第十章 向量与空间解析几何 5

10.5 向量函数 空间曲线 10.5.1 向量函数
数量函数：自变量和因变量都是实数。 数量函数：自变量和因变量都是实数。 向量函数：自变量是实数, 而因变量是向量。 向量函数：自变量是实数 而因变量是向量。 它们都可以看作是一个集合到另一个集合的映射 映射. 它们都可以看作是一个集合到另一个集合的映射 n 数量函数看作是: 的一映射, 数量函数看作是: R →R1的一映射, n=1,2,3. n 而向量函数: 的一个映射, 而向量函数 R →R3 的一个映射 n=1,2,3.
y2 + z2 + 2 y − z = 0 . x = 0
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空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空 间 立 体
曲 面
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例7. 设一个立体 ,由上半球面 z = 4 − x − y
2 2 2
2
和 z = 3( x + y )锥面所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
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10.5.4 向量函数的积分 空间曲线的弧长 A.向量函数的积分 向量函数的积分
给定连续的向量函数
r f ( t ) = { f1 ( t ), f 2 ( t ) , f 3 ( t )},
r 如果存在向量函数 F ( t ) = { F1 ( t ), F2 ( t ), F3 ( t )}, r r 使得 F ′( t ) = f ( t ), t ∈ [a , b],
曲线 C在xOy坐标面上的投影曲线为 : 2 2 44 2 5( x − ) + y = 5 5. z=0
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例 6.求抛物面 y 2 + z 2 = x 与平面 x + 2 y − z = 0 求抛物面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程
截线方程为: 解:截线方程为 截线方程为
3 | y |≤ . 2
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x2 + y2 + z2 = 9 例5.求曲线 C : 求曲线 2x + z = 1
坐标面上的投影曲线. 在xOy坐标面上的投影曲线 坐标面上的投影曲线 方程组中消去z得 解: 方程组中消去 得: x + y + (1 − 2 x ) = 9,
2 2 2
2 2 44 2 整理得 : 5( x − ) + y = , 5 5 即为C关于xOy面的投影柱面 ,
r r 向量函数 r = r ( t ) = { x ( t ), y ( t ), z ( t )}的微分 :
r∆ r dr = r ′( t )dt = { x′( t ), y′( t ), z′( t )}dt = {dx , dy , dz },
r 故 | dr |= (dx )2 + (dy )2 + (dz )2 ,
解
z
动点从A点出 取时间t为参数， 取时间 为参数， 为参数 动点从 点出 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点
M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
ωt
o
x A
M
•
x = a cos ω t y = a sin ω t z = vt
y
M′
螺旋线的参数方程. 螺旋线的参数方程
∆
= { x( t0 + ∆t ) − x( t0 ), y( t0 + ∆t ) − y( t0 ), z( t0 + ∆t ) − z( t0 )},
如果函数 x ( t ), y( t ), z ( t )都在t = t 0处可导, 则
∆r r ( t 0 + ∆t ) − r ( t 0 ) lim = lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t 1 = lim { x(t0 + ∆t ) − x(t0 ), y(t0 + ∆t ) − y(t0 ), z(t0 + ∆t ) − z(t0 )} ∆t →0 ∆t 17
∴ 所求立体在 xoy 面上的投影为
x + y ≤ 1.
2 2
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10.5.3 向量函数的导数 A.向量函数的导数 向量函数的导数
r r 设有向量函数: 设有向量函数 r = r ( t ) = { x ( t ), y( t ), z ( t )},
∆r = r ( t 0 + ∆t ) − r ( t 0 )
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∫
r f
∫ f 2 ( t )dt , ∫ f 3 ( t )dt }
类似地, 类似地
∫a
b
r b f ( t )dt = { ∫a f1 ( t )dt ,
∫a f 2 ( t )dt , ∫a f 3 ( t )dt },
b
b
同样有: 同样有
即 { F1′( t ), F2′( t ), F3′( t )} = { f1 ( t ), f 2 ( t ), f 3 ( t )}, t ∈ [a , b],
r r 则称 F ( t )为f ( t )在区间[a , b]上的一个原向量函数 . r r r ∫ f ( t )dt = F ( t ) + C .
(t x = x(t) C : y = y(t) z = z(t)
为 间 线 参 方 , 称 空 曲 C的 数 程
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当 x ( t ), y ( t ), z ( t )都是 的一次函数 , 都是t 则空间曲线C就是直线 则空间曲线 就是直线. 就是直线
x = at + x0 y = bt + y0 , abc不全为零 , z = ct + z 0
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1 (2)因为曲线在平面 z = 上 因为曲线在平面 2
所以在xOz 面上的投影为线段 面上的投影为线段. 所以在
1 z = 2, y = 0
3 | x |≤ ; 2
(3) 同理在 同理在yOz 面上的投影也为线段 面上的投影也为线段.
1 z = 2, x = 0
y2 + z2 = x x + 2y − z = 0
如图, 如图
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(1)消去 z 得投影 消去
x 2 + 5 y 2 + 4 xy − x = 0 , z = 0
x 2 + 5 z 2 − 2 xz − 4 x = 0 , y = 0
(2)消去 y 得投影 消去
(3)消去 x 得投影 消去
∫a
b
r r r f ( t )dt = F (b ) − F (a ).
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B. 空间曲线的弧长 r 若r ′(t ) 在区间 在区间[a,b]上连续 且处处不为零向量 上连续, 上连续 且处处不为零向量, r r 上的光滑曲线 上的光滑曲线. 则称曲线 r = r (t ) 为[a,b]上的光滑曲线 r ∆s =| ∆r | + o( ∆t ), 而 | ∆r |=| dr | + o( ∆t ),
2πv称为螺距 π 称为螺距
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B. 空间曲线方程的一般形式
F ( x, y, z ) = 0 Σ1: F(x,y,z)=0 和 Σ2: G(x,y,z)=0的交线 的 G ( x , y , z ) = 0,
上点的坐标必满足方程组, 故曲线C上点的坐标必满足方程组 曲线 上点的坐标必满足方程组 故称方程组为:空间曲线C 的一般式方程. 故称方程组为:空间曲线C 的一般式方程. 空间曲线 空间曲线C 空间曲线 也可看做是两曲面
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z = 4 − x2 − y2 例3. 方程组 x2 + y2 = 2 x
表示一条空间曲线C 表示一条空间曲线
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C. 空间曲线 在坐标面上的投影曲线 空间曲线C 在坐标面上的投影曲线.
以空间曲线C 为准, 母线平行于z 定义 以空间曲线 为准 母线平行于 轴的柱面称为 曲线C 关于xOy坐标面的投影柱面 坐标面的投影柱面. 曲线 关于 坐标面的投影柱面 曲线C 关于xOy坐标面的投影柱面与 曲线 关于 坐标面的投影柱面与xOy坐标面的交线 坐标面的交线 坐标面的投影柱面与 称为曲线 曲线C 坐标面的投影曲线. 称为曲线 在xOy坐标面的投影曲线 坐标面的投影曲线
= { x′( t 0 ), y′( t 0 ), z ′( t 0 )}, r r 称为向量函数 r = r ( t )在t = t 0处的导数 , r r 记作 : r ′( t 0 ), 即 r ′( t0 ) = { x′( t 0 ), y′( t 0 ), z′( t0 )}.
向量函数导数的几何意义: 向量函数导数的几何意义 r r r r ′( t 0 ) ≠ 0时 , r ′( t 0 )就是曲线在对应于 t 0的点 M 0处
表示一条空间直线. 表示一条空间直线
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例 2 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 上以 轴旋转， 角速度ω 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（ 都是常数）， ），那么点 轴的正方向上升（其中ω 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线．
r 1 3 例 : r(t) ={x(t), y(t), z(t)}是 个 →R 的 射 如 一 R 映 . r r ( u, v ) = { x ( u, v ), y ( u, v ), z ( u, v )} _ R 2 → R 3的映射 .
r f ( x, y, z ) = { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )} _ R3 → R3的映射.
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例1.求坐标原点处质量为 求坐标原点处质量为