棱锥体积公式的推导

四棱台体积计算公式

四棱台体积公式： ①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥） [上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2 ②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥） (上面面积+下面面积)x高÷2 第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。 注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。 拟棱台： 对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。 若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H 正四棱台体积V=底面积S×高H 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b)

圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式

刘老师 圆柱的侧面积=底面圆周长×高 字母表示：S 侧=C 底h 2． 底面圆周长=圆周率×直径=圆周率×2×半径 字母表示：C 底=πd=2πr 3． 求圆柱的表面积三步： （1）圆柱的底面积=S 底=πr2=π（d÷2）2=πd2÷4 （2）圆柱侧面积=S 侧=h×C 底（底面圆周长）=2πrh=πdh （3）圆柱表面积=S 表=S 侧+2S 底 圆柱体积的公式 圆柱的体积=底面积×高 字母表示：V 柱=S 底h 圆锥体积的公式 （1） 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的1/3 V 锥=V 柱÷3=S 底h÷3 （2） 已知圆锥底面积（S ）和高（h ），求体积的公式：V 锥=S 底h÷3 （3） 已知圆锥体积（V ）和高（h ），求底面积的公式：S 底=3V 锥÷h （4） 已知圆锥体积（V ）和底面积（S ），求高的公式：h=3V 锥÷S 底 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14) 1110.51 1.5 例题精讲 圆柱与圆锥

【例 2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14 =) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？

圆锥体积计算公式的推导

圆锥体积计算公式的推导 歙县王村中心学校程金丽 教学内容：教科书第42~~43页的例1、例2，完成“做一做”和练习九的第3—5题。 教学目的：使学生初步掌握圆锥体积的计算公式，并能运用公式正确地计算圆锥的体积，发展学生的空间观念。 教具准备：等底等高的圆柱和圆锥各一个，比圆柱体积多的沙土(最好让学生也准备)． 教学过程： 一、复习 1、圆锥有什么特征? 使学生进一步熟悉圆锥的特征：底面，侧面，高和顶点。 2、圆柱体积的计算公式是什么? 指名学生回答，并板书公式：“圆柱的体积＝底面积×高”。 二、导人新课 我们已经学过圆柱体积的计算公式，那么圆锥的体积又该如何计算呢?今天我们就来学习圆锥体积的计算。 板书课题：圆锥的体积 三、新课 1、教学圆锥体积的计算公式。 教师：请大家回亿一下，我们是怎样得到圆柱体积的计算公式的? 指名学生叙述圆柱体积计算公式的推导过程，使学生明确求圆柱的体积是通过切拼成长方体来求得的。 教师：那么圆锥的体积该怎样求呢?能不能也通过已学过的图形来求呢? 先让学生讨论一下用什么方法求，然后指出：我们可以通过实验的方法，得到计算圆锥体积的公式。 教师拿出等底等高的圆柱和圆锥各一个，“大家看，这个圆锥和圆柱有什么共同的地方?” 然后通过演示后，指出：“这个圆锥和圆柱是等底等高的，下面我们通过实验，看看它们之间的体积有什么关系?” 接着，教师边演示边叙述：现在圆锥和圆柱里都是空的。我先在圆锥里装满沙土，然后倒入圆柱。请大家注意观察，

看看能够倒几次正好把圆柱装满? 问：把圆柱装满一共倒了几次? 学生：3次。 教师：这说明了什么? 学生：这说明圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的。 板书：圆锥的体积＝1/3 ×圆柱体积 教师：圆柱的体积等于什么? 学生：等于“底面积×高”。 教师：那么，圆锥的体积可以怎样表示呢? 引导学生想到可以用“底面积×高”来替换“圆柱的体积”，于是可以得到圆锥体积的计算公式。 板书：圆锥的体积＝1/3 ×底面积×高 教师：用字母应该怎样表示? 然后板书字母公式：V＝1/3 SH 2、教学例1。 一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少? 教师：这道题已知什么?求什么? 指名学生回答后，再问：已知圆锥的底面积和高应该怎样计算? 引导学生对照圆锥体积的计算公式代入数据，然后让学生自己进行计算，做完后集体订正。 3、做第50页“做一做”的第1题。 让学生独立做在练习本上，教师行间巡视。 做完后集体订正。 4、教学例2。 在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。每立方米小麦约重735千克，这堆小麦大约有多少千克?(得数保留整千克) 教师：这道题已知什么?求什么? 学生：已知近似于圆锥形的麦堆的底面直径和高，以及每立方米小麦的重量；求这堆小麦的重量。

各种构件体积的计算公式资料

(一)基础 1.带形基础 (1)外墙基础体积=外墙基础中心线长度×基础断面面积 (2)内墙基础体积=内墙基础底净长度×基础断面面积+T形接头搭接体积 其中T形接头搭接部分如图示。 V=V1+V2=（L搭×b×H）+ L搭〔bh1/2+2(B-b/2×h1/2×1/3)〕=L搭〔b× H+h1(2b+B)/6〕 式中：V——内外墙T形接头搭接部分的体积； V1——长方形体积，如T形接头搭接示意图上部所示，无梁式时V1=0； V2——由两个三棱锥加半个长方形体积，如T形接头搭接示意图下部所示，无梁式时V= V2 ； H——长方体厚度，无梁式时H=0； 2.独立基础（砼独立基础与柱在基础上表面分界） (1)矩形基础： V=长×宽×高 (2)阶梯形基础： V=∑各阶(长×宽×高) (3)截头方锥形基础： V=V1+V2=H1/6×［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］+A×B×h2 截头方锥形基础图示 式中：V1——基础上部棱台部分的体积（ m3 ） V2——基础下部矩形部分的体积（ m3 ） A，B——棱台下底两边或V2矩形部分的两边边长（m） a,b——棱台上底两边边长（m） h1——棱台部分的高（m） h2——基座底部矩形部分的高（m） （4）杯形基础 基础杯颈部分体积（ m3 ） V3=abh3 式中：h3——杯颈高度 V3_——杯口槽体积（ m3 ） V4= h4/6+［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］ 式中：h4—杯口槽深度（m）。 杯形基础体积如图7—6所示： V=V1+V2+V3－V4 式中：V1，V2，V3，V4为以上计算公式所得。 3. 满堂基础（筏形基础） 有梁式满堂基础体积=（基础板面积×板厚）+（梁截面面积×梁长） 无梁式满堂基础体积=底板长×底板宽×板厚 4. 箱形基础 箱形基础体积=顶板体积+底板体积+墙体体积 5.砼基础垫层 基础垫层工程量=垫层长度×垫层宽度×垫层厚度 （二）柱

圆锥的体积圆锥的体积【圆锥体积计算公式】百度作业帮

圆锥的体积-圆锥的体积【圆锥体积计算公式】百度作业帮 圆锥的体积圆锥的体积 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积=

×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2

＝ab/2·sinC ＝1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4

扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形

棱台体体积公式推导

正棱台体公式推导（1）将正四棱台切割成九部分（如下图） C A G H B F E D I （鸟瞰图）（立体切面图） E在棱台体中间位置，是一个方形体； B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置； A、C、G、I 是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。 （2）用字母表示图形部位 顶面棱长为，底面棱长为a,棱台体高为h。 （3）体积的计算 (1)一个方形体E，其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为h b2； （图V1） (2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为 2 b a- 、高为h的方形体。 （四棱锥）（三个四棱锥拼合图形）（多出一个四棱锥） 方形体的体积为（ 2 b a- ）2h。其中一个四棱锥的体积就是 3 1 （ 2 b a- ）2 h。四个四棱锥的体积和则 为 3 4 （ 2 b a- ）2 h。 化简可得： 3 1 （b a-）2 h (3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、 2 ) (b a- 、h的长方体，体积和为 b(a-b)h。

（三棱柱） （拼合图形） （4）四棱台的体积 四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和 V=h b 2+3 1（b a -）2h+ b (a-b )h 解：V= [b 2 +31（b a -）2+ b (a-b )] h 截面积组成： 方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 字母表示 b 2 四个三棱柱截面积和： 字母表示b(a-b) 一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和： 字母表示3 1（b a -）2 一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 h b ab a V )(3122++=

六年级圆柱和圆锥的计算公式

一、圆柱：1、怎样求圆柱的侧面积 ①知道圆柱的底面周长和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=底面周长×高。（公式：S侧=C h） 例：圆柱的底面周长是31.4米，高是2米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=C×h 31.4×2=62.8（平方米） ②知道圆柱的底面直径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=π×底面直径×高。(公式：S侧=πd h) 例：一个圆柱的底面直径是4米，高是10米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=π×d×h 3.14×4×10=125.6（平方米） ③知道圆柱的底面半径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=2π×底面半径×高。(公式：S侧=2πd h) 例：一个圆柱的底面半径是5米，高是10米，侧面积是多少？用公式：S侧=2π×d×h2×3.14×5×10=314（平方米）2、怎样求圆柱的底面积：（因为圆柱的底面是一个圆。求圆柱 的底面积必须知道圆柱底面圆的半径。） 所以圆柱的底面积公式是: S底面积=πr2 例：一个圆柱的底面半径是3米，高是8米，底面积是多少？ 用公式：S底面积=πr2 3.14×32=28.26（平方米） 3、怎样求圆柱的表面积：因为圆柱体包括一个侧面积和两个

底面积。 (有时让求一个，如求水桶的表面积，这时应计算一个底面积) 计算方法：用上面的圆柱的侧面积和圆柱的底面积相加即可。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2 公式：S 表面积=S 侧面积+S 底面积×2（有时候不用乘2, 如求水桶的表面积） 4、怎样求圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 公式：V 圆柱=S 底面积×h （公式：V 圆柱 =πr 2×h ） 例：圆柱的底面半径是5米，高是4米，圆柱的体积是多少？ 用公式：V 圆柱=πr 2×h 3.14×55×4=314（立方米） 二、怎样求圆锥的体积 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。 圆锥的体积= 底面积×高 公式：V 圆锥= S 底面积×h 公式：V 圆锥= πr 2×h 注：因为圆锥的底面是一个圆，所以圆锥的底面积（S 底面积） 计算公式是：S 底面积=πr 2 例题： 一个圆锥形的煤堆，底面半径是 1.5 米，高是 1.2 米。这堆 煤有多少立方米？ 用公式：V 圆锥 = πr 2×h ×3.14×1.52×1.2=2.826(m 3 ) 知道圆锥的体积和底面积，求圆锥的高。 圆锥÷S 底面积 知道圆锥的体积和高，求圆锥的底面积。圆锥÷h 31313 13131

六年级数学圆锥的体积计算公式

圆锥的体积计算公式 白泉一小郝永辉 一、教学目标： 知道圆锥体积的推导过程，理想解并掌握体积公式，能运用公式求圆锥的体积，并会解决简单的实际问题，对学生进行辨证唯物主义启蒙教育。 二、教学重点： 圆锥体积的公式 三、教学难点： 圆锥体积公式的推导 四、教具准备： 沙、圆锥教具、圆柱教具若干个，其中有等底、等到高圆柱，圆锥多个 五、教学过程： （一）复习 1、口答圆锥体积计算公式。 2、计算下面各圆柱的体积。 (1)底面积是6。28平方分米，高是5公米。 (2)底下面半径是3公米，高与半径相等。 3、小结 （二）新授 1、点明课题，圆锥体积的计算

2、体积公式的推导 （1）要研究圆锥的体积，你想提出什么问题？ ·圆锥的体积与什么有关？有怎样的关系？ ·为什么时候有这样的关系？ （2）出示教具让学生观察圆锥体积与底面积、高的关系？ （3）圆锥的体积需转化成已学过的物体的体积来计算。转化成哪一种形体最合适？ （4）实验 ·出示等底、等高的圆柱和圆锥容器教具观察特征：等底等高 ·教师示范用空间圆柱里倒，让学生观察看看倒几次倒满圆柱。·得出结论：圆锥体积等于这个圆柱体积的1/3。 ·教师再次实验。 ·学生动手实验：先做等底等高的实验，再做不等底不等高的实验，然后提问，圆锥体积都是圆柱体积的1/3吗？为什么？ 3、学生讨论实验情况，汇报实验结果。 4、推导出公式 指名口答，师板书：圆锥体积等于等底等高圆柱体积的1/3 圆锥体积=底面积×高×1/3 V=1/3Sh S表示什么？ H表示什么？ SH表示什么？ 1/3SH表示什么？ 5、练习（口答） 6、运用公式

（1）出示例1、一个圆锥形零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少？ 学生尝试练习，教师讲评。 （2）出示例2、在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆，测得底面直径是4米，。高是12米。每立言米小麦约重735千克，这堆小麦大约重多少克？（得数保留整千克） 学生读题思考后尝试练习。 三、巩固练习 课本第43页“做一做”第1、2题。 四、小结 今天这节课，你学到了什么知识？要求圆锥的体积需要知道哪些条件？ 板书设计： 圆锥的体积计算 V=1/3Sh 例1、1/3×19×12=76（立方厘米） 答：这个零件的体积是76立方厘米。 例2、（！）麦堆底面积：(略) （2）麦堆体积：（略） （3）小麦重量：（略）

各形状物体体积计算公式

一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形 名称符号面积S和体积V

正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3 长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh 棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3 棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3 正棱台 拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h＝πr2h 空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高 V＝πh(R2-r2) 直圆锥 r－底半径 h－高 V＝πr2h/3 圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球 r－半径 d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3

a2＝h(2r-h) 球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6 圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4 桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物

、、 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2

圆柱圆锥常用的表面积体积公式

圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14 ) 1110.51 1.5 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 例题精讲 圆柱与圆锥

【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14 =) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？

【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2 2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2 cm．(π取3.14) 第2题 【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3 =) 【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件 的表面积和体积． 【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？

棱台体体积计算公式及拟柱体的计算

棱台体体积计算公式： V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积拟柱体的计算实例: 1．按下图计算基坑的挖方量 解：由拟柱体公式得： 上口面积 上口面积 坑底面积 中间截面积 代入上列基坑挖方量计算公式得： 或用公式

2．某建筑外墙采用毛石基础，其断面尺寸如下图所示，地基为粘土，已知 土的可松性系数，。试计算每100m长基槽的挖方量；若留下回填土后，余土要求全部运走，计算预留填土量及弃土量。 解：基槽开挖截面积按梯形计算，即： 每100m长基槽的挖方量： 基础所占的体积： 预留填方量(按原土计算)： 弃土量(按松散体积计算)： 3．上节例题的基础上算出该场地平整的总挖方量和填方量 解：土方量计算(-为挖方，+为填方)： 方格(9)与方格(6)全是挖方，其挖方量为： 方格(9) 方格(6)

方格(1)与方格(4)全是填方，其填方量为： 方格(1) 方格(4) 方格(2)、(3)、(5)、(7)、(8)均为部分挖方部分填方，用近似公式计算，其挖填方量分别为： 方格(2) 方格(3) 方格(5) 方格(7) 方格(8)

总挖方量： 总填方量： 两者相比较，填方比挖方多4m3，基本平衡。 4．某建筑场地地形图和方格网(边长a=20.0m)布置如图所示。土壤为二类 土，场地地面泄水坡度，。试确定场地设计标高(不考虑土的可松性影响，余土加宽边坡)，计算各方格挖、填土方工程量。 解：1) 计算场地设计标高

2) 根据泄水坡度计算各方格角点的设计标高 以场地中心点(几何中心o)为，由式得各角点设计标高为： 其余各角点设计标高均可求出，详见图2.12。 3) 计算各角点的施工高度 得各角点的施工高度(以“+”为填方，“-”为挖方)： 各角点施工高度见图2.12。 4) 确定“零线”，即挖、填方的分界线 确定零点的位置，将相邻边线上的零点相连，即为“零线” 。如1-5线上： ，即零点距角点1的距离为0.67m。 5) 计算各方格土方工程量(以“+”为填方，“-”为挖方) ①全填或全挖方格： (+) (+) (+) (-) ②三填一挖或三挖一填方格，由式(2.13)： (+) (-) (-) (+) (+) (-) 将计算出的各方格土方工程量按挖、填方分别相加，得场地土方工程量总计： 挖方：503.92m3

圆柱和圆锥的公式

圆柱和圆锥的公式和应用一：圆柱和圆锥 圆的周长=圆柱和圆锥底面的周长 圆的周长=2×圆周率×半径 半径=圆的周长÷圆周率÷2 c=2∏r r=c÷∏÷2 圆的周长=圆周率×直径 直径=圆的周长÷圆周率 c=∏d d= c÷∏ 圆的面积=圆柱和圆锥地面的面积 圆的面积=圆周率×半径的平方 s底=∏×r×r 二：圆柱侧面积

圆柱侧面积=底面周长×圆柱的高 S侧=c×h 因为：c=2∏r c=∏d 所以圆柱侧面积还可以写出： s侧=2∏r h 或s侧=∏d h 知道圆柱侧面积和圆柱的高，怎么求底面周长、底面直径和底面半径？ 底面周长=圆柱侧面积÷圆柱的高 C=s侧÷h 底面直径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率 d=s侧÷h÷∏ 底面半径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率÷2 r=s侧÷h÷∏÷2 三：圆柱的表面积： 表面积：圆柱的表面积=底面周长×高+底面面积×2 S表=c×h+ ∏×r×r×2 典型情况：做一个油桶需要多少平方米的铁皮。

（需要计算一个侧面积+二个底面面积） 特殊情况：一、（1）做无盖的水桶需要多少平方米的铁皮。 （2）圆柱形的游泳池或水池在四周和底部抹水泥或贴瓷砖。 （只要计算一个侧面积+一个底面积） 二、(1) 做通风管、落水管、烟囱需要多少铁皮。 （2）压路机前轮压过的路面面积。 （只要计算一个侧面积） 四：圆柱的体积 圆柱的体积=底面面积×高 V柱=s底×h 圆柱底面面积=圆柱体积÷圆柱的高 S底=v÷h 圆柱的高=圆柱的体积÷圆柱底面面积 H= v÷S底 五：圆锥的体积 圆锥的体积=圆锥底面积×高÷3 V锥=s底×h÷3 圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷圆锥的高 S底=v×3÷h 圆锥的高=圆锥的体积×3÷圆锥的底面积

各种图形体积计算公式_

土建工程工程量计算规则公 式汇总 平整场地: 建筑物场地厚度在± 30cm以内的挖、填、 运、找平. 1、平整场地计算规则 （1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 （2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法 （1）清单规则的平整场地面积：清单规则的平整场地面积＝首层建筑面积 （2）定额规则的平整场地面积：定额规则的平整场地面积＝首层建筑面积 3、注意事项 （1）、有的地区定额规则的平整场地面积：按外墙外皮线外放2 米计算。计算时按外墙外边线外放2 米的图形分块计算，然后与底层建筑面积合并计算；或者按“外放2 米的中心线× 2=外放2 米面积” 与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点：

①、划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差。 ②、2 米的中心线计算起来较麻烦，不好计算。 ③、外放2 米后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。 （2）、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。 大开挖土方 1、开挖土方计算规则 （1）、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。 （2）、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。 2、开挖土方计算方法 1）、清单规则： ①、计算挖土方底面积：

方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算（按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线 ×外放长度”计算。） 方法二、分块计算垫层外边线的面积（同分块计算建筑面积）。 ②、计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积*挖土深度。 （2）、定额规则： ①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×（S 上+ 4×S中+ S下）计算土方体积（其中，S 上为上底面积，S中为中截面面积，S 下为下底面面积）。如下图 S 下＝底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积（包括工作面、排水沟、放坡等）。 用同样的方法计算S 中和S下 3、挖土方计算的难点 ⑴、计算挖土方上中下底面积时候需要计算“各自边线到外墙外边线图” 部分的中心线，中心线计算起来比较麻烦（同平整场地）。 ⑵、中截面面积不好计算。

圆柱和圆锥的体积推导

圆柱和圆锥体积公式的推导 《圆柱和圆锥的体积》是苏教版六年级下册的内容，是在学生已经学过了圆的面积公式的推导过程和长方体、正方体的体积公式的基础上进行教学的。根据学生已有的知识水平和认知规律，我初步拟定以下目标： 1、使学生能理解圆柱的体积公式，并会运用。 2、渗透转化、等积变形的数学思想。 3、通过圆柱体积公式的推导过程，让学生感受探究的快乐！ 圆柱体积和应用是本节课教学重点。而圆柱体积计算公式的推导过程比较复杂，需要用转化的方法来考虑，我把推导圆柱体积公式的过程定为本节课的难点。为了扫清学生认知上的思维障碍，在实施教学过程中，我采用以下教学方法： 第一直观演示法 第二知识迁移法。 不仅能够清楚地展现知识的形成过程，还能提高学生灵活运用知识的能力。为了有效地突破难点，我设计了以下教学环节：

（一）复习旧知，揭示课题 首先我出示一组立体图形（长方体、正方体、圆柱）。 质疑：你会计算哪些图形的体积？提出“圆柱的体积怎样计算？”从而揭示课题：这节课我们就来探讨圆柱的体积。 （二）、传授新知 设疑揭题：同学们想一想，我们当初是如何推导出圆的面积公式的呢？课件演示推导圆的面积公式的转化过程。我们能把一个圆采用化曲为直、化圆为方的方法推导出了圆面积的计算公式，现在能否采用类似的方法将圆柱切割拼合成一个学过的立体图形来求它的体积呢？把圆柱平均分成若干等份，就可以拼成一个近似的长方体，平均分成的等份越多，拼成的图形越接近长方体。观察转化前后的两种几何形体，你就会发现：拼成的长方体与原来的圆柱体底面积相等，高也相等。最后让学生归纳一下圆柱体积计算公式的整个推导过程。引导学生用字母表示出来。 关于难点的突破，我主要从以下几个方面着手：（1）运用知识迁移的规律，通过课件演示操作，帮助学生找出两种几何形体转化前后的关系。 （2）根据新旧知识的连接点，分散难点，促进新

圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明 ? 证明需要几个步骤来解决： 1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。 所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。 2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。?) 现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3. 证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。 3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。 注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。 祖暅原理的思想 我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。 两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。 这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。 所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言： 等底等高的三棱锥，体积都相等：

圆柱和圆锥体积计算练习题

圆柱和圆锥体积计算练习题 1、把圆柱切开、再拼起来，能得到一个（）。长方体的底面积等于圆柱的（），长方体的高等于圆柱的（），因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝（），用字母表示是（）。 2、⑴已知圆柱的底面半径和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）。 ⑵已知底面直径和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）；最后用公式（）求（）。 ⑶已知底面周长和高，求体积。先用公式（）求（）；再用公式（）求（）；最后用公式（）求（）。 3.已知圆柱的体积和底面积，求高，用公式（）；已知圆柱的体积和高，求底面积，用公式（）。 4．当圆柱和圆锥（）时，圆锥的体积是圆柱体积的1/3 。等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥体积大（）倍，圆锥体积比圆柱体积小（）/（）。 5．圆锥的体积计算公式用字母表示是（）。

已知圆锥的体积和底面积，求高，用公式（）。 6．长方体的表面积＝（），长方体的体积＝（）；正方体的表面积＝（），正方体的体积＝（）。 7．求一个圆柱形水池的占地面积，是求这个水池的（）；求一个圆柱形水池能装多少水，是求这个水池的（）。 8．把一段圆柱形钢材加工成一个最大圆锥，削去的钢材的体积是24立方厘米，这段圆柱形钢材的体积是（）立方厘米，加工成的圆锥的体积是（）立方厘米。 9．将一段棱长是20厘米的正方体木材，加工成一个最大的圆柱，削去的木材的体积是（）立方厘米。 二、解决问题。 1、一个圆柱的底面直径是6厘米，高是10厘米，体积是多少？ 2、一个圆柱的底面周长是25.12分米，高是2分米，体积是多少？ 3、一个圆锥的底面半径是5米，高是6米，体积是多少？ 4、一个圆锥的底面周长是18.84分米，高是12分米，

圆锥的体积计算公式推导

圆锥的体积计算公式推导 执 教： 董宁华 教学内容：第62～65页圆锥的体积计算公式、例1、例2和“做一做”，练习九第1—5题。 教学目标：1．知道圆锥体积计算公式的推导过程，理解并掌握体积公式，能运 用公式求圆锥的体积，并会解决简单的实际问题。 2．培养学生初步的空间观念和发展学生的思维能力。 教学重点：圆锥体积的计算公式。 教学难点：理解和掌握圆锥体积的计算公式。 教具准备：沙、圆锥、圆柱教具，其中圆锥体积等于等底等高圆柱体积的的教具。 教学过程： 一、复习 1、 口答圆柱体积计算公式。 2、 计算下面各圆柱的体积。 （1） 底面积是6.28平方分米，高是5分米。 （2） 底面半径是2分米，高与半径相等。 （3） 底面直径6厘米，高5厘米。 （4） 底面周长6.28分米，高2分米。 3、 小结练习情况。 二、新课 1、 点明课题：圆锥体积的计算 2、 体积公式的推导 要研究圆锥的体积，你想提出什么问题？ 出示教具：实验操作、推导圆锥体积计算公式。 (1)通过演示使学生知道什么叫等底等高。（量一量同学们手中的圆柱和圆锥的底面直径和它们的高） (2)让学生猜想：老师手中的圆锥和圆柱等底等高，你能猜想一下它们体积之间有怎样的关系? (3)实验操作，发现规律。 A 、老师演示在空圆锥里装满黄沙，然后倒入空圆柱里，看看倒几次正好装满。(用有色水演示也可)从倒的次数看，你发现圆锥体积与等底等高的圆柱体积 之间有怎样的关系?（得出圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体体积的13 ） 老师把圆柱里的黄沙倒进圆锥，问：把圆柱内的沙往圆锥内倒三次倒光，你又发现什么规律? B 、学生四人小组做一做实验，看看结果跟老师的一样吗？ C 、让学生汇报实验结果。 (4)想一想：是不是所有的圆柱和圆锥都有这样的关系?教师可出示不等底不等高的圆锥、圆柱，让学生通过观察实验，得出只有等底等高的圆锥才是圆柱 体积的13 。

六年级圆柱和圆锥的计算公式

一、圆柱：1、怎样求圆柱的侧面积姓名： ①知道圆柱的底面周长和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=底面周长×高。（公式：S侧=C h） 例：圆柱的底面周长是31.4米，高是2米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=C×h 31.4×2=62.8（平方米） ②知道圆柱的底面直径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=π×底面直径×高。(公式：S侧=πd h)例：一个圆柱的底面直径是4米，高是10米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=π×d×h 3.14×4×10=125.6（平方米）③知道圆柱的底面半径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=2π×底面半径×高。(公式：S侧=2πr h) 例：一个圆柱的底面半径是5米，高是10米，侧面积是多少？用公式：S侧=2π×r×h 2×3.14×5×10=314（平方米）2、怎样求圆柱的底面积：（因为圆柱的底面是一个圆。求圆柱 的底面积必须知道圆柱底面圆的半径。） 所以圆柱的底面积公式是: S底面积=πr2 例：一个圆柱的底面半径是3米，高是8米，底面积是多少？ 用公式：S底面积=πr2 3.14×32=28.26（平方米） 3、怎样求圆柱的表面积：因为圆柱体包括一个侧面积和两个底面积。(有时让求一个，如求水桶的表面积，这时应计算一个底面积) 计算方法：用上面的圆柱的侧面积和圆柱的底面积相加即可。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2

公式：S 表面积=S 侧面积+S 底面积×2（有时候不用乘2, 如求水桶的表面积） 4、怎样求圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 公式：V 圆柱=S 底面积×h （公式：V 圆柱 =πr 2×h ） 例：圆柱的底面半径是5米，高是4米，圆柱的体积是多少？ 用公式：V 圆柱=πr 2 ×h 3.14×52×4=314（立方米） 二、怎样求圆锥的体积 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。 圆锥的体积= 底面积×高公式：V 圆锥= S 底面积×h 公式：V 圆锥= πr 2×h 注：因为圆锥的底面是一个圆，所以圆锥的底面积（S 底面积） 计算公式是：S 底面积=πr 2 例题： 一个圆锥形的煤堆，底面半径是 1.5 米，高是 1.2 米。 这堆煤有多少立方米？ 用公式：V 圆锥= πr 2×h ×3.14×1.52×1.2=2.826(m 3 ) 知道圆锥的体积和底面积，求圆锥的高。 圆锥÷S 底面积 知道圆锥的体积和高，求圆锥的底面积。圆锥÷h 31313 1313 1

土方开挖计算公式

1、基坑开挖：V=(a+2c+kh)(b+2c+kh)×h+1/3k2h3 式中：a、b———分别为基底的长和宽； k———坡度系数； c———加宽工作面宽度； h———基坑深度。 2、基槽开挖：V=（A+2C+K×H）H×L。 式中：V———基槽土方量； A———槽底宽度； C———工作面宽度； H———基槽深度； L———基槽长度； k———坡度系数。 3、基坑开挖：V=1/6H[A×B+a×b+(A+a)×(B+b)+a×b]。式中：V———基坑体积； A—基坑上口长度； B———基坑上口宽度； a———基坑底面长度； b———基坑底面宽度； H———基坑深度。 仅用于正四棱台V=1/3(S1+S2+√(S1S2))h, 任何立体的体积V=1/6H(A1+4A+A2), 四棱台通用V=h/6[AB+(A+a)*(B+b)+ab], 知道坡度V=（a+2c+kh)(b+2c+kh)h+1/3k2h3,

公式：V=1/3h(S上+√(S下*S上)+S下) S上=140 S下=60 V=1/3*3*（140+60+√140*60）=291.65m2 基坑下底长10m，下底宽6m 基坑上底长14m ，上底宽10m 开挖深度3m ，开挖坡率1：0.5 求基坑开挖土方量、 圆柱体：体积=底面积×高 长方体：体积=长×宽×高 正方体：体积＝棱长×棱长×棱长． 锥体: 底面面积×高÷3 台体: V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 球缺体积公式＝πh2(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR3/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 几何体的表面积计算公式 圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c －三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2?sinα平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S ＝(a+b)h/2＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长 S＝r2/2?(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2?[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径椭圆 D－长轴 S＝πDd/4 d－短轴 平整场地: 建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平. 1、平整场地计算规则 （1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 （2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法