2020版高考数学(文)新一轮复习通用版讲义：第三章第二节第3课时题型研究“函数与导数”大题常考的3类题型

第3课时 题型研究——“函数与导数”大题常考的3类题型 一、学前明考情——考什么、怎么考 [真题尝试] 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＜0时，证明f(x)≤－34a－2. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

若a＜0，则当x∈0，－12a时，f′(x)＞0； 当x∈－12a，＋∞时，f′(x)＜0. 故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－12a处取得最大值，最大值为f－12a＝ln－12a－1－14a. 所以f(x)≤－34a－2等价于ln－12a－1－14a≤－34a－2，即ln－12a＋12a＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝1x－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x＞0时，g(x)≤0.

从而当a＜0时，ln－12a＋12a＋1≤0， 即f(x)≤－34a－2. 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．

解：(1)当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23. 当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)． (2)证明：因为x2＋x＋1>0，

所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.

设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a， 则g′(x)＝x2x2＋2x＋3x2＋x＋12≥0， 仅当x＝0时，g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．

又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0， 故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x. 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2. 从而f(x)＝12e2ex－ln x－1，f′(x)＝12e2ex－1x. 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(2)＝0， 所以当02时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－ln x－1.

设g(x)＝exe－ln x－1，则g′(x)＝exe－1x. 可知g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝0， 所以当01时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点． 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.

因此，当a≥1e时，f(x)≥0. [把握考情] 常规角度 1.单调性问题．主要考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围. 2.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数以及由函数零点或方程的根求参数的值或取值范围． 3.不等式问题．主要考查不等式的证明、不等式恒成立或不等式存在性问题． 主要以解答题为主，综合性较强，难度较大

创新角度 常与切线、函数的单调性、极值、最值等知识综合命题，且常与指数函数、对数函数的复合函数结合 二、课堂研题型——怎么办、提知能 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则较难． 常见的考法有：(1)求函数的单调区间．(2)讨论函数的单调性．(3)由函数的单调性求参数． 考法一 求函数的单调区间 [例1] (2018·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间．

[解] f′(x)＝1x·x＋ln x－k－1＝ln x－k，

①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间． ②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek， 当1ek时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)． 综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k>0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)． [方法技巧]

利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． [针对训练] (2019·湖南、江西十四校联考)已知f(x)＝(x2－ax)ln x－32x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间． 解：易得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝(2x－a)ln x＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)ln x－(2x－a)＝(2x－a)(ln x－1)，

令f′(x)＝0得x＝a2或x＝e. 当a≤0时，因为x>0，所以2x－a>0， 令f′(x)<0得x当a>0时，

①若a20，

当x∈a2，e时，f′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为a2，e； ②若a2＝e，即a＝2e，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有单调递减区间； ③若a2>e，即a>2e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈e，a2时，f′(x)<0，当x∈a2，＋∞时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为e，a2. 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当0f(x)无单调递减区间；当a>2e时，f(x)的单调递减区间为e，a2. 考法二 讨论函数的单调性 [例2] 已知函数f(x)＝ln x＋1ax－1a(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．

[解] f′(x)＝ax－1ax2(x>0)，

①当a<0时，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a>0时，由f′(x)＝ax－1ax2>0，得x>1a；

由f′(x)＝ax－1ax2<0，得0∴函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减． 综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减． [方法技巧] 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． [针对训练] 已知函数f(x)＝1－ln x＋a2x2－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1x＋2a2x－a＝2a2x2－ax－1x＝2ax＋1ax－1x. ①若a＝0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a>0，则当x＝1a时，f′(x)＝0，

当0当x>1a时，f′(x)>0. 故f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增． ③若a<0，则当x＝－12a时，f′(x)＝0， 当0当x>－12a时，f′(x)>0. 故f(x)在0，－12a上单调递减，在－12a，＋∞上单调递增． 综上所述，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a>0时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增； 当a<0时，f(x)在0，－12a上单调递减，在－12a，＋∞上单调递增． 考法三 由函数的单调性求参数 [例3] 设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)求b，c的值； (2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． [解] (1)f′(x)＝x2

－ax＋b，

由题意得 f0＝1，f′0＝0，即 c＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝13x3－a2x2＋1，