如何求异面直线的距离

如何求异面直线的距离

求异面直线距离方法：

（1）（直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键。

（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b距离，先作出过a且平行于b的平面α, 则b与α距离就是a,b距离。（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。

（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。

（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。

两条异面直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它解法，要适度接触，以开阔思路。

典型题目分析

正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。

解法1：（直接法）取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点，

易证：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，

∴MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。（如图1所示）

小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。

解法2：（转化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于AC与平面A1C1B的距离，

在RtΔOBO1中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，如图2，

∵OB=a, OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。

小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。

解法3：（转化法）

∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C1B的距离，（如图3所示），

∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距离为B1D=a。

小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。

解法4：（构造函数法）任取点Q∈BC1，作QR⊥BC于R点，作RK⊥AC于K点，如图4所示，

设RC=x，则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,

故QK的最小值，即AC与BC1的距离等于a。

小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来

得到二异面直线之间的距离。

解法5：（体积桥法）当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距

离为h，则

∵h·(a)2=·a·a2,∴h=a，即AC与BC1的距离为a。

小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公

式求之。

立体几何中几类问题

在平面几何中，我们研究了平面图形及其性质，对于空间图形的问题，基本上无所接触。立体几何是研究空间图形及其性质的学科。

由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学试验中有广泛的应用。

立体几何是在学习平面图形知识的基础上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一个飞跃，同学要从平面跳入空间，困难很多，怎样完成这个飞跃呢？要注意两点：

（1）充分发挥教具或用具的作用，逐步培养和训练同学们的空间想象能力，建立立体感。

（2）善于运用“转化”的思维方法——空间图形转化为平面图形，平面图形转化为空间图形，不规则的空间图形转化为规则的空间图形，并注意掌握具体的转化方法。

一、平面问题

1．正确理解公理及推论中的意义

公理及推论中的“有且只有一个”应理解为：“有”说明图形是存在的，“只有一个”说明图形是“唯一的”，“有且只有”和“确定”是同义词。

2．用平面图形表示平面：平面常用平行四边形表示，也可用三角形、梯形及圆等平面图形表示。

3．平面和截面：几何体被平面所截，平面与几何体的接触部分便是截面。防止把不共面的直线当作共面直线来处理，导致推理判断错误。

二、异面直线问题

1、“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指不可能同时在任何一个平面内，因此它们是既不平行也不相交的；

(a)(b)

2．分别在两个平面α、β内的两条直线a、b，不一定是异面直线：如图在(a)中的两直线a、b虽分别在平面α、β内，但它们相交于两相交平面α、β的交线AB上一点P；又如图(b)中的两直线a、b也虽分别在两平面α、β内，但它们均平行于两相交平面α、β的交线AB，像这样的两条直线a、b是共面的。

3．画异面直线时以辅助平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图，否则就会分不清是不是异面直线。

4．异面直线所成的角，是将它转化为两条相交直线所成的锐角（或直角）来确定的。

其办法是把两条异面直线中的一条平移到另一条所在的平面中来，在同一平面中求相交直线

所成的角。这种平移法是求异面直线所成角的常规法。将空间两条异面直线所成的角，转化

成平面上相交直线的夹角，这是课本上第一次实现了空间问题到平面问题的转化，第一次展

示了将空间问题转化为平面问题的一个重要手段——平移。

三、角和距离的问题

1．求角

（1）异面直线所成的角。

①求异面直线所成角的一般方法和步骤；

a.作图：依定义和图形性质作出要计算的角θ；

b.证明：通过平行或垂直关系证明θ是所求的角；

c.计算：解含θ的三角形。

②异面直线上的两点间距离的公式。

EF=（其中α是异面直线所成的角，EF的长是异面直线上两点间的距离，公垂线段AA'的长为d，A'E=m，AF=n）。

③运用三垂线定理及其逆定理或者直线与平面垂直的定义，对于两条异面直线成90°角的情况可通过证明两线垂直，从而求得所成角为90°。

（3）二面角：解题依据：二面角的定义

①找出或作出二面角的平面角。作平面角一般根据图形特点，有以下几种：

a.经过二面角棱上的特殊点，分别在两个面内作垂直于棱的射线得出平面角。

b.已知二面角内一点到二面角的面或棱的距离时，则经过表示距离的两条垂线段作平面与二面角的两面相交，证