空间距离的运算问题2(教案)
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 能够运用空间两点间的距离公式解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：空间两点间的距离公式的灵活运用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用空间两点间的距离公式。
四、教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学案例。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾平面两点间的距离公式，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究空间两点间的距离公式：（1）引导学生观察空间坐标系中两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的坐标。
（2）引导学生思考如何求解AB两点的距离。
（3）引导学生利用勾股定理推导出空间两点间的距离公式。
3. 案例分析：（1）出示典型案例，让学生运用空间两点间的距离公式解决问题。
（2）引导学生总结解题步骤和注意事项。
4. 巩固练习：出示练习题，让学生独立完成，巩固空间两点间的距离公式的运用。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调空间两点间的距离公式的应用。
6. 布置作业：让学生课后总结空间两点间的距离公式的推导过程，并用所学知识解决实际问题。
六、教学拓展：1. 引导学生思考空间两点间的距离公式在现实生活中的应用，如测量身高、计算物体间的距离等。
2. 探讨空间两点间的距离公式在其他领域的应用，如计算机图形学、工程设计等。
七、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用。
2. 邀请学生上台演示空间两点间的距离公式的推导过程，并讲解其应用。
八、评价与反馈：1. 通过课堂提问、练习题和小组讨论等方式，评价学生对空间两点间的距离公式的掌握程度。
空间两点间的距离公式说课稿 教案 教学设计
生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点 到点 之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
[1]
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答得出
问题
问题设计意图
师生活动
（3）如果 是定长r,那么 表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
4、情景பைடு நூலகம்计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
空间两点间的距离公式
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
两点之间距离公式教案
两点之间距离公式教案一、教学任务分析（1）通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
（2）通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力。
（3）通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想。
二、教学重点和难点探索和推导空间两点间的距离公式。
三、教学基本流程四、教学情境设计1、问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度。
解决方案：①直接测量取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度。
②公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算。
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为，那么对角线长。
③坐标计算建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算。
一般地，空间任意一点与原点间的距离。
2、探究：如果是定长，那么表示什么图形？3、思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式。
用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导。
由此可得空间中任意两点之间的距离公式。
4、练习1、在空间直角坐标系中标出点与点，再在轴上求一点，使点到点与点的距离相等。
2、求证：以三点为顶点的三角形是等腰三角形。
3、如图，正方体的棱长为，。
求的长。
4、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系。
点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。
（1）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，探究的最小值；（2）当点为棱的中点，点在对角线上运动时，探究的最小值；（3）当点在对角线上运动，点在棱上运动时，探究的最小值。
由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？5、小结空间中任意两点之间的距离公式6、作业1、如图，正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个正方体的棱长。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案李浪（一）教学目标1．知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计 教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离的公式为|AB |=221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离的公式会是怎样呢你猜猜师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成 （2）空间中任一点P(x ，y ，z )到原点之间的距离公式会是怎样呢师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离先推导特殊情况下空间推导一般情况下的空间|OP |=222x y z ++.概念深化（3）如果|OP |是定长r ，那么x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2+y 2=r 2表示的图形中，方程x 2+y 2=r 2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x 2+y 2=r 2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P 1(x 1，y 1，z 1)到点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P 1P 2|=222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：1）A (2，3，5)，B (3，教师引导学生作答 1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M 的坐标是(0，培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理1，4)；2）A (6，0，1)，B (3，5，7)2．在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2)与点B (1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D ′A ′B′C ′的棱长为a ，|AN |=2|CN |，|BM |=2|MC ′|.求MN 的长.0，z ).依题意，得22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-.解得z =–3.所求点M 的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(42)(14)(93)7BC =-+-+-=， 222||(102)(14)(63)98AC =-+--+-=.因为7+7＞98，且|AB |=|BC |，所以△ABC 是等腰三角形.4．解：由已知，得点N 的坐标为2(,,0)33a a， 点M 的坐标为2(,,)33a a a ，于是解课外练习布置作业练习册学生独立完成巩固深化所学（1） 空间两点间的距离公式是什么（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么 （3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y =0或y =2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2已知点A （1，-2,11）B （4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。
数学人教B必修2教案2.4.2 空间两点的距离公式 Word版含解析
示范教案教学分析教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明．三维目标掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：空间两点间的距离公式的推导．课时安排课时导入新课设计.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．设计.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即＝－；平面直角坐标系中，两点之间的距离是＝.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))错误!讨论结果：()平面直角坐标系中，(，)，(，)，则＝.()计算空间两点(，，)，(，，)的距离公式是(，)＝＝.特别地，点(，，)到原点的距离公式为(，)＝＝.()推导空间两点距离公式的思路是：过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．你还可以作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图)(\\(应用示例))思路例给定空间直角坐标系，在轴上找一点，使它与点()的距离为.解：设点的坐标是()，由题意，＝，即＝，所以(－)＝.解得＝或＝－.所以点的坐标为()或(－)．点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点的坐标．变式训练．在轴上求一点，使点到点()，(，－)的距离相等．解：设(，)，由题意，得＝，＝，整理并化简，得＝－，所以(，－)．．△的三个顶点坐标为(，－，－)，(－，－，－)，(，－)，试证明△是一直角三角形．分析：要判定△是一直角三角形，只需求出，，的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为(，－，－)，(－，－，－)，(，－)，所以＝＝，＝＝，＝＝.又因为＋＝，所以△是直角三角形．思路例已知(－－)，(，＋－)，则的最小值为( )．分析：要求的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出的最小值．解析：＝＝＝≥.当＝时，的最小值为.答案：点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于的二次函数求最值是常用的方法．变式训练在平面内的直线＋＝上确定一点，使到点()的距离最小．解：由已知，可设(－)，则＝＝.所以＝.(\\(知能训练))．已知()，()，求：()线段的中点坐标和长度；。
空间距离(教案)
（一）考纲要求掌握点点、点线、点面、线线、线面、面面距离的定义，熟练掌握各种距离的求法，其中重点为点到面的距离。
（二）空间中的距离①点与点的距离（平面两点距离公式、空间两点距离公式） ②点到直线的距离（一般在直线与圆版块中出现）③点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间的线段的长度。
（重点） ④异面直线间的距离：两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度。
⑤直线与平面间的距离：如果直线和平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，垂线段的长度。
⑥两平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂线段的长度。
（一）异面直线间的距离（线线距离）【例1】如图，在正三棱锥ABC P -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 是BC 中点，PA EF ⊥。
（1）求证：EF 是异面直线PA 与BC 的公垂线段； （2）求异面直线PA 与BC 的距离。
【解】（1）连结,PE AE ，则在等腰PBC ∆和等边ABC ∆中，PE BC ⊥，AE BC ⊥，又PE 与AE 交于点E ，故BC ⊥面PEA ，而EF 在平面PEA 中， 故BC EF ⊥，又EF PA ⊥，即证！（2）在PEA ∆中，PE =AE =，3PA =，则969sin 932cos =∠⇒=∠FAE FAE ，故323sin =⋅∠=AE FAE EF 【例2】正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，求异面直线11AC 与1AB 间的距离。
（使用向量法） 【解】建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C1(0,1,1)AB ∴ ＝，11(1,1,0)AC - ＝，11(0,1,0)AB＝ 设1m AB ⊥ ，11m AC ⊥ ，且(,,)m a b c =1B 1D 1C 1A DC则1110m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a b b c -+=⎧⎨+=⎩，取1a =，则(1,1,1)m =- 故异面直线11AC 与1AB间的距离11||3||m A B d m ⋅== 【小结】异面直线间的距离求法：（1）几何法：①找公垂线；②利用三角形求公垂线长度。
高中数学-空间两点间的距离公式教案
4.3.2空间两点间的距离公式教案1． 教学任务分析通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2． 教学重点和难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3． 教学过程（1）在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：(2) 在空间直角坐标系中，任意两点P 1(x 1,y 1,z 1)和P 2(x 2,y 2,z 2)间的距离：（3）练习1、在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离：(1)A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7)2、在z 轴上求一点M ，使得点M 到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。
3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长.，，连接平面的垂线，垂足为点做过OP')0,,(P'P y x xy 222222222|'||'||OP |OPP')0y ()0(|OP |z y x PP OP y x x y x ++=+=∆+=-+-=中，在轴构成的平面上，轴在H.N P MN P MN,M,xy P N xy P 2112于的平行线，交作过连接平面的垂线，垂足为做；过平面的垂线，垂足为做过2212212212122212112221221221221122221111)()()(|H P ||H P ||P P |H P P RT |z z ||NH ||N P ||H P |||)y -y ()x -x (|MN |),N(),y ,M(x ),,,(P ),z ,y ,(x P z z y y x x H P y x y x z y x -+-+-=+=∆∴-=-==+=中，在，可得：轴的平面上，轴则在已知Θ70)71()50()36(|AB |)2(6)45()13()32(|AB |)1(222222=-+-+-==-+-+-=有：解：由两点间距离公式)3,0,0(M 3)1()30()10()2()00()10(|MB ||MA |),0,0(M 222222-∴-=-+++-=-+-+-=点的坐标为。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间两点间的距离公式【教学目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.【重点难点】教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x=1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3||||==33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结。
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向量法求空间距离
1 内容概述
求空间距离是立体几何的一种重要题型. 常见的空间距离有：点到平面的距离、直线到平行平面的距离、两条异面直线间的距离和两个平行平面的距离. 用向量方法求空间点面距离主要是借助平面的法向量来解题，这样的方法较之于传统几何法来说，它的思维要求不高，更多的是要求计算的能力.
重要思想方法: 转化、化归思想是求距离有关问题的重要思想方法. 求空间距离解题的关键在于转化，利用转化、化归思想，可以把面面距离和把两条异面直线距离化为线面距离，把线面距离化为点面距离，所以点到平面的距离是其他距离问题的解题基础.
2 例题示范
例1如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.
（1）证明：PB //平面AEC ；
（2）设1,AP AD ==，三棱锥
P ABD -的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
解：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点，所以//EO PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ..
（2）如图：以A 为坐标原点，分别为,,AB AD AP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系：
由于166-=⋅⋅=P ABD V AB AD PA AB ，且4
V =，可得32AB =，
由已知得：33(0,0,0),(,0,0),(,(0,0,1)22
A B C P
设平面PBC 的法向量为(,,)=n x y z ，3(0,3,0),(,0,1),(0,0,1)2
==-=BC PB AP , 由 ⎧⊥⎪⎨⊥⎪
⎩n BC n PB
得 (,,)033(,,)(,0,1)022⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩n BC x y z n
PB x y z x z 即0302=⎨-=⎪⎩x z 令2=x ，则(2,0,3)=n
由|cos ,|||||13||||1⋅<>====⋅
AP n AP n AP n 则A 到平面PBC 的距离|||cos ,||
|||13||4⋅=⋅<>===+AP n h AP AP n n
【解后归纳】 求点到平面距离的方法总结：
通过合理建系，准确找点，计算得到法向量及直线向量，利用公式||||
⋅==AP n h n 来解.
例2如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，
2AB =，1AD =，11A A =； （1） 证明直线1BC 平行于平面1DAC ；
（2） 求直线1BC 到平面1D AC 的距离.
证明：（1）因为1111ABCD A BC D -是长方体，
所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC .
解：（2）因为1||BC 面1DAC ，则直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点
B 到平面1D A
C 的距离.
分别以11111,,D A
DC D D 为
,,x y z 轴，以1D 为原点，建立空间直角坐标系：由题意得：1(0,0,0),(1,0,1),(0,2,1),(1,2,1)D A C B .
设平面1D AC 的法向量为(,,)=n x y z ，1(1,2,1)=D B ,
则11⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n D A n D C 得
11(,,)(1,0,1)0(,,)(0,2,1)20
⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩n D A x y z x z n D C x y z y z ，令1=y ， 则(2,1,2)=-n 则点B 到面1D AC 的距离为12|
||3
||4⋅===n D B h n . 故：直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.
【解后归纳】 求直线到平面距离的方法总结：
（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离都相等，所以可以转化为直线上任意一点到平面的距离来求解.
（2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有帮助.
例题3已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.
（1）求异面直线1CC 和AB 的距离；
（2）若11AB AC ⊥，
求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.
解：（1）因为11||CC AA ，1111,，平面=⊂AA AB A AA AB A ABB ，则111||面CC A ABB ， 故：异面直线1CC 和AB 的距离即为线1CC 到11面A ABB 的距离，即点C 到
11面A ABB 的距离.
记11A B 的中点为M ，分别以，，DB DC
DM 为,,x y z 轴，
（如图）建立坐标系： 可设1=AA m ，则 11(2,0,0),(2,0,0),(2,0,),(2,0,)--A B
C A m B m 显而易见：平面11A ABB 的法向量为(0,1,0)=n ，(2,=-CA ，
所以,点C 到11面A ABB
的距离为5|||||
⋅-===n CA h n
即异面直线
1
CC和AB
（2）
1
cos
3
θ=. （过程略）
【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的方法总结：
如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离，从而进一步转化为点到直线的距离.。