人教版高中数学版第一章第1节正弦定理(共16张PPT)教育课件
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高一数学必修课件正弦定理
在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于 外接圆的直径。
表达式
在三角形ABC中，有 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中a、b、c分别为三角形ABC的三 边，A、B、C为三角形ABC的三个内角，R为三角形ABC外接 圆的半径。
03 正弦定理在解三 角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
02
03
方法一
直接应用正弦定理，通过 已知的两边和夹角求出第 三边的长度。
方法二
先利用余弦定理求出已知 两边的夹角，再应用正弦 定理求出第三边的长度。
方法三
通过作辅助线构造直角三 角形，利用三角函数关系பைடு நூலகம்求出第三边的长度。
已知两角及夹边求第三角
算过程。
掌握常见计算技巧
02
掌握一些常见的计算技巧，如特殊角的三角函数值、和差化积
公式等，以提高计算效率。
注意计算过程中的取舍和有效数字保留
03
在计算过程中，要注意取舍和有效数字的保留问题，避免因此
引入额外的误差。
06 练习题与课堂互 动环节
针对不同难度层次练习题设计
基础练习题
通过简单的题目，帮助学生掌握正弦定理的基本概念和公 式，例如已知两边和夹角求第三边等。
其他实际问题应用举例
航海问题
在航海问题中，可以利用正弦定 理求解船只的航行距离、航向角 等参数，为航海安全提供重要保
障。
地理测量
在地理测量中，正弦定理可以用于 求解地球上两点间的距离、方位角 等参数，为地理学研究提供基础数 据。
工程问题
在工程问题中，正弦定理可以用于 求解建筑物的角度、高度等参数， 为工程设计和施工提供重要依据。
表达式
在三角形ABC中，有 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中a、b、c分别为三角形ABC的三 边，A、B、C为三角形ABC的三个内角，R为三角形ABC外接 圆的半径。
03 正弦定理在解三 角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
02
03
方法一
直接应用正弦定理，通过 已知的两边和夹角求出第 三边的长度。
方法二
先利用余弦定理求出已知 两边的夹角，再应用正弦 定理求出第三边的长度。
方法三
通过作辅助线构造直角三 角形，利用三角函数关系பைடு நூலகம்求出第三边的长度。
已知两角及夹边求第三角
算过程。
掌握常见计算技巧
02
掌握一些常见的计算技巧，如特殊角的三角函数值、和差化积
公式等，以提高计算效率。
注意计算过程中的取舍和有效数字保留
03
在计算过程中，要注意取舍和有效数字的保留问题，避免因此
引入额外的误差。
06 练习题与课堂互 动环节
针对不同难度层次练习题设计
基础练习题
通过简单的题目，帮助学生掌握正弦定理的基本概念和公 式，例如已知两边和夹角求第三边等。
其他实际问题应用举例
航海问题
在航海问题中，可以利用正弦定 理求解船只的航行距离、航向角 等参数，为航海安全提供重要保
障。
地理测量
在地理测量中，正弦定理可以用于 求解地球上两点间的距离、方位角 等参数，为地理学研究提供基础数 据。
工程问题
在工程问题中，正弦定理可以用于 求解建筑物的角度、高度等参数， 为工程设计和施工提供重要依据。
高中数学：11《正弦定理1》课件必修
详细描述
利用正弦定理，我们可以判断给定边 长和角的三角形是否存在，以及解的 个数，从而避免出现无解或多解的情 况。
边长和角度的互换
总结词
正弦定理可以用于将三角形的边长转换为对应角的正弦值，反之亦然。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的边长与对应角的正弦值相互转换，从而方便 地求解三角形中的未知量。
引入方式三：通过三角函数定义引入
总结词
从三角函数的定义出发，通过分析函数的性质，引出正弦定理的概念。
详细描述
三角函数是描述三角形中角度和边长之间关系的函数。在锐角三角形ABC中，设角A、B、C的正弦函数分别为 sinA、sinB、sinC，根据三角函数的定义，我们有sinA = a/c、sinB = b/c、sinC = c/c。通过分析这些函数的 性质，我们可以推导出正弦定理的表达式。
pi$，求出 $B = pi - A - C$。最后代入 $sin A = sin(B + C)$，利用两角和的正弦 公式展开，得到 $sin A = frac{3sqrt{3}}{4} times frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} times
基础题
题目
在△ABC中，已知 a = 2, b = 3, B = 60°，则角 C 的 大小为 _______．
钝角三角形证明方法
通过作高线，将钝角三角形转化为两个锐角三角形 ，再利用勾股定理和三角函数性质证明正弦定理。
等边三角形证明方法
利用等边三角形的性质，通过比较边和角的正弦值之比，证明正 弦定理。
余弦定理证明方法
利用余弦定理推导正弦定理，通过比较边和角的正弦值之比，证明正弦定理。
04
习题与解析
利用正弦定理，我们可以判断给定边 长和角的三角形是否存在，以及解的 个数，从而避免出现无解或多解的情 况。
边长和角度的互换
总结词
正弦定理可以用于将三角形的边长转换为对应角的正弦值，反之亦然。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的边长与对应角的正弦值相互转换，从而方便 地求解三角形中的未知量。
引入方式三：通过三角函数定义引入
总结词
从三角函数的定义出发，通过分析函数的性质，引出正弦定理的概念。
详细描述
三角函数是描述三角形中角度和边长之间关系的函数。在锐角三角形ABC中，设角A、B、C的正弦函数分别为 sinA、sinB、sinC，根据三角函数的定义，我们有sinA = a/c、sinB = b/c、sinC = c/c。通过分析这些函数的 性质，我们可以推导出正弦定理的表达式。
pi$，求出 $B = pi - A - C$。最后代入 $sin A = sin(B + C)$，利用两角和的正弦 公式展开，得到 $sin A = frac{3sqrt{3}}{4} times frac{sqrt{3}}{2} + frac{1}{2} times
基础题
题目
在△ABC中，已知 a = 2, b = 3, B = 60°，则角 C 的 大小为 _______．
钝角三角形证明方法
通过作高线，将钝角三角形转化为两个锐角三角形 ，再利用勾股定理和三角函数性质证明正弦定理。
等边三角形证明方法
利用等边三角形的性质，通过比较边和角的正弦值之比，证明正 弦定理。
余弦定理证明方法
利用余弦定理推导正弦定理，通过比较边和角的正弦值之比，证明正弦定理。
04
习题与解析
正弦定理课件.ppt
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导
高中数学 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5
④a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ⑤sin A= ,sin B= ,sin C= ; ⑥A<B⇔a<b⇔2Rsin A<2Rsin B⇔sin A<sin B.
a 2R b 2R c 2R
-9-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
1
2
【做一做 1 】 在△ABC 中,a=2, b=3,则
-15-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下 :①利用三角形内 角和定理求出第三个角;②用正弦定理求出另外两边.
-16-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
【例 2】 在△ABC 中,已知下列条件,解三角形 : (1)a=10,b=20,A=80° ; (2)b=10,c=5 6,C=60° ; (3)a= 3,b= 2,B=45° .
a b c = = =2R. ������������������A ������������������B ������������������C
由此还可以推出以下结论 : ①a∶ b∶ c=sin A∶ sin B∶ sin C;
a b ������������������A a , ������������������B c ������������������A b , ������������������C c ������������������B ; ������������������C
高中数学第1章1.1.1正弦定理课件新人教A必修5.ppt
思考感悟 正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示：正弦定理对任意的三角形都适用．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法 是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的 对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边．
方法感悟
1．在△ABC 中，a、b 分别为 A、B 的对边．由 正弦定理：sina A＝sinb B，再由大角对大边知 A＞ B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦 值大．
2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三 边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好 地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正 弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具 备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状， 常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时 结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公 式)，得出角的大小或等量关系．
3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求 解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合 恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两 角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另 3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些 抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进 行分析与证明．
由sina A＝sinc C，得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
【名师点评】 已知三角形的两个角求第三个角
时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正
弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来
高一数学人必修课件正弦定理
已知两边及夹角求解三角形
要点一
已知两边a, b和夹角C，利用正弦 定理求解第三边c
c = a*sin(C)/sin(A) 或 c = b*sin(C)/sin(B)。
要点二
已知两边a, b和夹角C，利用余弦 定理求解第三角A或B
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) 或 cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)。
向量运算
利用向量的加、减、数乘和数量积运 算，推导出正弦定理的向量表达式。
解析法证明
建立坐标系
在平面上建立直角坐标系，将三角形 的顶点坐标化，通过坐标运算证明正 弦定理。
三角函数表示
用三角函数表示三角形的各边和角度 ，通过三角函数的基本关系和等式变 换进行推导，从而证明正弦定理。
03 正弦定理在解三 角形中应用
余弦定理回顾及表达式
余弦定理内容
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
表达式
c² = a² + b² - 2abcosC
正弦定理和余弦定理联系与区别
联系
正弦定理和余弦定理都是解三角形的重要工具，它们之间有着密切的联系。在已知三角形的两边和夹角时，可以 利用正弦定理求出第三边；而在已知三角形的三边时，可以利用余弦定理求出三角形的任意一个角。
02 正弦定理证明方 法
几何法证明
构造直角三角形
通过已知条件和辅助线构造直角 三角形，利用相似三角形的性质 证明正弦定理。
应用勾股定理
在构造的直角三角形中，利用勾 股定理和三角函数的基本关系式 进行推导，从而证明正弦定理。
向量法证明
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5
第二十六页，共36页。
探究(tànjiū)
一
且
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
变式训练3
探究四
在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,
sin cos cos
=
= ,则判断△ABC的形状是(
A.等边三角形
B.有一内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一内角是30°的等腰三角形
(2)已知三角形的几个(jǐ ɡè)元素求其他元素的过程叫做解三角形.
第八页，共36页。
1
2
练一练 3
在△ABC 中,a=3,b=5,sin
解析:由正弦定理
sin
=
1
A= ,则
3
,得
sin
sin B=
sin
sin B=
5
9
答案:
第九页，共36页。
.
1
=
5× 3
3
=
5
.
9
1
2
练一练 4
断三角形的形状.
第二十三页，共36页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法一:设
sin
=
探究四
sin
=
=k,
sin
则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
∵sin2A=sin2B+sin2C,∴
2
=
2
+
高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理课件新人教A版必
������ sin������
=
si���n��� ������成立.
(3)成立,如图,在△ABC 中作高线 CD,则在 Rt△ADC 和 Rt△BDC 中,CD=bsin A,CD=asin B,即 bsin A=asin B,si���n��������� = si���n���������.同理可证
别为
a,b,c.(1)当△ABC
是等边三角形时,si���n���������
=
������ sin������
=
������ 是否成
sin������
立?(2)当△ABC
是直角三角形时,si���n���������
=
������ sin������
=
si���n��� ������是否成立?(3)当
3.做一做:
(1)在△ABC 中,若 asin A+bsin B=csin C,则角 C=
;
(2)在△ABC 中,若 2asin C= 2c,则角 A=
.
解析(1)设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得
a·2������������+b·2������������=c·2������������,即 a2+b2=c2,所以△ABC 是直角三角形,且 C 是直角, 故 C=90°; (2)设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin
△ABC
是一般的锐角三角形时,si���n���������
=
������ sin������
=
si���n��� ������是否成立?(4)当
△ABC
是一般的钝角三角形时,si���n���������
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•
•
理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
一般地，把三角形的三个角A，B，C和 它们的对边a，b，c叫做三角形的元素 。已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫解三角形
5.定理的应用举例
（ 独立完成2+规范解题3+师生 评价1）
例1.在ABC 中 ，已知 A=30°，B=120°，
a=2 解三角形
5.定理的应用举例
（ 独立完成2+规范解题3+师生 评价1）
•
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有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
例1.在ABC 中 ，已知 A=30°，B=120°，
a=2 解三角形
例 2、已知a=16， b= 16 3 ， A=30° .
解三角形
（ 独立完成4+规范解 题3+师生评价2）
6、思考：通过这两个例题，同学们 （ 小组交流讨
能归纳出正弦定理能帮助我们解决 论3+汇报2） 三角形中的那些问题吗？
正弦定理可以解决三角形中的问题：
（1）已知两边和其中一边的对角，求另 一边的对角，进而可求其他的边和角
（2）已知两角和一边，求其他角和边
7变式训练：
（ 独立完成4+规范解 题3+师生评价2）
• 已知 a= 16 3 , b= 16 , A=120°解
三角形
课堂小结、布置作业 （ 抢答1+评价1）
1、小结:本节课学习了那些内容？
• 正弦定理 a b c 2R • 主要应用 sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边 和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角。
2、作业:
习题1.1第二题
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
–
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
•
■电 你是 否有 这样 经历 ，当 你 在做 某一 项工 作和 学习 的 时候 ，脑 子里 经常 会蹦 出各 种 不同 的需 求。 比如 你想 安 心 下来 看2 小时 的书 ，大 脑会 蹦出 口渴 想 喝水 ，然 后喝 水的 时候 自 然的 打开 电视 。。 。。 。。 ， 一个 小时 过去 了， 可 能书 还没 看2 页。 很多 时候 甚至 你自 己 都没 有意 思到 ，你 的大 脑 不停 地超 控你 的注 意力 ，你 就 这么 轻易 的被 你的 大 脑所 左右 。你 已经 不知 不觉 地 变成 了大 脑的 奴隶 。尽 管 你在 用它 思考 ，但 是你 要明 白你 不应 该隶 属于 你的 大脑 ， 而应该 是你 拥有 你的 大脑 ，并 且应 该是 你可 以控 制你 的大 脑才 对。 一切 从你 意识 到你 可以 控制 你的 大脑 的时 候， 会改变 你的 很多 东西 。比 如控 制你 的情 绪， 无论 身处 何种 境地 ，都 要明 白
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
第一章:解三角形
1.复习回顾
（ 抢答1+评价1）
• 在三角形中，有哪些性质？ • 1.三角形的内角和为180度 • 2.两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边
• 3.三角形中大角对大边，小角对小边
学习目标 （ 齐读1）
• 1.掌握正弦定理的内容； • 2掌握正弦定理的证明方法； • 3会运用正弦定理解三角形的两类基本问题.
•
•
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
a
Bc
A
(4)探究用三角形的外 （ 师生互动+梳理推导3）
接圆证明正弦定理
B
c A
a
O
C
b
3、正弦定理的总结及应用
（ 独立思考1+小组交流 2+师生总结1）
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
4、三角形的元素及解三角形概念 （ 师生互动1）
•
《
《
我
是
算
命
先
生
》
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
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之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。