不可约多项式
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
有理数域上不可约多项式
§7.8 有理数域上的不可约多项式
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本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
都是本原多项式
f x g x c0 c1x
p ck , k 1,2,
ci j xi j
cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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但两者不能同时成立。
p2
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
不可约多项式的判别
不可约多项式的判别一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。
下面给出了一些判别不可约多项式的方法。
1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。
- Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，满足以下条件：- p 不能整除 aₙ；- p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁；- p²不能整除 a₀；那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
- Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。
带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x)和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数小于 B(x) 的多项式。
如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。
需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。
综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和具体的算法进行分析。
以上只是给出了一些常用的判别方法，实际的判别可能需要更加复杂的计算。
多项式分解为不可约多项式的方法
多项式分解为不可约多项式的方法多项式的分解是将一个多项式表示为更简单的不可约多项式的乘积形式。
不可约多项式是无法再进行进一步分解的多项式。
多项式分解的方法包括因式分解、开方并合并等。
1.因式分解法因式分解法是将多项式分解为一些因式的乘积形式。
这些因式可以是常数、一次因式、二次因式等。
a)常数因式分解首先，判断多项式是否可以被常数因式整除，即判断是否存在一个常数因式，使得多项式除以这个常数因式后余数为零。
如果存在，则将这个常数因式提取出来，并写在括号外面。
余下的部分为被提取出常数因式之后的多项式，继续进行因式分解，直到无法再进行因式分解为止。
例如，考虑多项式P(x)=2x^3+6x^2+12x，可以发现它可以被常数因式2整除，即P(x)=2(x^3+3x^2+6x)。
余下的部分为不可以再被2因式整除的多项式x^3+3x^2+6x，继续进行因式分解。
b)一次因式分解对于一次因式，即形式为ax + b的因式，可以使用综合除法或因式定理来进行分解。
综合除法：将多项式除以一次因式，得到商的一次多项式和余数。
商的一次多项式即为一次因式的系数，余数为0则说明一次因式是多项式的因式。
因式定理：根据因式定理，如果P(x)是一个多项式，且x-k是P(x)的因式，那么P(x)除以x-k的余数为0。
可以通过试除法找到多项式的一次因式，再用综合除法进行具体的分解。
例如，考虑多项式P(x)=x^2+2x-8，我们可以通过试除法找到一次因式，例如将x-2代入多项式中计算余数，发现余数为0。
因此可以将P(x)分解为P(x)=(x-2)(x+4)。
c)二次因式分解对于二次因式，即形式为ax^2 + bx + c的因式，可以使用求解二次方程或配方法来进行分解。
求解二次方程：对于二次因式ax^2 + bx + c，可以使用求解一元二次方程的方法来找到其根，进而得到二次因式的分解式。
根据韦达定理，一元二次方程的两个根可以由二次项系数和常数项决定。
不可约多项式
us
( x ),
f ( x ) g( x ) ri li , i 1,2,
,s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法． 实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积.
f ( x )可分解为一些不可约多项) 有两个分解式
f ( x ) p1 ( x ) p2 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )
一、不可约多项式
Def. 设 p( x ) P[ x ] ，且 p x 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x )低的多项式的 乘积，则称 p( x ) 为数域P上的不可约多项式.
Remark
① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式.
p1 ( x ) q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
q j ( x ), 使得
p1 ( x ) q j ( x ).
不妨设 q j ( x ) q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
q1 ( x ) c1 p1 ( x ), c1 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 即得
ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
2
则有
f ( x ), g( x ) p1
u1
1
( x ) p2 ( x )
不可约多项式定义
不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。
你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。
给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。
如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。
这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。
**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。
首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。
比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。
这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。
其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。
还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。
3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。
可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。
不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。
**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。
在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。
不可约多项式
因为g( ),h( )为整数，所以
g( )=h( )，k=1,2,…,n+1.
由此可知 , ,…, 为多项式方程g(x)-h(x)=0的n个根。
又因为 （g(x)-h(x)）< n,所以g(x)-h(x)为零多项式，即
f(x)= =g(x)h(x)=
p!f(x)=p!+p!
因为P为质数，整系数多项式p!f(x)符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式p!f(x)在整数环上不可约，即整系数多项式p!f(x)在有理数域上不可约。由此可得多项式f(x)在有理数域上不可约。
例2.若P为质数，求证有理系数多项式f(x)=1+x+ +…+ 在有理数域上不可约。
证明：因为f(x)= ,不妨设x=y+1得到
f(x)=f(y+1)= =g(y).
g(y)= +p + …+
又因为p为质数，g（y）符合爱森斯坦判别法，所以g（y）在整数环上不可约，即f（x）在整数环上不可约，由此可得f（x）在有理数域上不可约。
（
例3.求证整系数多项式f（x）= -1在有理数域上不可约，其中 , ,…, 为n个互不相等的正数。
由此可知 , ,…, 为多项式方程的n个根。
又因为 （g(x)+h(x)）< n.所以g（x）+h（x）为零多项式，即有g（x）=-h（x）.
f(x)=g(x)h(x)=-
由此可得到f(x)的最高次项的系数为负数，与已知的f(x)的最高次项的系数为1相矛盾，假设不成立.所以整系数多项式f(x)在有理数域上不可约.
f(x)=g(x)h(x),其中
不可约多项式
不可约多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
概念不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。
相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。
“不可约”的意义随系数范围而不同。
X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。
一种重要的多项式。
它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。
这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。
其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。
设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。
一个多项式是否可约，与其基域有关。
例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。
数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：1。
若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。
2。
若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。
3。
若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。
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4 f x x 4 在 Q x , R x , C x 求 例 2：
f x x 2 2 x 2 2 ; 解： 在Q上：
在R上：f x x 2 x 2 x 2 2 ;
Байду номын сангаас
则有① r=s； ② 适当调整 q j x 的位置后，有
qi x ci pi x ,
i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
还是采用辗转相除法。
问：如何求 f x 的标准分解式？ 在 Q x, R x 中的标准分解式。
2 即有 x 1 f x 。
例 1：
4 2 f x x 3 x 2, 求
解： 利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
在Q x 上
q1 c1 p1 p2 ( x) pr ( x) c1q2 x qs x
1 1 1 2
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c c p c2 p2 , qi ci pi , i 3,4,, r
故
qi ci pi , i 1,2,, r
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x ,
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
在C上： f x x 2 x 2 x 2i x 2i .
首项系数 k1 ,, kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解 式。 1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x , g x .
例如：
f x 5 x 3 x 2 x 1 ,
f x 在数域P上可约。
由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x 2 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质 性质1 若 p x 不可约，则 cp x 也不可约， c 0, c P. 性质2 若 p x 是不可约多项式，f x P x ,
若 f x p1 x p2 x pr x , 取 c1c2 cr 1. 则 f x c1 p1 x c2 p2 x cr pr x , 可见 f x 分解式不唯一。
P x 中任一个次数大于零的多项式 定理1.5.2： f x 分解成不可约多项式的乘积：
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
f x g x h x g n, h n. 2、若 f x 可约，
由假设知 g x , h x 均可分解为不可约多项式的乘积。 问题： 多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？
则 p x f x p x , f x 1. 证：设 p x , f x d x , 由 d x f x d x 1 或 d x cp x . 若 d x 1, 则 p x , f x 1. 若 d x cp x , 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x 则 p x f x 或 p x g x.
f x 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， 还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义 定义1.5.1 设 f x 是 P x 中次数大于零的多项式， f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域 如果在 P x 中，
若 f x 除平凡因式外，在 P x 中还有 F上不可约。 其他因式， 则称 f x 在数域F上可约。 等价定义：如果 P x 中一个 n n 0 次多项式 f x 可分解成 P x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x , h x 的积，即 f x g x h x , 则称
5 3
g x 7 x 3 x 1
3
4
x 1 ,
3
则 f x , g x x 3 x 1 虽然根据多项式的标准分解式写出
f x , g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
2 f x x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2
2 2 f x x 1 x 在R x 上 2 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x ,, pl x 为 P x 的首一不可约多项式，
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x)qs (x)，
为方便起见不防设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
证： 若 p x f x , 则结论成立； 若 p x
f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x , f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
p x g x.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x f s x . 则 p x 必整除某个 fi x ,1 i s. 二、因式分解 问题： f x P x, f 0, f x 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1：P x 中任一个n n 0 次多项式 f x 都可以分解成 P x 中不可约多项式的乘积。
§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式
二、因式分解及唯一性定理
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于P x 中任一个多项式 f x , c P及cf x 总是 f x 的因式。 这样的因式称为平凡因式。