【2022】江苏省常州市中考数学模拟试卷(含答案解析)
2023年中考数学模拟试卷(含解析)
2023年中考数学模拟试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置上．1.下列实数中，最小的无理数的是（）A. B.1 C.πD.﹣52.计算()()32a a -÷-的结果是（）A.aB.﹣aC.1D.﹣13.下列图形中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.函数5x y x =-的自变量x 的取值范围是（）A.5x ≠ B.2x >且5x ≠ C.2x ≥ D.2x ≥且5x ≠5.已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板ABC ，按如图所示方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A .35° B.30° C.25° D.65°6.已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A.亏损10元B.盈利10元C.亏损20元D.盈利20元7.如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A.65°B.60°C.58°D.50°8.如图，▱OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数k yx（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）A. B.12 C. D.69.如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，和AB交于点G，则AG的长为（）A.1.4B.1.8C.1.2D.1.610.已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（）A.4AD AE =B.2=AD ABC.2AB AE =D.3AB AE=二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为_____．12.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．13.因式分解：322x y xy -=________________．14.如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）15.如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm 的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm 2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为_____．16.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 平移至线段CD 的位置，连接AC BD 、．若点()2,2B --的对应点为()1,2D ，则点()30A -,的对应点C 的坐标是____________．17.如图，正方形ABCD 的边长为2，A 为坐标原点，AB 和AD 分别在x 轴、y 轴上，点E 是BC 边的中点，过点A 的直线y kx =交线段DC 于点F ，连接EF ，若FA 平分DFE ∠，则k 的值为__________．18.如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，QBP △的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD =BE =5；②cos ∠ABE =35；③当0＜t ≤5时，y =25t 2；④当t =294秒时，ABE QBP ∽；其中正确的结论是_______（填序号）．三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19.计算：04cos 45(2022)π︒--．20.先化简再求值：232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足280x x +-=．21.求不等式组74252154x x x x -<+⎧⎨-<-⎩的整数解．22.如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．（1）求证：△ABE ≌△CAF ；（2）若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．23.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：分组频数6070x <≤47080x <≤128090x <≤1690100x <≤请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学名；在扇形统计图中，成绩在“90100x <≤”这一组所对应的扇形圆心角的度数为︒；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A ，B ，C ，D ，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率．24.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm≈1.414）25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝mx（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．26.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线：（2）连接BE，若⊙O的半径长为5，OF=3，求EF的长，27.我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；（2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；（3）如图3，四边形ABED△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F 在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．28.如图，二次函数y＝﹣16x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A 的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．答案与解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置上．1.下列实数中，最小的无理数的是（）A. B.1C.πD.﹣5【答案】A【解析】【分析】先找出无理数，再比较大小即可求解．【详解】选项中的和π，＜2＜3＜π，，故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的概念以及实数比较大小的知识，找出选项中的无理数是解答本体的关键．2.计算()()32a a -÷-的结果是（）A.aB.﹣aC.1D.﹣1【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则进行计算．【详解】解：原式＝()3232a a a a -÷÷-＝＝，故选：A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算方法是解题的关键．3.下列图形中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不符合；B 、是轴对称图形，故本选项符合；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合；D 、不是轴对称图形，故本选项不符合．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.函数5x y x =-的自变量x 的取值范围是（）A.5x ≠ B.2x >且5x ≠ C.2x ≥ D.2x ≥且5x ≠【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．【详解】解：由题意得：20,50x x -≥⎧⎨-≠⎩解得：2x ≥且 5.x ≠故选D ．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．5.已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板ABC ，按如图所示方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A.35°B.30°C.25°D.65°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得答案．【详解】解：∵m ∥n ，∴∠2＝∠ABC +∠1＝30°+35°＝65°．故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，准确判断角的位置关系是解题的关键．6.已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A.亏损10元B.盈利10元C.亏损20元D.盈利20元【答案】B【解析】【分析】设盈利60%的进价为x 元，亏损20%的进价为y 元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，由题意，得x（1+60%）=80，y（1-20%）=80，解得：x=50，y=100，∴成本为：50+100=150元．∵售价为：80×2=160元，利润为：160-150=10元．故选：B．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．7.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（）A.65°B.60°C.58°D.50°【答案】B【解析】【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=12∠EOF=60°，故选：B．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.如图，▱OABC的周长为7，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数k yx（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）A. B.12 C. D.6【答案】C【解析】【分析】作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，设OA=a，根据题意得到OC=72-a，解直角三角形表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到关于a的方程，解得a，求得A的坐标，即可求得k的值．【详解】解：作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC，AB=OC，OA∥BC，∴∠BCN=∠AOC=60°．设OA=a，由▱OABC的周长为7，∴OC =72-a ，∵∠AOC =60°，1,22OD a AD a ∴==，1,22A a a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∵M 是BC 的中点，BC =OA =a ，∴CM =12a ，又∠MCN =60°，1,44CN a MN a ∴==，∴ON =OC +CN =71732424a a a -+=-，7,2443M a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，∵点A ，M 都在反比例函数k y x=的图象上，31722244a a a a ⎛⎫∴⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，解得a =2，A ∴，1k ∴=⨯=．故选：C ．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是列出方程求出a 的值．9.如图，直角三角形ACB 中，两条直角边AC =8，BC =6，将△ACB 绕着AC 中点M 旋转一定角度，得到△DFE ，点F 正好落在AB 边上，DE 和AB 交于点G ，则AG 的长为（）A.1.4B.1.8C.1.2D.1.6【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．【详解】解：如图，连接CF，∵AC=8，BC=6，∴AB=，∵点M是AC中点，∴AM=MC=4，∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，∴AM=MF=CM，∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，∴∠MFA+∠MFC=90°，∴∠AFC=90°，∵12×AB×CF=12×AC×BC，∴CF=24 5，∴AF325 ==，∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，∴∠D=∠AFM，又∵∠DFE=90°，∴DG=GF，∠E=∠GFE，∴GF=GE，∴GF=GD=GE=5，∴AG=AF-GF=325-5=75=1.4，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF 的长是本题的关键．10.已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（）A.4AD AE= B.2=AD AB C.2AB AE = D.3AB AE=【答案】C【解析】【分析】设AB a =，BC b =，BE c =，BF x =，由于四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，所以AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，根据()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+ △△，化简后得()2a c x bc -+，F 为BC 上一动点，x 是变量，()2a c -是x 的系数，根据平EFGH S 不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，x 的系数为0，bc 为固定值，20a c -=，进而可得点E 是AB 的中点，即可进行判断．【详解】解：∵四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，∴AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，设AB a =，BC b =，BE c =，BF x =，∴()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+ △△()()11222ab a c b x cx ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦()ab ab ax bc cx cx =---++ab ab ax bc cx cx=-++--()2a c x bc=-+∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，()2a c -是x 的系数，∵EFGH S 不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴20a c -=，∴2a c =，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE =，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为_____．【答案】75.510⨯【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：755000000 5.510=⨯故答案为：75.510⨯．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．12.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．【答案】5【解析】【分析】先根据平均数的定义计算出x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ，6，已知这组数据的平均数是5，∴x =5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，∴这组数据的中位数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数．13.因式分解：322x y xy -=________________．【答案】()()211xy x x +-【解析】【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】32222(1)2(1)(1)x y xy xy x xy x x -=-=+-，故答案为2(1)(1)xy x x +-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm ．（结果保留根号）【答案】()88-##(-【解析】【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离=512-即可解答．【详解】解：设腰节到脚尖的距离为x cm ，根据题意，得：11762x -=，解得：88x =-，∴腰节到脚尖的距离为（88-）cm ，故答案为：88．【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割和黄金数512-=较长线段：全线段是解答的关键．15.如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm 的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm 2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为_____．【答案】12【解析】【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．【详解】解：∵正方形的面积为2×2=4cm 2，黑色部分的总面积为2cm 2，∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为2142=，故答案为：12．【点睛】本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率公式．16.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 平移至线段CD 的位置，连接AC BD 、．若点()2,2B --的对应点为()1,2D ，则点()30A -,的对应点C 的坐标是____________．【答案】()04，【解析】【分析】根据点B 、D 的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．【详解】解：∵点()22B --，的对应点为()12D ，，∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，∴点()30A -，的对应点C 的坐标为()04，．故答案为：()04，．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17.如图，正方形ABCD 的边长为2，A 为坐标原点，AB 和AD 分别在x 轴、y 轴上，点E 是BC 边的中点，过点A 的直线y kx =交线段DC 于点F ，连接EF ，若FA 平分DFE ∠，则k 的值为__________．【答案】1或3【解析】【分析】分两种情况：①当点F 在DC 之间时，作出辅助线，求出点F 的坐标即可求出k 的值；②当点F 与点C 重合时求出点F 的坐标即可求出k 的值．【详解】解：①如图，作AG ⊥EF 交EF 于点G ，连接AE,∵AF 平分∠DFE,∴DA=AG=2,在Rt △ADF 和Rt △AGF 中，DA AG AF AF=⎧⎨=⎩∴Rt △ADF ≌Rt △AGF (HL)∴DF=FG,∴点E 是BC 边的中点，∴BE=CE=1,1AE GE ∴==∴==∵在Rt △FCE 中，EF 2=FC 2+CE 2，即(DF+1)2=(2-DF)2+1，解得：DF=23，∴点F (23，2)把点F 的坐标代入y kx =得：2=23k ，解得k=3②当点F 与点C 重合时，∵四边形ABCD 是正方形，∴AF 平分∠DFE∴F (2，2)把点F 的坐标代入y kx =得：2=2k ，解得k=1故答案为：1或3【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质定理，及勾股定理，解题的关键是分两种情况求出k.．18.如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，QBP △的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD =BE =5；②cos ∠ABE =35；③当0＜t ≤5时，y =25t 2；④当t =294秒时，ABE QBP ∽；其中正确的结论是_______（填序号）．【答案】①③④【解析】【详解】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB==4，∴cos∠ABE=ABBE=45，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE=45，∴PF=PB sin∠PBF=45t，∴当0＜t≤5时，y=12BQ•PF=12t•45t=25t2，故③小题正确；当t=294秒时，点P在CD上，此时，PD=294﹣BE﹣ED=294﹣5﹣2=14，PQ=CD﹣PD=4﹣14=154，∴45415334AB BQ AE PQ ===，，∴AB BQ AE PQ=，又∵∠A =∠Q =90°，∴△ABE ∽△QBP ，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19.计算：04cos 45(2022)π︒-+-．【答案】1【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：04cos 45(2022)π︒+-412=⨯-1=-1=【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．20.先化简再求值：232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足280x x +-=．【答案】2x x +；8【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将280x x +-=变形为28x x +=，即可得出值．【详解】解：232121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x ()2213112x x x x x x x 骣++÷ç=-´çç++-桫()()22112x x x x x -+=´+-2x x =+，∵280x x +-=，∴28x x +=，即原式的值为8．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉掌握分式混合运算法则是解题的关键．21.求不等式组74252154x x x x-<+⎧⎨-<-⎩的整数解．【答案】35x -<<【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分可得不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．【详解】74252154x x x x -<+⎧⎨-<-⎩①②解不等式①得：3x >-，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为：35x -<<．∴不等式组的整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4，【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．22.如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F．（1）求证：△ABE ≌△CAF ；（2）若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．【答案】（1）见解析（2）EF 的长为3．【解析】【分析】（1）由BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F 得∠AEB =∠CFA =90°，而∠BAC =90°，根据同角的余角相等可证明∠B =∠FAC ，还有AB =CA ，即可证明△ABE ≌△CAF ；（2）由△ABE ≌△CAF ，根据全等三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∴∠AEB =∠CFA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠B =∠FAC =90°-∠BAE ，在△ABE 和△CAF 中，AEB CFA B FAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）；【小问2详解】解：∵△ABE ≌△CAF ，CF =5，BE =2，∴AF =BE =2，AE =CF =5，∴EF =AE -AF =5-2=3，∴EF 的长为3．【点睛】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确理解与运用全等三角形的判定定理是解题的关键．23.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学名；在扇形统计图中，成绩在“90100x <≤”这一组所对应的扇形圆心角的度数为︒；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A ，B ，C ，D ，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率．【答案】（1）40，72（2）见解析（3）小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率为16．【解析】【分析】（1）由成绩在“70＜x ≤80”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题；（2）根据成绩在“90＜x ≤100”这一组的人数，补全数分布直方图即可解决问题；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：本次知识竞答共抽取七年级同学为：12÷30%=40（名），则在扇形统计图中，成绩在“90＜x ≤100”这一组的人数为：40-4-12-16=8（名），在扇形统计图中，成绩在“90＜x ≤100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：360°×840=72°，故答案为：40，72；【小问2详解】解：将频数分布直方图补充完整如下：【小问3详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的结果有2种，∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率为21126．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm≈1.414≈1.732）【答案】（1）27cm（2）34.6cm【解析】【分析】（1）连接PO，利用垂直平分线的性质得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC；（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，根据矩形的性质可知DE=FC，DF=EC，分别在在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及锐角三角函数即可求出DE、EO，进而求出PF，即可得解．【小问1详解】连接PO，如图，∵点D为AO中点，且PD⊥AO，∴PD是AO的垂直平分线，∴PA=PO=45cm，∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36(cm)，PC===(cm)，∴在Rt△POC中，27即PC长为27cm；【小问2详解】过D 点作DE ⊥OC 于E 点，过D 点作DF ⊥PC 于F 点，如图，∵PC ⊥OC ，∴四边形DECF 是矩形，即FC =DE ，DF =EC ，在Rt △DOE 中，∠DOE =180°-∠AOC =180°-120°=60°，∵DO =AD =12AO =12(cm)，∴DE =·sin DO DOE ∠=·sin 60DO ︒=(cm)，EO =12DO =6(cm)，∴FC =DE =cm ，DF =EC =EO +OB +BC =6+24+12=42(cm)，∵∠FDO =∠DOE =60°，∠PDO =90°，∴∠PDF =90°-60°=30°，在Rt △PDF 中，PF =·tan 42tan 30423DF PDF ∠=⋅=⨯=o (cm)，∴PC =PF +FC =+=，∴PC 34.6cm =≈，即PC 的长度为34.6cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b 的图象经过点A （2，0），B （0，1），交反比例函数y ＝m x（x ＞0）的图象于点C （3，n ），点E 是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t （0＜t ＜3），EF ∥y 轴交直线AB 于点F ，D 是y 轴上任意一点，连接DE 、DF ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当t 为何值时，△DEF 为等腰直角三角形．【答案】（1）一次函数表达式为112y x =-+，反比例函数表达式为32y x =-（2）1t =或1103【解析】【分析】(1)先用待定系数法求出一次函数的解析式，则可求出C 点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数式即可；(2)分三种情况讨论，即①当∠FDE 为直角时，则△DEF 为等腰直角三角形，根据12DH HE HF EF ===建立方程；②当90EFD ∠=︒时，根据=EF FD 建立方程；③当∠FED 为直角时，和∠FDE 为直角时得到的等式相同；结合t 的范围，分别求出方程的解，即可解决问题．【小问1详解】解：由题意得：201a b b +=⎧⎨=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴112y x =-+，∵C 点在一次函数图象上，∴113122n =-⨯+=-，∴132C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴13322m xy ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，∴32y x=-；【小问2详解】由题意得：32E y t =-，112F y t =-+，∴13122F E EF y y t t=-=-++，①如图，当FD ED =时，过D 作DH EF ⊥，∵EDF 是等腰直角三角形，∴2EF DH =，∴131222t t t-++=，整理得：25230t t --=，解得：1t =或35-，∵03t <<，∴1t =；②如图，当90EFD ∠=︒时，=EF FD ，∴13122t t t-++=，整理得：23230t t --=，解得：1103t =或1103，∵03t <<，∴1103t +=；③如图，当90FED ∠=︒时，EF ED =，∵等式同②，∴1103t +=；综上所述，当1t =或13时，DEF 为等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等知识点，解题的关键是要注意分类求解，避免有所遗漏．26.如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，E 在⊙O 上，∠A =2∠BDE ，点C 在AB 的延长线上，∠C =∠ABD ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线：（2）连接BE ，若⊙O 的半径长为5，OF =3，求EF 的长，【答案】（1）见解析；（2；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质即可证明；（2）连接OE ，BE ，AE ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求得∠DFC =∠CBE ，从而可得∠EFB =∠EBF ，于是EF =BE ，再由OB =OE ，可证△OBE ∽△EBF ，即可解答；【小问1详解】证明：如图，连接OE ，。
2024年江苏省常州市钟楼外国语学校中考数学模拟试卷(含解析)
2024年江苏省常州市钟楼外国语学校中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣2的相反数是（ ）A．2B．﹣2C．D．2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）A．（﹣a3）2＝a9B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a6D．a5÷a3＝a2 3．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）A．45°B．60°C．75°D．82.5°4．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）A．66°B．76°C．75°D．67°5．（2分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）A．5.19×10﹣2B．5.19×10﹣3C．519×105D．519×10﹣6 6．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）A．160°B．150°C．140°D．110°7．（2分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）A．B．C．D．8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC 的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）A．B．1C．D．a二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．（2分）3﹣|﹣2|＝ ．10．（2分）计算：+＝ ．11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ ．12．（2分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ ．14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 ．15．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．16．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ °．17．（2分）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x ＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 ．三、解答题（本大题共7小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）计算：．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．21．（10分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．22．（10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标．23．（10分）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）说出图中函数y1、y2的图象交点P表示的实际意义；（2）求y1、y2关于x的函数解析式；（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km那么小明选择 品牌共享电动车更省钱？（填“A”或“B”）②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？24．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ；（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+x+6交x 轴负半轴于A，交正半轴于B，交y轴于C，OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限抛物线上一点，连接BP交y轴于点D，设点P 横坐标为t，线段CD长为d，求d与t的函数关系；（3）如图2，在（2）的条件下，过点C作BP的垂线，交x轴于点F，垂足为点G，E为CF上一点，连接BE，若BE＝BD，∠BEG＝2∠PBA，求点P 坐标．2024年江苏省常州市钟楼外国语学校中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣2的相反数是（ ）A．2B．﹣2C．D．【分析】根据相反数的定义进行判断即可．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：A．2．（2分）下列计算结果正确的是（ ）A．（﹣a3）2＝a9B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a6D．a5÷a3＝a2【分析】直接根据同底数幂的乘除运算法则计算判断即可．【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，计算错误；B．a2+a3，不是同类项，不能合并；C．a2•a3＝a5，计算错误；D．a5÷a3＝a2，计算正确．故选：D．3．（2分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）A．45°B．60°C．75°D．82.5°【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，故∠1的度数是：45°+30°＝75°．故选：C．4．（2分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）A．66°B．76°C．75°D．67°【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，再根据三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，∴∠APD＝∠B+∠D＝34°+42°＝76°，故选：B．5．（2分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）A．5.19×10﹣2B．5.19×10﹣3C．519×105D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3，故选：B．6．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）A．160°B．150°C．140°D．110°【分析】由∠B＝70°得∠BEF+∠BFE＝110°，再根据翻折知∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，即可求出∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠B＝70°，∴∠BEF+∠BFE＝110°，∵翻折，∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，故选：C．7．（2分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．【解答】解：列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是＝，故选：B．8．（2分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC 的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）A．B．1C．D．a【分析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE＝OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB＝AC；由AB＝BD，得＝，可得∠AED＝∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD＝AB＝BC，易证得∠D＝∠BCD，则∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC ＝AB，易证得两个三角形全等，由此得解．【解答】解：如图，连接OE，OA，OB．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；∵AB＝BD，∴，∴∠AED＝∠AOB；∵BC＝AB＝BD，∴∠D＝∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，∵AC＝AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE＝OA＝1．方法2：∵BA＝BC＝BD＝a，∴点A，C，D在以B为圆心，半径为a的圆上，∴∠ADC＝∠ABC＝30°，连接AO，EO，∴∠AOE＝2∠ADE＝60°，∴△AOE为等边三角形，∴AE＝1．故选：B．二.填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．（2分）3﹣|﹣2|＝ 1 ．【分析】先算|﹣2|，再求3与它的差得结果．【解答】解：3﹣|﹣2|＝3﹣2＝1故答案为：110．（2分）计算：+＝ 3 ．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝2+＝3．11．（2分）分解因式：x3﹣4xy2＝ x（x+2y）（x﹣2y） ．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y），故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）12．（2分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2．故答案为：x≥2．13．（2分）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝ 1 ．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝2，代入原方程，然后解出m的值即可．【解答】解：由题意得：x＝2，将x＝2，代入方程2x2﹣mx﹣6＝0得：2×22﹣2m﹣6＝0，解得：m＝1．故答案为：1．14．（2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 1cm ．【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：圆锥的底面周长是：2πcm，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π，解得：r＝1．故答案为：1cm．15．（2分）如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则tan∠BAC的值为 ．【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出∠CHA＝90°，再求解即可．【解答】解：连接CH，由图可知∠CHA＝90°，设小方格的边长为a，则AH＝＝3a，CH＝＝4a，故tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．16．（2分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ 105 °．【分析】连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得．【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案为：105．17．（2分）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 2 ．【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接AB，AP．根据切线的性质定理，得AB⊥PB．要使PB最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，∴PB＝＝2．则PB最小值是2．故答案为：2．18．（2分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x ＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线AC∥y轴，且BD⊥AC．已知点A的横坐标为4，当四边形ABCD是正方形时，请写出m、n之间的数量关系 m+n＝32 ．【分析】设AC＝BD＝2t（t≠0），先确定出点A的坐标为（4，），C（4，），进而得出点D的坐标为（4﹣t，+t），代入y＝求得t＝4﹣，即可得到点C的坐标为（4，8﹣），从而得到8﹣＝，整理得到m+n＝32．【解答】解：当四边形ABCD为正方形时，设AC＝BD＝2t（t≠0）．∵点A的横坐标为4，∴点A的坐标为（4，），C（4，），∴点D的坐标为（4﹣t，+t），∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，∴点C的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，∴点C的坐标为（4，8﹣），∴8﹣＝，整理，得：m+n＝32．∴四边形ABCD是正方形时，m+n＝32，故答案为m+n＝32．三、解答题（本大题共7小题，共64分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）计算：．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣2×1+1＝2﹣2+1＝1．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）（x﹣3）得：x﹣3＝2（x﹣2），去括号得：x﹣3＝2x﹣4，解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣3）≠0，∴x＝1是原方程的解；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜﹣，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜﹣．21．（10分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【分析】（1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱＝18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱＝31，根据这两个等量关系可以列出方程组．（2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数＝48﹣钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．【解答】解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．依题意得：，解得：，答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．（2）设买a支钢笔，则买笔记本（48﹣a）本，依题意得：，解得：20≤a≤24，∴一共有5种方案．方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本；方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本；方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本；方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本；方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本．22．（10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式；（2）通过观察图象交点求解；（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．【解答】解：（1）将（2，3）代入得3＝，解得k＝6，∴反比例函数解析式为y＝．∴﹣2n＝6，解得n＝﹣3，所以点B坐标为（﹣3，﹣2），把（﹣3，﹣2），（2，3）代入y＝ax+b得：，解得，∴一次函数解析式为y＝x+1；（2）由图象可得当x＜﹣3或0＜x＜2时式；（3）设点P坐标为（m，0），一次函数与x轴交点为E，把y＝0代入y＝x+1得0＝x+1，解得x＝﹣1，∴点E坐标为（﹣1，0）．∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+×2PE＝PE，∴PE＝10，即|m+1|＝10，解得m＝3或m＝﹣5．∴点P坐标为（3，0）或（﹣5，0）．23．（10分）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）说出图中函数y1、y2的图象交点P表示的实际意义；（2）求y1、y2关于x的函数解析式；（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km那么小明选择 B 品牌共享电动车更省钱？（填“A”或“B”）②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？【分析】（1）根据函数图象可得交点P的坐标，结合x，y所表示的实际意义即可解答；（2）利用待定系数法即可求解，注意y2为分段函数；（3）①先根据“时间＝路程÷速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；②分两种情况讨论：当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3；当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3．以此列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，P（20，8），交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元；（2）设y1＝k1x，将点（20，8）代入得，20k1＝8，解得：k1＝0.4，∴y1＝0.4x（x＞0），由图象可知，当0＜x≤10时，y2＝6，设当x＞10时，y2＝k2x+b，将点（10，6），（20，8）代入得，，解得：，∴当x＞10时，y2＝0.2x+4，∴；（3）①小明从家骑行到工厂所需时间为＝30（min），A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元），∵12＞10，∴选择B品牌共享电动车更省钱；故答案为：B；②当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3，∴6﹣0.4x＝3，解得：x＝7.5，当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3，∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3，解得：x＝5（舍去）或x＝35，综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．24．（10分）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ③ ；（2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD＝AB，点E、F分别在AC、BC边上，满足△BDF和△EDF为“共边全等”，求CF的长；（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+12分别与直线y＝x、x轴相交于A、B两点，点C是OB的中点，P、Q在△AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PCB“共边全等”时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；（2）DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到△ADE为等边三角形，计算边长即可求得；（3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成△PCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；（2）①如图1，当△BDF≌△EFD，且是共边全等时，∠BFD＝∠EDF，∴DE∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝，∴DE＝AE＝BF＝2，∴CF＝BC﹣BF＝4，②如图2，当△BDF≌△EDF，且是共边全等时，BD＝DE＝6﹣AD＝4，∠DEF＝∠B＝60°，EF＝BF，∴∠AED+∠FEC＝120°，又∠AED+∠EDA＝120°，∴∠FEC＝∠EDA，又∠C＝∠A＝60°，∴△FEC∽△EDA，∴，设CE＝a，则EF＝2a，∴，解得a＝，∴，EF＝，∴CF＝6﹣（10﹣2）＝2﹣4，综上所述，CF＝4或；（3）联立，解得，∴A（3，3），令y＝﹣3x+12＝0，得x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，∵C为OB中点，∴OC＝2，∴C（2，0），由题可得，P点只能在边OA和OB上，①P在OA上时，如图3，△PBC≌△BPQ，∴∠CPB＝∠QBP，CP＝QB，∴四边形PCBQ为平行四边形，∵C为OB中点，∴P为OB中点，又PQ∥OB，∴Q为AB中点，∴Q（），②当P在OA边上，如图4，△PBC≌△PBQ，∴BQ＝BC＝2，如图5，过A作AD⊥OB于D，则AD＝3，OD＝3，∴BD＝OB﹣OB＝1，∴tan∠ABO＝，过Q作QE⊥OB于E，∵tan∠ABO＝，∴设BE＝a，则QE＝3a，∵BE2+QE2＝QB2，∴a＝，∴，OE＝4﹣a＝4，∴，③当P在OA边上，Q在OA边上时，如图6，△PBQ≌BPC，∴PA＝BC＝2，OP＝PB＝4，过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝45°，OP＝4，∴PF＝OP＝2，∴，设Q（b，b），∴，∴，∴，④当P在OB上，Q在OA上时，△PBC≌BPQ，如图7，∴S△PBC＝S△BPQ，过C，Q分别作AB得垂线，垂足分别为M，N，∴，CM∥QN，∴CM＝QN，∴四边形CMNQ是平行四边形，∵C为OB中点，∴Q为AO中点，∴Q（），综上所述，Q（）或（）或（）或（）．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+x+6交x 轴负半轴于A，交正半轴于B，交y轴于C，OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限抛物线上一点，连接BP交y轴于点D，设点P 横坐标为t，线段CD长为d，求d与t的函数关系；（3）如图2，在（2）的条件下，过点C作BP的垂线，交x轴于点F，垂足为点G，E为CF上一点，连接BE，若BE＝BD，∠BEG＝2∠PBA，求点P 坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出直线BP的表达式为：y＝﹣（t+3）（x﹣6），即可求解；（3）证明△COF≌△BOD（AAS）、△CKN≌△EGB（AAS）和△NKF≌△BGF （AAS），得到OF＝OB＝2＝OD，求出直线BD的表达式为：y＝x﹣2，即可求解．【解答】解：（1）由函数的表达式知，点C（0，6），而OB＝OC＝6，则点B（6，0），将点B的坐标代入函数表达式得：0＝36a+6+6，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6；（2）设点P（t，﹣t2+t+6），由点P、B的坐标得，直线BP的表达式为：y＝﹣（t+3）（x﹣6），则点D（0，2t+6），则d＝CD＝6﹣2t﹣6＝﹣2t；（3）在y轴左侧取点N使ON＝OF，过点N作NK⊥CG于点K，则∠NCK＝2∠OCF，∵∠COF＝∠BGF＝90°，∠GFB＝∠CFN，∴∠OBD＝∠OCF＝∠OCN，∵∠BEG＝2∠PBA，∴∠BGE＝∠NCK．∵OB＝OC，∠BOD＝∠COF＝90°，∠OBD＝∠OCF，∴△COF≌△BOD（AAS），∴OF＝OD，BD＝CF，∵∠BGE＝∠NCK，BE＝BD＝CN，∠CKN＝∠EGB＝90°，∴△CKN≌△EGB（AAS），∴KN＝BG，∵∠NKF＝∠BGF＝90°，∠NFK＝∠BFG，∴△NKF≌△BGF（AAS），∴NF＝BG，而ON＝OF，则OF＝OB＝2＝OD，则点D（0，﹣2），由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x﹣2，联立上式和二次函数表达式得：﹣x2+x+6＝x﹣2，解得：x＝6（舍去）或4，即点P（4，﹣）．。
2022年江苏省常州市中考数学试卷(解析版)
2022年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2022•常州）2022的相反数是（）A．2022B．﹣2022C．D．2．（2分）（2022•常州）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x≥0D．x＞03．（2分）（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（）A．3B．4C．5D．65．（2分）（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝x+50B．y＝50x C．y＝D．y＝6．（2分）（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7．（2分）（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（2分）（2022•常州）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A．区域①、②B．区域①、③C．区域①、④D．区域③、④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2022•常州）化简：＝．10．（2分）（2022•常州）计算：m4÷m2＝．11．（2分）（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．12．（2分）（2022•常州）2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为．13．（2分）（2022•常州）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则（填“＞”、“＝”或“＜”）．14．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．15．（2分）（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD ＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．16．（2分）（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是．17．（2分）（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝．18．（2分）（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF 中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2022•常州）计算：（1）（）2﹣（π﹣3）0+3﹣1；（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．20．（6分）（2022•常州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．（1）本次调查的样本容量是，请补全条形统计图；（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．22．（8分）（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A 中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．23．（8分）（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．24．（8分）（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．25．（8分）（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME ﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．26．（10分）（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD ＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．27．（10分）（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．28．（10分）（2022•常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．2022年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2022•常州）2022的相反数是（）A．2022B．﹣2022C．D．【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：2022的相反数是﹣2022，故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．2．（2分）（2022•常州）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x≥0D．x＞0【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣1≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．3．（2分）（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到圆柱的侧面展开图的是长方形．【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．4．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝2，∴BC＝4，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．5．（2分）（2022•常州）某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝x+50B．y＝50x C．y＝D．y＝【分析】根据题意列出函数关系式即可得出答案．【解答】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，则平均每人拥有绿地y＝．故选：C．【点评】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键．6．（2分）（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．7．（2分）（2022•常州）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【解答】解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），∴点A的坐标为（1，﹣2），∵点A与点A2关于y轴对称，∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），故选：D．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．8．（2分）（2022•常州）某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0～100km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知0～100km/h的加速时间的中位数是ms，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A．区域①、②B．区域①、③C．区域①、④D．区域③、④【分析】根据中位数定义，逐项判断．【解答】解：最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若这两个点分别落在区域①、②，则0～100km/h的加速时间的中位数将变小，故A不符合题意；若这两个点分别落在区域①、③，则两组数据的中位数可能均保持不变，故B符合题意；若这两个点分别落在区域①，④，则满电续航里程的中位数将变小，故C不符合题意；若这两个点分别落在区域③，④，则0～100km/h的加速时间的中位数将变大，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查数据的中位数，解题的关键是掌握中位数的概念：一组数据中，正中间的数或中间两个数的平均数是这种数据的中位数..二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2022•常州）化简：＝2．【分析】直接利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵23＝8∴＝2．故填2．【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根．10．（2分）（2022•常州）计算：m4÷m2＝m2．【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．【解答】解：m4÷m2＝m4﹣2＝m2．故答案为：m2．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．11．（2分）（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝xy（x+y）．【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式得出答案．【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．故答案为：xy（x+y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．（2分）（2022•常州）2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为 1.38×105．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：138000＝1.38×105．故答案为：1.38×105．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．13．（2分）（2022•常州）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则＞（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】比较两个正有理数，数大的倒数反而小．也可以利用特殊值代入法求解．【解答】解：令a＝，b＝．则：＝，＝；∵＞；∴＞．故答案是：＞．【点评】本题考查两个有理数的大小，特殊值代入法是解填空题不错的选择．14．（2分）（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是2．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC 的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分．15．（2分）（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD ＝60°，则橡皮筋AC不会断裂（填“会”或“不会”，参考数据：≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16．（2分）（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是1．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半径是1，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（2分）（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE 中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，根据题意作辅助线构造直角三角形应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．18．（2分）（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF 中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是21．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB 于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•EF•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2022•常州）计算：（1）（）2﹣（π﹣3）0+3﹣1；（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．【分析】（1）利用实数的运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；（2）利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+＝；（2）原式＝（x2+2x+1）﹣（x2﹣1）＝x2+2x+1﹣x2+1＝2x+2．【点评】此题主要考查了整式的运算、实数运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．20．（6分）（2022•常州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由5x﹣10≤0，得：x≤2，由x+3＞﹣2x，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）（2022•常州）为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．（1）本次调查的样本容量是100，请补全条形统计图；（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．【分析】（1）用A类户数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算出C类和B类户数后补全条形统计图；（2）利用样本估计总体，由于1500×＝225（户），则可估计该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户，从而可判断调查小组的估计合理．【解答】解：（1）20÷20%＝100，所以本次调查的样本容量为100；C类户数为100×25%＝25（户），B类户数为100﹣20﹣25﹣15＝40（户），补全条形统计图为：故答案为：100；（2）调查小组的估计合理．理由如下：因为1500×＝225（户），所以根据该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．22．（8分）（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A 中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是，故答案为：；（2）列表如下：①②③①③②③④①④②④⑤①⑤②⑤由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②④这3个，所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．（1）求b、k的值；（2）求△AOC的面积．【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y＝2x+b的图象上，代入求得b＝4，由△BOC 的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），∴b＝4，∴一次函数为y＝2x+4，∵OB＝4，△BOC的面积是2．∴OB•x C＝2，即＝2，∴x C＝1，把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，∴C（1，6），∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×6＝6；（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴S△AOC＝＝6．【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．24．（8分）（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为（3，37°）；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．【解答】（1）解：由题意，得A′（a，n°），∵a＝3，n＝37，∴A′（3，37°），故答案为：（3，37°）；（2）证明：如图：∵A′（3，37°），B（3，74°），∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A＝A′B．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（8分）（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME ﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．26．（10分）（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD ＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD，则∠OAB＝∠C＝90°，而O 是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，设OH＝x，则BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH，则∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH ＝∠OEF，再由平行线性质得OE＝OH，从而推出OE＝OH＝OG，从而解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，。
2022年江苏省常州市中考数学一模试题及答案解析
2022年江苏省常州市中考数学一模试卷1. −3的相反数是( )A. −3B. 3C. −13D. 132. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 233. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是( )A.B.C.D.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosB的值是( )A. √55B. 2√55C. 12D. 25. 如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形7. 已知点A(−3,m)与点B(2,n)是直线y=−2x+b上的两点，则m与n的大小关系是( )3A. m>nB. m=nC. m<nD. 无法确定8. 如图，已知四边形ABCD的对角互补，且∠BAC=∠DAC，AB=15，AD=12.过顶点C作CE⊥AB于E，则AE的值为( )BEA. √73B. 9C. 6D. 7.29. 8的立方根是______．10. 分解因式：a2−25=．11. 某地区连续5天的最高气温(单位：℃)分别是30，33，24，29，24，这组数据的中位数是______．12. 医用口罩可以过滤小至0.000004米颗粒，用科学记数法表示0.000004是______．13. 二次函数y=−(x+3)2图象的顶点坐标是______．14. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．15. 关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16. 如图，直线a//b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1=______°.17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP=______．18. 如图，▱ABCD中，∠DAB=45°，AB=8，BC=3，P为边CD上一动点，则PB+√22PD的最小值等于______．19. 计算：√16−(π+1)0+(−3)2−(12)−3．20. 解不等式组和方程：(1){3(x+1)>62x≤x+5；(2)x−1x−2−12−x=3．21. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB//CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD//EC．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB=25，BC=15，求线段EF的长．22. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”(下面简称：“读书量”)进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”(单位：本)进行了统计，如图所示．根据以上信息，解答下列问题：(1)补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为______本；(2)求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；(3)已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．23. 如图，有四张正面标有数字−2，−1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为(x,y)．(1)请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果；(2)若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？24. 某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．(1)求A社区居民人口至少有多少万人？(2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．25. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx (x>0)的图象上有一点D(m,43)，过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB=4．(1)点A的坐标为______(用含m的式子表示)；(2)求反比例函数的解析式；(3)设直线AD的解析式为y=ax+b(a,b为常数且a≠0).则不等式kx−(ax+b)>0的解集是______．26. 如图(1)，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，2√2长为半径作⊙O 交BC于点D、E．(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．⏜的长．(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图(2)，求MN27. 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．(1)如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；(2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；(3)在△ABC中，∠A=30°，AC=6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．28. 在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3).连接OM，作CD//OM交AM的延长线于点D．(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)求点D的坐标；(3)直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．依据相反数的定义求解即可．【解答】解：−3的相反数是3．故选：B．2.【答案】D【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=44+2=23．故选：D．根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．3.【答案】C【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形内部有一个圆与矩形的两边相切．故选：C．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．4.【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦定义，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√5．由锐角的余弦定义，得cosB=BCAB =2√5=2√55，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．【解答】解：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故选：C．6.【答案】C【解析】解：外角是180°−120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：C．一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．7.【答案】A【解析】解：∵直线y=−23x+b中，k=−23<0，∴此函数是减函数．∵−3<2，∴m>n．故选：A．先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CEB=∠CFD，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四边形ABCD的对角互补，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDF，在△CEB和△CFD中，{∠CEB=∠F ∠B=∠CDF CE=CF，∴△CEB≌△CFD(AAS)，∴BE=DF，设BE=DF=a，∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，∴a=1.5，∴AE=12+a=12+1.5=13.5，BE=a=1.5，∴AE BE =13.51.5=9，故选：B．过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，证明△CEB≌△CFD，结合已知数据，求出AE和BE的长度，即可解决问题．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．9.【答案】2【解析】解：∵23=8，∴8的立方根为2，故答案为：2．利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．10.【答案】(a−5)(a+5)【解析】解：a2−25=(a−5)(a+5)．故答案为：(a−5)(a+5)．利用平方差公式分解即可求得答案．本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心．11.【答案】29【解析】解：数据从小到大排列为：24，24，29，30，33，则最中间为：29，故这组数据的中位数是：29．故答案为：29．首先将数据按从小到大排列，进而找出最中间求出答案．此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．12.【答案】4×10−6【解析】解：0.000004=4×10−6．故答案为：4×10−6．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13.【答案】(−3,0)【解析】解：∵二次函数y=−(x+3)2，∴二次函数图象的顶点坐标是(−3,0)．故答案为：(−3,0)．根据顶点式可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．14.【答案】4【解析】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，∴圆锥的高=√52−32=4．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．用到的知识点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．15.【答案】k<1【解析】解：由已知得：△=4−4k>0，解得：k<1．故答案为：k<1．由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．16.【答案】40【解析】解：如图，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∵a//b，∴∠2=∠BDC=60°，由三角形的外角性质和对顶角相等可知，∠1=∠2−∠A=40°，故答案为：40．根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质和对顶角相等计算，得到答案．本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°是解题的关键．17.【答案】43【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB=90°，即可得到AP//HE，进而得出∠BAP=∠BHE，依据Rt△BCH中，tan∠BHC=BCBH =43，即可得到答案．【解答】解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH=PH，又∵H为AB的中点，∴AH=BH=32，∴AH=PH=BH，∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°，∴∠APB=90°，∴∠APB=∠HEB=90°，∴AP//HE，∴∠BAP=∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC=BCBH =43，∴tan∠HAP=43．18.【答案】4√2【解析】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB//CD，∴∠EDP =∠DAB =45°，∴sin∠EDP =EP DP =√22， ∴EP =√22PD∴PB +√22PD =PB +PE∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin∠A =BE AB =√22，∴BE =4√2，故答案为：4√2．过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，有锐角三角函数可得EP =√22PD ，即PB +√22PD =PB +PE ，则当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ．本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型19.【答案】解：√16−(π+1)0+(−3)2−(12)−3=4−1+9−8=4．【解析】先计算二次根式、平方、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算． 20.【答案】解：(1){3(x +1)>6①2x ≤x +5②， 解不等式①得：x >1，解不等式②得：x ≤5，∴原不等式组的解集为：1<x ≤5；(2)x−1x−2−12−x =3，x −1+1=3(x −2)，解的：x =3，检验：当x=3时，x−2≠0，∴x=3是原方程的根．【解析】(1)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；(2)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．21.【答案】(1)证明：AB//CD，AD//EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴平行四边形AECD是菱形．(2)解：∵∠ACB=90°，AB=25，BC=15，∴AC=√AB2−BC2=√252−152=20，∵点E是AB的中点，∴S△ABC=2S△ACE，由(1)得：AE=12AB=252，四边形AECD是菱形，∴AD=AE=252，∴S菱形AECD=2S△ACE，∴S菱形AECD=S△ABC，∵EF⊥AD，∴AD⋅EF=12BC⋅AC，即252EF=12×15×20，解得：EF=12，即线段EF的长为12．【解析】(1)先证四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB=AE，即可得出结论；(2)由勾股定理得AC=20，再由菱形的性质得AD=AE=252，然后证S菱形AECD=S△ABC，则AD⋅EF=1BC⋅AC，即可得出答案．2本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】3【解析】解：(1)本次抽取的学生有：18÷30%=60(人)，读书4本的学生有：60×20%=12(人)，故本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3本，读书3本所占的百分比为：21÷60×100%=35%，故答案为：3；补全的统计图如右图所示；=3(本)，(2)1×3+2×18+3×21+4×12+5×660即本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数是3本；(3)1200×10%=120(人)，答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120人．(1)根据读书两本的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可得到本次所抽取学生四月份“读书量”的众数，再计算出读书4本所占的百分比，即可将统计图补充完整；(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能的结果数；(2)∵共有12种等可能的结果数，点A在坐标轴上有6种，∴小红胜的概率是612=12，∴小明胜的概率是12，∵1 2=12，∴这个游戏公平．【解析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；(2)找出符合条件的情况数，根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5−x)万人，依题意得：7.5−x≤2x，解得x≥2.5．答：A社区居民人口至少有2.5万人；(2)依题意得：1.2(1+m%)2+1×(1+m%)×(1+2m%)=7.5×76%设m%=a，方程可化为：1.2(1+a)2+(1+a)(1+2a)=5.7化简得：32a2+54a−35=0解得a=0.5或a=−3516(舍)∴m=50答：m的值为50．【解析】(1)设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．25.【答案】解：(1)(m−2,4)；(2)反比例函数y=k(x>0)的图象上有A，D两点，x∴k=4×(m−2)=4m，3解得m=3，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=4；x(3)0<x<1或x>3【解析】)，BC=2，解：(1)D(m,43∴OB=m−2，又∵AB=4，AB⊥OC，∴A(m−2,4)，故答案为：(m−2,4)；(2)见答案(3)∵A(1,4)，D(3,4)，3∴不等式k−(ax+b)>0的解集为0<x<1或x>3．x故答案为：0<x<1或x>3．【分析】(1)依据D(m,43)，BC =2，可得OB =m −2，再根据AB =4，AB ⊥OC ，即可得到A(m −2,4)； (2)依据反比例函数y =k x(x >0)的图象上有A ，D 两点，即可得到k =4×(m −2)=43m ，进而得到反比例函数的解析式为y =4x； (3)根据A(1,4)，D(3,43)，可得不等式k x −(ax +b)>0的解集为0<x <1或x >3． 此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及平移的性质．解决问题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征求得A ，D 两点的坐标． 26.【答案】解：(1)当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O相切．理由如下：如图，设切点为F ，连OF.则OF ⊥BF ，在Rt △OBF 中，OF =2√2，OB =4，∴cos∠OBF =BF OB =√22，∴∠OBF =∠BOF =45°，∴∠ABF =45°，同理：当∠ABF =135°时，AB 旋转的此时BF 的反向延长线上，∴当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转45度°或135°时与⊙O 相切．(2)过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转60°时与⊙O 相交于M 、N 两点，∴∠ABC =30°，∴OH =12OB =12×4=2，在Rt △OMH 中，OM =2√2，∴cos∠MOH =OH OM =√22，∴∠MOH =45°，∴∠MON =90°，∴MN ⏜的长为：90×π×2√2180=√2π.【解析】(1)首先设切点为F，连OF.则OF⊥BF，由特殊角的三角函数值，即可求得∠OBF的度数，继而求得当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切；(2)首先过点O作OH⊥AB于点H，由射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，即可得∠ABC=30°，继而求得OH的长，然后由特殊角的三角函数值，求得∠MOH的度数，⏜的长．继而求得∠MON的度数，然后由弧长公式求得MN此题考查了切线的性质、旋转的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27.【答案】(1)证明：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=40°，2∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD为△ABC的“优美分割线”；(2)解：如图，△ABC中，CD为“优美分割线”；(3)解：①若AD=CD时，如图，此时∠A=∠ACD=30°，∠BCD=∠A=30°，则∠ACB=60°，故∠B=90°，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，∴BC=3，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=3，∴BD=BC⋅tan30°=√3；②若AC=AD时，如图，作CE⊥AB于E，则∠ACD=∠ADC=75°，∠BCD=∠A=30°，∠BDC=105°，此时∠ACB=105°，∠B=45°，∵∠A=30°，AC=6，∴EC=3，AE=3√3，∵∠B=45°，∴EC=BE=3，AB=3√3+3，∴BD=AB−AD=3√3+3−6=3√3−3，③若AC=CD时，图形不成立，综上，BD=√3或3√3−3．【解析】(1)利用三角形内角和定理可得∠ACD=∠A=40°，则△ACD为等腰三角形，再说明△BCD∽△BAC，从而证明结论；(2)根据“优美分割线”的定义即可画出符合题意的图形；(3)分AD =CD 或AC =AD 或AC =CD 三种情形，分别进行讨论，可得答案．本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，理解“优美分割线”的定义，并运用分类讨论思想是解题的关键．28.【答案】解：(1)设抛物线对应的二次函数表达式为：y =a(x +3)(x −1)，把C(0,3)代入得：−3a =3，∴a =−1，∴y =−(x +3)(x −1)=−x 2−2x +3，即抛物线对应的二次函数表达式为：y =−x 2−2x +3；(2)∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴M(−1,4)，设OM 的解析式为：y =kx ，∴−k =4，∴k =−4，∴OM 的解析式为：y =−4x ，∵OM//CD ，∴CD 的解析式为：y =−4x +3，设AM 的解析式为：y =mx +b ，∴{−3m +b =0−m +b =4， 解得：{m =2b =6， ∴AM 的解析式为：y =2x +6，∴2x +6=−4x +3，∴x =−12，∴D(−12,5)；(3)存在，∵P 在直线AM 上，∴设P(t,2t +6)，∵△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2，∴S四边形POCM=2S△POA，∴S△OPE−S△CME=2S△POA，∴1 2×6×(−t)−12×3×1=2×12×3(2t+6)，∴t=−3918，∴P(−3918,5 3 ).【解析】(1)设函数表达式为：y=a(x+3)(x−1)，将点C坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用两函数的解析式列方程，即可求解；(3)根据△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2列方程，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，二次函数的解析式，两直线的交点问题，图形面积的计算等，其中(3)直接利用面积的关系列方程是解本题的关键．。
2022年中考综合模拟考试《数学试卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.给出四个实数﹣2，0，0.5，2，其中无理数是( )A. ﹣2B. 0C. 0.5D. 22. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是( )A. B. C. D.3.我国倡导的”一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划”一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×10104.一名射击爱好者7次射击的中靶环数如下(单位：环)：7，10，9，8，7，9，9，这7个数据的中位数是( )A. 7环B. 8环C. 9环D. 10环5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )A. 17B.37C.47D.576.要使分式21xx+-有意义，则x的取值应满足( )A. x≠﹣2B. x≠1C. x＝﹣2D. x＝17.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(﹣2，1)的对应点为A′(3，﹣1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为()A. (9，﹣1)B. (﹣1，0)C. (3，﹣1)D. (﹣1，2)8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八盈三;人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱;每人出7钱，又会差4钱．问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，则下列方程组正确的是()A.8374x yy x-=⎧⎨-=⎩B.8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C.8374y xx y-=⎧⎨-=⎩D.8374x yx y-=⎧⎨-=⎩9.如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线kyx=(x＞0)与△AOB两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于( )A. 2B. 3C. 4D. 610.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N 分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是( )A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：m2-6m+9= .12. 已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为______．13.一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．14.不等式组13242xx+>⎧⎨-≤⎩的解集为_____．15.如图，直线y＝﹣33x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_____．16.小林家的洗手台面上有一瓶洗手液(如图1)，当手按住顶部A下压时(如图2)，洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．三、解答题(本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(1)计算：16+(π﹣3)0﹣|﹣3|;(2)化简：(x+2)2﹣x(x﹣3)．18.如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．(1)求证：△BDE≌△CDF．(2)当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．19.某校组织七年级学生参加冬令营活动，本次冬令营活动分为甲、乙、丙三组进行．如图，条形统计图和扇形统计图反映了学生参加冬令营活动的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为 ，扇形统计图中，表示甲组部分的扇形的圆心角是 度;(2)补全条形统计图;(3)根据实际需要，将从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，则应从甲组抽调多少名学生到丙组?20.如图，A ，B ，C 是方格纸中的格点，请按要求作图．(1)在图1中画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点平行四边形．(2)在图2中画出一个格点P ，使得∠BPC ＝12∠BAC ．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数()230y axbx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，与轴交于点，(1)求、的值：(2)若点为直线BC上一点，点到直线、两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点，求新抛物线的顶点坐标.22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．(1)求证：AB＝AP;(2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．23.九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同．(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元?(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25，如果设买A种相册x册．①有多少种不同购买方案?②商店为了促销，决定对A 种相册每册让利a 元销售(12≤a ≤18)，B 种相册每册让利b 元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a 的值． 24.如图Rt ABC △中，ABC 90︒∠=，P 是斜边AC 上一个动点，以即为直径作O 交BC 于点D ，与AC 的另一个交点E ，连接DE ．(1)当DP EP =时，①若130BD ︒=，求C ∠的度数;②求证AB AP =;(2)当15AB =，20BC =时，①是含存在点P ，使得BDE 是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的CP 的长;②以D 为端点过P 作射线DH ，作点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，则CP 的取值范围为________．(直接写出结果)答案与解析一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1.给出四个实数﹣2，0，0.5，2，其中无理数是( )A. ﹣2B. 0C. 0.5D. 2【答案】D【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【详解】解：﹣2，0是整数，属于有理数;0.5是有限小数，属于有理数;2是无理数．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．【详解】从正面看是一个上底在下的梯形．故选D．考点：简单几何体的三视图．3.我国倡导的”一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划”一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()A. 4.4×108B. 4.40×108C. 4.4×109D. 4.4×1010【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4 400 000 000=4.4×109，故选C．4.一名射击爱好者7次射击的中靶环数如下(单位：环)：7，10，9，8，7，9，9，这7个数据的中位数是( )A. 7环B. 8环C. 9环D. 10环【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：7，7，8，9，9，9，10，一共7个数，则中位数为9．故选：C．【点评】本题考查了中位数的知识，熟练掌握个数为奇数和偶数时中位数的求法是解题关键．5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )A. 17B.37C.47D.57【答案】B【解析】分析：先求出球的所有个数，再根据概率公式解答即可．详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球，∴共有7个球，其中4个红球，∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是3 7 .故选B.点睛：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目;②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．6.要使分式21xx+-有意义，则x的取值应满足( )A. x≠﹣2B. x≠1C. x＝﹣2D. x＝1【答案】B【解析】分析】根据分式有意义，分母不为0列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≠0，解得，x≠1，故选：B．【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0是解题的关键．7.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(﹣2，1)的对应点为A′(3，﹣1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为()A. (9，﹣1)B. (﹣1，0)C. (3，﹣1)D. (﹣1，2)【答案】D【解析】解：横坐标从-2到3，说明是向右移动了3-(-2)=5，纵坐标从1到-1，说明是向下移动了1-(-1)=2，求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2．则点B的坐标为(-1，2)．故选D．8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八盈三;人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱;每人出7钱，又会差4钱．问人数、物价各是多少?设合伙人数为人，物价为钱，则下列方程组正确的是()A.8374x yy x-=⎧⎨-=⎩B.8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C.8374y xx y-=⎧⎨-=⎩D.8374x yx y-=⎧⎨-=⎩【答案】A 【解析】【分析】设合伙人数为人，物价为钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，进而得到答案．【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组为：8374x y y x -=⎧⎨-=⎩， 故选：A ;【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．9.如图，AB ⊥x 轴，B 为垂足，双曲线k y x=(x ＞0)与△AOB 的两条边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，OC =CA ，△ACD 的面积为3，则k 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】 连接OD ，过点C 作CE ⊥x 轴，∵OC=CA ，∴OE:OB=1:2;设△OBD 面积为x ，根据反比例函数k 的意义得到三角形OCE 面积为x ，∵△COE ∽△AOB ，∴三角形COE 与三角形BOA 面积之比为1:4，∵△ACD 的面积为3，∴△OCD 的面积为3，∴三角形BOA面积为6+x，即三角形BOA的面积为6+x=4x，解得x=2，∴12|k|=2，∵k>0，∴k=4，故选：C.10.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N 分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是( )A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】C【解析】【分析】连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12(AC+BC)=13和PH+QI=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．【详解】连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH +OI ＝12(AC +BC )＝13， ∵MH +NI ＝12AC +12BC ＝13，MP +NQ ＝7， ∴PH +QI ＝13﹣7＝6，∴AB ＝OP +OQ ＝OH +OI +PH +QI ＝13+6＝19，故选C ．【点睛】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.分解因式：m 2-6m+9= .【答案】()2m 3-【解析】直接应用完全平方公式即可：()22m 6m 9m 3-+=-．12. 已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为______．【答案】24【解析】【分析】 根据弧长公式：180n r l π=直接解答即可． 【详解】解：设半径为r ， 8π=60180r π， 解得：r=24，故答案为：24．【点睛】此题考查根据弧长和圆心角求扇形的半径，掌握弧长公式是解决此题的关键．13.一组数据1，3，2，7，x ，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．【答案】3【解析】【分析】首先根据这组数据的总和等于各个数据之和，或等于这组数据的平均数乘以这组数据的个数，列出方程，得出x 的值，再根据众数的概念，这组数据中出现次数最多的是3，从而得出答案.【详解】解: 1+3+2+7+x+2+3=3×7解得：x=3,这组数据中出现次数最多的是3，故该组数据的众数为3.故答案为3.点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个.14.不等式组13242xx+>⎧⎨-≤⎩的解集为_____．【答案】2＜x≤3．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：13242xx+>⎧⎨-≤⎩①②，由①得：x＞2，由②得：x≤3，则不等式组的解集为2＜x≤3．故答案为：2＜x≤3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．15.如图，直线y ＝﹣33x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_____．932【解析】【分析】通过求出点A、B、C的坐标，得到菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，利用CD2＝m2+(﹣3m+6﹣3)2＝9，解得：m＝2，即可求解．【详解】∵y＝+6，∴当x＝0，y＝6，当y＝0，则x＝故点A、B的坐标分别为：(0)、(0，6)，则点C(0，3)，故菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，设点D(m，+6)，则点E(m，x+6﹣3)，则CD2＝m2++6﹣3)2＝9，解得：m故点E，32 )，S△OAE＝12×OA×y E＝12×32，故答案为：2．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的特征，涉及到菱形的性质、三角形面积的计算、勾股定理的运用，综合强较强，难度适宜．16.小林家的洗手台面上有一瓶洗手液(如图1)，当手按住顶部A下压时(如图2)，洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．【答案】11．【解析】分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】如图：由题意可知：CD＝DE＝10cm，根据题意，得C(﹣5，8)，E(﹣3，14)，B(5，16)．设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，因为抛物线经过C、E、B三点，∴9314 2558 25516a b ca b ca b c-+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得11a40451518bc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以抛物线解析式为y＝-1140x2+45x+1518．当x＝7时，y＝11，∴Q(7，11)，所以手心O距水平台面GH的高度为11cm．故答案为11．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．三、解答题(本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(1)计算：16+(π﹣3)0﹣|﹣3|;(2)化简：(x+2)2﹣x(x﹣3)．【答案】(1)2;(2)7x+4．【解析】【分析】(1)原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值;(2)原式利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】(1)原式＝4+1-3=2;(2)原式＝x2+4x+4-x2+3x=7x+4．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．(1)求证：△BDE≌△CDF．(2)当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．【答案】(1)证明见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，B FCDBED F BD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF(AAS);(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝4，∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝6．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行线的性质及全等三角形的判定定理.19.某校组织七年级学生参加冬令营活动，本次冬令营活动分为甲、乙、丙三组进行．如图，条形统计图和扇形统计图反映了学生参加冬令营活动的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为，扇形统计图中，表示甲组部分的扇形的圆心角是度;(2)补全条形统计图;(3)根据实际需要，将从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，则应从甲组抽调多少名学生到丙组?【答案】(1)60，108;(2)见解析;(3)6名【解析】【分析】(1)用丙的人数除以丙的百分比即可得出总人数，先求出甲的百分比，用甲的百分比乘以360°即可得出甲组部分的扇形的圆心角的度数;(2)用总人数减去甲组和丙组的人数求出乙组的人数，再补全条形图，即可得出答案;(3)设甲组抽调x名学生到丙组，再根据”抽调后丙组人数是甲组人数的3倍”列出方程，解方程即可得出答案.【详解】解：(1)七年级报名参加本次活动的总人数为：30÷50%=60， 甲组部分的扇形的圆心角是：(1-50%-20%)×360°=108°;(2)乙组的人数60-30-18=12(3)设应从甲组调x 名学生到丙组可得方程：3(18)30x x -=+解得6x =答：应从甲组调6名学生到丙组．【点睛】本题考查的是统计图和一元一次方程，解题关键是理清条形图和扇形图之间的关系.20.如图，A ，B ，C 是方格纸中格点，请按要求作图．(1)在图1中画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点平行四边形．(2)在图2中画出一个格点P ，使得∠BPC ＝12∠BAC ．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析．【解析】【分析】(1)根据平行四边形的定义，画出图形即可(答案不唯一)．(2)利用辅助圆结合圆周角定理画出图形即可(答案不唯一)．【详解】(1)如图1中，平行四边形ABCD ，平行四边形ADBC 即为所求．(2)如图2中，点P 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数()230y axbx a =++≠图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，与轴交于点，(1)求、的值：(2)若点为直线BC 上一点，点到直线、两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右)平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点，求新抛物线的顶点坐标.【答案】(1)1a =-，2b =;(2)平移后函数的顶点为()14或()14+【解析】【分析】(1)将点A(-1,0)和点B(3,0)代入得到a ，b 的方程组，求出方程组的解得到a ，b 的值;(2)先求出P 点的坐标，令2y =得11x =21x =-个单位，即可求得新抛物线的顶点坐标.【详解】(1)∵抛物线()230y ax bx a =++≠的图像经过点()1,0A -，点()3,0B ，∴030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解这个方程组得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴1a =-，2b =(2)∵点到直线、两点的距离相等，∴点P 在抛物线的对称轴上，设直线BC 的解析式为y=kx+b ,经过()3,0B ，C(0,3),∴y=-x+3,又∵点为直线BC 上一点，()1,2P令2y =得11x =+21x =个单位原函数顶点为()1,4∴平移后函数的顶点为()14-或()14+【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．(1)求证：AB＝AP;(2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．【答案】(1)详见解析;(2)PC10【解析】【分析】(1)利用等角对等边证明即可．(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：(1)证明：∵C为BD的中点，∴∠BAC＝∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．(2)解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∴BD2222--=，1086AB AD∴PB2222+=+=，62210BD PD∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC＝12PB＝10，∴PC＝10．【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同．(1)求A、B两种相册的单价分别是多少元?(2)由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25，如果设买A种相册x册．①有多少种不同的购买方案?②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售(12≤a≤18)，B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．【答案】(1)A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元;(2)①x可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案;②18．【解析】【分析】(1)设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，根据”A种相册的单价比B种的多10元，买4册A 种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论;(2)①根据”购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的34，但又不少于B种相册数量的25“，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的种数;②设购买总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于x的函数关系式，由购买所需的总费用与购买的方案无关可得出b ＝a ﹣10，进而可得出w 关于a 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】解：(1)设A 种相册的单价为m 元，B 种相册的单价为n 元，依题意，得：1045m n m n -=⎧⎨=⎩， 解得：5040m n =⎧⎨=⎩． 答：A 种相册的单价为50元，B 种相册的单价为40元．(2)①根据购买的A 种相册的数量要少于B 种相册数量的34，但又不少于B 种相册数量的25得： 3(42)42(42)5x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ， 解得：12≤x ＜18．又∵x 为正整数，∴x 可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案．②设购买总费用为w 元，依题意得：w ＝(50﹣a )x +(40﹣b )(42﹣x )＝(10﹣a +b )x +42(40﹣b )．∵购买所需的总费用与购买的方案无关，则w 的值与x 无关，∴10﹣a +b ＝0，∴b ＝a ﹣10，∴w ＝42(40-b)＝42[40-(a-10)]＝﹣42a +2100．∵﹣42＜0，∴w 随a 的增大而减小．又∵12≤a ≤18，∴当a ＝18时，w 取得最小值．答：当总费用最少时，a 的值为18．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组;(2)①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组;②根据各数量之间的关系，找出w 关于x 的函数关系式．24.如图Rt ABC △中，ABC 90︒∠=，P 是斜边AC 上一个动点，以即为直径作O 交BC 于点D ，与AC 另一个交点E ，连接DE ．(1)当DP EP =时，①若130BD ︒=，求C ∠的度数;②求证AB AP =;(2)当15AB =，20BC =时，①是含存在点P ，使得BDE 是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的CP 的长;②以D 为端点过P 作射线DH ，作点O 关于DE 的对称点Q 恰好落在CPH ∠内，则CP 的取值范围为________．(直接写出结果)【答案】(1)①40°;②详见解析;(2)①7，10，12.5;②712.5CP <<【解析】【分析】(1)①由BP 是直径可得90BEC ︒∠=，根据130BD ︒=得 50DP ︒=并可得DP EP =， 100DE ︒=，50CBE ︒∠=，根据三角形的内角和定理得40C ︒∠=;②由DP EP =，得到12∠=∠，根据1APB C ∠=∠+∠，2ABP ABE ∠=∠+∠，C ABE ∠=∠，得到，APB ABP ∠=∠由等角对等边得AP AB =;(2)①分三种情况：(一)当BD BE =时，(二)当BD ED =时，(三)当DE BE =时，分别进行讨论求解即可;②分三种情况讨论：(一)当Q 点在P 点上时;(二)当Q 点在PC 上时(三)当Q 点在PH 上时，分别讨论，求出CP 的值即可.【详解】24．解(1)①连结BE ，∵BP 是直径∴90BEC ︒∠=∵130BD ︒=，∴50DP ︒=∵DP EP =，∴100DE ︒=∴50CBE ︒∠=∴40C ︒∠=②∵DP EP =，∴12∠=∠1APB C ∠=∠+∠，2ABP ABE ∠=∠+∠又∵C ABE ∠=∠∴APB ABP ∠=∠∴AP AB =(2)①由15AB =，20BC =，可以求得25AC =，12BE =，∴8CD =，16CE =，∵CBP CED ∠=∠，C C ∠=∠∴CBP CED当BDE 是等腰三角形时，有三种情况：(一)BD BE =，(二)BD ED =，(三)DE BE =(一)当BD BE =时，12BD BE ==∴8CD =， ∴CP CB CD CE = ∴58104CB CD C C P E ==⨯=⨯ (二)当BD ED =时，可知点D 是Rt CBE 斜边的中线，∴10CD =，∴CP CB CD CE= ∴5251012.542CB CD CE CP ==⨯=⨯= (三)当DE BE =时，作EH BC ⊥，则H 是BD 中点， 可以求得33655BH BE =⨯=，∴725BD = ∴285CD =，∴574CP CD =⨯= ②(一)当O 点的对称点Q 在P 点上时，B ，O ，Q 三点共线，如图示∴BP DE ⊥,且BP 平分DE ，由等腰三角形的性质可知∴BD BE =由(1)可知CP=7;(二)当O 点的对称点Q 不在P 点上，而在PC 上时，此情况Q 点并不在CPH ∠上(三)当O 点的对称点Q 不在P 点上，而在PH 上时，B ，O ，Q 三点不共线，如图示∵OK KQ =，KQ DE ⊥，且OD OE =∴四边形DOEQ 是菱形，∴DEP DEO ∠=∠∵DEP DBO ∠=∠∴DEO DBO ∠=∠又∵OE ，OD ，OB 均为外接圆的半径，∴DBO BDO ∠=∠，DEO ODE ∠=∠∴BDO ODE ∠=∠∴BDO EDO ∠≅∠∴BD ED =∴由(1)可知，12.5CP =∴712.5CP <<【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，能分情况讨论各种情况，是解本题的关键．。
2023年江苏省常州市中考二模数学试题(含解析)
17．如图，在四边形 ABCD 中， A C 90 ， D 60 ， AB 4 3 ， BC 3 ，则 AD 的长是______．
18．如图，点 A、B 为直线 y x 上的两点，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲线 试卷第 3 页，共 7 页
5 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由． 28．（1）如图①，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， BC 2 3 ，则 A 的大小 为______；
【探究】 （2）如图②，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，对角线 AC 与 BD 相交于 O，若 AC 8 ， BD 6 ， AOD 60 ，求四边形 ABCD 的面积；
试卷第 5 页，共 7 页
25．（1）如图①，在矩形 ABCD 中，在 BC 边上是否存在点 P，使∠APD＝90°，若存在 请用直尺和圆规作出点 P（保留作图痕迹） （2）若 AB＝4，AD＝10，求出图①中 BP 的长． （3）如图②，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别为 AB，AC 的中点，当 AD＝6 时，BC 边上是否存在一点 Q，使∠EQF＝90°，求此时 BQ 的长．
2023 年江苏省常州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数 2023 的绝对值为（ ）
1 A．
2023
B． 1 2023
C．2023
D． 2023
2．下列不等式一定成立的是（ ）
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．5B．【答案】BA．3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．7．若二次函数225=++y x xA．14B．825【答案】B【分析】设小正方形边长为1，由平行线的性质得到QTY=∠∠【详解】解：设小正方形边长为∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，∴111052PQMS+=⨯=△，∴115 2PM QM⋅+=，1【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，正确根据面积法求出键．二、填空题9．若式子x 1x 2+-在实数范围内有意义，则【答案】1x ≥-且2x ≠/2x ≠且【分析】根据二次根式的被开方数大于等于【详解】解：由题意，得：x +∴1x ≥-且2x ≠；∴x 的取值范围是1x ≥-且x ≠【答案】1023-+-/2310【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：=====，AD BC A D'AB CD CD'4【答案】(3932y x x =-+<≤【分析】作QD AB ⊥，分点Q 由直角三角形的性质表示出【详解】解：∵90C ∠=︒，由题意知6BQ x =-，∵90C ∠=︒，3cm AC BC ==，∴190452B BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴QDB 为等腰直角三角形，【答案】455【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当等积法，求出OP 的长即可．【详解】解：∵直线y =当0x =时，4y =；当y ∴()()2,0,0,4A B ，∴==OA 2,OB 4，∴222425AB =+=，∵直线24y x =-+与直线∴直线BC 即为直线y =∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP BC ⊥时，OP 的值最小，过点O 作OP BC ⊥，交BC【答案】83【分析】连接,AC AP ，由菱形的性质可知点G ，过点P 作PH AB ⊥定理求出CG 长度，再证明四边形求解即可．【详解】如图，连接,AC AP ∵四边形ABCD 是菱形中，∴4,AB BC D ABC ==∠=∠∴ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G 则CG PH =，【答案】1772【分析】根据勾股定理分别求出OA 二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积由勾股定理得，221112OA =+=，则第2个三角形的面积1212=⨯⨯【答案】2105/2105【分析】连接DO ，OF 到DFO ∠的度数，再根据折叠的性质可知共线，然后根据勾股定理，即可求得用解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：连接 四边形ABCD 是正方形，将DC DA ∴=，DC DF =DA DF ∴=，在DAO 与DFO 中，DA DF OA OF DO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩(SSS DAO DFO ∴≌V V三、解答题19．计算或化简：(1)这50名学生视力的众数为______，中位数为______(2)求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；(3)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于【答案】(1)4.9,4.8(2)视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%(3)估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数；（2）利用频数除以总数，进行求解即可；（3）利用样本估计总量即可得解．【详解】（1）解：由条形图可知，视力为4.9的学生的人数最多，故众数为第25个和第26个数据分别为：4.8,4.8，故中位数为：故答案为：4.9,4.8；（2）解：1340.1616% 50++==；∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%；（3）解：1012632140027250+++++⨯=（人）；答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，结果数有2种，∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．23．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点落在边AD上的点G处，连接CF．(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．某同学眼睛距地面高度1.7旗杆顶部D 的仰角为22︒，在护旗手结束走正步的点又测量得到A ，B 两点间的距离是【答案】21.7米【分析】延长EF 交CD 于G ，在求出DG 的长，进而可求出求旗杆【详解】解：延长EF 交CD 于1.7CG AE ==米．∵22,45DEF DFG ︒︒∠=∠=，∴在Rt DGF △中，DG GF =，在Rt DGE △中，tan 22DG EG ︒=∴ 2.5tan 22DG EG DG =≈︒，∵EG GF EF -=，∴2.530DG DG -=，解得20DG =，则20 1.721.7DC DG CG =+=+=(1)求证：BC 是O 的切线；(2)求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)1655【分析】（1）根据题意可得OA AB =根据相似三角形的性质可得BOA ∠（2）过点O 作OG BF ⊥于点G 平分FBE ∠，则BD EF ⊥，DF =解．【详解】（1）证明：∵2OA =，∴OA AB AB AC=，∵90OAB ∠=︒，∴90OAB BAC ∠=∠=︒，∴OAB BAC ∼，；∴BOA CBA ∠∠=，∵+90OBA BOA ∠∠︒=，∴+90OBA ABC ∠∠︒=，即90OBC ∠=︒，∵OG BF ⊥，90OAB ∠=︒，弦BF ∴BG AB =，∵OB OB =，∴()Rt Rt HL BOG BOA ≌，∴GBO ABO ∠∠=，∵BF BE =，即BFE △为等腰三角形，∴BD EF ⊥，DF DE =，∵2OA =，4AB =，∴22+25OB OA AB ==，在Rt ABO △中，sin OA OBA OB ∠=在Rt BDE △中，sin DE DBE BE ∠=∴855DE =，∴1655EF =．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．26．【问题提出】（1）如图①，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =则BP 的最小值为______；由垂线段最短可知，当∵90,ABC ∠=︒∴2AC =AB +∵2ABC S AB =⋅ ∴AB BC BP AC ⋅=故答案为：125；（2）作点E 关于直线∵E ，E '关于直线∴PE PE '=，∴PB PE PB +=+∴,,B P E '共线，∴此时PB PE +最小，最小值为∵90,B BC ∠=︒=∴45ACB ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴1CE =，∴ACE ACB '∠=∠∴90BCE '∠=︒，在Rt BCE '△中，22BE BC CE ''=+∴PB PE +的最小值为（3）作C 关于AD ∵C ，N 关于AB 对称，C ，∴,CE NE CF MF ==，∴CE EF CF NE EF ++=+∵,,,N E F M 共线，∴此时CE EF FC ++的值最小，∵60A ∠=︒，90B Ð=°，∠∴60ADC ∠=︒（3）【拓展延伸】如图3，P 在坐标平面内，记P 为图形S ，线段AB 记为图形与(),h S T 的值；（4）【思维提升】如图4，(A -图形S ，线段AB 记为图形T ，图形13（3）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形设图形S '的圆心为点P '，连接OP 由旋转的性质可得：=60P OP '∠∴P OP '△是等边三角形，∴1==32OH OP ，=90P HO '∠︒∴22=63=33P H '-，（4）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形故答案为：23．【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、平面直角坐标系中点的特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质和理解新定义解题的关键．28．已知：如图，抛物线2y mx =直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E∴()2,43Q t t t ++，∴2,OB t BQ t =-=∵()()0,3,3,0A E -∴3,3OA BE ==--∴AQBO S S S =-△梯形()(23432t t +++⨯=23922t t =+，即23922S t t =+；（3）当3152S ==当5x =时，8y =，∴()5,8Q -，设直线AQ 的解析式为：∴8530k b b=-+⎧⎨=+⎩，解得∴直线AQ 的解析式为：。
常州市中考数学模拟试卷（5月份）含答案解析
江苏省常州市中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．的相反数是（）A．B．C．D．2．将161000用科学记数法表示为（）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×1033．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．4．为参加“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（）A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，1605．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．20° B．40°C．60°D．80°6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A．500•sinα米 B．米C．500•cosα米D．米7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（）A．B． C．D．2二、填空题（每小题2分，共20分）9．|﹣2|﹣（）﹣1=．10．若式子有意义，则x的取值范围是．11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=．12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于．13．方程=0的解是．14．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是cm2．15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C=．17．已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为．三、解答题（共10小题，共84分）19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5．20．解方程和不等式组（1）x2﹣3x=x﹣3（2）．21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C 级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生是；（2）求图1中∠α的度数是°，把图2条形统计图补充完整；（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为．22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；（2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3．25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：（1）乙出发后多长时间与甲相遇？（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．江苏省常州市中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．的相反数是（）A．B．C．D．【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：的相反数是，故选：D．2．将161000用科学记数法表示为（）A．0.161×106B．1.61×105C．16.1×104D．161×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：161000=.612×105．故选B．3．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、圆是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．4．为参加“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（）A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，160【考点】众数；中位数．【分析】将这5个数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据个数是5为奇数个，则中间那个数据就是这组数据的中位数；这5个数据中出现次数最多的数是37，则37就是这组数据的众数．据此进行解答．【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：150，158，158，160，162，这5个数据中位于中间的数据是158，所以中位数为：158；数据中出现次数最多的数是158，158就是这组数据的众数；故选A．5．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．20° B．40°C．60°D．80°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠2+∠3的度数，再由∠2=∠3即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1=80°，∴∠2+∠3=80°，∠3=∠4．∵∠2=∠3，∴∠3=40°，∴∠4=40°．故选B．6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A．500•sinα米 B．米C．500•cosα米D．米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．则EF=500sinα．故选A．7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线y=﹣x+b中，k=﹣＜0，∴此函数是减函数．∵﹣3＜2，∴m＞n．故选A．8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（）A．B． C．D．2【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，列出方程组即可解决问题．【解答】解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，由勾股定理可知：②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x），∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6，∵x+y＞0，∴x+y=，∴y=﹣2．∴CG=x+y=．故选B．二、填空题（每小题2分，共20分）9．|﹣2|﹣（）﹣1=．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是正数，可化简各数，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：原式=2﹣=，故答案为：．10．若式子有意义，则x的取值范围是x≥3．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：式子有意义，得x﹣3≥0，解得x≥3，故答案为：x≥3．11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=3（x﹣y）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，=3（x2﹣2xy+y2），=3（x﹣y）2．故答案为：3（x﹣y）2．12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于 4.5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AB∥CD，于是得到△ABO∽△CDO，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，∴=（）2=（）2=，∵△ABO的面积是2，∴△CDO的面积等于4.5．故答案为：4.5．13．方程=0的解是x=3．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣10+x+1=0，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故答案为：x=314．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是15πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长==5cm，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×3=6πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6πcm，∴圆锥的侧面积为：×6π×5=15πcm2．故答案为：15π．15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则对应的△=0，据此即可求解．【解答】解：依题意有△=m2﹣8=0，解得：m=±2．故答案是：±2．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C=27°．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，求出∠OBA，求出∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．【解答】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠A=36°，∴∠BOA=54°，∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，故答案为：27°．17．已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是（，）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的解析式和点A在函数的图象上可求出点A与点A'，由于△AOA′为直角三角形解答即可．【解答】解：因为点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，设点A坐标为（x，），点A'的坐标为（﹣x，），因为△AOA′为直角三角形，可得：x2=2，解得x=，所以点A的坐标为（，），故答案为：（，）．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为4+3．【考点】旋转的性质．【分析】连结CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分B′C，则BO=BC′=3，然后利用勾股定理计算出A′O，利用三角函数计算出OC，最后计算A′O+OC即可．【解答】解：连结CC′，A′C交BC于O点，如图，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC′为等边三角形，∴CB=CB′，而A′B=A′C′，∴A′C垂直平分B′C，∴BO=BC′=3，在Rt△A′OB中，A′O===4，在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=，∴OC=6×=3，∴A′C=A′O+OC=4+3．故答案为4+3．三、解答题（共10小题，共84分）19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再算加减，把a=2，b=1.5代入进行计算即可．【解答】解：原式=a2﹣b2+b2﹣2b=a2﹣2b．当a=2，b=1.5时，原式=4﹣2×1.5=4﹣3=1．20．解方程和不等式组（1）x2﹣3x=x﹣3（2）．【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）x2﹣3x=x﹣3，x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x1=3，x2=1；（2）∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜1．21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C 级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生是40；（2）求图1中∠α的度数是144°，把图2条形统计图补充完整；（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为175．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C级抽测的人数，然后补出条形统计图；（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D级所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D级所占抽测人数的百分比，可得答案．【解答】解：（1）本次抽样的人数是14÷35%=40（人），故答案是：40；（2）∠α=×360=144°，C级的人数是40﹣16﹣14﹣2=8（人），故答案是：144．；（3）估计不及格的人数是3500×=175（人），故答案是：175．22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】此题可以采用列举法求概率，要注意不重不漏；此题需要三步完成，可以采用树状图法，注意此题为不放回实验；此题也可认为两步完成，因为确定了甲乙，也就确定了丙，所以也可采用列表法求概率．【解答】解：（1）列表或画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下：甲 a a b b c c乙 b c a c a b丙 c b c a b a（2）如图可知，三位同学抽到卡片的所有可能的结果共有6种，所以三位同学中有一人抽到自己制作的卡片有3种，有三人抽到自己制作的卡片有1种．所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片有4种，8分所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片的概率为：．10分23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据等边三角形的性质就可以得出∠DAB=60°，∠DAC=90°．就可以得出△ACB≌△DEB，进而可以得出结论．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°，∵AB=BD，点E是AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠DEB=∠C，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=∠ABC，在△ACB与△DEB中，，∴△ACB≌△DEB（AAS），∴AC=DE．24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；（2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3．【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可；（2）利用轴对称图形以及中心对称图形的性质，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2所示．25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：（1）乙出发后多长时间与甲相遇？（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据图象确定出甲步行路程与时间的解析式；确定出20≤t≤30时，乙乘观光车由景点A到B时的路程与时间的函数解析式，联立即可确定出相遇的时间；（2）设当60≤t≤90时，乙步行由景点B到C的速度为x米/分钟，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出乙步行由B到C的速度．【解答】解：（1）当0≤t≤90时，甲步行路程与时间的函数解析式为S=60t；当20≤t≤30时，设乙乘观光车由景点A到B时的路程与时间的函数解析式为S=mt+n，把（20，0）与（20，3000）代入得：，解得：，∴函数解析式为S=300t﹣6000（20≤t≤30）；联立得：，解得：，∵25﹣20=5，∴乙出发5分钟后与甲相遇；（2）设当60≤t≤90时，乙步行由景点B到C的速度为x米/分钟，根据题意，得5400﹣3000﹣（90﹣60）x=360，解得：x=68，∴乙步行由B到C的速度为68米/分钟．26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，利用锐角三角函数关系得出AC的长，进而得出AB的长即可得出答案；（2）利用（1）求出BD的长，再利用速度=，求出答案即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，由题意得：∠B=30°，∠BAC=105°，则∠BCA=45°，AC=30千米，在Rt△ADC中，CD=AD=AC．cos45°=30（千米），在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．4﹣2=2（时），答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时；（2）由（1）知：BD=AB•cos30°=30千米，∴BC=30+30（千米），v=（30+30）=（15+15）千米/时．答：甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为：（15+15）千米/时．27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得y关于x的函数解析式；（2）由题意易得要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；（3）易得点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．然后分别从当点E在线段AD上时与当点E在线段AD延长线上时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，∴AE∥BC，∴=，∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵AE=x，AP=y，∴=，∴y=（x＞0）；（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，此时△ABC∽△EAC，则=，∴AE=．故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=；（3）∵点C必在⊙E外部，∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．设AE=x．①当点E在线段AD上时，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙E的半径为．②当点E在线段AD延长线上时，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半径为9．∴⊙E的半径为9或．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由直线可求得C点坐标，代入抛物线可求得a的值，结合条件可求得A点坐标，代入可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）可先求得B点坐标，过P作PF⊥x轴于点G，交BC于点F，作PE⊥BC，结合条件可找到PG与GF关系，再求得直线BC的解析式，设出F点的坐标，可表示出P点坐标，代入抛物线可求得P点的坐标；（3）分DP∥QR和DR∥QP，当DP∥QR时，过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN 于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，可求得RM=DN，MQ=PN，结合条件可求得D点坐标，设出R的坐标，可求得横坐标，代入抛物线可求得R的坐标，再根据平行四边形的性质可求得Q的坐标；同理可求得当DR∥QP时的R、Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣7与y轴的负半轴交于点C∴C（0，﹣7），∴OC=7，∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C，∴14a=﹣7，∴a=﹣，∴y=﹣x2+bx﹣7，∵OA：OC=2：7．∴OA=2，∴A（2，0）∵抛物线y=﹣x2+bx﹣7经过点A，∴b=∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣7，（2）如图1，∵抛物线y=﹣x2+x﹣7经过B点，令y=0解得x=7或x=2（舍去），∴B（7，0），∴OB=7，∴OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，则PF∥y轴，∴∠CFG=∠OCB=45°，∴BF=GF，过P作PE⊥BC于点E，∵PD=PB，∴∠PBD=∠PDB，∴tan∠PBD=tan∠PDB=2，∴PE=2BE，∵EF=PE，∴BF=BE，∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，∴PG=3GF，∵直线y=kx﹣7过B点，∴k=1，∴y=x﹣7，设F（m，m﹣7），则P（m，﹣3（m﹣7）），∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣7上，∴，解得m=7（舍去）或m=8，∴P（8，﹣3）；（3）如图2，当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形，∵B（7，0），Q（7，m）∴BQ∥y轴过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM，∵∠DTB=∠PTQ，∴∠DPN=∠RQM，∵四边形DPRQ是平行四边形，∴DP=RQ，在△RMQ和△DNP中，，∴△RMQ≌△DNP（AAS），∴RM=DN，MQ=PN，由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2BF=2GF=∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2，∴D（5，﹣2），设R点的横坐标为t，∵RM=DN，∴t﹣7=8﹣5，解得t=10，∵点R在抛物线y=﹣x2+x﹣7 上，∴当t=10时，，∴R（10，﹣12），∵MQ=PN，∴3﹣2=﹣12﹣n，∴n=﹣11，∴R（10，﹣12），Q（7，﹣11），如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形同理可求得R（6，2），Q（7，﹣7）．6月3日。
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江苏省常州市中考数学模拟试卷（含答案）（时间120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a3•a2=a6C．2a+3b=5ab D．（﹣2a3）2=﹣4a6 3．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．在“市长杯”足球比赛中，六支参赛球队进球数如下（单位：个）：3，5，6，2，5，1，这组数据的中位数是（）A．2 B．4 C．5 D．65．一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．15 D．12或156．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则的值为（）A．B．C．D．8．已知点P的坐标为（1，1），若将点P绕着原点逆时针旋转45°，得到点P1，则P1点的坐标为（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，0）或（0，）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．分解因式：x2﹣4= ．10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．分式方程=的解是．12．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数是5的概率是．13．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为．14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D 作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．15．将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2高为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2，则抛物线y2的顶点坐标是．16．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行 9 8 7 6 5第4行 10 11 12 13 14 15 16第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17……则第45行左起第3列的数是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2022年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：（1）制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势；（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为km/h，甲乙两地的距离为km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：；定理2：；定理3：．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD 不是平行四边形．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：D．2．下列计算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a3•a2=a6C．2a+3b=5ab D．（﹣2a3）2=﹣4a6【解答】解：A、a6÷a2=a4，正确；B、a3•a2=a5，故此选项错误；C、2a+3b，无法计算，故此选项错误；D、（﹣2a3）2=4a6，故此选项错误；故选：A．3．用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形，故选：C．4．在“市长杯”足球比赛中，六支参赛球队进球数如下（单位：个）：3，5，6，2，5，1，这组数据的中位数是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：将这6个数据重新排列为1、2、3、5、5、6，则这组数据的中位数为=4（个），故选：B．5．一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．15 D．12或15【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，∴此时不能组成三角形；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、6、6，此时能组成三角形，所以，周长=3+6+6=15．综上所述，这个等腰三角形的周长是15，故选：C．6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选：D．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+BD=1+2=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△AB C，∴==．故选：B．8．已知点P的坐标为（1，1），若将点P绕着原点逆时针旋转45°，得到点P1，则P1点的坐标为（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，0）或（0，）【解答】解：如图，连结OP，∵点P坐标为（1，1），∴OP与y轴正方向的夹角为45°，∴点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，点P1在y轴上，OP1=OP=．∴点P1的坐标为（0，）．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3 ．【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．11．分式方程=的解是x=6 ．【解答】解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解，故答案为：x=612．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数是5的概率是．【解答】解：由概率公式P（向上一面的点数是5）=．故答案为：．13．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为12π．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故答案为：12π．14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D 作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9 ．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．15．将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2高为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2，则抛物线y2的顶点坐标是y=（x﹣3）2﹣3 ．【解答】解：抛物线y=x2﹣2x﹣1向右平移2个单位，得：y=（x﹣3）2﹣2；再向下平移1个单位，得：y=（x﹣3）2﹣2﹣1=（x﹣1）2﹣3；即y=（x﹣3）2﹣3；故答案是：y=（x﹣3）2﹣3．16．（3分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行 9 8 7 6 5第4行 10 11 12 13 14 15 16第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17……则第45行左起第3列的数是2023 ．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴第45行左起第3列的数是2023．故答案为：2023．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．【解答】解：原式=+•=+1=，当x=3时，原式==2．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3 ．【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，∴2x﹣3x+3≤6，解得x≥﹣3，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣4＜a≤﹣3．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2022年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：（1）制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势；（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：；（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针指向白色区域的概率为： =，则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，解得 x1=﹣2，x2=1.5．所以x=1.5，x+0.5=2．答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．在△PEA中，∠PEA=90°．则tan∠PAE=．∴AE=．在△PCF中，∠PFC=90°．则tan∠PCF=．∴CF=．∵AE+CF=BD．∴+=200．解，得x=．答：气球的高度是m．23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，故答案为AAS．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF，DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD．∴AE=AF．∴AE+BE=AF+CF．即AB=AC．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴=．即=，解得AE=．∴⊙O的半径为．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为150 km/h，甲乙两地的距离为50 km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，故答案为：150，50，300；（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：当0≤x＜2时，y1=150x，当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：当0≤x≤6时，y2=50x，由题意，得①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；（3）s与x的函数图象如图所示：26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．【解答】（1）由题意知：，解得．∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①∵当x=0时，y=﹣4．∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，∴BD==8，即BD=2OB，∴∠ODB=30°．∴∠OBD=60°；②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵x=3时，m=﹣4．∴点C的坐标为（3，﹣4）．∵CD∥x轴，∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．∴DF=CD=，CF==，∵BD=8，∴BF=8﹣=，设点P的坐标为（x， x2﹣3x﹣4）．则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，∵∠CBP=∠OBD=60°，∴∠CBF=∠PBE．∵∠CFB=∠PEB=90°．∴△CBF∽△PBE．∴=．∴=．解得：x1=4（舍去），x2=﹣．∵当x=﹣时，y=﹣．∴点P的坐标为（﹣，﹣）．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①A B=CD；那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD 不是平行四边形．【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD 是平行四边形；真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠AD C，OA=OC，则四边形ABCD 是平行四边形；（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABC D 不一定是平行四边形．反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．。