Chapter 2-数字信号处理基础

2.2 傅里叶变换的性质……
【例2-2】设有两序列分别为： x(n)=[1,1,1], y(n)=[2,3,4,5] 求它们的线性卷积和5点循环卷积。（箭头所指位置 表示n=0的序列值，箭头右边依次是 n=1,2,3,…,左边 依次是n=-1,-2,-3,…）
解：
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2
证明：
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2.2 傅里叶变换的性质……
【例 2-5】已知 x(n)=[1,2,3,4,5,6],N=6, 不求它的 DFT 结果，来计算如下值： 解：
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2.2 傅里叶变换的性质
DFT的性质表
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2.3 频域分析和谱图表示……
2.1 傅里叶变换及其意义
傅里叶分析方法的建立有过一段漫长的历史，涉及 到很多人的工作和不同物理现象的研究。 主要包括欧拉、伯努利、傅里叶、狄里赫利等学者 的努力完善下，建立了傅里叶分析方法，他们主要是集 中在连续时间信号的分析问题上。 对于离散时间信号的傅立叶分析方法却有着不同的 发展过程，用于处理离散数据以产生数值近似的有关内 插、积分和微分等方面的公式早在17世纪的牛顿时代就 被研究过，从事时间序列的研究曾吸引了18、19世纪包 括高斯在内的许多著名科学家，从而为离散傅立叶变换 提供了数学基础。
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2.1.1 傅里叶变换的意义及各种变换对
如果一个LTI（线性时不变）系统的输入可以表示 为周期复指数的线性组合，则输出也一定能表示成这种 形式，并且输出线性组合中的加权系数与输入中对应的 系数有关。 如下图所示， x(n) 表示输入或者激励， y(n) 表示系 统输出或者响应， H (e jw ) 表示系统单位脉冲响应h(n)的频 率响应。
2 kn N
,(0 k N 1)
2 j nk 1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )e N ,(0 n N 1) N k 0
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2.1.2 离散傅里叶变换……
4 【例2-1】试计算常用信号 RN (n) 和 cos( n) RN (n) 的N N
成谐波关系的复指数信号的响应
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2.1.1 傅里叶变换的意义及各种变换对
各种信号的傅里叶级数和傅里叶变换对
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2.1.2 离散傅里叶变换……
jw X ( e ) 离散时间傅立叶变换（DTFT）为： n


x(n)e jwn
时域是离散、非周期的，但频域是连续、周期的。对连
序列的循环移位相当于频域的相移，根据对偶特性， 则频域的循环移位对应时域的调制：
W x(n) IDFT[ X ((k m)) N RN (k )]
mn N
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2.2 傅里叶变换的性质
4、循环卷积 时域卷积和频域的关系如下：
F (k ) X (k )Y (k )
则有： f (n) x(m) y((n m)) N RN (n) m0 证明： 1 N 1

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2.1.2 离散傅里叶变换……
2 N 1 j kn 4 e N X 2 (k ) cos( n)e ( N n 0 n 0 N 1 j 4 n N
e 2
j
4 n N
)e
j
2 kn N
( k 2) n ( k 2) n 1 N 1 j 2N 1 N 1 j 2N e e 2 n 0 2 n 0
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1、线性
DFT[ax(n) by(n)] aX (k ) bY (k ),(0 k N 1)
2、时间翻转特性
DFT[ x( N n)] X ( N k ),(0 k N 1)
N 1 n 0 N N
3、序列的循环移位
f (n) x((n m)) N RN (n)
先将x(n)以N为周期进行周期性延拓，得到 x(n) ，然后
~
再进行移位，得到 x(n m) x((n m)) N ，最后取主值序
列，得到的f(n)仍然是一个N点长的序列。循环移位的
nk F (k ) DFT [ f (n)] x((n m)) N WN RN (n) DFT： n 0 N 1
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2.2 傅里叶变换的性质……
5、共轭对称性 一个信号实际上可以表示为奇对称部分和偶对 称部分之和。 DFT中的复序列 x ( n)和频域X(k)都是在0~N-1的范 围内，因而它的对称是在主值范围内的对称，称为 周期共轭对称 xe ( n ) 和周期共轭反对称 xo ( n ) ，关系如 下： xe (n) xe* ( N n) 1+i=(1-i)*
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2.2 傅里叶变换的性质……
6、帕萨瓦尔（Parseval）定理 帕萨瓦尔（Parseval）定理是序列的能量定理， 若X(k)=DFT( x ( n)),则有：

1 N 1 2 | x ( n ) | | X ( k ) | N n 0 n 0

N 1
续变量w均匀采样，也就是对单位圆进行N等分，取一个周期
的结果即得： X (e jw ) |
2 w k N
x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
(0 k N 1)
离散傅立叶变换（DFT）变换对：
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)e
n 0
N 1
j
N [ (k 2) (k ( N 2))], 0 k N 1 2
2.1.2 离散傅里叶变换……
为了表示方便，一般用符号 WN 来表示正交序列集中 的基 e
j 2 N
，即 WN e
j
2 N
,因此离散傅里叶变换对也
可表示如下：
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN kn ,(0 k N 1)
注意：时域循环卷积对应于 DFT的相乘，序列线性卷 积对应于DTFT的相乘：
DFT [ x(n) y(n)] DFT [ f (n)] X (k )Y (k ) jw jw DTFT [ x(n)* y(n)] DTFT [e(n)] X (e )Y (e )
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幅度谱 N点长序列x(n)的DFT结果为X(k)，它是离散的复 序列，表示如下： 代入傅里叶反变换公式为：


wenku.baidu.com

xo (n) xo* ( N n)
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1+i=-(-1+i)*
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2.2 傅里叶变换的性质……
【例 2-4】已知 X(k)=DFT[x(n)], 若 x(n) 是实序列，并 且x(n)=x(N-n),试证明X(k)也是实偶对称的。
证明：由于 x(n) 偶对称，则 xo(n)=0, 因此 Im[X(k)]=0 ， 即X(k)为实序列。由于x(n)是实序列，则Im[x(n)]=0, 因而Xo(k)=0,即X(k)为偶对称。
~
RN (k ) x(n m)W
n 0
N 1 ~
nk N
RN (k ) DFT [ x(n m)]
~
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RN (k )W
mk N
mk X (k ) WN X (k )
~
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因此，序列循环移位后的DFT为：
mk F (k ) WN X (k )
第二章 数字信号处理基础
2.1 傅里叶变换及其意义
2.2 傅里叶变换的性质
2.3 频域分析和谱图表示 2.4 频域分辨率
2.5 数字滤波器的设计和实现
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2.1 傅里叶变换及其意义……
2.1.1 傅里叶变换的意义及各种变换对 2.1.2 离散傅里叶变换
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2.2 傅里叶变换的性质……
为了理解线性卷积与循环卷积的关系，对线性卷 积结果e(n)以5为周期进行延拓，则有
结果和 5点循环卷积 f(n)相同，比较这两个卷积结果， 发现只有两点（n＝0，n＝5）发生了重叠，其它点结 果都相同。
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2.2 傅里叶变换的性质……
同理：
1 1 e X 2 (k ) N (k 2) 2 2 n 0
N 1 j 2 ( k 2 N ) n N
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N 4 [ (k 2) (k ( N 2))], 0 k N 1 sin( n ) RN (n) ? 2j 8/62 N
【例2-3】利用快速傅里叶算法来求两个序列的循环 卷积。 解：设 x(n) 序列长为 M ， y(n) 序列长为 N ，求它们的 L 点循环卷积可以从频域入手。它们对应的 L 点 DFT 分别为X(k)=FFT(x(n),L),Y(k)=FFT(y(n),L),因此可以 得到循环卷积为IFFT(X(k)Y(k))。
f (n) IDFT [ X (k )Y (k )] N
nk X ( k ) Y ( k ) W N k 0 N 1 1 N 1 N 1 1 N 1 mk nk ( nm) k ( x(m)WN )Y (k )WN x(m) Y (k )WN N k 0 m 0 N k 0 m 0
点DFT。 RN (n)是一个矩形窗函数，滤波器中经常会用到。 解： n a (1 q ) 1, 0 n N 1 1 Sn RN (n) 1 q 0, 其他
X 1 (k ) RN (n)e
n0 N 1 j 2 kn N
N , k 0 2 j 1 e N kN 0, k 1, 2,..., N 1 2 j k N 1 e N (k ), 0 k N 1
循环卷积 计算：
x(0) n\x(m) 0 1 2 3 4 1 2/y(0) 3/y(1) 4/y(2) 5/y(3) 0/y(4) x(1) 1 2/y(0) 3/y(1) 4/y(2) 5/y(3) x(2) 1
可以用如下表格法进行
x(3) 0 x(4) 0 f(n) 7 5 9 12 9
0/y(-1+5) 5/y(-2+5) 4/y(-3+5) 3/y(-4+5) 0/y(-1+5) 5/y(-2+5) 4/y(-3+5) 2/y(0) 3/y(1) 4/y(2) 0/y(-1+5) 5/y(-2+5) 2/y(0) 3/y(1) 0/y(-1+5) 2/y(0)
n 0 N 1
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN kn ,(0 n N 1) N k 0
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2.1.2 离散傅里叶变换
WN 有如下性质：
n ( n rN ) 周期性： WN WN
共轭对称性： WN n (WN n )* 可约性：WN rn WN / r n 或者 WrN rn WN n

N 1
x(m) y ((n m)) N RN (n)
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m0
N 1
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2.2 傅里叶变换的性质……
根据对偶特性，频域循环卷积也对应时序相乘：
1 N 1 DFT [ x(n) y(n)] X (l )Y ((k l )) N RN (k ) N l 0
DFT[ x( N n)] x( N n)WN x(m)WN k ( N m ) 证明：
kn m 1
x(m)WN
m 1
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k ( N m )( mk ) N
x(m)WN m ( N k )
m 1
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N
2.2 傅里叶变换的性质……