2012年长春市高中毕业生第四次调研测试理科数学答案及评分细则

2012年长春市高中毕业生第四次调研测试数学(理科)参考答案及评分细则1. D *{|911}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A x N x =∈-<<=，{|32}B x x =-≤≤，∴{1,2}A B = . 故选D. 2. B211(1)111(1)22222i i i i i i i ii i+++⨯-====-+---⨯，其共轭复数为1122i --. 故选B.3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B.4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+⋅+⇒=，433312a =+⨯=.故选C.5. D 01234522222263100+++++=< ，012345622222226364127100++++++=+=>.∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>. 即该程序输出的7k =. 故选D.6. A 9921991()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令9233r r -=⇒=，从而3x 的系数为 339(1)84C -=-. 故选A.7. A通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由(2,0)-可知：84x x ππωϕ+=+；由(2,4)-可知：4A =-.从而()4sin()84fx x ππ=-+. 故选A.8. D 244412A p A ==. 故选D.9. D 由于2A B F ∆是以2F 为顶点的等腰三角形，所以2A B F ∆为锐角三角形的充要条件是12RtAF F ∆的锐角221452bAF F c a∠<︒⇔>，即2222,210ac c a e e >---<，解得11e -<<+1e >，所以11e <<+故选D.10. D 在A B C ∆中，根据余弦定理得BC ===.根据正弦定理得1sin cos sin sin sin sin 120AC BC B B BAB=⇒=⇒=⇒=︒从而有22()()BP AP BC BC AB BC BC λλ-⋅=-+⋅2211372(77()24λλλ=-⨯--=-+.又01λ≤≤，所以2B PA PB C-⋅ 的取值范围是13[,5]4. 故选D.11. C 此几何体是底面边长为23为12. 令内切球的半径为r ，则112333r r ⨯=⇒=，从而内切球的体积为34(.3327V π==故选C.12. C 函数()f x 的定义域为[，作出函数[y x =∈和]),[(2a a x x y -∈-=的图像，前者是圆22x y a +=的上半圆，后者是一条折线段，观察图像很容易发现：当01a <<时，()0f x <在[上恒成立；当2a >时，()0f x >在[上恒成立；当12a ≤≤时，()0f x =在[上总有实数根. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 5π- 14. 960 15. 1 16. [8,2]-简答与提示: 13.222220022()cos 2sin |2|sinsin 02(2)22f x dx xdx dx x x ππππππ=+=+=-+-⎰⎰⎰145ππ=+-=-.14. 1500(0.820.46)0.5960⨯+⨯=(人). 15. 在B C D ∆中，根据正弦定理得，30sin sin 30sin sin(1801530)CD BC CDB CBD=⋅∠=⨯︒=∠︒-︒-︒在R t A B C ∆中，tan tan 60AB BC AC B =⋅∠=︒=. 16. 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(2+=-x k y .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由222(1)8y k x x y -=+⎧⎨+=⎩可以得 222122211447,144kk ky y k k kx x +++-=+-+=. 从而有221212224474411k k k k OA OB x x y y k k +--++⋅=+=+++ 2226886611k k k kk-++==-+++.令43k t +=，则2326625t O A O B t t ⋅=-+-+.当0t =时，6OA OB ⋅=-；当0t ≠时，2323266256256tO A O B t t t t ⋅=-+=-+-++- .由于2510t t+≥(当5t =时取等号)，所以82OA OB -⋅ ≤≤但6OA OB ⋅≠- .综合可知82OA OB -⋅≤≤为所求.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.【试题解析】解：⑴由22222S a a =+，可得211112()()()a a d a d a d ++=+++.又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=.(4分)⑵根据⑴得(1)2n n n S +=，213(1)13131n n S n n b n nnn+++===++.由于函数13()(0)f x x x x=+>在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增，而34<<，且132288(3)33312f =+==，132987(4)44412f =+==，所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144+=.即数列{}n b 的最小值项是4334b =. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容.【试题解析】解：⑴根据条件ξ的取值为2，3，4，而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有21422091(2)190C p C ξ===，1161422084(3)190C C p C ξ===，2622015(4)190C p C ξ===.所以ξ的分布列为(6分)数学期望918415()234 2.6190190190E ξ=⨯+⨯+⨯=. (8分)所以220(41222)5.4875 5.024(42)(212)(42)(212)K ⋅⨯-⨯=≈>+⋅+⋅+⋅+.又2( 5.024)0.025p K =≥，因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识.【试题解析】⑴证明：由条件知四边形A B C D 是菱形，所以B D A C ⊥，而平面⊥11CC AA 平面A B C D ，平面11AA C C 平面A B C D A C =，所以B D ⊥平面11AA C C ，又1AA ⊂平面11AA C C ，因此1AA BD ⊥. (3分)⑵因为60ABC ∠= ，A B C D 是菱形，所以1AC AB AA ==，而160A AC ∠=，所以1A AC∆是正三角形. 令BDAC O = ，连结1A O ，则1,,BD AC O A 两两互相垂直.如图所示，分别以1,,BD AC O A 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0)D ，(0,1,0)A -，1(0,0,A ，1,0)D A =-，1DA = ，平面11AA C C 的法向量为(1,0,0)n =. 设(,,)m x y z =是平面1D A A 的法向量，则100000m D A y y x z m D A ⎧⎧⋅=-==⎪⎪⇔⇔⎨⎨+=⋅=⎪+=⎪⎩⎩. 令1x =，则 1.y z ==-即(1,1)m =-.设二面角C AA D --1的平面角为θ， 则θ是锐角，并且cos cos ,5m n m nm nθ⋅====⋅因此二面角C AAD --15. (8分)⑶设这样的点P 存在，且1C P C C λ=，而1(0,1,0),2,3)C C ，所以(0,13)P λ+，又B ，所以()BP λ=+，1DC = 设(,,)k x y z =是平面11D A C 的法向量，则110200000k D C y y x z k D A ⎧⋅=++==⎧⎪⇔⇔⎨⎨+=⋅=+=⎩⎪⎩. 令1z =，则1x =-，即(1,0,1)k =-.要使B P ∥平面11C DA当且仅当0(1)(0(1)10k B P λ⋅=⇔-⨯+⨯++⨯=，所以1λ=-.这说明题目要求的点P 存在，实际上，延长1C C 到点P ，使得C P =1C C 即得到所求的点P .(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴由右焦点为2(1,0)F ，可知1c =.设左焦点为1F ，则1(1,0)F -，又点3(1,)2A在椭圆上，则1224a AF AF =+==，2,a b ∴===即椭圆方程为22143xy+=；(4分) ⑵设11(,)P x y ，22(,)Q x y 则2211143x y +=1(2)x ≤， 2222221211111(1)(1)3(1)(4)44x PF x y x x =-+=-+-=-，21111(4)222P F x x ∴=-=-.连结O M ，O P ，由相切条件知： 2222222211111133(1)344x PMOPOMx y x x =-=+-=+--=，显然10x >，112P M x ∴=.1122222x x P F P M ∴+=-+=.同理2222222x x Q F Q M +=-+=.22224F P F Q PQ ∴++=+=为定值. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容.【试题解析】解：⑴存在0b =，使得结论成立.对函数bx x x x f -+=cos 2sin )(求导得，22cos 1()(2cos )x f x b x +'=-+. 若R b ∈∃，使)(x f 在2(0,)3π上递增，在2(,)3ππ上递减，则0)32(='πf ，∴0=b ，这时2)cos 2(cos 21)(x xx f ++='，当)32,0(π∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 递增；当),32(ππ∈x 时0)(<'x f ，)(x f 递减. (5分)⑵令22cos 2(12)cos 14()0(2cos )b x b x bf x x -+-+-'==+，得 2cos 2(12)cos 140b x b x b -+-+-=.24[(12)(14)]4(13)b b b b ∆=-+-=-.若13b ≥，即0∆≤，则0()f x '≤对0x ∀≥恒成立，这时)(x f 在[)+∞,0上递减，∴(0)0()f f x =≤，符合题意.若0b <，则当0x ≥时，[0,)bx -∈+∞，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+33,33cos 2sin x x，bx xx x f -+=cos 2sin )(不可能恒小于等于0.若0=b ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=33,33cos 2sin )(x xx f ，不合题意.若310<<b ，则0331)0(>-='b f ，01)(<--='b f π，∴),0(0π∈∃x ，使0)(0='x f .),0(0x x ∈时，0)(>'x f ，这时)(x f 递增，0)0()(=>f x f ，不合题意.综上可得实数b 的取值范围是1[,)3+∞.(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容. 【试题解析】解：⑴连结C H ，则因为A C A H =，AK AE =，所以四边形C H E K 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C ，H ，E ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点也共圆，从而四点E ，H ，M ，K 在由三点C ，E ，H 所确定的圆上，因此这四点共圆； (5分) ⑵连结EM ，则由⑴得E ，H ，M ，C ，K 五点共圆，因为四边形C E H M 为等腰梯形，E M H C =，所以∠=∠.由K E EH =可得K M E E C H ∠=∠，所以三角形M K E 和三角形C E H 全等，所以3K M E C ==为所求. (10分) 23. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.【试题解析】解：⑴对于曲线C ：θθρ2sin cos 4=，可化为4cos sin sin ρθρθρθ=. 把互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代入，得4x y y=，即24y x =为所求.（可验证原点(0,0)也在曲线上） (5分)⑵根据条件直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为1x y +=. 由241y x x y ⎧=⎨+=⎩，消去x 并整理得2440y y +-=. 令11(,)A x y ，22(,)B x y 则 12124,4y y y y +=-=-.所以8AB ===. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：⑴由条件知(2)2(2)6(3)236232f a a f a a a⎧⎪-=⨯--+=⎪=⨯-+=⎨⎪⎪-⎩≤≤，解得1a =. (5分)⑵由⑴得()211f x x =-+，所以()()f n m f n --≤等价于 ()()21121121212m f n f n n n n n +-=-++++=++-+≥.若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，当且仅当(21212)min m n n ++-+≥. 而2121(21)(21)2n n n n ++-+--=≥，当1122n -≤≤时取等号.因此实数m 的取值范围是[4,)+∞. (10分)。