带电粒子在边界磁场中运动特点的分析
带电粒子在匀强磁场中运动之边界磁场
带电粒子在匀强磁场中运动之边界磁场杨巧及(宁波市鄞州中学ꎬ浙江宁波３１５１０４)摘㊀要:带电粒子在匀强磁场中运动的问题是高中物理的重点和难点ꎬ其中边界磁场问题是较为重要的教学内容之一.磁场边界类型主要包括平面边界㊁圆形边界㊁环形边界等ꎬ带电粒子垂直磁场方向进入磁场ꎬ在磁场中做匀速圆周运动ꎬ由于入射方向的不同ꎬ造成带电粒子的运动轨迹不同ꎬ对应的临界条件㊁几何关系也不同.本文按不同形状的边界磁场进行分类ꎬ每一种磁场考虑入射方向一定和入射方向不定两种情况进行分析ꎬ适合高三复习.关键词:带电粒子ꎻ匀强磁场ꎻ边界磁场ꎻ初速度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００９５－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:杨巧及(１９８９－)ꎬ女ꎬ浙江省宁波人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀带电粒子在匀强磁场中运动的问题在高中物理教学中ꎬ往往需要多个课时来分类讲解边界磁场㊁复合场㊁轨迹分析㊁实例应用等.对于边界磁场这一内容笔者进行了如下设计.１平面边界磁场平面边界匀强磁场是带电粒子在磁场中运动问题中最基本也是最重要的.这类问题学生需掌握一些边界磁场的基本运动规律ꎬ如出射方向与入射方向关系ꎬ运动时间与圆心角的关系等.１.１单平面边界如图１所示ꎬ带正电粒子以与边界夹角为α的初速度ｖ垂直射入匀强磁场Ｂꎬ磁场方向垂直纸面向里ꎬ经过一段圆弧轨迹后从同一边界射出.根据圆周运动的规律我们可以知道:(１)粒子出磁场时速度方向与边界夹角依旧为αꎬ即出射方向与入射方向夹角为２α(２)轨迹圆弧对应的圆心角θ为２α或(２π－２α)㊀(３)粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴ(４)粒子出射时相对入射位置的侧移量为轨迹圆弧所对应的弦长ｄ＝２Ｒｓｉｎα图１㊀单平面边界磁场１.２双平面平行边界平行边界磁场由于存在双边界ꎬ根据带电粒子初速度大小的不同就有可能从不同侧射出.如图２所示ꎬ磁场宽度为ｄꎬ带电粒子从左侧边界Ｐ点垂直磁场方向射入磁场ꎬ初速度ｖ方向与左侧边界垂直ꎬ５９由ｑｖＢ＝ｍｖ２Ｒ知Ｒ＝ｍｖｑＢ.(１)当带电粒子初速度ｖ较小时ꎬ半径Ｒ较小ꎬ则粒子从左侧边界射出ꎬ运动规律与单平面边界磁场相同.(２)当带电粒子初速度ｖ较大时ꎬ半径Ｒ较大(Ｒ>ｄ)ꎬ则粒子从右侧边界射出ꎬ此时我们首先找到的几何关系为ｓｉｎθ＝ｄＲꎬ即圆弧对应的圆心角θ＝ａｒｃｓｉｎｄＲꎬ由此可知ꎬ①粒子射出磁场时速度偏转角为θꎬ与右侧边界夹角为(π２－θ)ꎻ②粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴꎻ③粒子出射时偏离入射方向的侧移量Δｘ＝Ｒ(１－ｃｏｓθ).图２㊀双平面边界磁场而实际问题中往往会出现 带电粒子以速度ｖ沿各个方向射入磁场 的条件ꎬ即动态圆与边界磁场结合的问题ꎬ以下题为例:例１㊀带电粒子的质量ｍ＝１.７ˑ１０－２７ｋｇꎬ电荷量ｑ＝＋１.６ˑ１０－１９Ｃꎬ以速度ｖ＝３.２ˑ１０６ｍ/ｓ沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中ꎬ磁场的磁感应强度为Ｂ＝０.１７Ｔꎬ磁场的宽度ｌ＝１０ｃｍꎬ如图３所示ꎬ试求:图３㊀例１示意图(１)带电粒子离开磁场时的速度大小和速度偏转角.(２)带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离.答案:(１)３.２ˑ１０６ｍ/ｓꎬ３０ʎ.(２)２５２４πˑ１０－８ｓꎬ２－３１０ｍ拓展提问㊀若使该种带电粒子从同一处ꎬ以相同速度沿纸面各个方向同时射入该匀强磁场ꎬ求带电粒子分别从左右边界射出的区域宽度?所有带电粒子从磁场射出所需要的时间?答案:从左侧边界射出ꎬ宽度为３５ｍ从右侧边界射出宽度为３５ｍ运动时间为０－π２４ˑ１０－６ｓ２圆形边界磁场带电粒子射入圆形磁场时最常见的是沿半径方向射入ꎬ如图４所示ꎬ一个电子从Ａ处沿ＡＯ方向射入半径为ｒ的圆形磁场ꎬ根据几何关系可知该粒子一定会沿另一半径方向射出磁场ꎬ即速度反向延长线必过圆形磁场的圆心.连接两个圆心ꎬ可知轨迹圆弧对应的圆心角θ满足ｔａｎθ２＝ｒＲ.㊀图４㊀圆形磁场例２㊀一质量为ｍ＝９.１ˑ１０－３１ｋｇ的电子以速率ｖ＝５ˑ１０９ｍ/ｓ从左侧沿ＡＯ方向垂直射入磁感应强度为Ｂ＝２.８４Ｔꎬ半径为ｒ＝３３ˑ１０－２ｍ的圆形磁场ꎬ穿出磁场后打在荧光屏上之Ｐ点ꎬ荧光屏与磁６９场最右侧距离为Ｌ＝３３ˑ１０－２ｍꎬＯᶄ与Ａ㊁Ｏ在同一直线上ꎬ如图５所示ꎬ求ＯᶄＰ的长度和电子通过磁场所用的时间.图５㊀例２示意图答案:ＯᶄＰ＝２ˑ１０－２ｍｔ＝２３πˑ１０－１２ｓ例３㊀一带电粒子以速度ｖ从Ｏ点沿ｙ轴的正方向射入磁感应强度为Ｂ的一圆形匀强磁场区域ꎬ磁场方向垂直于纸面ꎬ粒子飞出磁场区域后ꎬ从Ｐ处穿过ｘ轴ꎬ速度方向与ｘ轴正向夹角为３０ʎꎬＯＰ距离为３Ｌꎬ如图６所示ꎬ粒子重力不计ꎬ试求:图６㊀例３示意图(１)圆形磁场区域的最小面积.(２)粒子从Ｏ点进入磁场区域到达Ｐ点所经历的时间.解析㊀(１)３４πＬ２ꎻ(２)２π＋３３()Ｌ３ｖ拓展提问㊀是否存在这样的磁场ꎬ使该种粒子从Ｏ点以相同速度ｖ沿不同方向射入磁场ꎬ射出磁场时速度方向与ｘ轴正方向夹角都为３０ʎ?若存在ꎬ试求该磁场的半径和圆心坐标.答案:Ｌꎻ(１２Ｌꎬ３２Ｌ).３圆环形边界磁场例４㊀如图７所示ꎬ两个同心圆ꎬ半径分别为ｒ和２ｒꎬ在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场ꎬ磁感应强度为Ｂ.圆心Ｏ处有一放射源ꎬ放出粒子的质量为ｍꎬ带电荷量为－ｑꎬ假设粒子速度方向都和纸面平行[１].图７㊀例４示意图(１)图中箭头表示某一粒子初速度的方向ꎬＯＡ与初速度方向夹角为６０ʎꎬ要想使该粒子经过环形区域磁场后第一次通过Ａ点ꎬ则初速度的大小为多少?(２)要使粒子不穿出环形区域ꎬ则粒子的初速度不能超过多少?答案:(１)３Ｂｑｒ３ｍꎻ(２)３Ｂｑｒ４ｍ.拓展提问㊀若粒子初速度方向不受限制ꎬ如图８所示ꎬ则所有粒子都能穿出磁场的最小速度为多大?图８㊀拓展提问示意图答案:３Ｂｑｒ２ｍ参考文献:[１]王朝银.步步高大一轮复习讲义物理(人教版)[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２２:１９２－１９４.[责任编辑:李㊀璟]７９。
带电粒子在磁场中的运动
1 2
mv22
1 2
mv12
f nd 0 12 mv12
n
v12 v22 v12
R2 R2 r2
1 1 0.81
5.3
∴ α粒子可穿过板5 次
（4）带电粒子在磁场中的运动周期与速度和 半径的大小都无关。
t= 1.5T1+1.5T2=3T=3×2πm/qB= 6 πm/qB
返回
（2002年全国） 、电视机的显像管中，电子束的偏转 是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电 场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向 垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁 场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了 让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转 一已知角度θ，此时的磁场的磁感应强度B应为多少？
y
r=mv/qB.
只有沿y 轴方向射出的粒子跟
x 轴的交点离O点最远,
x=2r= 2mv/qB
只有沿 – x 轴方向射出的粒子跟y
O
x
轴的交点离O点最远,
y=2r= 2mv/qB 返回
5. 如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有一 个带电量为q 的正离子自A点垂直射入磁场，沿半径为 R 的圆形轨道运动，运动半周到达B点时，由于吸收
返回
4、（1997年高考) 如图13在x轴的上方（y≥0）存在着
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B．在原点O有
一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量
为q的正离子，速率都为v，对那些在xy平面内运动的离
子，在磁场中可能到达的最大x＝
2mv/q，B最大y
＝ 2mv/qB ．
解: 从O点射出的粒子,速度v相同,所以半径相同,均为
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。
试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。
解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。
一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。
1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。
首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。
(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦和磁扩散)
θR O/
OM
x
图 (b)
(3)带电微粒在y轴右方(X> O)的区域离开磁场并做 匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出 磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射 出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以， 这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X> 0．
装带 置点
微 粒 发 射
Pv Cr
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。 如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的 带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆 心位于其正下方的Q点，设微粒从M 点离开磁 场．可证明四边形PO’ MQ是菱形，则M 点就是坐 标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．
y
v AC
R O/
O
x
图 (a)
y
Pv R
y
D
C
v0
O
x
A
B
S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
y
（2）请指出这束带电微粒与x轴相 带
交的区域，并说明理由。
点 微
粒
（3）在这束带电磁微粒初速度变为
发 射
带电粒子在匀强磁场中偏转(直线和平行边界)
V
V
②平行边界
×××××× ××××××
×××××× ××××××
+
②平行边界
×××××× ×××××× ×××××× ××××××
+
②平行边界
×××××× ×××××× ×××××× ××××××
+
②平行边界
存在临界条件
带电粒子垂直射入有界匀强磁场 ①直线边界
进出磁场具有对称性
射入射出速度相同 圆心角等于=偏向角 一个中心,两个基本点 ②平行边界
Ɵ Ɵ
+
各带电粒子的圆轨迹有一个公共切点 各圆的圆心分布在同一条直线上 各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等 速率大,半径大;但射出速度相同,偏转角度相同
①直线边界
3)沿某一方向射入速率为V的带电粒子,则粒子在 匀强磁场中运动的周期为多少?
2
V BqV m R ×××××× ×××××× × × × × × × × × × × × × R mV qB ×××××× ××××××
+
2R 2m T V qB
(2 2 ) 2m t T (1 ) 2 qB
①直线边界
2)在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种 带电粒子,有下列特点:
×××××× ×××××× ×××××× ×××××× ×××××× ×××××× ××××××Ɵ ××××××
一个中心----即确定圆心
两个基本点---即射入点和射出点
2:如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度 为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以 速度V进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴 的最大距离为a，（1）该粒子带正电还是负电?（2）该粒子 的荷质比为多少? (3) 磁场中运动的时间？
带电粒子在磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷非平行与磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提==2/。
带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做供向心力，即F qvB mv R完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。
无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。
1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。
方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。
2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。
一般可运用平面几何知识来求半径的长度。
3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。
4. 应用对称规律带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。
临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。
一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。
做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。
图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122=(/)/tan(/)B r mU e二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。
最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。
对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。
规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。
规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rmv Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之磁聚焦与磁发散
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。
等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。
当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。
物理建模：模型：如图所示。
当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。
O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。
图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。
由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。
反之也成立。
解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。
【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
带电粒子在磁场中的运动
θ O
B
R
比较学习： 这点与带电粒子在匀强电场中的偏转情况一 样吗？
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
B v
d o
圆心在磁场原边界上 B
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
Bx
z
Vz
由于磁场的不均匀， 洛仑兹力的大小要变 化，所以不是匀速圆 周运动。且半径逐渐 变小。
极光
带电粒子（如宇宙射线的 带电粒子）被地磁场捕获， 绕地磁感应线作螺旋线运 动，当太阳黑子活动引起空间 磁场的变化，使粒子在两 极处的磁力线引导下，在 两极附近进入大气层，能 引起美妙的极光。
地轴
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动解决思路
带电粒子在磁场中的螺旋线运动
2m 螺距 h V//T V sin qB V和 V//分别是速度在平行于磁场方向
的分量和垂直于磁场的分量。 匀速圆周运动的半径仅与速度的垂直分量有关。
* 磁聚焦magnetic focusing
一束发散角不大的带电粒子 束，若这些粒子沿磁场方向 的分速度大小又一样，它们 有相同的螺距，经过一个周 期它们将重新会聚在另一点 这种发散粒子束会聚到一点 的现象叫磁聚焦。
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周 运动其轨迹与另一边界相切；③速度较 大时粒子作部分圆周运动后从另一边界 飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
(1)偏向角（回旋角）θ
v
B
d sin r
(2)侧移距离y
r