高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3
高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3
3.3 几何概型1．了解几何概型的概念及基本特点．(重点）2．熟练掌握几何概型的概率公式．（重点、难点）3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．（重点、易混点) 4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点）[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材P106～P107“例1"上边的内容，并完成下面的问题．1．几何概型的定义设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1）试验中所有可能出现的基本事件有无限个；（2）每个基本事件出现的可能性都相等．3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A）＝错误!.判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．( ）(2）几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．（)（3）有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0。
1升,求小杯水中含有这个微生物的概率时,可用几何概型求解．（)【解析】（1)√。
由几何概型的特点可知正确．（2)√.由几何概型的定义知正确．（3）√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解．【答案】(1）√(2)√(3)√［小组合作型］测度为长度的几何概型(1)在区间．（2）某市公交车每隔10 min一班，在车站停 1 min，则乘客能搭上车的概率为________．【精彩点拨】利用测度为长度的几何概型求解．【自主解答】（1）设“X≤1”为事件A，则事件A发生表示X∈［－2,1]，由题意知,D测度为区间［－2,3]长度3－(－2）＝5,d的测度为区间[－2，1］长度1－(－2）＝3，即X≤1的概率为P（A）＝错误!＝错误!。
高中数学3.3.3几何概型学案3苏教版必修3
第37课时7.3.3几何概型学习要求1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．【课堂互动】自学评价1.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度．2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【精典范例】例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？ 【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率． 【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则101()1000100P A ===取出的种子体积所有种子的体积答：所求概率为1100．例 2 如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：（１）AOC ∆为钝角三角形的概率； （２）AOC ∆为锐角三角形的概率．【解】如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，记＂A O C ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【解】44636222ππ-=⋅-=P例 4 利用随机模拟方法计算曲线1y x=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．【分析】在直角坐标系中画出正方形（1x =，2x =，0y =，1y =所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值． 【解】（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =；（２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标）（３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =， 所以10.6891S N N≈=，即0.689S ≈． 【说明】模拟计算的步骤： （１）构造图形（作图）； （２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率mn； （３）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量．追踪训练1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ A ）A．18B．14C．12D．342、在区间[0,10]中任意取一个数，则它与2之和大于10的概率是_____1/5___________3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则21 ()63P A==．。
高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案
教学资料范本高中数学第3章概率3-3几何概型互动课堂学案编辑：__________________时间：__________________3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=的测度的测度D d .这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1. （2）求古典概型概率的步骤： ①求区域D的“测度”； ②求区域d的“测度”； ③代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率. 【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t -5,t］内来到车站,于是D={x|t -5＜x≤t}. 若乘客候车时间不超过3分钟,必须t -3≤x≤t,所以A={x|t -3≤x≤t}据几何概率公式得P（A）=53=的长度的长度D d =0.6规律总结（1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内. 案例2甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率. 【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形.事件A发生的条件是0＜x -y＜6或0＜y -x＜6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.∴P（A）=167242824222=-. 规律总结 (1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可. （3）这一类问题我们称为约会问题. 案例3在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率. 【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x ＞0,y＞0且x+y＜a,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y＞(如图阴影部分).又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF的面积占△ABC的面积的.因为从△ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即△DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y＜,z＜）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的.所以所求的概率为.规律总结解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.②由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应［0,3 ］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点 的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A 发生的频率.【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1 m}.①利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.②经过伸缩变换,a=a1*3.③统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.④计算频率fn (A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.规律总结用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】（1）利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,a 1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b＜2a的点（a,b））.（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴≈.∴S≈即为阴影部分面积的近似值.规律总结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ）A.0B.0.1C.0.01D.1解析：1个细菌在1L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）==0.1.答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（ ）A.50B.100C.150D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支×=100支.答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_____________________,___________________.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.①P（A）==.②P（A）==.答案：6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P==；（2）P==；（3）P===.7.在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A. B. C. D.解析：在线段［0,3］上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2,3]上.所以,在线段［0,3］上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段[2,3]的长度与线段［0,3］的长度之比,即为.答案：A8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_______.解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.答案：9.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前得到报纸,即事件A发生,所以P(A)==87.5%.10.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落∠xOT内的概率.分析：以O为起点作射线OA是随机的,因而射线OA落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关,符合几何概型的条件.解：设事件A“射线OA落在∠xOT内”.事件A的角度是60°,区域D的角度是360°,所以,由几何概率公式得P（A）=.11.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x1*24,y=y1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.12.如右图,在长为4宽为2的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计π值.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆内”.（1）利用计算机或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*4-2,y=y1*2.（3）统计出试验总数N和满足条件x2+y2＜4的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(A)=,即为概率P（A）的近似值.半圆的面积为S1=2π,矩形的面积为S=8.由几何概型概率公式得P（A）=,所以=.所以即为π的近似值.13.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线y=log3x与x=3及x轴围成的图形）的面积.解析：设事件A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”.（1）利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x1*3,y=y1*3.得到两组［0,3］的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N和满足条件y＜log3x的点（x,y）的个数N1.（4）计算频率fn(B)=,即为频率P（A）的近似值.设阴影部分的面积为S,正方形的面积为9,由几何概率公式得P（A）=.所以=,故S=即为阴影部分面积的近似值.。
高中数学第3章概率3.3几何概型教材梳理导学案苏教版必修3
3.3 几何概型庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集，事件“点取自g”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关.如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应），那么事件A 的概率规定为：P(A)=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为A ，则P(A)=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型.辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ； （4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间即0到32 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 之间的时间段内按错键.P （A ）=4513032. 误区警示 此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件A 对应的区域是0到32 min 的时间段，而不是21 min 到32 min 的时间段. 例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_________.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3.图3-3-2如图3-3-2所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件A ：“此二人会面”问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA =102-(10-3)2=51.故所求概率为P(A)=10051=ΩμμA 答案：10051 深化升华 把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰RT△ABC 中，在斜边AB 上取一点M ，求AM 的长小于AC 的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点M 随机地落在线段AB 上，线段AB 为试验所有结果构成的区域D ，当点M 位于图中线段AC′上时，AM ＜AC ，线段AC 即为构成事件的区域d.方法一:在AB 上截取AC′=AC，于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A , 即AM 的长小于AC 的长的概率为22. 方法二:视射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上取AC′=AC，则∠ACC′= 245180︒-︒=67.5° . 故所求的概率为43905.67=. 误区警示 背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究问题 我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.。
高中数学第3章概率3.3几何概型(1)教案苏教版必修3
3.3 几何概型 1整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P(豆子落入圆内)=.（3）启发引导学生探究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应.若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上.由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的.线段AB长5，线段AM、BN长为1，则线段MN长为3解：P（T）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P（A）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件A，就可与几何区域D中的子区域d表示了，如下图：试验：从D中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d；事件未发生：所取的点不属于 d.这样事件A的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A)=子区域d的长度/区域D的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子区域d的面积/区域D的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)= .这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A的概率用子区域d的大小与几何区域D大小的比值来表示是合理的.当子区域d和几何区域D是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d和几何区域D是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d和几何区域D是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域d的测度/区域D的测度.由于几何区域d是几何区域D的子集，于是我们有0≤ｄ的测度≤Ｄ的测度，在不等式两侧同时除以D的测度（一般假定其为正数）则有，即0≤P≤1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(A)＝0时，d 的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d的测度必须等于D的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“４点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例 2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d，所有的1升水看成区域D，记事件A为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则P(A)==0.1.答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例 3 将正方形ABCD等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形ABCD内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解： (1)记事件A为“点落在红色区域”，假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(A)=.(2)记事件B为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(B)=.(3)记事件C为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD的面积为9个单位，则P(C)=.点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例 4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x）小时，乙到的时间为（9＋y）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即小时，所以在|x－y|≤时，两人才能会面.由于|x－y|≤是两条平行直线x－y=,y－x=之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1－)×(1－)=()2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1－()2=，因此所求的概率为.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例 1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=.点评：本题中“测度”为长度.例 2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A、B、C的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域A或B的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域C的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析：由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A、B、C，设正三角形的面积为S，则三个小三角形的面积（也就是区域A、B、C的面积）都是正三角形面积的，即每个小三角形的面积都是，所以，P(A)=P(B)=P(C)=.在靶子2中分别记“飞镖投到区域A、B、C”为事件A1、B1、C1，设圆的面积为S1，则区域A的面积为，区域B、C的面积为，因此，P(A1)=，P(B1)=P(C1)= .(2)记事件D为“在靶子1中，分别投中区域A或B”，所以，P(D)=.(3)记事件E为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有P(E)=.点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例 3 如图，正方形ABCD内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R，正方形ABCD的边长为x，由平面几何知识可知：x2=(R－)(R+)，得x2=R2.记该点“落入正方形内”为事件A，则P(A)=≈0.51.点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积.例 4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件A“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为.点评：在本题中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答：1.C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出 2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是［o,a］，只有当r＜OM≤ａ时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：P（获得购物券）=；P（获得100元购物券）=；P（获得50元购物券）=；P（获得20元购物券）=.4. 设x和y为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里0＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y ＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜＜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示.因此P(r)=.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题.具体地说，如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率.如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无数个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率.第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向L上任意投一点，若投中线段l上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点投中线段l的概率为P=；（2）设平面图形s是平面图形S的一部分，向图形S上任意投一点，若投中图形s上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s在图形S上的相对位置无关，则点投中图形s 的概率为P=；（3）设空间几何体v是空间几何体V的一部分，向几何体V上任意投一点，若投中几何体v上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v在几何体V上的相对位置无关，则点投中几何体v的概率为P=.作业课本习题 3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的概率计算公式中的“测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些是可以转化为上述量的具体问题，要会转化.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》
几何概型苏教版必修3教学案课题几何概型1学生完成所需时间 2021班级姓名第小组一、［学习目标］１了解几何概型的概念及根本特点；〔２〕熟练掌握几何概型中概率的计算公式；〔３〕会进行简单的几何概率计算．二、［重点难点］〔１〕掌握几何概型中概率的计算公式；〔２〕会进行简单的几何概率计算。
三、［知识链接］一、问题情景１．情境：试验１．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为．运发动在外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．２．问题：〔1〕对于试验１剪得两段的长都不小于的概率有多大？〔2〕试验２射中黄心的概率为多少？二．学生活动经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个根本领件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个根本领件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点．在这两个问题中，根本领件的个数是有限的还是无限多个？每个根本领件的＂等可能性＂是否相同呢？能用古典概型的公式求解码？考虑第一个问题，如图，记＂剪得两段的长都不小于＂为事件．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率．图第二个问题，如图，记＂射中黄心＂为事件，由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心内时，事件发生，于是事件发生的概率．三．建构数学１．几何概型的概念：２．几何概型的根本特点：〔１〕〔２〕３．几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，那么事件发生的概率公式是．四、［学法指导］说明：〔１〕的测度不为；〔２〕其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．〔３〕区域为＂开区域＂；〔４〕区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只与该局部的测度成正比而与其形状位置无关．四．数学运用１．例题例１．取一个边长为的正方形及其内切圆〔如图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．〔＂测度＂为面积〕例２．在高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出，含有麦锈病种子的概率是多少？〔＂测度＂为体积〕例３．在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率．〔＂测度＂为长度〕五、［学习小结］１．几何概型的概念及根本特点２．几何概型中概率的计算公式六、［达标检测］、1、练习课本第页练习１，２，３2、阅读课本的内容。
高中数学第3章概率3.3几何概型(2)教案苏教版必修3
3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：（问题导入）下图是卧室和书房地砖的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室（书房）设计思路二：（情境导入）在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00 至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全相同，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留的可能性相同，对于这样一个随机事件的概率，有如下的结论：对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件的概率模型，它的特点是：（1）试验中所有可能出现的结果，也就是基本事件有无限多个.（2）基本事件出现的可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，这就是几何概型.几何概型的概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 P(A)= 的测度的测度D d .这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.对于导入思路二：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.（2）几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . （3）几何概型的特点：1°试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. 2°每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图所示），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，豆子落入圆中的概率应该等于圆面积与正方形面积的比.解：记“豆子落入圆内”为事件A ，则P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件的概率类型虽然每一个事件的发生都是等可能的，但是几何概型是有无数个基本事件的情形，古典概型是有有限个基本事件的情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：（1）在Excel 软件中，选定A1，键入“=（rand （）-0.5）*2”.（2）选定A1，按“ctrl+C”.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V”.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上的均匀随机数.（3）选定D1，键入“=power（A1，2）+ power （B1，2）”；再选定D1，按“ctrl+C”；选定D2～D1 000，按“ctrl+V”，则D 列表示A 2+B 2.（4）选定F1，键入“=IF（D1＞1，1，0）”；再选定F1，按“ctrl+C”；选定F2～F1 000，按“ctrl+V”，则如果D 列中A 2+B 2＞1，F 列中的值为1，否则F 列中的值为0.（5）选定H1，键入“FREQUENCY（F1：F10，0.5）”，表示F1～F10中小于或等于0.5的个数，即前10次试验中落到圆内的豆子数；类似的，选定H2，键入“FREQUENCY（F1：F20，0.5）”，表示前20次试验中落到圆内的豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY（F1：F50，0.5）”，表示前50次试验中落到圆内的豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次试验中落到圆内的豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY（F1：F500，0.5）”，表示前500次试验中落到圆内的豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY（F1：F1 000，0.5）”，表示前1 000次试验中落到圆内的豆子数.（6）选定I1，键入“H1*4/10”，表示根据前10次试验得到圆周率π的估计值；选定I2，键入“H2*4/10”，则I2为根据前20次试验得到圆周率π的估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π的估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π的估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π的估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π的估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.分析：在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度.那么原问题就转化为求AM 小于AC′的概率.所以，当点M 位于下图中的线段AC′上时，AM ＜AC ，故线段AC′即为区域d.区域d 的测度就是线段AC′的长度，区域D 的测度就是线段AB 的长度.解：在AB 上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM <AC′)=22=='AB AC AB C A . 答：AM 小于AC′的概率为22. 变式训练：若将例2改为：如下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率.解：此时，应该看作射线CM 落在∠ACB 内部是等可能的.公式中的区域D 是∠ACB（内部），而区域d 求法应该与原题是一样的，即在线段AB 上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC 的长度（如图），那么区域d 就是∠ACC′（内部）.从而区域d 的测度就是∠ACC′的度数，区域D 的测度就是∠ACB 的度数.∠ACC′=2135245180︒=︒-︒=67.5°，所以所求事件的概率为43905.67=︒︒=∠'∠ACB C AC . 点评：由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.此题可参考习题3.3的第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到下午 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响.求二人能会面的概率.分析：两人相约的时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达的时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示的是一个带状的，位于正方形内的图形，由于两人到达的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的，符合几何概型的条件.二人会面的条件是：|X －Y|≤1,故正方形的面积为5×5=25，阴影部分的面积为5-2×21×42=9.二人能会面的概率为259. 点评： 建立适当的数学模型，是解决几何概型问题的关键.对于“碰面问题”可以模仿本题建立数学模型.例 4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色的靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)编号在6到9之间的区域；(3)编号为奇数的区域.（每一个小区域的面积相同）分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子的每一个位置的可能性相同，因此，符合几何概型的特点.解： 假设靶子的每一个区域的面积为1个单位，则靶子所在圆的面积为28个单位.（1）记事件A 为“飞镖扎在编号为25的区域”，则P(A)= 281. （2）记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间的区域”，则P(B)=71284=. （3）记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数的区域”，则P(C)=212814=. 答：（1）飞镖扎在编号为25的区域的概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间的区域的概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数的区域的概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供的信息进行分析，寻找适当的解题方法，是解决本题的要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子的概率是多少?分析：病种子在这1 L 种子中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子的概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器的任何一个位置，而且在每一个位置的可能性相同，符合几何概型的特点，所以运用几何概型概率的计算方法来解决本题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？分析：由于两人到达和离开的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达或离开的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)=222602 3060=87.5%.点评：建立适当的数学模型，该模型符合几何概型的特点，这是解答本题的关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间的均匀随机数，Y 也是0到1之间的均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟的方法：（1）选定A1，键入函数“=rand（）”；（2）选定A1，按“ctrl+C”，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V”.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间，B列的数加6.5表示送报人送到报纸的时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，则表示父亲在离开家前能得到报纸.（3）选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C”，选定D2D50，按“ctrl+V”.（4）选定E1，键入函数“=FREQUENCY（D1：D50，-0.5）”，E1表示统计D列中小于或等于-0.5的数的个数，即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.（5）选定F1，键入“=（50-E1）/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸的频率.下面是我们在计算机上做的50次试验，得到的结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形的两直角边的长都是0到1之间的随机数，试求斜边长小于34的事件的概率.分析：由于直角边的长是0到1之间的随机数，因此设两直角边的长分别为x,y ，而x,y 满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，x,y 可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示的图形的任何一个位置，而且在每个位置的可能性相同，满足几何概型的特点.解：设两直角边的长分别为x,y ，则0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=4322<+y x ，如右图，样本空间为边长是1的正方形区域，而满足条件的事件所在的区域的面积为649)43(412ππ=⨯⨯.因此，所求事件的概率为P=6491649ππ=. 点评：根据已知条件，构造满足题目条件的数学模型，再运用几何概型的概率计算方法来计算某个事件发生的概率，是一种常用的求解概率问题的方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面的概率.分析：当两人到达碰面地点的时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点的时间.解： 运用转盘模拟的方法.具体步骤如下：（1）做两个带指针（分针）的转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；（2）每个转盘各转m 次，并记录转动得到的结果，以第一个转盘的结果x 表示甲到达碰面地点的时间，以第二个转盘的结果y 表示乙到达碰面地点的时间；（3）统计两人能碰面（满足|x －y|<20）的次数n ；（4）计算m n 的值，即为两人能碰面的概率的近似值（理论值为95）. 点评：实施模拟的方法除了转盘模拟的方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：（1）新建一个电子表格文件，在A1的位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60的随机数x ；（2）将A1位置处的表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60的随机数y ；（3）在C1的位置处输入：=IF （A1-B1<=-20，0，IF （A1-B1<20，1，0），判断两人能否碰面（即是否满足|x －y|<20），如果是，就返回数值1，否则返回数值0；（4）将第一行的三个表达式复制100行，产生100组这样的数据，也就是模拟了100次这样的试验，并统计每次的结果；（5）在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面的频率，即事件“两人能碰面”发生的概率的近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA 落在∠xOT 内}.因为射线OA 落在∠xOT 内是随机的，也就是射线OA 可以落在∠xOT 内任意一个位置，这符合几何概型的条件，区域d 的测度是60，区域D 的测度是360，根据几何概型的概率计算公式，得P(A)=6136060=.5.运用计算机模拟的结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题的背景，判断是否符合几何概型的特点，如是则选择符合题意的“测度”，运用求几何概型概率的方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题的模拟方法来模拟得到问题的近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题的概率，以及运用模拟的方法求某一个事件的概率的近似值.结合上节课的内容可以知道，几何概型的概率问题仍然是随机事件的概率，与古典概型的区别是古典概型所含的基本事件的个数是有限个，而几何概型所包含的基本事件的个数是无限的.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：（1）与长度有关的几何概型；（2）与面积有关的几何概型；（3）与体积有关的几何概型；(4)与角度有关的几何概型.其中我们对与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型的又一随机事件的概率模型，在解决实际问题时首先根据问题的背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者的区别在于构成该事件的基本事件的个数是有限个还是无限个.在使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用的方法.习题详解习题3.31.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上的位置是随机的，也就是说灯挂在绳子上的位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型的条件，根据P=的长度的长度L l ，得P(A)= 3162=. 答：灯与两端距离都大于2 m 的概率为13.2.记A={所投的点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入大正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入小正方形内的概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积的比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投的点落入小正方形内的概率为94. 3.记A={所投的点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入矩形内的任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入梯形内部的概率应该等于梯形面积与矩形面积的比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投的点落在梯形内部的概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机的，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型的条件，根据几何概型的求概率计算公式，得P(A)=ππ21121)21(22=⋅⋅. 答：乘客到达站台立即乘上车的概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点”的概率比较困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，再求“硬币落下后与格线有公共点的概率”.解：因为直径等于2 cm 的硬币投掷到正方形网格上是随机的，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型的条件.要求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，根据几何概型的求概率计算公式： P(A)=的测度的测度D d ，因为每个小正方形的边长都等于6 cm ，硬币的直径为2 cm ，设有n 个小正方形，则区域d 的测度为n·π·12，区域D 的测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点”的概率为366122ππ=⋅⋅⋅n n ，而事件“硬币落下后与格线有公共点”是“硬币落下后与格线无公共点”的对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点”的概率为1－36π. 答：硬币落下后与格线有公共点的概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同的答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗的解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆的内接等边三角形（如图1）.因为三角形内角A 所对的弧，占整个圆周的31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦的长度才能超过正三角形的边长a ，故所求概率是31. 解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直径PQ.过点P 作圆的内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 的中点M （如图2）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直的弦，如果通过MN 线段的，其弦心距均小于QN ，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21. 解法三：任取一弦AB.作圆的内接等边三角形的内切圆（如图3），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的21，它的面积是大圆的41，设M 是弦AB 的中点，显然，只有中点落在小圆内时，AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是41.图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格的理论基础，这样，对同一问题可以有不同的看法，以致产生一些奇谈怪论.。
高中数学 3.3 几何概型学案 苏教版必修3
3.3 几何概型何概型的概率.1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．预习交流1几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置有关吗？提示：几何概型的概率只与它的测度(长度、面积、体积等)有关，而与构成事件的区域形状、位置无关．2．几何概型的计算公式及特点(1)几何概型的特点：①在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．(2)几何概型的概率计算公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的测度D 的测度(d ⊆D )．预习交流2(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，x 2≤14的概率为__________．(2)如图的矩形，长为2米，宽为1米．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．据此可以估计出图中阴影部分的面积为__________．(3)如图所示，有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B 区域时，甲获胜；否则，乙获胜．在两种情形下甲获胜的概率分别为__________．提示：(1)12 (2)2325 (3)12，35一、长度型几何概型一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列两种情况的概率各是多少？(1)红灯； (2)黄灯． 思路分析：解答本题的关键是将基本事件的全部及事件A 所包含的基本事件转化为相应区间的长度．解：到达路口的每一时刻都是一个基本事件，且是等可能的，基本事件有无穷多个，所以这是几何概型问题．总的时间长度为30＋5＋40＝75秒，设看到红灯为事件A ，看到黄灯为事件B ，(1)出现红灯的概率为：P (A )＝构成事件A 的时间长度总的时间长度＝3075＝25.(2)出现黄灯的概率为：P (B )＝构成事件B 的时间长度总的时间长度＝575＝115.1．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为__________．答案：15解析：距电线杆10 m 的线段有两处，左右各一段，遭受电击的线段长为20 m ．故所求概率为20100＝15.2．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率．解：如图所示，△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，则△ABC 的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A ，则()++3+2+11++122DE FG MN P A BC CA AB ===.3．取一根长度为3 m 的树干，把它锯成两段，那么锯得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解：从每一个位置锯断都是一个基本事件，锯断位置可以是长度为3 m 的树干上的任意一点，基本事件有无限多个，是几何概型问题．如图所示，记“锯得两段树干长都不小于1 m”为事件A ，把树干三等分，于是当锯断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于树干长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝构成事件A 的树干长度总的树干长度＝13.(1)几何概型概率计算的基本步骤是：①判断是否为几何概型．尤其要注意判断等可能性；②计算所有基本事件的“测度”与事件A 所包含的基本事件对应的区域的“测度”(如长度、面积、体积、角度等)；③代入几何概型的概率计算公式进行计算．(2)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d .在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．二、面积型几何概型取一个边长为2a 的正方形及其内切圆、外接圆，随机向外接圆内丢一粒豆子，求豆子落入图内4个白色区域的概率．思路分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．解：记“豆子落入4个白色区域”为事件A ，则由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．即P (A )＝4个白色区域的面积和外接圆的面积＝正方形的面积－内切圆的面积外接圆的面积＝4a 2－πa 2π(2a )2＝4－π2π.1．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架蕴藏着石油．假如某投资公司在此海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是__________．答案：11 250解析：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率等于贮藏石油的海域面积与整个海域面积之比，即P ＝4050 000＝11 250.2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为__________．答案：π16解析：D 区域：2,2x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩形成面积为42的正方形区域，E 区域：x 2+y 2≤1形成面积为π的圆形区域．如图所示．记P (A )为事件“落入E 中”的概率，则P (A )=π16. 3．如图，矩形花园ABCD 中，AB 为4米，BC 为6米，一只小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？解：矩形面积为：4×6=24(米2)，阴影部分面积为：12×4×6=12(米2)，P (小鸟落在阴影区)=121=242. (1)几何概型要求每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的测度(长度、面积、体积)为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．(2)解与面积有关的几何概型问题的关键是：①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； ②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．三、体积型几何概型已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，求使得V P －ABC＜12V S －ABC 的概率． 思路分析：解答本题时可先找出满足条件的点P 的位置，再用几何概型求概率．解：∵V P －ABC =13S △ABC ·h ， V S －ABC =13S △ABC ·3，∴当32h <时， V P －ABC ＜12V S －ABC ， 即点P 的位置应该在中截面的下方(不妨设中截面为面A′B′C′)，据比例的性质可知31128S A B C S ABC V V -'''-⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据几何概型的概率计算公式，所以所求概率为78S ABC S A B C S ABC V V V --'''--=.1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD的体积小于16的概率为__________．答案：12解析：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h ＜16， 又S ABCD =1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率1122V P V ==正方体正方体.2．有一杯1升的水，其中漂浮有1个被核污染的微生物，用一个小杯从这杯水中随意取出0.1升，求这一小杯水中含有这个微生物的概率．解：总的基本事件为杯中水的体积，事件A 包含的基本事件为取出水的体积，所以小杯水中含有这个微生物的概率为P (A )＝构成事件A 的水的体积总的水的体积＝0.11＝110.3．如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．解：在AB 上取AC ′=AC ， 则∠ACC ′=180452︒-︒=67.5°. 设A ={在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )=67.53=904. (1)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．(2)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么我们就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件A 的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积．(3)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度、区域体积内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的，从而可以用几何概型的概率公式求解．1．(2012湖北高考改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．答案：1－2π解析：设OA =OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是(π－2)R 2πR2＝1－2π.2．面积为S 的△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为__________．答案：123．在边长为2的正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为__________．答案：π6解析：记“该点落入内切球内”的事件为A ，则P (A )＝内切球体积正方体体积＝4π3·1323＝π6. 4．在长为4米的绳子上任取一点剪开，则使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是__________．答案：12解析：如图，显然当剪断点在AB 或CD 上时满足条件“一段大于3米，一段小于1米”，∴P (“一段大于3米，一段小于1米”)＝AB ＋CD AD ＝24＝12.5．在区间(0,3)内随机地取一个数，则这个数大于2的概率为多少？ 解：几何区域D 为区间长度，所以这个数大于2的概率为大于2的区间长度与总区间长度之比，即P ＝3－23＝13.。
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高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修31．了解几何概型的概念及基本特点．(重点) 2．熟练掌握几何概型的概率公式．(重点、难点)3．正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算．(重点、易混点) 4．了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率．(难点)[基础·初探]教材整理 几何概型阅读教材P 106～P 107“例1”上边的内容，并完成下面的问题． 1．几何概型的定义设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个； (2)每个基本事件出现的可能性都相等． 3．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个．( ) (2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( )(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解．( )【解析】 (1)√.由几何概型的特点可知正确． (2)√.由几何概型的定义知正确．(3)√.该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型]测度为长度的几何概型(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． (2)某市公交车每隔10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客能搭上车的概率为________． 【精彩点拨】 利用测度为长度的几何概型求解．【自主解答】 (1)设“X ≤1”为事件A ，则事件A 发生表示X ∈[－2,1]， 由题意知，D 测度为区间[－2,3]长度3－(－2)＝5，d 的测度为区间[－2,1]长度1－(－2)＝3， 即X ≤1的概率为P (A )＝d D ＝35.(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D ＝10 min ，而事件B 的区域长度为d＝1 min ，故P (B )＝d D ＝110，即乘客能搭上车的概率为110.【答案】 (1)35 (2)1101．解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A (B )包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解．2．求测度为长度的几何概型的步骤．(1)确定几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．(2)确定事件A 发生时对应的区域d ，判断d 的边界点是问题的关键． (3)利用几何概型概率公式求概率．[再练一题]1．在两根相距8 m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3 m 的概率是________．【解析】 记“灯与两端距离都大于3 m”为事件A ，由于绳长8 m ，当挂灯的位置介于中间的2 m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P (A )＝28＝14.【答案】 14测度是面积的几何概型如图331，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.图331【精彩点拨】 判断为几何概型→求出图形的面积→利用公式求概率【自主解答】 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.【答案】2π解决此类问题的关键是：1根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；2确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.[再练一题]2．如图332，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________.【导学号：11032066】图332【解析】 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝1－π4.【答案】 1－π4测度为体积的几何概型已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率．【精彩点拨】 先判断为测度是体积的几何概型，然后由体积关系转化为点M 到平面ABCD 的距离的问题处理．【自主解答】 设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M ABCD ＝ 13·S 正方形ABCD ·h ＜16，S 正方形ABCD ＝1，所以h ＜12， 所以只要点M 到平面ABCD 的距离小于12即可．因为所有满足M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以平面ABCD 为底面，高为12的长方体，其体积为12.又正方体的体积为1，所以使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.在几何概型中，如果试验的结果所组成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积，然后利用公式求概率.[再练一题]3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．【解析】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.【答案】127[探究共研型]几何概型中测度类型的确定探究1 在几何概型中，涉及到的测度大体有几种？如何进行区分？【提示】 几何概型涉及到的测度有长度、面积、体积与角度，“测度”的意义要依据D 来确定，当D 分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．当几何概型中的线在一个定角内运动时，测度可能为长度或角度．探究2 问题1：在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM <AC 的概率； 问题2：在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作射线CM ，交AB 于点M ，求AM <AC 的概率．以上两问题中涉及的测度一样吗？概率分别是多少？【提示】 两问题中的测度不一样，问题1中是长度，而问题2中为角度．由几何概型知，问题1中的概率为22，问题2中的概率为34. 过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【导学号：11032067】【精彩点拨】 判断为几何概型→确定测度类型→计算测度→ 代入公式求解【自主解答】 设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦．显然当弦为CD 时其长度就是△BCD 的边长，弦长大于|CD |等价于圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概型的概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是12.在利用几何概型求概率时，关键要明确题目的类型，即是长度型、角度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内.[再练一题]4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．【解析】 如图，过点D 作l ∥BC 交AC 于点E .由题知AD AB ＝34.而P 为△ABC 内任意一点，则使S △PBC ＞S4的点落在△ADE 中，∴P ＝S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2＝916.【答案】9161．如图333，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．图333【解析】 由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23S 正＝83. 【答案】 832．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(整点报时)，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为________．【解析】 记“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，则事件A 发生．由几何概型求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.【答案】 163．如图334，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一个顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．图334【解析】 设正方形边长为a ，则S正方形＝a 2，S扇形＝14πa 2，则扇形外正方形内的面积为S ＝S 正方形－S 扇形＝a 2－π4a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2，故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2a2＝1－π4＝4－π4.【答案】4－π44．在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________．【解析】 当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16.【答案】π165．用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．【解】 设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生等价于OM ≥1 cm.设R ＝3，r ＝1.则区域D 的体积为V ＝43πR 3，区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.∴P (A )＝V 1V ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3＝1－127＝2627.故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.。