2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

合 S x | x bn, n N* ．
（1）若
a1
0, d
2 3
，求集合
S；
（2）若
a1
2
，求
d
使得集合
S
恰好有两个元素；
（3）若集合 S 恰好有三个元素：bnT bn ，T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有
可能的值．
【答案】（1）解： 等差数列 的公差
，数列 满足
，
集合
．
当
，
集合
，利用元素和集合间的关系求出结合等差数
列 的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 的通项公式，从而求出当
时的集合 S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足
， 用等差数列
的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 的通项公式，再利用数列 的通项 公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元
（2）记 Cn=
an 2bn
，n∈N*
，证明：C1+C2+…+Cn＜2
n ，n∈N* .
【答案】 （1）设数列 的公差为 d ， 由题意得
，
解得
．
从而
．
由
成等比数列得
．
解得
．
所以 （2）
． ．
我们用数学归纳法证明．
⑴当 n=1 时，c1=0<2，不等式成立；
⑵假设
时不等式成立，即
．
..
.
那么，当
时，
b1
1, 1 Sn
2 bn
2 bn1
，其中
Sn 为数列{bn}的前
n
项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} n N* ，对任意正整数 k ， 当 k≤m
时，都有 ck bk ck1 成立，求 m 的最大值．
【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为 q ， 所以 a1≠0，q≠0.
..
.
素的 d 的值。 （3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类
讨论的方法结合已知条件
，用等差数列 的通项公式和正弦值的求解方
法求出数列 的通项公式， 再利用 是不超过 7 的正整数，从而求出满足要求
的 的所有可能的值．
3.（2019•浙江）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，a3=4.a4=S3 ，数列{bn}满足： 对每个 n∈N* ，Sn+bn ，Sn+1+bn、Sn+2+bn 成等比数列 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ;
．
即当
时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式
对任意
成立．
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即
可求出相应的表达式；
（2）采用数学归纳法，现在 n=1 时式子成立，假设 n=k 时式子成立，再证 n=k+1
时式子也成立即可.
，故
，符合题意． ，或者
，
，又
当 ③当
当
时满足条件，此时
时，
，
，因为
时，
．
，
，故
．
满足题意．
，或者
④当 所以
时，
，
或者
，
，
，故
．
..
.
当
时，
，满足题意．
⑤当
时，
，
，所以
，或者
，
， ，故
当
时，因为
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，
必然有
，
，
，
，不符合条件．
当
时，因为
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，
由
，得
，解得
．
因此数列 为“M—数列”.
（2）解：①因为
，所以
．
由
得
，则当
时，由
，得
，
整理得
．
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n
.
②由①知，bk=k ，
.
..
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q ， 所以 c1=1，q>0.
因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
，其中 k=1，2，3，…，m.
当 k=1 时，有 q≥1；
当 k=2，3，…，m 时，有
．
设 f（x）=
，则
．
令 x
f（x） 因为
，得 x=e.列表如下：
+ ，所以
e 0 极大值
．
(e，+∞) –
取
，当 k=1，2，3，4，5 时，
，即
，
经检验知
也成立．
因此所求 m 的最大值不小于 5． 若 m≥6，分别取 k=3，6，得 3≤q3 ， 且 q5≤6，从而 q15≥243，且 q15≤216， 所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6. 综上，所求 m 的最大值为 5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关 系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列” 的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合已知 条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 的通项
必然有
，
，
不是整数，不符合条件．
当
时，因为
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，
必然有
或者 ，
，或者
，此时，
均
不是整数，不符合题意．
综上，
．
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，
等差数列的通项公式 【解析】【分析】（1） 等差数列
的公差
，数列 满足
，集合
．
（2）解：
，数列 满足
，集合
恰好
有两个元素，如图：
..
.
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰
好有两个元素，此时
，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终
边关于 轴对称，如图 ， ，
此时
，
综上，
或者
．
（3）解：①当
时，
，集合
②当
时，
，
，
，
等差数列 的公差
4.（2019•天津）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0，已知
a1 b1 3, b2 a3,b2 4a2 3.
（Ⅰ）求 an 和 bn 的通项公式； （Ⅱ）设数列 cn 满足
.
2019 年高考数学真题分类汇编
专题 18：数列（综合题）
1.（2019•江苏）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an} n N* 满足： a2a4 a5, a3 4a2 4a4 0 ，求证:数列{an}为
“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
..
.
公式。②由①知，bk=k ，
.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q ，
所以 c1=1，q>0，因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
，其中 k=1，2，3，…，
m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函
数的极值，进而求出函数的最值，从而求出 m 的最大值。
2.（2019•上海）已知等差数列an的公差 d 0, ，数列bn满足bn sinan ，集