2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二上学期第二次月考数学(文)试题
内蒙古赤峰二中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(文)试题 含答案
2016-2017学年度文科学校9月月考卷1．抛物线x y82-=的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B 。
（— 2，0）C 。
（4，0)D 。
(— 4，0）2．“3>x "是“不等式022>-x x”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件3．设P 是椭圆221169x y +=上的点， 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +的值为( )A 。
10 B. 8 C. 6 D. 4 4．已知a ，b ，c ∈R,命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3"的否命题是（ )A ．若a +b+c≠3，则222ab c ++〈3 B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=35．下列命题说法正确的是 ( ）A ．命题“若21x =，则1x ="的否命题为：“若21x =,则1x ≠"B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题6．双曲线222xy -=-的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．227．已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=,焦点坐标为）（0,6),0,6(-，则双曲线方程为（ ）A ．18222=-y xB ．12822=-y xC ．14222=-y xD ．12422=-y x8．与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是（）A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133x y -=D ．2231xy -=9．已知双曲线24x —22y b=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于（ ） （A)5（B)42 (C ）3 (D ）510．、若椭圆36422=+y x 的弦被点(4,2）平分，则此弦所在直线方程为( ）A 、02=-y xB 、042=-+y xC 、07=-+y xD 、082=-+y x 11．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1(a ＞b ＞0)上的一点，且12PF PF ⋅=0，tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线222214x y b b-=-()02b <<与x 轴交于A 、B 两点，点()0,C b ，则ABC∆面积的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8一、填空题(共20分)13．抛物线x y122=上与焦点的距离等于6的点的坐标是14．若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是__________．15．已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B两点，若22||||12F A F B +=,则||AB = ．16．若直线ｙ=kx ＋1与曲线x=12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围为 ．二、解答题（总分70分，17题10分，其余各小题均为12分）17．已知p ：46x -≤，q:22210(0)xx m m -+-≤>，若非p 是非q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围．18．已知动圆M 与圆C 1:(x+4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x —4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.19．已知椭圆22:1(0)4x y C m m+=>.（Ⅰ）若2m =,求椭圆C 的离心率及短轴长;(Ⅱ）如存在过点(1,0)P -，且与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ，使得以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点，求m 的取值范围。
内蒙古赤峰二中2016-2017学年高二上学期周测数学(理)试题(10.29) 含答案
高二理科周考试题一、选择题1．命题“∃x0∈R，2x0－3>1"的否定是（）A．∃x0∈R，2x0－3≤1 B．∀x∈R，2x－3>1C．∀x∈R,2x－3≤1 D．∃x0∈R，2x0－3>12．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为（）A．e2B．e C。
错误!D．ln 23．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A。
错误!B．－错误!C．8 D．－84．下列说法中正确的是（)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a〉b”与“a＋c〉b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0"的逆否命题是“若a，b全不为0,则a2＋b2≠0"D．一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真5。
函数f（x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )A．（－∞，－2］B。
错误!C． D.错误!6．下列结论中,正确的为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“p且q"为假是“p或q"为真的充分不必要条件；③“p或q”为真是“"为假的必要不充分条件;④“”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④7．双曲线错误!－错误!＝1（mn≠0）的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合,则mn的值为（)A.316B。
错误!C。
错误!D。
错误!8．设函数f（x）在R上可导，f（x）＝x2f′（2）－3x，则f（－1）与f（1）的大小关系是（）A．f(－1）＝f(1）B．f（－1)〉f(1）C．f（－1）〈f（1）D．不确定9．已知F1(－3,0），F2(3，0)是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点,点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝错误!时,△F1PF2面积最大，则m＋n的值是( ）A．41 B．15 C．9 D．110．已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1，F2，点A在C上．若｜F1A｜＝2｜F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A。
【全国百强校】内蒙古赤峰市第二中学2016-2017学年高二上学期第一次月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．抛物线28x y =-的焦点坐标是（ ）A ．1,032⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,0-C ．1,032⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,2-【答案】A【解析】 试题分析：x y 812-=，可知焦点坐标为)0,321(-. 考点：抛物线方程．2．“3>x ”是“不等式022>-x x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件【答案】A考点：充分必要性．3．方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A.(4,)+∞ B.(4,7) C.(7,10) D.(4,10)【答案】C【解析】试题分析：由已知，0104>->-k k ，解得107<<k .考点：椭圆方程．4．已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是（ ）A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A【解析】试题分析：“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，可知命题“若3=++c b a ，则3222≥++c b a ”的否命题是“若3≠++c b a ，则3222<++c b a ”.考点：命题的否命题．5．下列命题说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题【答案】B考点：常用逻辑用语．6．已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，焦点坐标为）（0,6),0,6(-，则双曲线方程为（ ） A ．18222=-y x B ．12822=-y x C ．14222=-y x D ．12422=-y x 【答案】C【解析】试题分析：由已知，双曲线焦点在x 轴上，6=c ，2=ab ，又222b ac +=，解得22=a ，42=b ，故双曲线方程为14222=-y x .考点：双曲线方程与性质．7．与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是（ ） A ．2214x y -= B ．2212x y -= C ．22133x y -= D ．2231x y -= 【答案】B考点：双曲线方程．8．已知双曲线24x -22y b=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的 距离等于（ ）(C)3 (D)5【答案】A【解析】试题分析：由抛物线焦点)0,3(，知942=+b ，所以52=b ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离等于5=b .考点：圆锥曲线的性质．9．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）上的一点，且12PF PF ⋅ =0，tan ∠PF 1F 2=12， 则此椭圆的离心率为（ ）A C ．13 D ．12【答案】A考点：椭圆的性质．【思路点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属基础题.由条件021=⋅PF PF 可得21F PF ∆为直角三角形，且21||||12=PF PF ，去分母，得||2||21PF PF =，又由椭圆定义可知a PF PF 2||||21=+，勾股定理可得222214||||c PF PF =+，故等量代换得2224)32()34(c a a =+，从而解得椭圆的离心率35=e . 10．在22y x =上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1)D ．（－1，2）【答案】B【解析】试题分析：由抛物线定义点P 到焦点的距离为点P 到抛物线准线81-=y 的距离，可知，当过点A 作直线垂直于抛物线的准线时，此时抛物线上点P 到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，且点P 横坐标为1，代入抛物线方程可得)2,1(P .考点：抛物线的定义．11．12,F F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120⋅=PF PF ，若12PF F ∆ ）A B C 1+ D 1+【答案】D考点：圆锥曲线的性质．【思路点睛】本题主要考查双曲线的性质——离心率，属于中档题.由向量垂直的条件和双曲线的定义，结合勾股定理，设21F PF ∆的内切圆半径为r ，由等积法可得r F F PF PF PF PF |)||||(|21||||21212121++=，求得r ，再由直角三角形的外心为斜边的中点，可得外接圆的半径c R =，再由离心率公式，化简整理计算即可得到所求值.12．过椭圆2214x y +=的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,,,A B C D 四点，则四边形 ABCD 面积的最小值为（ ）（A ）2 (B)3425 (C)3325 (D)3225【答案】D【解析】 试题分析：由椭圆2214x y +=可得42=a ，12=b ，322=-=b a c .①当AC 或BD 中的一条与x 轴垂直而另一条与x 轴重合时，此时四边形ABCD 面积22222122==⨯⨯=b ab a S ；②当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AB 的方程为)3(+=x k y ，则直线CD 的方程为)3(1+-=x ky ，联立考点：椭圆的性质．【思路点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ．【答案】)6,3(或)6,3(-【解析】试题分析：由抛物线定义可知抛物线x y 122=上的点),(y x 与焦点的距离为3+x ，由已知，可得3=x ，代入抛物线方程可得6±=y .考点：抛物线定义．14．若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[3,)+∞【解析】 试题分析：由已知40<<x 是a x <-|1|即11+<<+-a x a 的充分条件，故⎩⎨⎧≥+≤+-4101a a ，解得3≥a . 考点：充分必要性．15．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________．考点：椭圆的性质．【思路点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属中档题.本题难点在于充分利用向量的数量积，由设入的点),(y x P ，结合21PF F ∠为钝角，可得021<⋅PF PF ，接着由数量积公式可得0)5(22<+--y x ，又点),(y x P 在椭圆上，其坐标满足)91(422x y -=，故0)5(22<+--y x 即为0944)5(22<-+--x x ，化简解得不等式的中x 的取值范围.16．F 1、F 2是双曲线29x -216y =1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|=643，则 ∠F 1PF 2=__________.【答案】 120【解析】 试题分析：||||2||||||2|)||(|||||2||||||cos 212212122121221222121PF PF F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF F -+-=-+=∠ 213642254364262-=⨯⨯-⨯+=，可得 12021=∠PF F . 考点：余弦定理、双曲线定义．【思路点睛】本题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用.属中档题.由双曲线方程可知，16,922==b a ，则252=c ，由余弦定理可知||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F -+=∠，由双曲线定义可知62||||||21==-a PF PF ，故||||2||||||2|)||(|||||2||||||2122121221212212221PF PF F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF -+-=-+，从而解得 12021=∠PF F .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是q 的一个必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】[]1,2a ∈-．时，():,1q a a --由题意得，p 是q 的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-．考点：子集运算、充分必要性．18．已知动圆M 与圆C 1：（x+4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x-4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方 程. 【答案】)2(114222≥=-x y x ．根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵c=4，∴b2=c2-a2=14，∴点M（x.考点：轨迹方程．【方法点睛】本题主要考查定义法求曲线的轨迹方程.熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键:（1）圆：到定点的距离等于定长；（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；（4）到定点与定直线距离相等.19．已知椭圆22:1(0)4x yC mm+=>.（Ⅰ）若2m=，求椭圆C的离心率及短轴长；（Ⅱ）如存在过点(1,0)P-，且与椭圆C交于,A B两点的直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好通过坐标原点，求m的取值范围.【答案】，短轴长为（Ⅱ）43m<≤.试题解析：（Ⅰ）因为2m =，所以22142x y +=，c ==.所以e =，b =.所以椭圆C，短轴长为（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 由221,4(1),x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(4)8440m k x k x k m +++-=. 所以0∆>，212284k x x m k +=-+，2122444k m x x m k -=+. 因为以线段AB 为直径的圆恰好过原点，所以OA OB ⊥ .所以12120x x y y +=，即2221212(1)()0k x x k x x k ++++=. 所以2222222448(1)()044k m k k k k m k m k --+++=++. 即2443m k m=-. 由24043m k m =≥-，0m >，所以403m <<. 当直线l 的斜率不存在时，因为以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点，所以(1,1)A -. 所以1114m +=，即43m =. 综上所述，m 的取值范围是403m <≤. 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．20．抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：x y 42=，焦点坐标为)0,1(F ；（2）M 的轨迹方程为122-=x y ．（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0=2y∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1．∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．考点：抛物线方程、轨迹方程．21．已知椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>，过左焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两 点，若线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线l 与圆222x y +=相交于 C 、D ，与椭圆T 相交于E 、G ，求EG ．【答案】（1）椭圆方程为2212x y +=；（． 【解析】设弦与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 代入椭圆方程得2211221x y a b+=…………① 2222221x y a b+=…………② ①式-②式，得2221222212y y b a x x --=-…………③ ∵点M 平分弦AB ，弦经过焦点， ∴121221211213,,223233x x y y y y x x c ++-=-==--+， 代入③式得，2221334233b a c ⨯-=⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭，即221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵222c a b c a =-=，∴22212c b a ==，∴112263c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1,c a ==，∴椭圆方程为2212x y += （2）∵右焦点()1,0F ，故设():1l y k x =-∴圆心到直线l的距离d ==考点：直线与圆锥曲线的位置关系．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点12,F F ， 过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1，（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交 于C 点，求ABC ∆面积的最大值，并求此时直线AB 的方程，【答案】（1）2212x y +=；(2)，直线AB 的方程1x =-． 【解析】试题分析：（1）据题意，b a =，1bc =，故椭圆的方程为2212x y +=；（2）设直线AB 的方程为1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，得22(2)210t y ty +--=，所以||AB ====，又点O 到直线AB的距离d =1||22ABC S AB d ∆===，换元法，并利用基本因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以12222t y y t +=+，12212y y t -=+，||AB ====== 点O 到直线AB 的距离d =因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d 。
2017-2018年内蒙古赤峰二中高二(下)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年内蒙古赤峰二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|＜﹣1}，B＝{x|﹣1＜x＜0}，则（）A．B．C．A＝B D．A∩B＝∅2．（5分）设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．B．﹣2C．D．23．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．4B．5C．6D．74．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种5．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为（）A．（，1）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（，）8．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）定义在R上的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0恰好有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）＝（）A．lg2B．lg4C．lg8D．110．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（）A．335B．1678C．338D．201211．（5分）已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，AC＝6，BC＝7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：13．（5分）已知函数，则f（f（0）﹣3）＝．14．（5分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n+a n+2＝n+1（n∈N*），若{a n}前n项和为S n，则S100＝．15．（5分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为．16．（5分）在锐角△ABC中，AC＝1，B＝2A，则BC的取值范围是．三、解答题：17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．18．（12分）某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，（5，1O]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．（I）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（Ⅱ）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E（Y）．19．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2．又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．20．（12分）已知：圆x2+y2＝1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，与椭圆相交于A，B两点记．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求k的取值范围；（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝ln+（a＞0）•（Ⅰ）若函数f（x）在区间（2，4）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，﹢∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当n∈N*且n≥2时，．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若恒成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年内蒙古赤峰二中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|＜﹣1}，B＝{x|﹣1＜x＜0}，则（）A．B．C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：根据题意，＜﹣1⇔＜0，解可得﹣1＜x＜0，即集合A＝{x|﹣1＜x＜0}，又由B＝{x|﹣1＜x＜0}，则A＝B；故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．B．﹣2C．D．2【解答】解：由于复数＝＝为纯虚数，∴2﹣a＝0，a＝2，故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝5，k＝0不满足条件n为偶数，执行循环体后，n＝16，k＝1，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n＝4，k＝3，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n＝2，k＝4，不满足退出循环的条件；满足条件n为偶数，执行循环体后，n＝1，k＝5，满足退出循环的条件，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（）A．16种B．18种C．20种D．22种【解答】解：分为以下两类：一类：若选出的3人中有乙，还得选出另外2人有，又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位，可有，因此，共有＝12种不同的结果；另一类：若选出的3人中没有乙，则可有＝6种不同的结果．综上共有：12+6＝18种不同的结果．故选：B．5．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①R2越大拟合效果越好，故①不正确，②由存在性命题的否定是全称命题得②正确，③正态分布函数曲线的特点是：关于x＝0对称，在x＝0处达到最大值，且p（ξ＜0）＝，若P（ξ＞1）＝p则若P（ξ＜﹣1）＝p所以．故③正确．④样本中心点在直线上，故④正确故选：C．6．（5分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO＝CO＝AC＝；所以：左视图的面积等于S△AOC＝CO•AO＝××＝．故选：C．7．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为（）A．（，1）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（，）【解答】解：函数f（x+1）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，则1＜x+1＜2，∴函数f（x）的定义域为（1，2），由1＜＜2，得＜x＜．∴函数f（x）的定义域为（），故选：D．8．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|A1A2|＝2a＝4，，设P（x0，y0），∴当∠F1PF2＝90°时，，解得，把代入椭圆得．由，得∠F1PF2≥90°．∴结合题设条件可知使得的M点的概率＝．故选：C．9．（5分）定义在R上的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0恰好有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）＝（）A．lg2B．lg4C．lg8D．1【解答】解：由题意，对于f2（x）+bf（x）+c＝0来说，f（x）最多只有2解，又f（x）＝lg|x﹣2|（x≠2），当x不等于2时，x最多四解，而题目要求5解，即可推断f（2）为一解∵的图象关于x＝2对称，∴x1+x2+x3+x4+x5＝10∴f（x1+x2+x3+x4+x5）＝f（10）＝lg8故选：C．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（）A．335B．1678C．338D．2012【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，∴f（﹣3）＝﹣1，f（﹣2）＝0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，∴f（﹣1）＝﹣1，f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝2，又∵f（x+6）＝f（x）．故f（3）＝﹣1，f（4）＝0，f（5）＝﹣1，f（6）＝0，又∵2012＝335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）＝335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f （1）+f（2）＝335+1+2＝338，故选：C．11．（5分）已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线l的方程为，即bx+ay﹣ab＝0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1＝，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2＝，s＝d1+d2＝＝．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选：A．12．（5分）在△ABC中，AC＝6，BC＝7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹为以OA，OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），∵AC＝6，BC＝7，cos A＝，BC2＝AC2+AB2﹣2AB×AC×cos A∴49＝36+AB2﹣2×6×AB×，∴5AB2﹣12AB﹣65＝0解得：AB＝5sin A＝＝，∴S△ABC＝×6×5×＝6，设△ABC内切圆半径为r，则（5+6+7）r＝6，∴r＝，∴S△AOB＝＝＝，∴动点P的轨迹所覆盖的面积为：2S△AOB＝．故选：A．二、填空题：13．（5分）已知函数，则f（f（0）﹣3）＝﹣1．【解答】解：∵函数，∴f（0）＝e0＝1，f（0）﹣3＝1﹣3＝﹣2＜0，∴f（﹣2）＝﹣2+1＝﹣1，所以f（f（0）﹣3）＝f（﹣2）＝﹣1，故答案为﹣1；14．（5分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n+a n+2＝n+1（n∈N*），若{a n}前n项和为S n，则S100＝2525．【解答】解：∵a1＝1，a2＝1，a n+a n+2＝n+1（n∈N*），∴（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a97+a99）＝（1+1）+（5+1）+…+（97+1）＝＝1250；（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a98+a100）＝（2+1）+（6+1）+…+（98+1）＝＝1275．∴S100＝1250+1275＝2525．故答案为：2525．15．（5分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为3π．【解答】解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：，则此球的表面积为：4π×＝3π故答案为3π．16．（5分）在锐角△ABC中，AC＝1，B＝2A，则BC的取值范围是（，）．【解答】解：∵锐角△ABC中，B＝2A，∴，解之得＜A＜∵AC＝1，且∴BC＝＝＝∵＜A＜，得＜2cos A＜∴＜＜，得BC＝∈（，）故答案为：（，）三、解答题：17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，由＝9a2a6．得＝9a42．所以q2＝．由条件可知q＞0，故q＝．由2a1+3a2＝1，得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝log3（a1a2…a n）＝log3（3﹣（1+2+3+…+n））＝﹣（1+2+3+…+n）＝﹣．故＝﹣＝﹣2（），数列{}的前n项和：T n＝＝＝﹣．所以数列{}的前n项和为：T n＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，（5，1O]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．（I）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（Ⅱ）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E（Y）．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为（0.01+0.02+0.03+0.09）×5＝0.15×5＝0.75，（2分）∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×（1﹣0.75）＝40×0.25＝10．（4分）（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0，1，2．（5分）P（Y＝0）＝，（6分）P（Y＝1）＝，（7分）P（Y＝2）＝．（8分）所以Y的分布列为（11分）∴E（Y）＝0×+1×+2×＝．（13分）19．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2．又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．【解答】解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM＝∥CN，∴MN＝∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN＝60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z＝1，∴．设平面MAC的一个法向量为＝（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）20．（12分）已知：圆x2+y2＝1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，与椭圆相交于A，B两点记．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求k的取值范围；（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．【解答】解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c＝2∴c＝1又∵圆x2+y2＝1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b＝1，∴a＝∴圆的方程为（Ⅱ）∵直线y＝kx+m与圆x2+y2＝1相切，∴原点O到直线的距离＝1，即m2＝k2+1把直线y＝kx+m代入椭圆，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）+m2∵，∴，解得，≤k2≤1∴k的取值范围是[﹣1，﹣]∪[，1]；（Ⅲ）|AB|2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（1+k2）（x1﹣x2）2＝（1+k2）[﹣4]＝（1+k2）[﹣]＝（1+k2）＝2﹣S△OAB2＝|AB|2×1＝（）∵≤k2≤1，∴∴，∴即≤S△OAB2＝≤∴≤S△OAB≤∴△OAB的面积S的取值范围为[，]21．（12分）设函数f（x）＝ln+（a＞0）•（Ⅰ）若函数f（x）在区间（2，4）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，﹢∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当n∈N*且n≥2时，．【解答】解：f′（x）＝+＝，（x＞﹣1），∴f（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在x＝﹣1处取到极小值；（Ⅰ）由题意得：，∴＜a＜；（Ⅱ）由题意得：，∴a≥1；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：当a＝1时，f（x）＝ln+在[1，+∞）递增，∴x＞1时，有f（x）＞f（1）＝0，即ln＞﹣，（x＞1），取﹣＝，则x＝＞1，＝，∴ln＞（n≥2），∴++…+＜ln2+ln+ln+…+ln＝lnn，∴结论成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．【解答】解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），所以普通方程为C：∴∴∴直线l极坐标方程为：即（2）将直线代入椭圆标准方程，得5x2+8x＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝0∴[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．化简可得：f（x）＝，由f（x）＞2，可得：或或解得：x＜﹣5或1＜x≤2或x＞2∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜﹣5或1＜x}．（2）由（1）分段函数可知f（x）的最小值为f（）＝恒成立，只需f（x）min，即≥t2，解得：故得实数t的取值范围是[，5]．。
内蒙古赤峰二中2015-2016学年高二6月(第二次)月考数学(理)试题 含答案
赤峰二中2014级高二下学期第二次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1。
若集合}2,1{=A，}3,1{=B，则集合BA⋃的真子集的个数为（）A.7 B。
8 C.15 D。
162．。
某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）A。
B。
C。
D. 3．设随机变量ξ服从正态分布N(3，4）,若P(ξ〈2a－3）＝P（ξ〉a ＋2)，则a的值为（）A．错误!B．错误!C．5 D．34．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x）2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝（）A．－180 B．180 C．45 D．－455．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个是一等品的概率为（ ） A ．12B ．错误!C ．错误!D ．错误!6．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若EX ＝错误!,则DX 的值是（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!7。
对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：),(11y x ，),(22y x ,),(n n y x ,则下列不正确的说法是（ ）A 。
若求得相关系数89.0-=r ,则y 与x 具备很强的线性相关关系，且为负相关B 。
同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和8.11=E ,同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和4.22=E ，则模型1的拟合效果更好C 。
用相关指数2R 来刻画回归效果，模型1的相关指数48.021=R，模型2的相关指数91.022=R，则模型1的拟合效果更好D 。
该回归分析只对被调查样本的总体适用8．．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13），则P （X ＝2)等于( )A 。
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高一(上)第二次月考数学试卷(理科)
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高一（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若α是第三象限角，则是（）A．第二象限角B．第四象限角C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角3．（5分）已知a=log 23.4，b=log43.6，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是[﹣1，4]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，]B．[﹣1，4]C．[﹣5，5]D．[﹣3，7]5．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=7，则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或16．（5分）设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（3，2）7．（5分）若角α的终边过点，则sinα=（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=cos2x+sinx﹣1的值域为（）A．B．[0，]C．[﹣2，]D．[﹣1，]9．（5分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣3=0的一个根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）10．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣1，1）11．（5分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．12．（5分）设函数f（x）=则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为（）A．199 B．200 C．201 D．202二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是．15．（5分）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为．16．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x 轴有个交点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）lg2.5+lg2﹣lg﹣log29×log32．18．（12分）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．19．（12分）（1）已知sinα+cosα=，0＜α＜π，求sinα﹣cosα；（2）已知tanα=2，求．20．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的值域；（2）设函数g（x）=ax﹣3，x∈[﹣1，1]，若对于任意x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知，求的值．22．（12分）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．（1）证明：a＞0且；（2）试判断函数f（x）在（0，1）内的零点个数，并说明理由．2016-2017学年内蒙古赤峰二中高一（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．2．（5分）（2016春•应县校级月考）若α是第三象限角，则是（）A．第二象限角B．第四象限角C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角【解答】解：∵α是第三象限角，∴k•360°+180°＜α＜k•360°+270°，k∈Z，则k•180°+90°＜＜k•180°+135°，k∈Z，令k=2n，n∈Z有n•360°+90°＜＜n•360°+135°，n∈Z；在二象限；k=2n+1，n∈z，有n•360°+270°＜＜n•360°+315°，n∈Z；在四象限；故选：D．3．（5分）（2014•开封模拟）已知a=log 23.4，b=log43.6，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：∵c==﹣log0.3=log3，又log23.4＞log3 3.4＞log3＞1＞log43.6＞0．所以a＞c＞b．故选：C．4．（5分）（2015秋•包头校级期中）已知函数y=f（x）的定义域是[﹣1，4]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[0，]B．[﹣1，4]C．[﹣5，5]D．[﹣3，7]【解答】解：∵﹣1≤2x﹣1≤4，解得：0≤x≤，故选：A．5．（5分）（2016秋•红山区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=7，则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或1【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，可得x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，因为x12+x22=7，所以m2﹣2（2m﹣1）=7，解得m=﹣1．故选：B．6．（5分）（2016春•天水校级期末）设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（3，2）【解答】解：当x+2=1，即x=﹣1时，y=2+log a（x+2）=2恒成立，故函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P（﹣1，2），故选：A7．（5分）（2015秋•朝阳区校级期末）若角α的终边过点，则sinα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos120°=﹣cos60°=﹣，sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°=﹣，∴角α的终边过点P（﹣1，﹣1），∴sinα=﹣．故选：D8．（5分）（2016秋•红山区校级月考）函数y=cos2x+sinx﹣1的值域为（）A．B．[0，]C．[﹣2，]D．[﹣1，]【解答】解：∵函数y=cos2x+sinx﹣1=﹣sin2x+sinx=﹣+，sinx∈[﹣1，1]，故当sinx=时，函数y取得最大值为；当sinx=﹣1时，函数y取得最小值为﹣2，故函数y的值域为[﹣2，]．故选C．9．（5分）（2016秋•红山区校级月考）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x ﹣3=0的一个根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣3，则f（﹣1）≈0.37+1﹣3＜0，f（0）=1﹣0﹣3=﹣2＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣3＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣3＞0，f（3）≈20.08﹣3﹣3＞0．故f（1）f（2）＜0，故断定方程e x﹣x﹣3=0的一个根所在区间是为：（1，2）．故选：C．10．（5分）（2012秋•青铜峡市校级期中）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣1，1）【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选C．11．（5分）（2016秋•简阳市期末）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．12．（5分）（2016秋•红山区校级月考）设函数f（x）=则f（）+f（）+f（）+…+f（）的值为（）A．199 B．200 C．201 D．202【解答】解：∵函数f（x）=，∴当x≠1时，，∴当x1≠1，x2≠1，且x1+x2=2时，有：==2．∵，∴f（）+f（）=2．同理f（）+f（）=2；f（）+f（）=2；f（）+f（）=2；…f（）+f（）=2．又∵f（）=f（1）=1．∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=201．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）（2016秋•红山区校级月考）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3} ．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．14．（5分）（2016秋•红山区校级月考）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是{x|x≥3或x ≤1} ．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．15．（5分）（2014春•海安县校级期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（3，+∞）．【解答】解：令g（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）=为复合函数，由题意得，函数的单调递减区间为g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间，∴由x2﹣2x﹣3＞0得：x＞3或x＜﹣1，又g（x）=x2﹣2x﹣3的递增区间为：[1，+∞），∴x＞3，即函数的单调递减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．16．（5分）（2015秋•延边州校级期中）已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，当x≤0时，f（x）=x+1，当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0y=f[f（x）]﹣1=log2（x+1）﹣1=0，即log2（x+1）=1，解得x=1（舍去）当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1﹣1=x+1=0，∴x=﹣1．当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1，当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1=log2（log2x+1）﹣1=0，∴log2x﹣1=0，x=2（舍去）当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，∴log2x=2，x=4．综上所述，y=f[f（x）]﹣1的零点是x=﹣1，或x=4，∴则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点，故答为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•延津县校级期中）化简求值：（1）0.064﹣（﹣）0+16+0.25；（2）lg2.5+lg2﹣lg﹣log29×log32．【解答】解：（1）原式=﹣1++=﹣1+8+=10．（2）原式=﹣=lg10﹣2=﹣1．18．（12分）（2016秋•路南区校级期中）已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【解答】解：（1）∵函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，又∵f（）=．∴b=0，a=1，∴f（x）=．（2）f（x）在（﹣1，1）上为增函数，理由如下：证法一：设﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1•x2＞0，x1﹣x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在在（﹣1，1）上为增函数，证法二：∵f（x）=．∴f′（x）=．当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在在（﹣1，1）上为增函数，（3）∵f（2x﹣1）+f（x）＜0，∴f（2x﹣1）＜﹣f（x）=f（﹣x），又f（x）在在（﹣1，1）上为递增的奇函数，∴﹣1＜2x﹣1＜﹣x＜1，∴0＜x＜，∴不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0的解集为（0，）．19．（12分）（2015秋•朔州校级期末）（1）已知sinα+cosα=，0＜α＜π，求sinα﹣cosα；（2）已知tanα=2，求．【解答】解：（1）∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣．∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=．又∵0＜α＜π且2sinαcosα=﹣．∴＜α＜π，∴sinα﹣cosα=；（2）∵tanα=2，∴==．20．（12分）（2016秋•红山区校级月考）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的值域；（2）设函数g（x）=ax﹣3，x∈[﹣1，1]，若对于任意x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，由定义易证函数在上是减函数，此时；当时，；当时，在上是增函数，此时．∴f（x）的值域为．（2）①若a=0，g（x）=﹣3，对于任意x1∈[﹣1，1]，，不存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立．②若a＞0，g（x）=ax﹣3在[﹣1，1]上是增函数，g（x）∈[﹣a﹣3，a﹣3]，任给x1∈[﹣1，1]，，若存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则，∴，∴a≥3．③若a＜0，g（x）=ax﹣3在[﹣1，1]上是减函数，g（x）∈[a﹣3，﹣a﹣3]，若存在x0∈[﹣1，1]，使g（x0）=f（x1）成立，则．∴，∴a≤﹣3．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．21．（12分）（2016秋•红山区校级月考）已知，求的值．【解答】解：∵，即2tan2α﹣5tanα+2=0，解得或tanα=2，∴==，当时，原式=；当tanα=2时，原式=，故要求的式子的值为或．22．（12分）（2016秋•红山区校级月考）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f （0）＞0，f（1）＞0．（1）证明：a＞0且；（2）试判断函数f（x）在（0，1）内的零点个数，并说明理由．【解答】证明：（1）因为f（0）＞0，f（1）＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0由条件a+b+c=0消去b，得a＞c＞0，由条件a+b+c=0消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，故；（2）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为在的两边乘以，得又因为f（0）＞0，f（1）＞0，而所以函数f（x）在区间和内分别有一个零点故函数f（x）在（0，1）上有两个零点．参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；w3239003；sxs123；刘老师；qiss；豫汝王世崇；lcb001；whgcn；yiyou；王老师；zlzhan；wfy814；沂蒙松；刘长柏；caoqz（排名不分先后）菁优网2017年4月17日。
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．（5分）已知复数z1=的实部为a，复数z2=i（2+i）的虚部为b，复数z=b+ai的共轭复数在复平面内的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）下列说法中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题B．“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立“的充要条件C．在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件D．命题“∃x0∈R，2x0≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”5．（5分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．或B．或3 C．D．36．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过7．（5分）已知复数z1=3﹣i，|z2|=2，则|z1+z2|的最大值是（）A．B．C．+2 D．8．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，859．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）”（n ）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）∈N+A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．10．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣112．（5分）设函数f（x）=xe x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，）B．[，）C．[﹣，）D．[，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）=．14．（5分）在极坐标中，已知圆C经过点P（2，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，圆C的极坐标方程是．15．（5分）设n为正整数，f（n）=1+++…+，计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，观察上述结果，按照上面规律，可以推测f（1024）＞．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=．三、解答题：（本大题共6小题，其中17题10分，其它每小题10分；）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（1）计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC 中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：平面PBC⊥平面PBD；（3）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b （a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．【解答】解：x B=a+t1cosθx C=a+t2cosθ对于中点M有x M=（x B+x C）=（a+t1cosθ+a+t2cosθ）=a+（t1+t2）cosθ同理y M=b+（t1+t2）sinθ∴线段BC的中点M对应的参数值是（t1+t2）故选B．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B3．（5分）已知复数z1=的实部为a，复数z2=i（2+i）的虚部为b，复数z=b+ai的共轭复数在复平面内的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z1===1+2i的实部为a=1，复数z2=i（2+i）=2i﹣1的虚部为b=2，复数z=b+ai=2+i的共轭复数2﹣i在复平面内的对应点（2，﹣1）在第四象限．故选：D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题B．“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立“的充要条件C．在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件D．命题“∃x0∈R，2x0≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，一真为真，说p，q均为真命题，是不正确的；对于B，“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立“的充要条件，充分条件成立，必要条件是a≥4，所以B正确；对于C，在△ABC中，“a＞b”⇔“sinA＞sinB”的充分必要条件，所以C不正确；对于D，命题“∃x0∈R，2x0≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”，满足命题的否定形式，正确．故选：D．5．（5分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．或B．或3 C．D．3【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==；当双曲线的焦点在y轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==．综上可得e=或．故选：A．6．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．7．（5分）已知复数z1=3﹣i，|z2|=2，则|z1+z2|的最大值是（）A．B．C．+2 D．【解答】解：∵|z2|=2，可设z2=2cosθ+2isinθ，z1+z2=3+2cosθ+（2sinθ﹣1）i，则|z1+z2|==≤=，当且仅当cos（θ+φ）=1时取等．故选：C．8．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位，只有D符合条件．故选D9．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）”（n ）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）∈N+A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．故选B10．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选B．11．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．12．（5分）设函数f（x）=xe x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，）B．[，）C．[﹣，）D．[，）【解答】解：令y=xe x，y=ax﹣a，∵y′=e x（x+1），∴y=xe x在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在（﹣1，+∞）上是增函数，又∵y=ax﹣a是恒过点（1，0）的直线，∴作y=xe x与y=ax﹣a的图象如下，，当直线y=ax﹣a与y=xe x相切时，设切点为（x，xe x），则=e x+xe x，则x=，x=；结合图象可知，或，解得，a∈[，）∪（2e2，e3]，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）=﹣1．【解答】解：=+==﹣1，故答案为﹣1．14．（5分）在极坐标中，已知圆C经过点P（2，），圆心为直线ρs in（θ﹣）=﹣与极轴的交点，圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ．【解答】解：圆C经过点P（2，），化为直角坐标P（2，2）．直线ρsin（θ﹣）=﹣展开可得：=﹣，化为直角坐标方程：y﹣x=﹣2，令y=0，则x=2，可得直线与极轴的交点C（2，0），要求的圆的方程为：（x﹣2）2+y2=22，展开可得：x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，故答案为：ρ=4cosθ．15．（5分）设n为正整数，f（n）=1+++…+，计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，观察上述结果，按照上面规律，可以推测f（1024）＞6．【解答】解：由题意，f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，可得f（2n）≥，推测f（1024）＞6故答案为6．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=a．【解答】解：由题意知：F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a，∴x=a．在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．故答案为：a．三、解答题：（本大题共6小题，其中17题10分，其它每小题10分；）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1和C 2的极坐标方程； （2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜），将l 1逆时针旋转得到l 2：θ=α+，且l 1与C 1交于O ，P 两点，l 2与C 2交于O ，Q 两点，求|OP |•|OQ |取最大值时点P 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2=4，所以C 1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=4，所以C 2极坐标方程为ρ=4sinθ （2）设点P 极点坐标（ρ1，α），即ρ1=4cosα， 点Q 极坐标为（ρ2，α+），即ρ2=4sin （α+），则|OP ||OQ |=ρ1ρ2=4cosα•4sin （α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin （2α+）+4∵α∈（0，）， ∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP |•|OQ |取最大值，此时P 极点坐标（2，）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（Ⅱ）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C 的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x +2，（4分）所以直线l 的倾斜角为． （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P （0，2）在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．（1）计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，∴a1=1；当n=2时，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2=；当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3=．由此猜想a n=（n∈N*）（2）证明：①当n=1时，a1=1结论成立，②假设n=k（k≥1，且k∈N*）时结论成立，即a k=，=S k+1﹣S k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，∴2a k+1=2+a k当n=k+1时，a k+1==，∴a k+1∴当n=k+1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n=成立20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC 中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：平面PBC⊥平面PBD；（3）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【解答】证明：（1）令PD中点为F，连接EF，AF，∵点E，F分别是PC、PD的中点，∴EF，∴EF AB．∴四边形FABE为平行四边形．∴BE∥AF，∵AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥面PAD．（2）在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，PD⊥CD，PD⊂面PCD，∴PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．解：（3）作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，连结QS由于QR∥PD，∴QR⊥平面ABCD∴∠QSR就是二面角Q﹣BD﹣C的平面角，∵面PBD⊥面ABCD，且二面角Q﹣BD﹣P为60°∴∠QSR=60°∴∵QR∥PD∴∴．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即，此时=为定值，定点E为．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b （a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．【解答】解：（1）时，，∴，①当a=0时，h′（x）=e x＞0，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；②当a＞0时，，h（x）在上为增函数，故h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=h（1）=e；…（2分）③当a＜0时，，h（x）在上为增函数，在上为减函数，若，即a＜﹣2时，故h（x）在上为增函数，在上为减函数，此时，…（5分）若，即﹣2≤a＜0时，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；∴综上所述：φ（a）=；…（6分）（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣b，F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；…（7分）∴F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上恰有两个相异实根，∴实数b的取值范围是b∈（2﹣2ln2，1]；…（10分）（3）由题设：，（*）∵，故p（x）在上单调递减；在上单调递增，∴（*），设，则，∴q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，…（12分）而q（2e2）=2e2﹣2e2lne2+15=15﹣2e2＞0，且，故存在使q（x0）=0，且x∈[2，x0）时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵，，∴a∈N*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=14．…（14分）。
2016-2017年内蒙古赤峰二中高一(下)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高一（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）A．a|c|＜b|c|B．ab＜bc C．a﹣c＜b﹣c D．2．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24B．0C．12D．243．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3＝0B．2x﹣y﹣5＝0C．3x﹣y﹣9＝0D．4x﹣3y+7＝0 4．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）经过圆x2+y2+2y＝0的圆心C，且与直线2x+3y﹣4＝0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3＝0B．2x+3y﹣3＝0C．2x+3y+2＝0D．3x﹣2y﹣2＝0 6．（5分）设S n为数列{a n}的n前项和，a n＝2n﹣49，则S n取最小值时，n的值为（）A．12B．13C．24D．257．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为（）A．25B．51C．49D．498．（5分）若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．29．（5分）若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4）B．（0，2）C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）10．（5分）已知直线斜率的取值范围是[﹣1，+∞），则倾斜角的取值范围是（）A．[135°，180°）B．[0°，135°]C．[0°，90°]∪[135°，180°）D．[0°，90°）∪（90°，180°）11．（5分）当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[0，4）D．（0，4）12．（5分）曲线与直线y＝k（x﹣2）+4两个公共点时，实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．（5分）已知点（m，3）到直线x+y﹣4＝0的距离等于，则m的值为．14．（5分）已知圆C：x2+y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为．15．（5分）在平面直角坐标系中，动点M（x，y）满足条件，动点Q在曲线上，则|MQ|的最小值为．16．（5分）设直线l：3x+4y+4＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y＝x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．（12分）在△ABC中，点B（4，4），角A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x﹣2y+2＝0（Ⅰ）求点C的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝b tan A，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A＝；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．21．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足＝，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知圆与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年内蒙古赤峰二中高一（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）A．a|c|＜b|c|B．ab＜bc C．a﹣c＜b﹣c D．【解答】解：∵a＜b＜c，当c＝0时，a|c|＜b|c|不成立，故A错误；当b＝0时，ab＜bc不成立，故B错误；a﹣c＜b﹣c一定成立，故C正确；当a，b，c异号时，不成立，故D错误；故选：C．2．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24B．0C．12D．24【解答】解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2＝x（6x+6），解x ＝﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选：A．3．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3＝0B．2x﹣y﹣5＝0C．3x﹣y﹣9＝0D．4x﹣3y+7＝0【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x＝0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9＝0．故选：C．4．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y＝x+a得斜率为1排除B、D，由y＝ax与y＝x+a中a同号知若y＝ax递增，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y＝ax递减，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（5分）经过圆x2+y2+2y＝0的圆心C，且与直线2x+3y﹣4＝0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3＝0B．2x+3y﹣3＝0C．2x+3y+2＝0D．3x﹣2y﹣2＝0【解答】解：由圆x2+y2+2y＝0得x2+（y+1）2＝1，圆心坐标为C（0，﹣1），直线2x+3y ﹣4＝0的斜率，∴经过圆心C，且与直线2x+3y﹣4＝0平行的直线方程为，即2x+3y+3＝0．故选：A．6．（5分）设S n为数列{a n}的n前项和，a n＝2n﹣49，则S n取最小值时，n的值为（）A．12B．13C．24D．25【解答】解：由a n＝2n﹣49可得数列{a n}为等差数列∴a1＝2﹣49＝﹣47＝（n﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n＝24时和有最小值故选：C．7．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为（）A．25B．51C．49D．49【解答】解：∵A＝60°，AC＝b＝16，面积S＝220，∴S＝bc sin A＝220，即4c＝220，∴c＝55，又b＝16，cos A＝，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝552+162﹣16×55＝2401，解得：a＝49，则BC的长为49．故选：D．8．（5分）若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝0+2×1＝2．故选：D．9．（5分）若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4）B．（0，2）C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【解答】解：由于直线l1：y＝k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选：B．10．（5分）已知直线斜率的取值范围是[﹣1，+∞），则倾斜角的取值范围是（）A．[135°，180°）B．[0°，135°]C．[0°，90°]∪[135°，180°）D．[0°，90°）∪（90°，180°）【解答】解：设直线的倾斜角为α∈[0°，180°）．则tanα≥﹣1，∴α∈[0°，90°）∪[135°，180°）．故选：C．11．（5分）当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[0，4）D．（0，4）【解答】解：当k＝0时，不等式kx2﹣kx+1＞0可化为1＞0，显然恒成立；当k≠0时，若不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点则解得：0＜k＜4综上k的取值范围是[0，4）故选：C．12．（5分）曲线与直线y＝k（x﹣2）+4两个公共点时，实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：曲线表示圆的一部分，直线y＝k（x﹣2）+4是过定点（2、4）的直线系，如图：不难看出直线的斜率范围是．故选：D．二、填空题13．（5分）已知点（m，3）到直线x+y﹣4＝0的距离等于，则m的值为﹣1或3．【解答】解：由点到直线的距离公式可得：＝，化为：|m﹣1|＝2，解得m＝﹣1或3．故答案为：﹣1或3．14．（5分）已知圆C：x2+y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为x＝3或4x+3y﹣15＝0．【解答】解：圆心坐标为（0，0），半径为3，∵点P（3，1）在圆外，∴若直线斜率k不存在，则直线方程为x＝3，圆心到直线的距离为3，满足相切．若直线斜率存在设为k，则直线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，则圆心到直线kx﹣y+1﹣3k＝0的距离等于半径1，即d＝＝1，解得k＝﹣，此时直线方程为4x+3y﹣15＝0，综上切线方程为x＝3或4x+3y﹣15＝0，故答案为：x＝3或4x+3y﹣15＝015．（5分）在平面直角坐标系中，动点M（x，y）满足条件，动点Q在曲线上，则|MQ|的最小值为．【解答】解：如图可行域和圆为阴影部分，|MQ|为可行域内点到圆上一点的距离，∵圆心（1，0）到直线x﹣y+2＝0的距离为：d＝＝则|MQ|的最小值为：d﹣r＝﹣＝．故最小值为：．故答案为：．16．（5分）设直线l：3x+4y+4＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2＝r2，圆心为：（2，0），半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可∵C到直线l：3x+4y+4＝0的距离2，则r．个答案为：[，+∞）．三、解答题17．（10分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，分别令x＝0，解得y＝﹣；y＝0，x＝﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴＝24，解得m＝±24．∴直线l的方程为3x+4y±24＝0．18．（12分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y＝x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9＝a2+2a+1，解得a＝1，（2分）所以r2＝（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x＝2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2＝0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2＝0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2＝0或4x+3y﹣2＝0．（10分）19．（12分）在△ABC中，点B（4，4），角A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x﹣2y+2＝0（Ⅰ）求点C的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知BC的斜率为﹣2，又点B（4，4），∴直线BC的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣4），即2x+y﹣12＝0．解方程组，得，∴点A的坐标为（﹣2，0）．又∠A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，∴点B（4，4）关于直线y＝0的对称点B'（4，﹣4）在直线AC上，∴直线AC的方程为，即2x+3y+4＝0．解方程组，得，∴点C的坐标为（10，﹣8）．（Ⅱ）∵，又直线BC的方程是2x+y﹣12＝0，∴点A到直线BC的距离是，∴△ABC的面积是．20．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝b tan A，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A＝；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a＝b tan A和正弦定理可得＝＝，∴sin B＝cos A，即sin B＝sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B＝+A，∴B﹣A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C＝π﹣（A+B）＝π﹣（A++A）＝﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sin A+sin C＝sin A+sin（﹣2A）＝sin A+cos2A＝sin A+1﹣2sin2A＝﹣2（sin A﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sin A＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sin A﹣）2+≤∴sin A+sin C的取值范围为（，]21．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足＝，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．∴，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝2n﹣1．n∈N*．（2）由已知得＝，n∈N*，a n＝2n﹣1．n∈N*．∴，n∈N*，∴{b n}的前n项和：T n＝，①T n＝，②①﹣②，得：＝＝﹣＝，∴．22．（12分）已知圆与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；（1）求圆C2的方程；（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM＝PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20，令x＝0，解得y＝0或4．∵圆C2过O，A两点，∴可设圆C2的圆心C1（a，2）．直线C2O的方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．∵直线C2O与圆C1相切，∴＝，解得a＝﹣1，∴圆C2的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝，化为：x2+y2+2x﹣4y＝0．（2）存在，且为P（3，4）．设直线OM的方程为：y＝kx．代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x＝0．x M＝，y M＝．代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x＝0．x N＝，y N＝．设P（x，y），线段MN的中点E．则×k＝﹣1，化为：k（4﹣y）+（3﹣x）＝0，令4﹣y＝3﹣x＝0，解得x＝3，y＝4．∴P（3，4）与k无关系．∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM＝PN始终成立．。
内蒙古赤峰二中高二数学上学期第二次月考试题 理
赤峰二中2013级高二上学期第二次月考理科数学试题试卷类型：A 2014.12.11一、选择题（每题5分，共12小题，合计60分）1．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x3．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(0,0,0)、(1,2,0)、(0,2,2)、(3,0,1)，则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为( ) A ．3 B.52 C ．2 D.724．若函数()323f x ax x x=+-恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(3,)-+∞B ．[3,)-+∞C ．(3,0)(0,)-+∞D ．(,0)(0,3)-∞5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为b 2，则双曲线的离心率等于( ) A. 3 B. 5 C.32 D.526.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 8．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )>xf ′(x )，则一定有( )A ．函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数C ．函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上为减函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数9．若函数f (x )＝ln x ＋a x 在区间[1，e]上的最小值为32，则实数a 的值为( )A.32B. eC.e2 D ．非上述答案 10．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）11．函数f (x )＝2e －x2－x的图象大致是( )12．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223 二、填空题（本题包括4小题，共20分） 13若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝()dx x ⎰+4121，则公比等于___ _14．直线l 过双曲线141622=-y x 的右焦点且与双曲线的右支交与A 、B 两点，4=AB ,则A 、B 与x x y 22-=0=+y x 32653161双曲线的左焦点所得三角形的周长为__________________。
2016-2017年内蒙古赤峰二中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A．2B．3C．5D．132．（5分）某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）A．A•C B．A•CC．A•C D．2A3．（5分）抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至多有1件正品4．（5分）向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．406．（5分）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A．120B．252C．210D．457．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．8．（5分）某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，则（）A．＞，s 甲2＞s乙2B．＞，s甲2＜s乙2C．＜，s 甲2＞s乙2D．＜，s甲2＜s乙29．（5分）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种10．（5分）三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.512．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．14．（5分）里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．15．（5分）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．16．（5分）已知（1﹣）•（1+x）5的展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0，则r＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）＝，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．18．（12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）设y关于t的线性回归方程为y＝bt+a，求b，a的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．（参考公式：b＝，a＝﹣b）19．（12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X（单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量，T（单位：元）为下个月所缴纳的电费．（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将T表示为X的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费T∈[37.5，115）的概率．20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出2个球．在摸出的4个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有3个红球，则获二等奖；若只有2个红球，则获三等奖；若只有1个红球，则获四等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获一等奖的概率；（2）求顾客抽奖1次能获二等奖的概率（3）求顾客抽奖1次能获奖的概率．21．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线L交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程（2）若直线L1平行L，且L1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE恒过定点 求△ABE 的面积最小值．2016-2017学年内蒙古赤峰二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A．2B．3C．5D．13【解答】解：各层次之比为：30：75：195＝2：5：13，所抽取的中型商店数是，故选：C．2．（5分）某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）A．A•C B．A•CC．A•C D．2A【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题首先将4名学生均分成两组方法数为C42，再分配给6个班级中的2个分配方法数为A62，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为A62C42，故选：B．3．（5分）抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至多有1件正品【解答】解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有两件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有一件次品．4．（5分）向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：阴影部分的面积S＝2×+＝1+2ln2，边长为2的正方形的面积为：4，故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P＝，故选：A．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．40【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S＝21+22+1+2＝2+4+1+2＝9＜15，S＝21+22+23+1+2+3＝2+4+8+1+2+3＝20≥15．∴输出S＝20．6．（5分）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A．120B．252C．210D．45【解答】解：展开式的通项为所以项的系数是二项式系数C2n r据展开式中间项的二项式系数最大又中间项是第n+1项所以n+1＝6解得n＝5所以展开式的通项为令5﹣＝0解得r＝6所以常数项为C106＝210故选：C．7．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由频率分布直方图可知：[5，10）的频数为20×0.01×5＝1个，排除B，[25，30）频数为20×0.03×5＝3个，排除C，D，则对应的茎叶图为A，故选：A．8．（5分）某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，则（）A．＞，s 甲2＞s乙2B．＞，s甲2＜s乙2C．＜，s 甲2＞s乙2D．＜，s甲2＜s乙2【解答】解：∵某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方，甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，∴＜，s甲2＞s乙2．故选：C．9．（5分）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【解答】解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排，故有＝96种，故选：C．10．（5分）三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：三人上10节车厢的情况种数是10×10×10＝1000，三人在不同的车厢的情况种数是：A103＝10×9×8，∴至少两人上了同一车厢的概率＝故选：B．11．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.5【解答】解：∵＝＝，＝，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程＝2.1x+0.85，∴＝2.1×+0.85，解得m＝0.5，∴m的值为0.5．故选：D．12．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62＝15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62＝15条，甲乙从中任选一条共有15×15＝225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为＝，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．【解答】解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S＝2×2＝4，不等式x+y≤对应的区域如图：对应三角形OAB，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝，即A（0，），B（，0），则△AOB的面积为＝1，则所取的点恰好满足x+y≤的概率P＝；故答案为：14．（5分）里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，基本事件总数n＝，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m＝，∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p＝＝＝．故答案为：．15．（5分）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10种（结果用数值表示）．【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10故答案为1016．（5分）已知（1﹣）•（1+x）5的展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0，则r＝2．【解答】解：∵（1﹣）•（1+x）5＝（1﹣）•（1+x+x2+x3+x4+x5），其展开式中x r（r∈z且﹣1≤r≤5）的系数为0，即x2﹣•x3＝0，∴r＝2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρsin（θ+）＝，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的P的坐标．【解答】（本题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数），将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．，∴曲线C3：x2+y2＝1，曲线C2：ρsin（θ+）＝，即ρsinθ+ρcosθ＝，∴曲线C2：x+y＝2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设P（cosα，sinα），则线段|PQ|的最小值为点P到直线x+y＝2的距离．转化为圆的想到直线的距离减去半径，∴，直线x+y＝2的斜率为﹣1，所以QP的斜率为1，P在x2+y2＝1上，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）设y关于t的线性回归方程为y＝bt+a，求b，a的值；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．（参考公式：b＝，a＝﹣b）【解答】解：（1）∵，∴，；（2）由（1）知y关于t的回归方程为y＝0.5t+2.3．当t＝10时，y＝0.5×10+2.3＝7.3（千元），答：预计到2016年，该区人均纯收入约7300元左右．19．（12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X（单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量，T（单位：元）为下个月所缴纳的电费．（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将T表示为X的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费T∈[37.5，115）的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该用户的月用电量的平均值为：＝50×0.12+100×0.18+150×0.3+200×0.22+250×0.12+300×0.06＝161（度）．（2）每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X（单位：度，25≤X≤325）为该用户下个月的用电量，T（单位：元）为下个月所缴纳的电费．∴当25≤X≤200时，T＝0.5X，当200＜X≤325时，T＝200×0.5+（X﹣200）×0.6＝100+0.6（X﹣200），∴T＝．（3）T∈[37.5，115]，∴X∈[75，225]，∴P（T∈[37.5，115））＝P（X∈[75.225））＝（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7．20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出2个球．在摸出的4个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有3个红球，则获二等奖；若只有2个红球，则获三等奖；若只有1个红球，则获四等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获一等奖的概率；（2）求顾客抽奖1次能获二等奖的概率（3）求顾客抽奖1次能获奖的概率．【解答】解：（1）顾客抽奖1次能获一等奖的概率：＝．（2）顾客抽奖1次能获二等奖的概率：P2＝＝＝．（3）顾客抽奖1次能获奖的概率：P3＝＝．21．（12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM 所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴＝（﹣，0，﹣1），＝（﹣1，0，1），cos＜＞＝＝﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵＝（0，1，1），可设＝λ•＝（0，λ，λ）．又＝（，﹣1，0），＝+＝（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ＝．此时，＝（0，，），||＝，故当||＝时，ES⊥平面AMN．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线L交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程（2）若直线L1平行L，且L1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE恒过定点 求△ABE 的面积最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），∴|F A|＝|FD|＝3+．∵△ADF为正三角形，∴|FG|＝|FD|＝+．又∵|FG|＝|OG|＝|OF|＝3﹣，∴3﹣＝+，∴p＝2．∴C的方程为y2＝4x．当D在焦点F的左侧时，|F A|＝|FD|＝3+又|FD|＝2|FG|＝2（﹣3）＝p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+＝p﹣6，解得p＝18，∴C的方程为y2＝36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2＝4x．（2）证明：设A（x1，y1），|FD|＝|AF|＝x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD＝﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为y＝﹣x+m，联立方程，消去x得y1y2+8y﹣8m＝0 ①由l1和C有且只有一个公共点得△＝64+32y1m＝0，∴y1m＝﹣2，这时方程①的解为y＝2m，代入y＝﹣x+m得x＝m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为（，﹣），直线AE方程为y﹣2m＝（x﹣m2），即y＝（x﹣1），∴直线AE过定点（1，0）；直线AB的方程为y﹣y1＝﹣（x﹣），即x＝﹣y++2．联立方程，消去x得，∴y1+y2＝﹣，∴|AB|＝|y1﹣y2|＝||，点E的坐标为E（，﹣），点E到直线AB的距离为：d＝，∴△ABE的面积S＝|AB|d＝2|+|3≥16，当且仅当y1＝±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．。
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页 1第 高二文科月考试题 1．已知命题:,sin1pxRx，则它的否定是（ ） A．存在,sin1xRx B．任意,sin1xRx C．存在,sin1xRx D．任意,sin1xRx 2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ） A．3 B．9 C．17 D．51 3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（ ） A．20人，30人，10人 B．30人，30人，30人 C．30人，45人，15人 D．30人，50人，10人 4．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．336 B．510 C．1326 D．3603 5．过(4,1)P的直线l与双曲线2214xy仅有一个公共点，则这样的直线l有（ ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（ ） 页 2第
A．0 B．2 C．4 D．14 7．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点（ ） A．（2,0） B．（1,0） C．（0,1） D．（0，－1） 8．中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（*,b,c,dNa），则bdac是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道3.14159，若令31491015，则第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105，若每次都取得最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似数为（ ） A．227 B．6320 C．7825 D．10935 页 3第
10．在同意直角坐标系中，函数22322()2ayaxxyaxaxxaaR与的图像不可能的是（ ） 11．已知双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别为1F、2F，为双曲线上任一点，且12
FF
最小值的取值范围是2231,42cc，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．1,2 B．2,2 C．1,2 D．2, 12．定义在(0,)2π上的函数()fx，()fx是它的导函数，且恒有()()tanfxfxx成立，则（ ） A．ππ3()2()43ff> B．(1)2()sin16πff< C．ππ2()()64ff> D．ππ3()()63ff<
评卷人 得分 一、填空题（题型注释）
13．若抛物线22ypx的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为 . 14．已知2'32fxxxf，则2f ； 15．已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则 a . 16．已知双曲线221916xy的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且1232PFPF，则12FPF＝ ．
评卷人 得分 二、解答题（题型注释） 页 4第
17．已知cbxaxxf23)(的图象经过点(0,1)，且在1x处的切线方程是xy （1）求)(xfy的解析式；（2）求)(xfy的单调递增区间. 18．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （Ⅰ）当|PF|=2时，求点P的坐标； （Ⅱ）求点P到直线y=x﹣10的距离的最小值． 19．已知函数2()(1)lnfxaxx. （1）若()yfx在2x处取得极小值，求a的值； （2）若()0fx在[1,)上恒成立，求a的取值范围；
20．已知椭圆2222:10xyEabab 的短轴长为2，离心率为63，直线l过点1,0交椭圆E于AB、两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程； （2）求OAB面积的最大值．
21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交于两点AB、，设P为椭圆上一点，且满足OAOBtOP（其中O为坐标原点），求整数t的最大值． 22．已知函数xxxf1ln)(. （1）求)(xf的最小值； （2）若方程axf)(有两个根)(,2121xxxx，证明：221xx. 页 5第
参考答案 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B 11．B 12．D 13．1x 14． -8 15．1 16．2 17．解：（1）32fxaxbxc（）的图象经过点(0,1),可得1c， 2321321fxaxbxfab（），（）①切点为(1,1)，说明函数cbxaxxf23)(
过点(1,1)，
代入得11ab②，由①②，解得32111abfxxx，，（）；
（2）由2320fxxx（）＞解得203xx＜或＞，故函数)(xfy的单调递增区间 203（，），（，）．
18．解：（Ⅰ）由抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点， 故设P（a，），（a＞0）， ∵|PF|=2，结合抛物线的定义得，+1=2， ∴a=2， ∴点P的坐标为（2，1）； 页 6第
（Ⅱ）设点P的坐标为P（a，），（a＞0）， 则点P到直线y=x﹣10的距离d为=， ∵﹣a+10=（a﹣2）2+9， ∴当a=2时，﹣a+10取得最小值9， 故点P到直线y=x﹣10的距离的最小值==． 19．解： （1）∵()fx的定义域为(0,)，1'()2fxaxx， ∵()fx在2x处取得极小值，∴'(2)0f，即18a. 此时，经验证2x是()fx的极小值点，故18a （2）∵1'()2fxaxx， ①当0a时，'()0fx，∴()fx在[1,)上单调递减， ∴当1x时，()(1)0fxf矛盾
②当0a时，221'()axfxx， 令'()0fx，得12xa；'()0fx，得102xa. （ⅰ）当112a，即102a时， 1(1,)2xa时，'()0fx，即()fx递减，∴()(1)0fxf矛盾.
（ⅱ）当112a，即12a时， [1,)x时，'()0fx，即()fx递增，∴()(1)0fxf满足题意.
综上，12a 20．解： 页 7第
（1）由题意得1b，由22631caac得32ac， ∴椭圆E的方程为2213xy； （2）依题决设直线l的方程为1xmy，
由22131xyxmy，得223220mymy，
224830mm
，设1122,,AxyBxy、，则1221222323myymyym，
22
1212122113614223OABmSyyyyyym
，
设233mtt，则22233131133324OABtStttt， ∵3t，∴103t， ∴当113t，即3t时，OAB面积取得最大值为63，此时0m． 21．解：（Ⅰ）由题知22cea， 所以22222212cabeaa．即222ab． 又因为2111b，所以22a，21b． 故椭圆C的方程为1222yx． 5分 （Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在． 设AB：(2)ykx，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)Pxy，
由22(2),1.2ykxxy得2222(12)8820kxkxk． 页 8第
422644(21)(82)0kkk
， 212k．
2122
812kxxk
，21228212kxxk 8分
∵OAOBtOP，∴1212(,)(,)xxyytxy，21228(12)xxkxttk， 12122
14[()4](12)yykykxxktttk
．
∵点P在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)kktktk， ∴22216(12)ktk 12分 22
2
2
161616422112222kttkk，则-，
∴t的最大整数值为1． 14分． 22．解：（1）)0(,111)(22xxxxxxf， 所以)(xf在)1,0(上单调递减，在),1(上单调递增，故)(xf的最小值为1)1(f. （2）若方程axf)(有两个根)0(,2121xxxx， 则22111ln1lnxxxx，即0ln122112xxxxxx.
要证221xx，需证12211221ln2)(xxxxxxxx，即证122112ln2xxxxxx， 设)1(12ttxx，则122112ln2xxxxxx等价于tttln21. 令ttttgln21)(，则0)11(211)(22ttttg， 所以)(tg在),1(上单调递增，0)1()(gtg，即tttln21，故221xx.