广东省深圳市普通高中2020学年高二数学下学期5月月考试题(10)20

下学期高二数学5月月考试题10一、选择题：本大题共10小题，每小题3分, 共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )A．15 B．20 C．25 D．302．已知数列{an }的前n项和Sn＝a n－1(a是不为0的实数)，那么{an}( )A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，也可能是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列3．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的 ( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f(x)＝4cos x－ex2的图象可能是( )．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是( )A．30°B．45°C．60°D．150°6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )A.45B.35C．－35D．－457．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c8．若直线xa＋yb＝1经过点M(cosα，sinα)，则( )A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1 D.1a2＋1b2≥19．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC10、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )A.1e21＋1e22＝4 B．e21＋e22＝4C.1e21＋1e22＝2 D．e21＋e22＝2二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．11．复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．12．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.13．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)在(0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．14．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．15．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝32时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．16.已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中点为M(x0，y)，且y≥x＋2，则yx的取值范围为________．17．若函数f(x)＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题有4小题, 共42分． 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18．(本题满分10分)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．19．(本题满分10分) 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2===CB DC AD ，ο30=∠CAB ，ABCDE M FH四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，3=CF ．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ； （Ⅱ）设点M 为EF 中点， 求二面角C AM B --的余弦值．20．(本题满分10分)已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1()()2f x g x >+；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．21．(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y-+=相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；（2)→→⋅OBOA的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分, 共30分）1、解析：在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.答案：D 2、C3、解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A∪B ＝I”是“B＝∁I A”的必要不充分条件．答案：B4、解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又f(0)＝4－1＝3>0，排除C ，故选A. 答案 A5、解析：如下图，∵EF ∥A 1B ，∴EF 、A 1B 与对面角BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故∠A 1BM ＝30°.∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.故选A. 答案：A6．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4得：y 2－2y －8＝0, y 1＝4，y 2＝－2.则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0) |AF|＝4－12＋42＝5， |BF|＝1－12＋－2－02＝2|AB|＝4－12＋4＋22＝3 5cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF|·|BF|＝25＋4－452×5×2＝－45.7、解析：写出逆命题，可知B 中b 与β不一定垂直．选B. 答案：B8、解析：由点M(cosα，sinα)可知，点M 在圆x 2＋y 2＝1上，又直线x a ＋yb ＝1经过点M ，所以|ab|a 2＋b2≤1⇒a 2＋b 2≥a 2b 2，不等式两边同时除以a 2b 2得1a 2＋1b 2≥1，故选D.答案：D9、解析： 因BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B 、C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．答案： D10、解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②.①2＋②2得2(|PF 1|2＋|P F 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C.答案：C二、填空题：（本大题有7小题，每题4分，共28分） 11、解析：z ＋1＝－3＋2ii＝－3＋2iii 2＝2＋3i ，∴z ＝1＋3i ，∴实部为112、解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋n n 2－1＝nnn 2－1，所以当n ＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41. 答案：4113、 解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝－2x ＋1ax －1x .根据题意，只要使F(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立即可，①当a≤0时，F′(x)≥0，函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≤0在(0，＋∞)上不可能恒成立；②当a>0时，令F′(x)＝0，得x ＝1a 或x ＝－12(舍去)．当0<x<1a 时，F′(x)>0，函数F(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当x>1a 时，F′(x)<0，函数F(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．此时F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋1a －1.令h(a)＝ln 1a ＋1a －1，则h′(a)＝－1a －1a 2<0，所以h(a)在(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0，所以ln1a ＋1a－1≤0成立的充要条件是a≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)14、解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a∥b ，且α⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b”，此命题为真命题．答案：215、解析：从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f′(x)>0；当x ∈(1,2)时，f′(x)<0；当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①16、解析：如下图所示，点M 在射线AB 上，射线AB 的方程为y ＝－12x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x≤－53，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，根据y 0x 0的几何意义可知y 0x 0的取值范围是(－12，－15 ]．答案：(－12，－15]17、解析：问题等价于在[0,1]内f(x)max －f(x)min≤1恒成立．f′(x)＝x2－a2，函数f(x)＝13x3－a2x的极小值点是x＝|a|，若|a|>1，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故只要f(0)－f(1)≤1即可，即a2≤43，即1<|a|≤233；若|a|≤1，此时f(x)min ＝f(|a|)＝13|a|3－a2|a|＝－23a2|a|，由于f(0)＝0，f(1)＝13－a2，故当|a|≤33时，f(x)max＝f(1)，此时只要13－a2＋23a2|a|≤1即可，即a2⎝⎛⎭⎪⎫23|a|－1≤23，由于|a|≤33，故23|a|－1≤23×33－1<0，故此时成立；当33<|a|≤1时，此时f(x)max＝f(0)，故只要23a2|a|≤1即可，此式显然成立．故a的取值范围是[－233，233]．答案：[－233，233]三、解答题：(本大题有4小题, 共42分．)18、解：解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径 r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝2 2.故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l′的方程为y ＝－x －m. 由⎩⎨⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切； ②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切．解法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．19、(1)证明：ο60,2=∠===ABC CB DC AD则4=AB ，122=AC ，则得222BC AC AB +=AC BC ⊥∴，Θ面⊥ACEF 平面ABCD ，面I ACEF 平面ABCD AC =⊥∴BC 平面ACEF ． ……7分（II ）过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,则CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，13,3==HB CH ，13133cos =∠CHB ，则二面角C AM B --的余弦值为13133． 20、解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ……1分 ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 …………3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，2/ln 1)(x x x h -=， …………6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ………7分 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ………9分 ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+……………………………10分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-=① 当0≤a 时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……12分 ②当e a<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ……14分③ 当e a≥1时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……15分 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3 .……16分21、(1)解：由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =又b ==2243a b ==，故椭圆的方程为22143y x +=(2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++u u u r u u u r ∵2104k <≤，∴28787873443k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈-u u u r u u u r ， ∴OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围是13[4)4-，．(3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E(x 2，－y 2) 直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8x x x x x x x -+=+- 由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)．。