双曲线知识点归纳与例题分析

标准方程（焦点在x 轴）

标准方程（焦点在y 轴）

2 2 X y F —討=1(a >0,b 〉0)

2 2

y X

—2 ——

=1(a >0,b >0) a b

第一定义：平面内与两个定点F i , F 2的距离的差的绝对值是常数（小于 F I F 2 ） 的

点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

{M |MFi i _MF2|=2a }（2a V |F I F2| ）

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线丨的距离的比是常数e,当e>1时, 动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线, 常数e （e"）叫做双曲线的离心率。

|y | >a ， X 亡 R

焦点在实轴上，c= J a 2 +b 2

；焦距：|F I F 2

基本知识点

双曲线

对称轴 X 轴，y 轴；实轴长为2a,虚轴长为2b

对称中

焦占坐

八、、八 \、一L — 原点0(0,0)

F i (—G0)

F 2(C ,0) F i (0, -c)

F 2(0,C ) 顶点坐

(-a,0) ( a,0) (0, -a,) (0 ，a)

双曲线

；

x

定义

范围

=2C

p

y

x

y

P

F I

2~ a

x =±— _ c

2

准线垂直于实轴且在两顶点的

内侧；两准线间的距离：

竺

c

2 2

双曲线刍—与=1与直线y = kx +b 的位置关系:

a 2

b 2

r 2

2

利用(a 2

"b 2

转化为一元二次方程用判别式确定。

I

[y = kx + b

相交弦 AB 的弦长 |AB | = a +k 2 J (x i +X 2)2 -4X I X 2

离心率

e = c

(e>1)

a 顶点到 准线的 顶点A i ( A )到准线l i ( I 2 )的距离为a —丄

c

距离 2

顶点A i ( A 2)至U 准线12 ( l i )的距离为电+a

c

焦点到 焦点F i ( F 2)到准线l i ( I 2)的距离为c —丄

c

准线的 距离 2

焦点F i ( F 2)至U 准线I 2 ( I 1)的距离为皂+c

c

渐近线 方程 y =±b

x

a

共渐近 线的双 曲线系 方程

通径: AB|=|y2-yi|

准线方

直线和 双曲线 的位置

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

补充知识点:

等轴双曲线的主要性质有：

(1) 半实轴长=半虚轴长(一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b 这两 个字母)厂

(2) (3) (4)

(2)

的距离的比例中项;

(3) 等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条 渐近线之

间的线段，必被P 所平分； (4) 等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a^2;

(5) 等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2,其中C M 0。 所以反比例函数y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。

例题分析：

例1、动点

P 与点Fi(0,5)与点F2(0,-5)满足|PFi |—I PF2I =6，则点P 的轨迹方程为(

)

同步练习一：如果双曲线的渐近线方程为y = ±3x ，则离心率为(

)

4

同步练习二：双曲线-^2 =1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 _______________ .

a b

2

2

例3、设P 是双曲线X y-^=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3X-2y=0，F 1, F 2分别是双曲

a 9

线的左、右焦点，若|PFi |=3,则PF2I 的值为 同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为(0,-2),(0 2)，且经过点(2屈)，则双曲线的标准方程

其标准方程为xA2-yA2=C ，其中C M 0; 离心率e=V 2;

渐近线：两条渐近线y=± x 互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点 2

2

A.乞丄=1

9

16

2 2

C. —x +y =1(y > 3)

16 9 2 2

B.丄十￡=1

16

9

2 2

D.-鳥

=1(y < ￡)

16 9

A. 5

3

c. 5或4

例2、已知双曲线 B. 5

4

2 2

—+— =1的离心率为e €2，则k 的范围为(

)

4 k

D. 73

A. —12ckc1

B. k c O

C. -5 c k <0

D. —12ck<0

例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是

同步练习四：已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F i , F 2分别为（75,0）和（$,0），点P 在双曲线上 且PF i 丄PF 2,且△ PF 1F 2的面积为1,贝U 双曲线的方程为（

. x y

A ?———=1 2

3

同步练习五：以y =±薦X 为渐近线，一个焦点是F （0, 2）的双曲线方程为（ ）

例6下列方程中，以x ±2y=0为渐近线的双曲线方程是

同步练习六：双曲线8kx 2

-ky 2

=8的一个焦点是（0 , 3），那么k 的值是

例7、经过双曲线 3 的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ,

(1 )求 |AB|.

（2） F 1是双曲线的左焦点，求△ F 1AB 的周长.

同步练习七过点（0, 3）的直线I 与双曲线4 3 只有一个公共点，求直线I 的方程。

(A) —-y 2

=1 和 L-乞=1

3

(B) —-y 2=1 和 y 2

-Z=1

3

3

2 2

(C)y 2

-X =1 和 x 2

丄=1

3

(D)

2 2 2

x 2 d 工口 X y -y

=1和——-— 3 9 3

=1 B. 2 2

x

■丄=1

3 2

C ?—-y 2 =1

4

D.

2 2 y ,

x -— =1

例5、与双曲线 9計有共同的渐近线，且经过点心,2

冋的双曲线的一个焦点到一条渐 近线的距离是（

(A ) 8

(B ) 4

(C ) 2 (D ) 1

(A)L —L=1

(B)j-(d-y 2

=1 (D)x -

2 y

=1

16 4 4 16

高考真题分析

1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在X 轴上，C 与抛物线y 2

=16x 的 准线

交于A,B 两点，AB =4^3 ;则C 的实轴长为（）

(A) Q (B) 2^2(0 4(D ) S

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题

【解析】由题设知抛物线的准线为：X = 4，设等轴双曲线方程为：X 2

- y 2

= a 2

，将x = 4代入 等轴双曲线方程解得 y =±J 16 -a 2

，V | AB | =4^/3，二 2丿16 - a 2

=4^3，解得 a =2，

??? C 的实轴长为4,故选C.

2 2

2.【2012高考山东文11】已知双曲线C 1 :务—笃=1（aA0,bA0）的离心率为2.若抛物线 a b

G ：X 2

=2 py （p:>0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为

2,则抛物线C 2的方程为

(A) X 2

=833

y

(B) X 2

=呼丫 (C)

X 2

=8y (D)

x 2

=16y

【答案】D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知，此题应注意C2的焦点在y

轴上，即（0，p/2）到直线y = J 3x 的距离为2,可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

3. 【2012高考全国文10】已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2

=2的左、右焦点，点P 在C 上, | PF 1 1 = 2 I PF 2

I ，则 cosNRPF 2 =

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用， 以及余弦定理的运用。首先 运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

（A ）

4

（

B ）

5

(C )3

4

(D)-

5

A. 4 B . 3 C . 2 D . 1

答案:

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为

3

y = ±- X ，故可知 a = 2 0

X 2- y 2 =1，点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点, 若 P F 1 丄 P F 2,则 I P F 1 I + I P F 2 I 的值为 _________________ . 5.【2012高考辽宁文15】已知双曲线

【答案】2忑

【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。 【解析】由双曲线的方程可知a=1,c = 72,「. PF i - PF 2 =2a=2,

2

二 PF i -2 PF i PF 2 + PF 2 =4

寫 PR 丄 PF 2

^ Ph + PF 2

2

二(PF 1 + PF 2)=8+4 =12, PF 1

2

=(2C )2 =8门2『片|『F 』

=4,

【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。

2 2

6.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线- 2 =1的离心率为V 5 ,

m m +4

则m 的值为. 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】解：由题意可知，a = c = 2，设|P F 1|=2x,| P F 2|=X ，则 |P FJ-| PF 2 |=x = 2a = 2^2 , 故

|P 片|=4血,|PF 2| = 272，F 1F 2

=4，利用余弦定理可得 cos N F 1PF 2=P F

12

+

PF

22

-F

1F 2

2

=(")2

+(2Q 2

-42

2 2

4. （2011年高考

湖南卷文科6）设双曲线 笃-乂 =1（a >0）的渐近线方程为3x±2y =0,则a 的值为 a 9

2x 272x 472

2PF i FF 2