦达定理得 y1 y2 2mp ， y1 y2 p 2 .
由于 AMF BMF ，则直线 AM 的斜率和 BM 的斜率互为相反数.
即
y1 x1 1
y2 x2 1
，即
y1 y12 1 2p
y2 y22 1 ，整理得 2p
y1 y2
两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 3 2 ，则线段 AB 的长是（） 2
A． 9
【答案】C
B． 4
C． 9 2
D． 8
【解析】
当直线
AB
垂直于
x
轴时，
SAOB
1 2
2
2 1
2
，不符合题设；
6
当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 方程为 y k x 1 (k 0) ，即 kx y k 0 .

线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)

−
，两式相减得

+ −

+
−
+
=
+
−

=

− ，故

=

−

=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法

（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线

, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2

2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9

−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12

考点41直线与圆锥曲线的位置关系高考全攻略之备战2020年高考数学(理)考点一遍过

（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想. 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=. （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1||1||(0)＝AB x x y y k x x y y k k -+-=+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =. 考向一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解. 典例1 已知椭圆，直线:y ＝x ＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ．（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；（2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线：（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．考向二直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求x AB的最小值． ∴，即，∴， ∴，，典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．【解析】（1）由已知得，则，又，∴，∴椭圆的方程为221124x y +=．（2）由221124y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设、，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即，令，得．当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点．（1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（1）若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值；（2）若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．典例6 已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2与椭圆E 交于不同的两点A ,B .（1）直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求△ABM 的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =c ,a =2,所以a =2,b =,所以椭圆E :+=1,点M (0,).将直线l :y =kx+2代入椭圆E 的方程,整理得(3+4k 2)x 2+16kx+36=0. (*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0,所以k ∈(-∞,-)∪(,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+ 22221633393613636434k k k k k k⎛⎫-⋅+ ⎪-⎝⎭=+=+=+, 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率5e =，虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A．B．C．D．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A．B．16C．32 D．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若22AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON的值为A．513B．513-C．21313D．21313-7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．78．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为 A ． B ． C ．D ．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A ．2B ．3C ．D ．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为 A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=x13．已知椭圆C :+=1,过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,若=2,则直线l 的斜率为A ．114±B ．114 C ．1414±D ．141414．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________． 16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率63e =，焦距是22．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，625CD =，求k 的值． 20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若的面积为，求直线的方程.21．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为33 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．23．已知点(1,2)D 在双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）上，且双曲线的一条渐近线的方程是30x y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值． 24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26．已知椭2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:20l x y -+=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2018新课标全国Ⅰ理科）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．82．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．143．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．44．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________________．5．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．8．（2018北京理科）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．9．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．10．（2018天津理科）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值． 11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．12．（2017新课标全国I 理科）已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，，P 4（1C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得5,22,c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222(14)84(1)0k x mkx m ---+=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14m k k m mk x x k m x x k ∆⎧⎪=+-+>⎪⎪+=⎨-⎪⎪-+=⎪-⎩， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++=222414m k k--， 4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线.令，可知：,1．【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A ．考点冲关2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x =±，∴当﹣1＜k ≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点；当k ≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点. 把1y kx =-代入得22(1)250k x kx -+-=，令22420(1)0k k ∆=+-=，解得k =或k =﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k ＜．故选D ．3．【答案】C 【解析】由题意知，AB 所在直线的方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C ．4．【答案】B 5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A (a ,0),且斜率k =tan 135°=-1, 则直线的方程为x+y-a =0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B (,),C (,-),则有22222222(,)a b a bBC a b a b=---,(,)ab ab AB a b a b =++-. 因为,所以2222ab a ba b a b-=+-, 化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x ±y =0.故选C.6．【答案】B【解析】由题意,a 2=4,b 2=3,故c ===1.不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以+=1,解得y 0=±32, 所以|MN |=3,|OM |=|ON |=2231()2+=.由余弦定理知2222221313()()3522cos 2131313222OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-⨯⨯,故选B. 7．【答案】B 8．【答案】 A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-；因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =；因为223c a b ==-，所以2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222±2 4±2 4a x a b b y a b =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ．10．【答案】B 11．【答案】B【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C是23y x =,选C. 13．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线l :y =k (x-1),则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222812k k-+. 因为=2,所以x 1+2x 2=3,所以x 2=223212k k ++,x 1=,所以x 1x 2=·,化简得k 2=,解得k =±,故选C.14．【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1.从而k =-1或0. 15．【答案】82316．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切，，即.故答案为. 17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+，即.18．【答案】(2,-1)19．【解析】（1）由题意得222c =，所以22c =，又63c a =，所以23a =，21b =，所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k⋅=+，又221212()()CD x x y y =-+-，1212()y y k x x -=-，所以2212621()5k x x =+-，又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k -=+-=-++，代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=，解得297k =-（舍去）或23k =，即3k =±，经验证，3k =±能使①成立，故3k =±． 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.（2）设，由（1）知.若直线的斜率不存在，则方程为，故直线的方程为或.21．【解析】（1）由实轴长为33a =23y x =，即230bx y ±=，32312bc b =+，又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，则120120,x x tx y y ty +=+=，由212223231638401631123y x x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以12123()412y y x x +=+-=，所以0043x y =，又22001123x y -=，所以00433x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以4t =，所以(43,3)D ．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p =， 23．【解析】（1）由题意知，221213a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C 的方程是221113x y -=，即2231x y -=．（2）∵直线l 过点(0,1)且斜率为k ，∴直线l 的方程为1y kx =+．由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=． ∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得(6,3)(3,3)(3,6)k ∈---．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，24．【解析】（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、.由题设知：. 由，得，则.∴椭圆的方程为.（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①，由与椭圆有两个不同的交点，知，解得22k <-或22k >. ∴k 的取值范围是22,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根， ∴不存在满足题设条件的.25．【解析】（1）由21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得214p =，则2p =. 所以抛物线1C 的标准方程为24y x =.22222:1(0)y x C a b a b +=>>(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上，可解得1b c ==，则2a =故椭圆2C 的标准方程为2212y x +=. （2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=，则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k++==. 由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=，整理得121212,11x xx x λλ==--，故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 故12λλ+为定值1-.26．【解析】（122ce a==，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=，则122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+.（1）∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=，即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-，故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】D 2．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 3．【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y =联立，求得M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ． 4．【答案】2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M'x y ，分别过点A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B'，因为90AMB ∠=︒，所以111||||(||||)(||||)222MM'AB AF BF AA BB'==+=+'，因为M'为AB 的中点，所以MM'平行于x 轴，因为1()1,M -，所以01y =，则122y y +=，所以2k =． 5．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ， 6．【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,)2或(1,2-，所以AM的方程为2y x =-+2y x =．（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．7．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列． 8．【解析】（1）因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ，所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩可得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．又PA ，PB与y 轴相交，故直线l 不过点(1,2)-．从而3k ≠-．9．【解析】（1）因为椭圆C 的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此点P的坐标为．10．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以k 的值为111228或． 11．【解析】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，:2l x my =+．由（1）可得12124,4y y x x =-=．所以2210m m --=，解得1m =或12m =-．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆MM 的方程为22(3)(1)10x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部. 12．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=．由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-，当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．。

高考数学(理)一轮复习文档第八章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含答案

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系)1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13 C.14D ．4C 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－b aB ．k ＜b aC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜b aD 由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜b a.3．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx－1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B ．4．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6.2 65．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．3直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组错误!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题(2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 的面积．【解】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．(1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|PA |＝|AM |＝8，所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k2，同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k2，所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2），设t ＝k 2＋1，则t >1，所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14，所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.中点弦问题(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.求M 的方程．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则由题意得b a>2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条B 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． 4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C 直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．(2017·江西五市八校二模)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327A 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－ab，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－ab ，所以a b ＝－32，故选A. 7．(2017·广州市高考模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为AF →＝2FB →，所以1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，所以x A＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.948．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.32159．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AF ||BF |＝32p ＋12p12p ＋16p ＝3. 310．(2017·辽宁沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组错误!消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.55311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ．若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.13．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12C ．－14D ．－2B 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有错误!两式相减得错误!＝－错误!，整理得错误!＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B ．14．(2017·湖南四地联考)若抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则实数m 的值为________．由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝2x 2得2x 2＋x －b ＝0，所以x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－12，所以b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1. 设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，代入y 0＝－x 0＋1，得y 0＝54，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，54，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m .所以m ＝32.3215．(2017·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由错误!⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4，设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.16．(2017·赣南五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．(1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*)因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，所以k 2<12.设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝tOP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k1＋2k 2，所以x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k1＋2k 2. 因为点P 在椭圆上，所以32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k2t 2（1＋2k 2）2＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k 2，由k 2<12知，0<t 2<4，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得t ∈(－2，2)．。

高考数学(理)专题辅导：53 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

课时分层训练(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22 C.12D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.]3．(·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32 B ．233 C.932D ．2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)．由题设k OM ＝y 0x 0＝32.由⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32，所以a b ＝32.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B ．x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.] 8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.【导学号：57962425】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，3分解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 5分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0，整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.10分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.12分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． [解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1. 5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 8分设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，10分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2，对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0， ∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴S ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B ．23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(·青岛质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)．故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图8-9-3(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：57962426】[解](1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝1524－m2. 10分由|AB||CD|＝534得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33. 12分。

直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类1．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.2．（2021·全国高考真题（文））已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.3．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>.（1）证明：a =；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【解析】（1）3c e a =====，3b a ∴=，因此，a =；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，2229331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得10b >.设点()11,P x y 、()22,Q x y，则12129210210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.4．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a ==2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y +=，即0x y -=.5．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN ．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =-即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN =所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k=+=化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x =y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()10F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.7．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2p =；（2）【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2020·海南高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y+=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：5514d ==+，由两点之间距离公式可得22||(24)335AM ++=.所以△AMN 的面积的最大值：1125351825⨯.9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.第二部分模拟训练一、单选题1．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且12FA FB ⋅=，则AB =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由26y x =得3p =，所以3(,0)2F ，准线为32x =-，设直线3:2AB x ty =+，联立2326x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则126y y t +=，129y y =-，所以21212()363x x t y y t +=++=+，222121212()966364y y y y x x =⨯==，因为13||2AF x =+，23||2BF x =+，12FA FB ⋅=，所以1233()()1222x x ++=，所以()1212391224x x x x +++=，所以()1293912424x x +++=，所以125x x +=，所以121233||||||3822AB AF BF x x x x =+=+++=++=.故选：C2．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则AOB (O 为坐标原点)的面积为（）A ．32B．2C ．3D．【答案】D【解析】由题意，抛物线2y =的焦点坐标为F ，设直线AB为x my =，()11,A x y ，()22,B x y ，因为2AF FB =，可得122y y =-，由2y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩280y --=，所以128y y =-，又由121282y y y y =-⎧⎨=-⎩，可得224y =，解得22y =-或22y =，当22y =-时，14y =，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==；当22y =时，14y =-，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==.故选：D.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线(2)y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B ，所以||452pFB =+=．故选：C ．4．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】解：因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．5．已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ 的斜率的取值范围是（）A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()(),22,-∞-+∞ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由双曲线的方程2214y x -=可得其渐近线方程为2y x =±，故当点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上时，直线PQ 的斜率的取值范围是()2,2-.故选：A.6．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若:2:1MF NF =，2NF =，则抛物线C 的方程为（）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x=【答案】B【解析】由题意，抛物线()2:20C y px p =>，可得焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，作MA 垂直于y 轴交y 轴于点A ，因为:2:1MF NF =，2NF =，所以F 为线段MN 的三等分点，且24MF NF ==，由NFO NMA △△∽，得13OF MA =，即332p MA OF ==，所以32422p pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：B.二、填空题7．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【答案】2【解析】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为：2.8．已知抛物线C ：y 2＝x ，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点．弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．【答案】54【解析】抛物线的焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，则可设直线AB 为：()104x ky k =+≠，联立2y x ＝，消x 得，2104y ky --=，设()()1122,,,A x y B x y ，12y y k +=,212121111122442AB x x ky ky k ⎛⎫⎛⎫=++=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1k =±，当1k =时，得12122y y +=，所以AB 中点坐标为31,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB 的中垂线方程为1324y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则与x 轴的交点的横坐标为54；同理，当1k =-时，线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为54.故答案为：549．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点B ，与x 轴正半轴交于点D ，且线段BD 交双曲线于点C ，3DC CB =，则双曲线的离心率是______．【解析】由题意知(),0A a 、()2,0D a ，以点A 为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为()222x a y a -+=．不妨设点B 在第一象限，联立()2220x a y a b y x a x ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得322222a x ca by c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点322222,a a b B cc ⎛⎫⎪⎝⎭，设点(),C m n ，()2,DC m a n =- ，322222,a a bCB m n c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，可得322222323a m a m c a b n n c ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2231232a m e bn e ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，根据点C 在双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上，得22223314e e ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22e =，所以，e =..10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>右顶点为()2,0A ，上顶点为B ，该椭圆上一点P 与A 的连线的斜率114k =-，中点为E ，记OE 的斜率为OE k ，且满足140OE k k +=.若C 、D 分别是x 轴、y 轴负半轴上的动点，且四边形ABCD 的面积为2，则三角形COD 面积的最大值是______.【答案】3-【解析】解：设()11,P x y ，()22,A x y ，PA 中点()00,E x y ，则有2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，则212OEb k k a⋅=-，由()2,0A 为椭圆右顶点，所以2a =，又114k =-，140OE k k +=，得到1OE k =，1b =.设(),0C m -，()0,D n -，0m >，0n >，则由四边形ABCD 的面积为2，又B 为上顶点，则()()12122m n ++=，即22mn m n ++=，由基本不等式得2mn ≥+2≤，所以三角形COD 的面积(2112322S mn =≤=-，当且仅当2m n =，即2m =-，1n =时取等号.故答案为：3-。

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系

,
考法聚焦讲练突破
1
2
考情预览明确考向
3
所以|MN|=|
=|

-

- -
-

|
|
-( +) -( +)

=| (

-

+ +
)|

( +)- ( +)

+( + )+

( + ) -
2.[双曲线中的面积问题](2022 ·新高考Ⅰ卷)已知点 A(2,1)

-
在双曲线 C: -
=1(a>1)上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线
AP,AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l 的斜率;
1
2
考情预览明确考向
3

-
解:(1)将点 A 的坐标代入双曲线方程得 4
故 x1+x2=-

,x1x2=
-
+
-
.
1
2
考情预览明确考向
3
kAP+kAQ=
- - +- +-
+
=
- -
-
+
-
=0,
化简得 2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4(b-1)=0,
所以 x1+x2=-
+
+
+
+
,x1x2=
,
由Δ>0 得 k<0,易知直线 AB 的斜率 kAB=

2021年高考数学黄金考点直线与圆锥曲线的位置关系复习

2021年高考数学黄金考点直线与圆锥曲线的位置关系复习一．知识网络结构：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线)(.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：例1.椭圆上的点到直线的最大距离是（）A.3B.C.D.例2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. B. C. D.题型二：直线与双曲线的位置关系：例3.已知直线与双曲线=4。

⑴若直线与双曲线无公共点，求k 的范围；⑵若直线与双曲线有两个公共点，求k 的范围；⑶若直线与双曲线有一个公共点，求k 的范围；⑷若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k 的范围；⑸若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求k 的范围。

题型三：直线与抛物线的位置关系：例4.在抛物线上求一点P，使P到焦点F与P到点的距离之和最小。

题型四：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

112【基础】高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系(理)知识讲解

①Δ＞0 直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0 直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0 直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2．直线 Ax+By+C＝0 和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的位置关系：
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点. 3．直线 Ax+By+C＝0 和抛物线 y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 方程。（1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则
【高清课堂：直线与圆锥曲线 369155 例 4】
例 1、直线 y=x+3 与曲线 x | x | y 2 1的公共点个数是( ) 49
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个
【解析】分 x 0 和 x 0 分别画出曲线 x | x | y 2 1， 49
2
容易看出，答案选 D 举一反三：
高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系
编稿：辛文升审稿：孙永钊【高考展望】
1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容； 2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容； 3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法； 4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。【知识升华】

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【巩固练习】1.（2016 红桥区模拟）焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率等于的椭圆的标准方程是（） A ．B ．C ．D ．2．已知椭圆的焦点是，F 12F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长21PF PQ Q P F =，使得到，那么动点Q 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线3．设双曲线1922=-y x 的两焦点是，F 12F ，A 为双曲线的一点,且,71=AF 则2AF 的值是( )A ．105+B ．1025±C ．13D ．113或 4．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A ．1617 B ．1615 C ． 0 D ．87 5. 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率是( )B. 2C. 23D. 126.如果椭圆221369x y +=的弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是___________.7. （2016 杨浦区一模）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l 交抛物线于点A ，B ，若AB=8，则抛物线C 的方程为．8. （2016 成都模拟）已知椭圆的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．9. 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线y=4x+m 对称. 10. 设双曲线22-12y x =上两点A 、B ，AB 中点P(1,2)， (1)求直线AB 方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？11．、已知抛物线y 2=2px(p>0)，一条长为4p 的弦AB 的两个端点A 、B 在抛物线上滑动，求此动弦的中点Q 到y 轴的最小距离.12．已知：直线 y ＝1-x 与椭圆 mx 2+ny 2＝1交于M 、N 两点，O 为坐标原点，（1）若点P 为线段MN 的中点，OP 的斜率为2，求：mn的值；（2）若OM ⊥ON ，且||MN =，求：椭圆的方程. 13．已知抛物线C ：y 2=p(x+1)(p>0)，直线l: y+x=m 与x 轴的交点在抛物线准线的右边. （1）求证：直线l 与抛物线C 总有二个不同的交点；（2）设直线l 与抛物线C 的二交点为Q ，R ，且OR ⊥OQ.求p 关于m 的表达式；（3）在（2）的条件下，若m 变化，使原点到直线QR 的距离不大于22，求p 的取值范围.14. 已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．15. 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.【参考答案与解析】 1.【答案】C【解析】焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率等于，可得c=2，a=2，b=2，所求的椭圆方程为：．故选：C ．2．A ； 3．D ； 4．B ； 5. C 6.x+2y-8=0； 7.【答案】y 2=4x ．【解析】：∵抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴， ∴设抛物线C 的标准方程为y 2=2px ，p ＞0， ∵过焦点且倾斜角为的直线l 交抛物线于点A ，B ，AB=8，∴=8，解得2p=4，∴抛物线C的方程为：y2=4x．8.【解析】（Ⅰ）．设点P（x，y）（y≠0），则有，即，∴=．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），∵MN与x轴不重合，∴设直线，由化简得，；由题意可知△＞0成立，且；=；将代入上式并化简得，．∴AM ⊥AN ，即以MN 为直径的圆恒过点A ．9. 解析：设椭圆22143x y +=上以A(x 1,y 1),22'(,)A x y 为端点的弦关于直线y=4x+m 对称，且中点M(x 0,y 0)是椭圆22143x y +=内的点，从而有x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.由221122223412 (1) 3412 (2)x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22221212 (1)-(2)4(-)-3(-)y y x x =得01212'121203-3()---4()4AA x y y x x k x x y y y +∴===+，0'000311---3444AA x k y x y =⇒=⇒=由由M(x 0,y 0)在直线004-,-3(-,-3)y x m x m y m M m m =+⇒==⇒上从而有222(-)(-3)41(-,)43131313m m m m +<⇒<⇒∈ 10. 解析：（1）显然AB 斜率存在，设AB ：-2(-1)y k x =222--12y kx k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩由得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0 当△>0时，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则122(2-)=1 , 10 22-x x k k k k k+==∴=∆>，满足 1AB y x ∴=+直线：(2)设A 、B 、C 、D 共圆于⊙M ，因AB 为弦，故M 在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M 为CD 中点.因此只需证CD 中点M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由221(-1,0)(3,4)-12y x A B y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得：， -3CD y x =+又方程：由222-36-110-12y x x x y x =+⎧⎪+=⎨=⎪⎩得：，334400(,),(,)(,)C x y D x y CD M x y 设，中点则34000-3,-36,(-3,6)2x x x y x M +===+=∴1||||||2MC MD CD ∴===又||||||||||||MA MB MA MB MC MD ==∴=== ∴A 、B 、C 、D 在以CD 中点M(-3,6)为圆心，为半径的圆上.11．解析：设F 为焦点，A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ，则1212(,)22x x y y Q ++, 其到y 轴的距离为122x x +,所以要使中点Q 到y 轴的距离最小，只需122x x +最小即可，由抛物线定义有12||,||22p pAF x BF x =+=+,|AF|+|BF|≥|AB|，所以 x 1+x 2+p ≥|AB|, 即 x 1+x 2+p ≥4p, 12322x x p+≥； ∴点Q 到y 轴的最小距离为32p。

12．解析：令M(x 1,y 1), N(x 2,y 2)，把y=1-x 代入mx 2+ny 2=1中消y 有(m+n)x 2-2nx+n-1=0，当Δ>0时，121221,n n x x x x m n m n-+==++ ∴1212222()2n my y x x m n m n+=-+=-=++ （1）∵ P 为线段MN 的中点∴(,)n mP m n m n++,∴2m n =. （2）∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2+y 1y 2=0又y 1y 2=(1-x 1)(1-x 2)=1-(x 1+x 2)+x 1x 2=1m m n-+ ∴110m n m n m n--+=++，即m+n=2 ,又||MN =2212125244(11)[()4]2[()]2n n x x x x m n m n-=+⋅+-=-++∴248302n n m n ⎧-+=⎨+=⎩，解得3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求为223122x y +=或 223122y x +=. 13．解析：（1）解方程组 ⎩⎨⎧=++=mx y x p y )1(2，消去x ,得y 2+py-p(m+1)=0.Δ=p 2+4p(m+1).∵直线l 与x 轴的交点在抛物线C 的准线41p x --=的右边，∴41p m -->,∴ 4(m+1)>-p, 又∵ p>0, ∴ 4p(m+1)>-p 2, 即Δ=p 2+4p(m+1)>0. 即直线l 与抛物线C 总有二个不同的交点. （2）设Q 、R 两点坐标分别为Q(x 1,y 1),R(x 2,y 2),∵OQ ⊥OR, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.又∵ x 1=m-y 1, x 2=m-y 2，代入上式整理得2y 1y 2-m(y 1+y 2)+m 2=0.由（1）知,y 1+y 2=-p, y 1y 2=-p(m+1). ∴-2p(m+1)+mp+m 2=0.∴ (m+2)p=m 2, ∵ p>0, ∴m>-2且m ≠0.则有22+=m m p （m>-2且m ≠0）（3）∵ O 到直线QR 的距离为222||≤=m d , ∴|m|≤1, 又由（2）知m>-2且 m ≠0.∴].1,0()0,1[ -∈m∵22+=m m p , 设m+2=t, 则].3,2()2,1[ ∈t则44)2(2-+=-=t t t t p ， ∵tt u 4+=在[1,2 )上为减函数，在(2, 3]上为增函数，∴u ∈(4, 5], 则p ∈(0, 1]. 14.解析：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x -=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h =⋅=△．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 15. 解析：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．设11()M x y ，， M 在2C 上，253MF =，所以1513x +=，得123x =，13y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是2222481931a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去2b 并整理得4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12MF NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得：22916840x mx m -+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，则12169m x x +=，212849m x x -=．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⨯-⋅+21(1428)09m =-=．所以m =此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y =-，或y =+。