2014级数学分析(二)试题(A)
数学分析试题及答案解析
2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1。
若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（)。
3。
若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).4。
若收敛，则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分,共15分）1.若在上可积,则下限函数在上( ）A.不连续B. 连续C。
可微D。
不能确定2。
若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A。
在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。
在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定。
3.级数A。
发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。
设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若，则级数一定收敛；B。
若，则级数一定收敛;C。
若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5。
关于幂级数的说法正确的是( ）A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。
的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。
在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1。
2。
四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。
2。
六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
(本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。
数学分析2.2收敛数列的性质(含练习答案)
2、设： lim a = a， lim b = b，且 a<b. 证明：
n→∞
n→∞
存在正数 N，使得当 n>N 时，有 an<bn.
1
证：取ε0= 2 b − a > 0，则∃正数 N1,N2，
1
1
使当 n>N1 时，有 an<a+ε0= 2 b + a ; 当 n>N2 时，有 bn>b-ε0= 2 b + a .
由ε的任意性，得 a≤b，即 lim a ≤ lim b . 所以原命题得证.
n→∞
n→∞
1
注：当 an<bn 时，仍有 lim a ≤ lim b . 如当 an=0，bn=n 时，有 an<bn，
n→∞
n→∞
但 lim a = lim b = 0.
n→∞
n→∞
例 1：设 an≥0(n=1,2,…). 证明 lim a =a，则 lim a = a.
= 4.
n→∞ n 2 +n+n
n→∞
n→∞
1
1+ + 3
n n
n→∞ 4+ 2 + 3
n
n
=
1 1
1
+ +⋯ n
2 22
2
1 1
1
+ +⋯ n
3 32
3
n→∞
n2 + n − n = lim
(4) lim
(5) lim
n→∞ (−2)n +1 +3n +1
10)；(6) lim
= lim
n2
n→∞
北京理工大学 数学分析 分析解答2014-2(a)
(2014-2015-1)工科数学分析期末试题(A 卷)解答（2015.1）一．1. )43(7341-=-x y 2. 21 3．⎰+∞+2,)1(x x dx,0⎰+∞-dx xe x4. 1 , 32- 5． )(x f二. .122110dx x x I -=⎰ ……………..(2分)令t x sin = t d t t 22010cos sin 2⎰=π……………..(4分)tdt ⎰=210sin (2π)sin 2012tdt ⎰-π……………..(6分)π102421=……………..(8分)三. )(131⎰⎰+⎰=---dx exe C ey dx xxx dx xx……………..(4分))(ln 3ln ⎰--+=dx e xe C exx x xx ……………..(6分))(3⎰-+=dx xe xe C x e xx x )(2⎰+=dx e C xe x x……………..(8分) )21(2x x e C x e += ……………..(9分)四. (1) 1)0(=y ……………..(1分) y xe e y y y '--=' ……………..(分)e y -=')0( ……………..(3分)y xe y xe y e y e y y y y y ''-'-'-'-=''2)( ………..(4分) 22)0(e y ='' ……………..(5分)(2)由题设, 应有)0()0(y f = )0()0(y f '=' )0()0(y f ''='' ………..(6分)1)0(==f c ……………..(7分)b ax x f +='2)( e f b -='=)0( ……………..(8分) a x f 2)(='' 22)0(2e f a =''= 2e a = ……………..(9分)五. ⎰=34t a n c o sln ππx xd I ……………..(2分) ⎰+=3434t a n c o s s i n ln tan ππππxdx x xsx co x ……………..(5分) ⎰-+-=342)1cos 1(21ln 21ln 3ππdx x ……………..(6分) 34)(t a n 2ln 212ln 3ππx x -++-= ……………..(8分) 12132ln )321(π--+-= ……………..(9分)六. 设 a x x x f --=2ln )(2),0(+∞∈x ……………..(1分) x xx f -='1)( ……………..(2分) 令 0)(='x f 得1=x ……………..(3分)-∞==++→)(lim )00(0x f f x ……………..(4分) -∞==+∞+∞→)(lim )(x f f x ……………..(5分)a f --=21)1( ……………..(6分) 当21-<a 0)1(>f 二曲线有两个交点 ……………..(7分)当21-=a 0)1(=f 二曲线有一个交点 ……………..(8分)当21->a 0)1(<f 二曲线有没有交点 ……………..(9分)七． 设 12)1)(2(142222++++=++--x DBx x A x x x x ……………..(2分) )2)(()1(14222++++=--x D Bx x A x x得 3=A 2-=B 1-=D …（1+1+1）…..(5分)dx x x x x x x x )1223()1)(2(142222++-+=++--⎰⎰C x x x +-+-+=arctan 2)1ln(212ln 32 （每项1分）…..(9分)八. xx ax f x arcsin lim )00(30-=--→ ……………..(1分)2201113l i mx ax x --=-→ ……………..(2分)1113l i m 2220---=-→x x ax x22202113l i m x x ax x --=-→ ……………..(3分)a 6-= ……………..(4分)41lim )00(220x ax x e f ax x --+=++→ ……………..(5分)22l i m 0xax ae ax x -+=+→ ……………..(6分)212l i m 20+=+→ax x e a)2(22+=a ……………..(7分) 由题设得 6)2(262≠+=-a a 2-=a ……………..(9分)九.dx y a g x dW )(2100-⨯⋅=μdx x a a gx )(20022--=μ .……..(3分)⎰--=adx x a a gx 022)(200μ …..…..(4分)⎰-=a axdx g 0(200μ)022⎰-adx x a x …..…..(5分))312(20033a a g -=μ …(1+2)..…..(8分)33100ga μ=(J) ……………..(9分)十. 022=-+r r ……………..(1分) 1=r 2-=r ……………..(3分) x x e C e C y 221-+= ……………..(4分) 设 x e B Ax x y )(*+= ……………..(5分) 代入方程得 x B A Ax 3326=++ ……………..(7分)解得 21=A 31-=B ……………..(9分) 通解为 x x x e x x e C e C y )3121(2221-++=- ……………..(10分)十一. ⎰-=ξξπadx f x f V )]()([221 ……………..(2分)⎰-=bdx x f f x V ξξπ)]()([22 ……………..(4分)令 ⎰⎰---=btt adx x f t f x dx t f x f t F )]()([2)]()([)(22ππ …………..(6分)则)(x F 在],[b a 上连续0)]()([2)(<--=⎰ba dx x f a f x a F π ……………..(7分)0)]()([)(22>-=⎰badx b f x f b F π ……………..(8分)根据介值定理, ),(b a ∈∃ξ, 使0)(=ξF , 即⎰-ξξπadx f x f )]()([220)]()([2=--⎰bdx x f f x ξξπ21V V = ……………..(9分)。
数学分析试题及答案解析
WORD 格式整理2014 ---2015 学年度第二学期 《数学分析 2》A 试卷学院 班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）( 正确者后面括号内打对勾，否则打叉 )1.若 f x 在 a,b 连续，则 f x 在 a,b 上的不定积分 f x dx 可表为x af t dt C （ ）.2. 若 f x ,g x 为连续函数，则 f x g x dx f x dx g x dx （ ）.3. 若f x dx 绝对收敛，g x dx 条件收敛，则 [ f x g x ]dx 必aaa然条件收敛（）.4. 若f x dx 收敛，则必有级数f n 收敛（ ） 1n 15. 若 f n 与 g n 均在区间 I 上内闭一致收敛，则 f ng n 也在区间 I上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 n n 1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数， 并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.专业资料值得拥有WORD 格式整理二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）8.若 f x 在 a,b 上可积，则下限函数axf x dx 在 a,b 上（）A.不连续B. 连续C. 可微D. 不能确定9.若g x 在 a,b 上可积，而f x 在 a,b 上仅有有限个点处与g x 不相等，则（）A. f x 在 a,b 上一定不可积；B. f x 在 a,b 上一定可积, 但是babf x dxg x dx；aC. f x 在 a,b 上一定可积，并且babf x dxg x dx；aD. f x 在 a,b 上的可积性不能确定 .10.级数n1 1 12nn 1nA. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 不确定11.设u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（）uA. 若lim u n 0 ，则级数nn一定收敛；un 1B. 若lim 1，则级数u n 一定收敛；n unun 1C. 若N,当n N时有，1，则级数u n 一定收敛；un专业资料值得拥有WORD 格式整理u n 1D. 若 N,当nN 时有， 1，则级数u n 一定发散；u n12. 关于幂级数na n x 的说法正确的是（）A. na n x 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. na n x 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. na n x 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.na n x 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三. 计算与求值（每小题 5 分，共 10分）1 1.lim nnnn 1 n 2nn专业资料值得拥有WORD 格式整理ln sin x13.dx2cos x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）3 x 12.dx0 1 2x x专业资料值得拥有14.n1 n! n n15.n 1nn1 2nn 1 2专业资料值得拥有五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）sin nx16.f n , 1,2 , ,x n Dn专业资料值得拥有WORD 格式整理2n17. D , 2 2,nx六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
兰州文理学院2018-2019学年第二学期 期末考试《数学分析Ⅱ》(A)卷
二、判断题（每题1分，共8分）11. 函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是连续. ( )12. 函数项级数一致收敛的必要条件是通项收敛. ( )13. 若)(xf在[a,b]上可积，则|)(xf|在[a,b]上必可积. ( ) 14. dxxfa⎰+∞)(收敛，则0)(lim=∞→xfx. ( )15.nnn1)1(1∑+∞=-收敛，∑+∞=11nn也收敛. ( )16. 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.( )17. 设级数∑n u与∑n v都发散，则∑+)(nnvu也一定发散. ( )18.311x+的幂级数展开式为∑+∞=03nnx. ( )三、选择题（每题2分，共12分）19. 设xexf-=)(，则：=⎰dxxxf)(ln( )A cx+1B cx+ln C cx+-1D cx+-ln20. 设)(xf是[a,b]上可积的奇函数，则dttf x⎰0)(是( )A 连续的奇函数B 连续的偶函数C 未必连续的奇函数D 未必连续的偶函数21.nnxn)1(11-∑+∞=的收敛域为( )A (-1,1)B [-1,1)C (0,2]D [0,2)22. 下列说法错误的是 ( )A 函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{fn}的收敛域B 若函数列{fn}在区间I 上一致收敛且每项都连续，则其极限函数在I 上也连续C 若连续函数列{fn}在区间I 上内闭一致收敛，则极限函数在I 上连续D 一致收敛性是极限运算与求导运算的交换的充要条件23. xe xf =)(在[0,1]上绕x 旋转一周生成体的体积是 ( ) A22e πBe 2πC)1(22-e πD 12-e24. ∑=3sin )(n nxx f 在),(+∞-∞上 ( )A f 连续但f '不连续B f 连续且f '连续C f 不连续D f 不可导四、计算题（每题10分，共20分）25. 计算 1) 620sin limx dt t xx ⎰→(5分) 2) dx e e xx ⎰+-1(5分).26. 求由摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的平面图形的面积.五、证明题（每题10分，共20分）27. 证明：若正项级数∑+∞=1n na收敛，且数列n a 单调，则n n na 0lim →=0.41.10分，共20分）. 30. 将x x f =)(在[0,2]上展开成余弦级数，并由此推出++++=222271513118π.。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
分段估计求极限
222222200022-022200=001lim 0lim lim 1lim 001lim 0lim 01t t t t t t t f x dx t x t t t x f x dx f dx d x t x t t x t tf x f dx x t t x f x f dx f x f d x t t x t类似可证下证，注意到只用证,,0f R f x f 又因为在连续,所以在0点连续在内，2101xf x f d t x t于是222200lim 0,lim =0t t t t f x dx f f x dx f x t x t于是于是12210-1,101,lim 0t tf x f x f dx f x t类似可证得以下命题：在上连续，求极限这是二天前群友的问题，方法是一模一样的，分三段估计即可。
11112222222211110,1tf x tf x tf x tf x dx dx dx dx x tx tx tx t，=1+ 命即可，连续定义闭区间连续函数有界性，方法类似一。
10.011lim 1n n f x n x f x dx f例3设在，上可积，在连续。
证明：四川大学2011222222222222222.lim 10arctan 1t tf R f x dx x t R f Mt t t tf x f x dx f x dx f x dx x t x t x t x tttx x f x dx M dx M d M x tx tt t x t例1设在上连须有界，求极限北京大学2014数学分析考研试题解：在上，1100111111111000lim 1lim 101111101100112n n n n n n n n n nn x dx n x f x f dx f x x x f x f n x f x f dx n x f x f dx n x dx n n x f x f dx n x f x f dx Mn x证：注意到，于是只用证：在连续，时时1111012200lim 1lim 1lim 1001lim 0201612n n n n n n n dx n n x f x f dx n x f x f dx n x f x f dx n f f x dx f n x得证例4.设在，连续，证：华东师范大学11222200122012201222201lim =lim 112lim 001010,0,lim 01lim 0lim 011n n n n n n n dx d nx n x n x nf x f dx n x f f x f nf x f dx f x M n x n n f x f dx f x f dx n x n x证即证在，上连续，存在使得在成立，222211122220011202arctan 2arctan arctan 112n n f x f dx f x f dx n n x n x n n f x f dx dx M x M n n n x n x累了QQ ：154177759整理提供最近做真题碰到的就整理一起了，上述命题方法很多只是例举他们的共性就是分段估计 希望起到抛砖引玉的作用。
数学分析试题
测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。
自考数学分析试题及答案
自考数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = ln(x)D. y = x^2答案：A2. 函数f(x) = x^3 + 2x在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数答案：A3. 极限lim (sin(x))/x 当x→0时的值是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 0/0 型不定式B. ∞/∞ 型不定式C. 0•∞ 型不定式D. ∞ - ∞ 型不定式答案：B5. 函数f(x) = 1/x在x=0处是：A. 连续的B. 可导的C. 有界的D. 无界的答案：D6. 以下哪个序列是收敛的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 2, 2, 2, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. -1, -2, -3, ...答案：B7. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)表示：A. 函数在该点的斜率B. 函数在该点的切线方程C. 函数在该点的值D. 函数在该点的二阶导数答案：A8. 以下哪个选项是泰勒级数的基本形式？A. f(x) = Σ[(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!]B. f(x) = Σ[f^(n)(a) * (x-a)^n / n!]C. f(x) = Σ[f^(n)(0) * x^n / n!]D. f(x) = Σ[f(a) * (x-a)^n]答案：C9. 以下哪个选项是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点的集合C. 曲线的长度D. 曲线的斜率答案：A10. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = y/x的一个解？A. y = x^2B. y = e^xC. y = xD. y = 1/x答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3的最小值是______。
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学号
(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)
1-5 题为判断题（正确打√、错误打×） 1．
( x , y ) (0,0)
lim
x4 y4 1 .（ x4 y4
）
2. 函数组
x e u sin v cos v , u u ( x , y ), 存在反函数组 （ ） u v v ( x, y ). y e sin v cos v z z sin xy 的二元函数 z f ( x, y ) .（ ） x y
1
( y ) ，如果 f (a) ，
系 专业班级
f (b) ，证明 f 1 ( y )dy b a f ( x )dx .
a
b
学院
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23. 若 直 线
y x2 , x x0 y y0 z z0 与空间曲线 相 切 ， 证 明 点 ( x0 , y0 , z0 ) 在 平 面 3 1 2 3 zx x 2 y z 0 上.
）
姓名
3. 不存在满足条件 4．
系 专业班级
1
0
xD ( x)dx 不存在，其中 D ( x) 是狄利克雷函数. （
5．若三元函数 u f ( x, y , z ) 在某点沿任意方向的方向导数都存在， 则它在该点的三个一阶偏导数 也都存在.（ ）
6-10 题为填空题（将正确答案填入空中） 6. 在 点 (1, 1) 的 某 邻 域 内 函 数 f ( x, y ) x 2 xy y x y 1 的 z1 ) 1 , 点 A2 ( x2 , y2 , z2 ) 2 ，并且 d ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2 使得 1 上任意一点与 2 上任意一点之间的距离达到最小值，证明 1 上点 A1 处的法向量 n A1 与 2 上点 A2 处的法向量 nA2 互相平行.
2 2
学院
7. 已知 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续， 如果对任意的 x [ a, b] ， 都有 时 f ( x) .
x
a
则当 x [ a, b] f (t )dt f (t )dt ，
x
b
8. 已知 z f ( x, y, t ) ，而函数 x x(t ) 与 y y (t ) 分别由方程 F ( x, t ) 0 及 G ( y, t ) 0 确定，如 果函数 f , F , G 均具有一阶连续偏导数，并且 Fx , G y 0 ，那么
证明如果 v ( x, y , z ) 也是该方程的解，那么 p 1
2
，其中常数 t , , , p 0 .
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得 分 …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………
评卷人 四．证明题（本题共 3 小题，每小题 8 分，满分 24 分）
17. 计算二重积分
cos y x dxdy ，其中 D 由 x 轴、 y 轴及直线 x y 1 所围成.
D
yx
18．计算三重积分
z dV ，其中 由曲面 z x
3
2
y 2 与 z 2 x 2 y 2 围成.
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…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………
太原理工大学 数学分析（二） 试卷（A）
适用专业：数学学院 2014 级各专业 考试日期：2015.7.6 时间：120 分钟 共 8 页 题 得 得 分 号 分 评卷人 一．本题共 14 小题，每小题 2 分，满分 28 分 一 二 三 四 总 分
1
0
dx dy
0 1 0
x2
x2 y 2
0 1 y 2 y y
2
f (x , y , z )dz , 则下列结论正确的是（
1 z y 2 1 z y 2 1 z y 2
）.
1
0 1
dy dy dy
y y2
0 y y
dz
1 y 1 y 1
f (x , y , z )dx dy
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1
21. 利用结论“函数 e x 的原函数不是初等函数” ，证明当 x 0 时，函数 初等函数.
2
1 x2 e 的原函数也不是 x2
学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) 姓名
22. 已知 y f ( x ) 在 [a, b] 上严格单调、可导，其反函数记为 x f
评卷人 二．计算题（本题共 4 小题，每小题 8 分，满分 32 分）
15. 计算不定积分
ln(1 x) dx . x
学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) 姓名
学院
系 专业班级
16. 计算定积分
1 2 2
1 x2 dx . x4
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dz dt
.
第 1 页 共 8页
（A 卷）
9. 将半径为 R 的圆形薄板铅直放入水中，若与水面平行的直径位于水下深 h 处，则水对下半圆形薄 板一面的压力 P .
10. 抛物面 z 1 x 2 y 2 在 0 z 1 部分的面积 S
.
11-14 题为单项选择题（将正确答案的字母填入括号内） 11. 如果 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 点不可微，则下列结论正确的是（ （A） z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 点不连续； （B） z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 点的偏导数不存在； （C） z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 点的偏导数存在，但偏导数不连续； （D） z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 点的全增量不等于其全微分. 12. 已知 f ( x, y, z ) 是连续函数， I （A） I （B） I （C） I （D） I ）.
1 0
dz
f (x , y , z )dx ； f (x , y , z )dx ； f (x , y , z )dx ；
0 1
0
dz
f (x , y , z )dx dy
1 y 0
1 y 2 y y 1 y 2
dz
2
y y2
0 1
0 y y2
dz
1
f (x , y , z )dx dy
1 0
y y
dz
1
0
dy
0
dz
y
f (x , y , z )dx dy
1 y 2 y y
dz 2
z y 2
f (x , y , z )dx .
13. 中的集合 （A）开集； （B）闭集；
2
是 (
). （C）有界集； （D）无界集.
14. 如果函数 f ( s ) 在实轴上连续，则 （A） （C）
得 分 …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………
评卷人 三．证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
19. 已 知 两 个 有 界 光 滑 曲 面 1 : F ( x, y, z ) 0 及 2 : G ( x, y, z ) 0 互 不 相 交 . 若 点
f (3x 2t )dt （ x 2 f (3x 2t ) ； 3 2 f (2 x 3t ) . 3
）.
3 f (3x 2t ) ； 2 3 f (2 x 3t ) ； 2
（B） （D ）
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得 分 …………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………
学号 学院 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) 系 专业班级 姓名
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3 20. 已知函数 u ( x, y , z ) 在 上满足方程 u xx u yy u zz u
p 1
u , 令 v( x, y, z ) t u (t x, t y, t z ) ，