geogebra 二次函数 动点
GeoGebra在数学教学中的使用
GeoGebra在数学教学中的使用——课例：二次函数的复习【文章摘要】几何画板是目前使用最广泛的辅助数学教学的软件，它能保持点、线等几何要素位置关系不变，同时也能良好的表达和展示动态变化过程。
但是，在使用几何画板的过程中发现几何画板不擅长处理数据和函数，因此在展示数据和函数图像的过程中使用了新的武器——动态数学GGB（GeoGebra）。
2011年10月，在区初三数学教学研讨会上，本人有幸开设一节公开课《二次函数的复习》，下面以这节课为例，展示GeoGebra在数学教学中的应用，尤其是函数中的应用。
【关键词】GeoGebra 数学教学1 教学过程简录1.1 情境引入教师：有一个小朋友在玩皮球，她是这样把球抛出去的，那么她扔出去的球所形成的轨迹是什么图像？（放动态）学生：抛物线.教师：好，下面我们把这条抛物线放在直角坐标系中（操作），附上这样的网格（操作），注意观察，你能从图像中得到有关抛物线的哪些信息呢？学生1：开口向下；顶点坐标（1，4）；对称轴是直线x=1.学生2：与y轴的交点坐标是（0，3），与x轴的交点坐标（3，0），（-1，0）教师：与x轴到底有几个交点？学生3：实际问题中只有一个。
教师：很好，下面我们让小红退场(操作)，离开这个实际问题，我们可以把抛物线补全（操作），发现的确与x轴存在两个交点。
（（3，0），（-1，0））教师：除此之外，我们还能从图像中知道抛物线的增减性吗？学生4：当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大。
（老师操作）教师：还有呢？y>0时，x的取值范围？学生5：-1<X<3（老师操作）教师：行，说到现在，我们还不知道这条抛物线的解释式呢？看看已知的这些点，能求出解析式吗？学生：能。
教师：需要几个点？学生6：3个.学生7：不对，有顶点，再找一个就可以了。
教师：行，那我们分工合作，求出它的解析式。
（设计意图：应用GeoGebra辅助教学，播放小球运动的路径，引出课题。
二次函数动点问题类型
二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。
解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。
2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。
解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。
对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。
3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。
例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。
解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。
进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。
二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。
例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。
2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。
专题10 二次函数中的动点问题(解析版)
专题10 二次函数中的动点问题1、如图①，已知抛物线y ＝ax 2﹣4amx +3am 2（a 、m 为参数，且a ＞0，m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（结果可以含参数m ）；（2）连接CA 、CB ，若C （0，3m ），求tan①ACB 的值；（3）如图①，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l ：x ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使①POF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）B （3m ，0）；（2）tan①ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：（5122++）或（51,22-）或（31,22）或（3122）． 【解析】解：（1）令y ＝0，则有ax 2﹣4amx +3am 2＝0， 解得：x 1＝m ，x 2＝3m ， ①m ＞0，A 在B 的左边， ①B （3m ，0）；（2）如图1，过点A 作AD ①BC ，垂足为点D ，由（1）可知B （3m ，0），则①BOC 为等腰直角三角形， ①OC ＝OB ＝3m ，①BC ＝m ， 又①①ABC ＝45°， ①①DAB ＝45°， ①AD ＝BD ， ①AB ＝2m ，①AD =，CD ＝m ，①tan①ACB ＝AD 1CD 2==； （3）①由题意知x ＝2为对称轴， ①2m ＝2， 即m ＝1，①在（2）的条件下有（0，3m ）， ①3m ＝3am 2， 解得m ＝1a，即a ＝1， ①抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，①当P 在对称轴的左边，如图2，过P 作MN ①y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，①①OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ， 易得①OMP ①①PNF ， ①OM ＝PN ，①P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m①P）；①当P在对称轴的右边，如图3，过P作MN①x轴于N，过F作FM①MN于M，同理得①ONP①①PMF，①PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x 35；P的坐标为（31522+-）或（3122）；综上所述，点P）或）或）或）．2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−(x−a)(x−4)(a<0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）若D点坐标为(32,254)，求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.【答案】（1）y =−x 2+3x +4;C (0,4);（2）a =−2±2√13； a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213;（3）B ′(−1,0) 【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(32−4) 解得a =−1，①抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x -4）或y =−x 2+3x +4 ①C (0,4)（2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a ) 对称轴为直线x =a+42，则M (a+42,a)①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42,−3a)则−3a =−(a−42−a)⋅(a−42−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；①当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得 {a+42+x =4a +y =−4a，解得{x =4−a 2y =−5a， 则−5a =−(4−a 2−a)⋅(4−a 2−4)解得：a =6±2√213①a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213（3）联立{y =2x +134y =−x 2+3x +4 解得：{x 1=32y 1=254 (舍去)，{x 2=−12y 2=94则DE =2√5，根据抛物线的平移规律， 则平移后的线段D ′E ′始终等于2√5 设平移后的D ′(m,2m +134)，则E ′(m −2,2m −34) 平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134则D ′B ′：y =−12x +n 过(m,2m +134)， ①y =−12x +52m +134，则B ′(5m +132,0)抛物线y =−(x −m )2+2m +134过B ′(5m +132,0)解得m 1=−32，m 2=−138 ①B 1′(−1,0)，B 2′(−138,0)（与D ′重合，舍去）①B ′(−1,0)3、如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与直线y ＝12x ﹣3交于，B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交AB 于点D ． （1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) y ＝x 2+92x ﹣3；(2)见解析.【思路引导】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，①PD①AO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．【解析】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：16453b cc-+=-⎧⎨=-⎩，解得：923bc⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+92x﹣3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝12x﹣3，设点P（m，m2+92m﹣3），点D（m，12m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，①PD①AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣（舍去正值），即m2+92m﹣3＝1﹣2，故点P（﹣2，﹣1﹣2），①当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：点P（﹣1，﹣132）或（﹣3，﹣152）；综上，点P（﹣2，﹣1﹣2）或(﹣1，﹣132）或（﹣3，﹣152）．【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y 轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC 的解析式；（2）如图1，设E （m ，0）为x 正半轴上的一个动点，若①CGE 和①CGO 的面积满足S ①CGE =43S ①CGO ，求点E 的坐标；（3）如图2，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作MN①x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；y=3x+3；（2）点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t 的值为10049或1316或134． 【思路引导】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC 解析式．（2）①CGE 与①CGO 虽然有公共底边CG ，但高不好求，故把①CGE 构造在比较好求的三角形内计算．延长GC 交x 轴于点F ，则①FGE 与①FCE 的差即为①CGE ．（3）设M 的坐标（e ，3e ＋3），分别以M 、N 、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与AP 的关系求t 的值． 【解析】解：（1）将点A （-1，0），B （3，0），点C （0，3）代入抛物线y=ax 2+bx+c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ①2y x 2x 3=-++，设直线AC 的解析式为y=kx+n ，将点A （-1，0），点C （0，3）代入得：03k n n -+=⎧⎨=⎩，解得：k=3，n=3①直线AC 的解析式为：y=3x+3（2）延长GC 交x 轴于点F ，过点G 作GH①x 轴于点H ， ①2(1)4y x =--+ ①G （1,4），GH=4，①11331222CGO G SOC x =⨯=⨯⨯=， 若S ①CGE =43S ①CGO ，则S ①CGE =43S ①CGO =43232⨯=，①若点E 在x 轴的正半轴，设直线CG 为13y k x =+，将G （1,4）代入得134k += ①11k =，①直线CG 的解析式为y=x+3， ①当y=0时，x=-3，即F(-3,0) ①E （m,0） ①EF=m -(-3)=m+3 ①CGEFGEFCES SS=-=1122EF GH EF OC ⋅-⋅ = 1()2EF GH OC ⋅- =1(3)(43)2m +⋅- =1(3)2m + ①1(3)22m +=，解得：m=1 ①E 的坐标为（1,0）①若点E 在x 轴的负半轴上，则点E 到直线CG 的距离与点（1,0）到直线CG 的距离相等， 即点E 到点F 的距离等于点（1,0）到点F 的距离， ①EF=-3-m=1-(-3)=4 ①m=-7，即E （-7,0）综上所述，点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M （e,3e+3），e ＞-1，则33N M y y e ==+， ①如图2，若①MPN=90°，PM=PN ，过点M 作MQ①x 轴于点Q ，过N 作NR①x 轴于点R ， ①MN①x 轴 ①MQ ＝NR ＝3e ＋3①Rt①MQP①Rt①NRP （HL ） ①PQ ＝PR ，①MPQ ＝①NPR ＝45° ①MQ ＝PQ ＝PR ＝NR ＝3e ＋3①x N ＝x M ＋3e ＋3＋3e ＋3＝7e ＋6，即N （7e ＋6，3e ＋3） ①N 在抛物线上①−（7e ＋6）2＋2（7e ＋6）＋3＝3e ＋3， 解得：11e =-（舍去），22449e =-①AP ＝t ，OP ＝t−1，OP ＋OQ ＝PQ ①t−1−e ＝3e ＋3 ①t ＝4e ＋4＝10049，①如图3，若①PMN＝90°，PM＝MN，①MN＝PM＝3e＋3①x N＝x M＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）①−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3解得：e1＝−1（舍去），e2＝3 16 -，①t＝AP＝e−（−1）＝31311616 -+=，①如图4，若①PNM＝90°，PN＝MN，①MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）解得：e＝3 16 -①t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝13 4综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为10049或1316或134．【方法总结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当MAB△的面积最大时，求此时MAB△的面积S及点M的坐标．【答案】(1) y＝﹣x2+2x+3；(2) ①MAB的面积最大值是278，M(12，154)【解析】(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，得20443a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得1,3,ac=-⎧⎨=⎩，①此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)如图，过点M作MH①x轴于H，交直线AB于K，将点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，得023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,1,k b =⎧⎨=⎩，①y AB ＝x+1，设点M(x ，﹣x 2+2x+3)，则K(x ，x+1)，则MK ＝﹣x 2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x 2+x+2， ①S ①MAB ＝S ①AMK +S ①BMK＝12MK•(x M ﹣x A )+ 12MK•(x B ﹣x M ) ＝12MK•(x B ﹣x A ) ＝12×(-x 2+x+2)×3 ＝23127()228x --+，①302-<，当x ＝12时，S ①MAB 最大=278，此时21115()23224M y =-+⨯+=，①①MAB 的面积最大值是278，M(12，154)．6、如图，直线y ＝34x +a 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝34x 2+bx +c 经过点A ，B ．点M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ． （1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合）， ①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值； ①求出使①BPN 为直角三角形时m 的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．【答案】（1）（0，﹣3），y ＝34x2﹣94x ﹣3；（2）①是3，①3或119；（3）6或6+6√2或6√2﹣6．【解析】解：（1）把点A 坐标代入直线表达式y ＝34x+a ，解得：a ＝﹣3，则：直线表达式为：y═34x ﹣3，令x ＝0，则：y ＝﹣3， 则点B 坐标为（0，﹣3），将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝﹣3， 把点A 的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b ﹣3＝0， 解得：b ＝﹣94，故抛物线的解析式为：y ＝34x2﹣94x ﹣3，（2）①①M （m ，0）在线段OA 上，且MN①x 轴， ①点P （m ，34m ﹣3），N （m ，34m2﹣94m ﹣3）， ①PN ＝34m ﹣3﹣（34m2﹣94m ﹣3）＝﹣34（m ﹣2）2+3， ①a ＝﹣34＜0， ①抛物线开口向下，①当m ＝2时，PN 有最大值是3， ①当①BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为﹣3，把y ＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣94m ﹣3，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0）， ①m ＝3；当①NBP ＝90°时，①BN①AB ，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1，设：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x+n ，把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝﹣3，则：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x ﹣3， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m ＝119或0（舍去m ＝0）， 当①BPN ＝90°时，不合题意舍去，故：使①BPN 为直角三角形时m 的值为3或43； （3）①OA ＝4，OB ＝3，在Rt①AOB 中，tanα＝43，则：cosα＝35，sinα＝45，①PM①y 轴，①①BPN ＝①ABO ＝α，若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个．当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ）， 则：n ＝34m2﹣94m ﹣3，过点N 作AB 的平行线，则点N 所在的直线表达式为：y ＝34x+b ，将点N 坐标代入， 解得：过N 点直线表达式为：y ＝34x+（n ﹣34m ），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x 2﹣12x ﹣12+3m ﹣4n ＝0，①＝144﹣3×4×（﹣12+3m ﹣4n ）＝0，将n ＝34m 2﹣94m ﹣3代入上式并整理得：m 2﹣4m+4＝0，解得：m ＝2，则点N 的坐标为（2，﹣92）， 则：点P 坐标为（2，﹣32）， 则：PN ＝3， ①OB ＝3，PN①OB ，①四边形OBNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离， 即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N′、N″， 直线ON 的表达式为：y ＝34x ，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得： x 2﹣4x ﹣4＝0，解得：x ＝2±2√2，则点N′、N″的横坐标分别为2+2√2，2﹣2√2， 作NH①AB 交直线AB 于点H ， 则h ＝NH ＝NPsinα＝125，作N′P′①x 轴，交x 轴于点P′，则：①ON′P′＝α，ON′＝OP ′sinα＝54（2+2√2），S 四边形OBPN ＝BP•h ＝52×125＝6，则：S 四边形OBP′N′＝S①OP′N′+S①OBP′＝6+6√2， 同理：S 四边形OBN″P″＝6√2﹣6，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或6+6√2或6√2﹣6．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)y kx k =+≠经过点23A （，），与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点C m 2（，）．（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11N x y （，）是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22P x y （，），33Q x y （，）（点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）()10，．（3）01a <<．【解析】解：（1）①()10y kx k =+≠ 经过点23A （，）， ①将点A 的坐标代入1y kx =+ ，即321k =+ ，得1k =．①直线1y x =+ 与抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴交于点(,2)C m ， ①将点(,2)C m 代入1y x =+，得1m = ． (2)①抛物线2y ax bx a =++ 的对称轴为1x =， ①12ba-= ，即2b a =-． ①22y ax ax a =-+ ()21a x =- ．①抛物线的顶点坐标为()10， ． (3)当0a >时，如图，若拋物线过点01B （，） ，则1a = ． 结合函数图象可得01a << ． 当0a <时，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a <<．8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝13-x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（4，0），连接AC ，BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ． （1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点P ，Q 运动过程中，①APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M 在抛物线上，且①AOM 的面积与①AOC 的面积相等，求出点M 的坐标。
用GeoGebra解析中考数学动态问题
用GeoGebra解析中考数学动态问题作者：金然张继刚雷蕾来源：《科教导刊·电子版》2014年第16期摘要随着信息技术在日常生活和教育领域中的广泛应用以及新课程改革的不断深入，各种数学软件在信息技术整合数学课程教学中层出不穷，GeoGebra软件是其中之一。
GeoGebra 是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，功能十分复杂而庞大，用其实现中考数学的压轴题——动态问题解决能够达到更好的教学和学习效果，起到事半功倍的作用。
关键词 GeoGebra 中考数学动态问题解析中图分类号：G633.6 文献标识码：A近几年的中考数学频频出现动态问题题型，是中考压轴题的一大热点和难点，它要求解题者用动态的眼光去观察和分析运动中变化的图形，增大解题难度，拉开学生差距。
为了适应中考数学模式的改变，准确解决动态类问题，用数学软件（GeoGebra）创造动态的数学环境进行灵活的教与学，将抽象的数学图形具体形象化、动态化，不失为一种具有可操作性的问题解决策略。
1 GeoGebra动态数学软件简介GeoGebra是美国佛罗里达州亚特兰大学数学教授Markus Hohenwarter在奥地利完成博士论文所设计的动态数学软件，通过开源方式逐步完善和推广。
它具代数与几何功能，绘图区呈现图形，代数区则显示相应的数据。
绘图去中不仅能直接画点、直线、多边形、函数图像，还可在输入框中输入点、向量的坐标、函数解析式等绘制图形，也可移动或旋转图形、直线等操作，同时在绘图区和代数区中观察运动中各个参数的变化。
其主要特征是通过制作、观察动态图形，建立各个参数之间的关系，助于动态图形的分析与理解。
因而将GeoGebra动态数学软件用于动态问题教学和学习中，不仅提供一个动态的教学、学习环境，还为学生开展自己的数学探索、实验等过程准备灵活而强大的工具。
2 GeoGebra在中考数学动态问题解析中的应用“动态问题”主要是巧妙结合代数与几何知识，将运动过程中的数量关系之间“变”与“不变”性质结合考察。
二次函数的动点知识点总结
二次函数的动点知识点总结一、二次函数的图像特点1. 抛物线方向与a的关系当a大于0时，抛物线开口向上，最低点为顶点；当a小于0时，抛物线开口向下，最高点为顶点。
2. 抛物线的对称轴对称轴的方程是x=-b/2a，对称轴上的点为顶点。
3. 抛物线的顶点顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
4. 抛物线的焦点焦点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a+1/4a)。
5. 抛物线的焦点到顶点的距离距离为1/4|1/a|。
6. 抛物线的开口方向开口向上或者向下。
二、二次函数的性质1. 零点如果f(x)=ax^2+bx+c，则其零点可由一元二次方程ax^2+bx+c=0的解得。
2. 变号区间当a>0时，f(x)在两零点之间为负，两零点外为正；当a<0时，f(x)在两零点之间为正，两零点外为负。
3. 孤立零点函数的零点是孤立的，零点和顶点连接成的抛物线是唯一的。
三、二次函数的平移与缩放1. 平移二次函数y=a(x-h)^2+k经过平移后为y=a(x-p)^2+q，其中p=h，q=k。
2. 压缩与拉伸二次函数y=a(x-h)^2+k与y=b(x-h)^2+k是同一抛物线，只是参数a的变化决定了开口方向，参数b的变化决定了开口的大小。
四、二次函数的相关应用1. 抛物线运动由y=a(x-h)^2+k可以描述小球自由下落和反弹的过程。
2. 抛物线方程的物理意义抛物线的顶点是最高点或最低点，可以用来求抛物线所能达到的最大或最小值。
五、二次函数的相关解题方法1. 求零点可以通过公式法或者配方法求二次函数的零点。
2. 求最值可以通过顶点法或者二次函数的导数法求最值。
3. 求抛物线方程已知顶点和焦点求抛物线方程，可以利用平移和缩放的知识点求解。
总之，二次函数是高中数学中重要的一个知识点，掌握二次函数的图像特点、性质、平移缩放以及相关应用和解题方法，对于学习高中数学和解决现实生活中的问题是非常有帮助的。
希望大家能够认真学习并掌握这一知识点。
二次函数动点问题解答方法技巧分析
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
GeoGebra在初中数学几何动点问题教学中的应用浅析
GeoGebra在初中数学几何动点问题教学中的应用浅析作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2021年第153期【摘要】GeoGebra是一款结合几何、代数、函数、图形和计算的免费动态数学软件，它融合代数与几何的功能，界面易用，且可视化功能强大，能突破动态问题的教学难点。
本文以数学几何动点问题教学为例，借助GeoGebra软件，编写相应的GeoGebra脚本教程，探索信息技术与数学几何动点问题教学融合，旨在为初中数学教师的数学软件操作及数学动态实验教学提供一些借鉴或启示。
【关键词】GeoGebra ;初中数学;动点问题;教学融合几何动点问题一般以几何图形为载体，综合考察学生几何、函数、计算等方面的知识，此类问题综合难度大，学生的得分情况往往不够理想，而在几何动点问题课堂教学上，常常出现“教师一味的讲解，信息技术应用不足，学生只能被动接受”的现象，这样，几何动点问题慢慢变成了学生难以逾越的关卡。
因此，把信息技术如GeoGebra和几何动点问题在课堂教学上有效融合，让学生经历思路探究——结论猜想——技术验证这一过程，将有助学生真正掌握动点问题的本质，丰富学生解决几何动点问题的策略与方法。
下面笔者以“中考几何动点形成函数图像”问题为例，谈谈GeoGebra软件在几何动点问题教学中的辅助应用。
一、例题呈现二、教学片段1.结合几何直观，建立函数模型教师：本题是求线段AP与运动时间x之间的函数关系，这里点A为定点，点P为动点，哪位同学知道点P是怎么运动的？学生1：点P在线段AB，线段BC，线段CA上运动，因此需要分三种情况讨论。
教师：请大家分析三种运动情况。
学生2：点P从点A运动到点B，应该为一次函数。
教师：是吗？能够写出y与x的解析式？学生3：因为动点P为匀速运动，我们可以设速度为v，从点A匀速运动到点B时，y=vx，此时y是x的正比例函数，y随着x的增大而增大。
教师：由第一种情况的分析，大家有何想法呢？学生4：我们可以排除选项C与选项D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
geogebra 二次函数动点
摘要：
一、引言
1.介绍GeoGebra 软件
2.说明二次函数在数学中的重要性
3.引入动点概念，介绍与二次函数的关系
二、GeoGebra 软件与二次函数
1.GeoGebra 软件的基本功能
2.利用GeoGebra 绘制二次函数图像
3.GeoGebra 中二次函数的参数设置
三、动点与二次函数的关系
1.动点的定义及性质
2.动点与二次函数的交点问题
3.利用动点分析二次函数的性质
四、GeoGebra 中动点与二次函数的交互
1.在GeoGebra 中添加动点
2.动点与二次函数的交互操作
3.实例分析：利用动点解决二次函数问题
五、总结
1.回顾GeoGebra 软件在二次函数中的应用
2.强调动点在二次函数问题中的重要性
3.展望GeoGebra 与动点在未来数学教育中的应用
正文：
GeoGebra 是一款强大的数学软件，广泛应用于数学教学和研究中。
在数学中，二次函数是一个重要的概念，它在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
动点是几何中的一个重要概念，它与二次函数有着密切的关系。
本文将介绍GeoGebra 软件在二次函数中的应用，重点讨论动点与二次函数的关系以及GeoGebra 中动点与二次函数的交互。
GeoGebra 软件具有丰富的功能，可以轻松绘制二次函数的图像。
用户可以通过设置函数的参数，如a、b、c 等，来调整二次函数的图像。
同时，GeoGebra 软件还可以进行参数方程的设置，使得二次函数的图像更加精确。
动点是几何中的一个重要概念，它可以用来描述点在运动过程中的状态。
在二次函数问题中，动点常常用来表示函数的零点、极值点等特殊点。
通过分析动点与二次函数的关系，我们可以更好地理解二次函数的性质，从而解决相关问题。
GeoGebra 软件为动点与二次函数的交互提供了便利。
用户可以在GeoGebra 中添加动点，通过调整动点的坐标和参数，观察动点与二次函数的交点变化。
这种交互式的观察方式有助于理解二次函数的性质，并可以发现一些难以观察到的规律。
总之，GeoGebra 软件在二次函数中的应用为数学研究和教学带来了便利。
动点与二次函数的关系为我们解决二次函数问题提供了新的视角。
通过GeoGebra 软件的交互功能，我们可以更好地理解动点与二次函数的相互影响。