小波分析基础学习资料
小波分析与实例
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3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨分析 为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处 理相关的细节，1983年，P.J.Burt与E.A.Adelson在计 算机视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像， 同时根据需要进一步提高图像分辨率的多分辨率 Laplace塔式算法。1986年Mallat和Meyer构造了多分 辨分析公式。随着多分辨分析的出现，构造小波的困难 得到了较圆满的解决。为了对信号进行较高分辨率的处 理，需要一种所谓的“增量信息”。为此，Mallat选用正 交小波基作为对“增量信息”进行数学描述，并最终发展 成为了多分辨分析。
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到 清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
小波分析
小波分析讲解
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识 多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
小波分析
小波分析小波分析是一种在信号处理领域中常用的数学工具。
它可以分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
小波分析的概念来源于法国数学家Jean Morlet在20世纪80年代提出的一种数学理论，经过不断的发展和改进，如今已成为信号处理中不可或缺的技术之一。
小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
这些小波基函数可以看作是时间和频率的局部性的权衡。
相比于传统的傅里叶分析和傅立叶变换方法，小波分析更加适用于处理非平稳信号，因为它允许信号在时间和频率上的变化。
小波分析的核心概念是小波变换，它将信号分解成不同频率的小波分量，并用小波系数表示。
这些小波系数可以提供关于信号的时间和频率信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）来实现。
DWT适用于离散信号，而CWT适用于连续信号。
小波分析有许多优点。
首先，它可以提供更精确的时间和频率信息。
由于小波基函数具有局部性，它们可以更好地捕捉信号的瞬时特性。
其次，小波分析可以有效地处理非平稳信号。
传统的傅里叶变换方法基于信号是稳态的假设，对于非平稳信号的处理效果会相对较差。
而小波分析通过局部分析的方式，可以更好地处理非平稳信号。
此外，小波分析还可以提供多分辨率分析的能力。
通过对小波系数的分层表示，可以在不同的分辨率下对信号进行分析，从而可以同时关注信号的整体结构和细节。
在实际应用中，小波分析有广泛的应用。
在音频和音乐领域，小波分析可以用于音频信号的压缩、去噪和特征提取等方面。
在图像和视频领域，小波分析可以用于图像压缩、边缘检测和运动分析等。
此外，小波分析还可以应用于金融领域的数据分析、生物医学信号的处理和地震信号的分析等。
总的来说，小波分析是一种强大的信号处理技术，它可以提供更精确和全面的信号分析。
小波分析在不同领域有广泛的应用，并且随着技术的发展和创新，其应用范围还会不断扩大。
通过深入研究和应用小波分析，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，为我们的生活和工作带来更大的便利和效益。
小波分析11sss
例：L2([0,1])
1 0 t 1 t 其它 0
1 0 t 1 2 t 1 1 2 t 1 0 其它
(t)
1
st , g t 0
或
(t)
0 1
1
t
ˆ , g 0 ˆ s
st , g t
xt ii t
(t)为变换的核函数（基函数）。
一般地，对任意平方可积的实函数，有线性展开：
t e jt Fourier变换： 正弦变换： t sin t
Hartley变换： t cost sin t
xt ii t
i
2 ji t T
简谐信号叠加
1 i T
T 2
T 2
x t e
2 ji t T
dt
x(t)分解为无穷多个正交分量的线性累加（线性展开）。 2 jm 令 t T =2/T代表频率间隔(基频)。
gm t e
N 0 1 N
i 0,1, , N 1
随着N的增大，sN对s(t) （或gN对g(t) ）的近似越好。
当N→∞，内积的求和越来越大，计算平均内积：
1 sN , g N N
RN
1 N
s ti g ti
i 0
N 1
i 0 N b
s ti g ti t
(t) 应满足以下三个特性：
■任何复杂的信号f(t)，都能由一个母函数(t) 经过伸缩和平移产生 的基底的线性组合表示； ■新的基函数(t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信 号。 正交基函数应尽量简单，使计算复杂度降低。 具有好的去相关和能量集中特性。 稀疏化表示。
《小波分析概述》PPT课件
Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时 窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的 增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频 窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换 的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该 尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的 过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
第四章 小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用.
小波变换基础以及haar小波共47页PPT资料
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
连续小波变换：
W f(a ,b )f ,a ,b |1 a | f(t)(t a b )d, ta 0
连续小波反变换：
f(t)1
C
R RWf(a,b)a,b(t)daa 2 db
其中，a称|
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) A 1 ( t ) B f 2 ( t ) f W f ( a , b ) A f 1 ( a , b W ) B f 2 ( a , b W ) ⑵平移 g ( t ) f ( t t 0 ) W g ( a ,b ) W f( a ,b t 0 )
f(t) k 1 e 1 (t) k 2 e 2 (t) .. .k n .e n ( .t) .
如n果 ，那f么 (t) kiei(t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
称φa,b(t)为连续小波. a,b(t)|a|12
(tb)
a
式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
a,b(t)|a|12
(tb)
a
为什么系数有个 |a |-1 / 2 ？？？ 为了保证在不同尺度a时，a.b (t) 的 (t) 能量相同 。
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析学习笔记
小波分析学习笔记小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。
小波由一族小波基函数 构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。
采用小波分析最大优点 是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。
小波分析具有发现其 他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械 故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。
如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有 Haar 、 Daubechies(dbN)、 Morlet 、 Meryer 、Symlet 、Coiflet 、Biorthogonal 小波等15种。
但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。
小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。
另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。
如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。
由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。
小波基：一般从线性相位，消失矩，相似性，紧支撑等来选择。
二进离散小波变换是最常用的离散小波变换，它对变换域的尺度参数a ，平移参数b 进行二进离散化处理，即a=2j ,b=k2j ; j,k ∈Z 。
其小波函数及变换系数表达式如下：二进小波函数：()-j/2-j j,k ψ(t)=2ψ2t-k ；二进小波变换： ()()()-j/2+j j -j -WT 2,k2=2ψ2t-k dt ff t ∞∞⎰； 二进小波逆变换： ()()++-12a,b ψf --da=C ψt WT a,b db a ()f t ∞∞∞∞⎰⎰()2+ψ-ˆψωC =d ωω;∞∞⎰其中()()ˆψω=FT ψ(t)； 多分辨率分析（Multi Resolution Analysis, MRA ）通过构造在频率上高度逼近L 2(R)空间的正交小波基（相当于带宽各异的带通滤波器组），将信号分解为低频部分（近似分量）和高频部分（细节分量）。
小波分析数学基础
研究信号在局部时间范围的频域特征： 1946 年 Gabor 变换→短时傅里叶变换 ： short time fourier
小波变换不仅继承和发展了 STFT 的局部化思想，而且克服了窗 口大小不随频率变化，缺乏正交基的缺点，是一种比较理想的进 行信号处理的数学工具。 总之：
基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值 分析等半个多世纪以来发展的最完美结晶，是正在发展中的新的 数学分支。在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模 式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、 CT 成像、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形、数值计算等领 域，在工具及方法上的重大突破。
［例 0－6］有理数空间中柯西序列 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，……
不是收敛序列，因为它的数列的极限 2 不在有理数空间。若将无 理数空间扩展进来, 使之成为实数空间,从而 2 成为柯西序列的极 限，柯西序列也就成为收敛序列。因此,我们说任何一个实数的柯 西序列必有实数极限，实数的这种特性称为完备性。
所以有些人也称为是研究函数的函数。
泛函的定义
简单的说， 泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数 集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的向量 空间到标量 的映射。也就是说，它是从 函数空间 到数域的 映射。
0.1.0 常用符号及含义 R －实数的集合，即实轴 Z－整数的集合 C －复数的集合， Z+－正整数集 Rn －n 维欧氏空间（所有实向量的集合） Cn －n 维复向量空间
14.1 小波分析的基本原理
都满足窗口函数的要求。
中心和窗宽分别为 E((a,b))ba(E ) 和 ((a,b))|a|()，以
及 E(Ψ(a,b))E(Ψ)/a和 (Ψ(a,b))(Ψ)/a 。
连续小波 a,b (t) 的时窗：[baE ()a() ，baE ()a()]，
频窗为：[E(Ψ)/a(Ψ)/a，E(Ψ)/a(Ψ)/a ]。 小波函数 a,b (t)的时-频窗，是一个可变的矩形：
几个比较典型的小波：
（1） Shannon小波：Ψ(t)sin 2(t) tsin t)(
t2
（2） Gaussan 小波： G(x) e 2
（3） Morlet小波：(x) eicxet22
（4） Mexican 帽子小波：H(x)(1t2)et22
图14.1.1 以Mexican 帽子小波为母小波的小波
若以a为横坐标、W f (a) 为纵坐标，作小波方差图， 则它反映了能量随尺度a变化的分布情况。
小波变换的基本性质： 1. Parseval 恒等式
d a d b
C R f(x )g (x )d xR 2 W f(a ,b )W g (a ,b )a 2
(14.1.9)
小 波 变 换 和 Fourier 变 换 一 样 ， 在 变 换 域保持信号的内积不变。
1
h(t) 1
0
0 t 21 21 t 1 t [0,1)
这时，函数族
hj,k(t)22 jh(2jtk):(j,k)ZZ
构成函数空间L2(R)的标准正交基。
五、小波分解
通过小波分解，将时域信号分解到不同的
频带上。根据范数为1的规则，在一个给定的小 波族如Symmlet里有两种类型的小波：
[ baE ()a() ,baE ()a() ]×[ E(Ψ)/a(Ψ)/a ,
小波变换基础以及haar小波.资料
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。
f (t) k1e1(t) k2e2(t) ...... knen(t)
如果 n ， 那么 f (t) kiei (t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
CWT（连续小波变换）
设函数
(t) L1(R) L2(R) ，若其FT满足条件:
|ˆ() |2 d
R | |
则称φ(t)为一个小波母函数.
φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.
φ(t) 满足 R(t) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
⑷等内积特性
Wf (a, b) f (t), a,b (t) F (), Φa,b ()
⑸能量守恒特性
R
R|Wf
(a,
b)
|2
a,b (t )
dadb a2
C
||
R
f (t) ||2dt
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.