人教A版选择性必修第三册第六章6.2.3组合6.2.4组合数学案

组合组合数必备知识·自主学习1.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．(1)组合对元素有何要求？提示：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回抽取．2．组合数(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)本质：简捷地表示“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数”这类特殊的计数问题．(3)作用：①建立特殊的计数模型；②推导组合数公式．3．组合数公式及其性质组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？，通常不直接计算C m n，而改为计算提示：第一个性质中，若m＞n2，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数C n－mn拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．()(2)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．()(3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．()提示：(1)×.由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．(2)×.C m n是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C m n一定是正整数．(3)√.组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序．2．C26＝________，C1718＝________.【解析】C26＝6×5＝15，2C1718＝C118＝18.答案：15183．(教材练习改编)现有1，3，7，13这4个数．(1)从这4个数中任取2个相乘，可以得到________个不相等的积；(2)从这4个数中任取2个相除，可以得到________个不相等的商．＝6个不相等的积；【解析】(1)可以得到C24＝4×32(2)可以得到A24＝4×3＝12个不相等的商．答案：(1)6(2)12关键能力·合作学习类型一组合与组合数的概念(数学抽象)1．下列四个问题中，属于组合问题的是()A．从3个不同小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张【解析】选C.只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题．2．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A210＝90.(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120.(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720.3．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．【解析】方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二：画出树状图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．【加练·固】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？【解析】(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．类型二组合数公式及其应用(数学运算)【典例】已知1C m5－1C m6＝710C m7，求C m8.四步内容理解题意条件：C m5，C m6，C m7及它们之间的等量关系结论：求C m8思路探求确定m的取值范围⇒用组合数公式⇒化简所得等式⇒解方程求值书写表达依题意,m的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N*}.①原方程可化为-=,②即-=,所以1-=即m2-23m+42=0,解得m=2或21(不符合题意,舍去).③所以==28.注意书写的规范性:①求得取值范围;②正确套用公式;③准确化简并解对方程是解题关键.题后应用组合数公式C m n时，一方面要注意根据题目条件选择恰当的巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用C m n ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！计算． 1．计算C 5－n n ＋C 9－n n ＋1 的结果为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14 ＋C 55 ＝5.当n ＝5时，原式＝C 05 ＋C 46 ＝16.答案：5或162．证明：m C m n ＝n C m －1n －1 . 【证明】因为左边＝m ·n ！m ！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n C m －1n －1 ＝右边， 所以m C m n ＝n C m －1n －1 . 类型三 组合数的性质 (数学运算)角度1=的应用【典例】若C 2x －18＝C x ＋38 ，则x 的值为________． 【思路导引】先根据组合数的定义及性质C m n ＝C n －m n化简变形，再解方程求x 的值．【解析】由C 2x －18＝C x ＋38 得2x －1＝x ＋3 或2x －1＋x ＋3＝8，解得x ＝4或x ＝2.答案：2或4【变式探究】将本例条件改为C 3x ＋618 ＝C 4x －218 ，求x 的值．【解析】由题意得3x ＋6＝4x －2，或3x ＋6＝18－(4x －2)，解得x ＝2或x ＝8.而3x ＋6≤18且4x －2≤18，即x ≤4，且x ∈N *，所以x ＝8不合题意，应舍去，所以x ＝2.角度2+=的应用【典例】计算C 22 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26 ＝________．【思路导引】根据组合数的性质C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1 计算可得．【解析】C 22 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26＝C 33 ＋C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26 ＝C 34 ＋C 24 ＋C 25 ＋C 26＝C 35 ＋C 25 ＋C 26 ＝C 36 ＋C 26 ＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：351．性质“C m n ＝C n －m n”的意义及作用 2．要注意性质C m n ＋1 ＝C m n ＋C m －1n的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”．1．计算C 34 ＋C 35 ＋C 36 ＋…＋C 32 021 的值为()A ．C 32 022B ．C 52 022C ．C 42 022 －1D ．C 52 022 －1【解析】选C.C 34 ＋C 35 ＋C 36 ＋…＋C 32 021 ＝C 44 ＋C 34 ＋C 35 ＋…＋C 32 021－C 44＝C 45 ＋C 35 ＋…＋C 32 021 －1＝…＝C 42 021 ＋C 32 021 －1＝C 42 022 －1.2．计算：(1)C 58 ＋C 98100 ·C 77 ；(2)C 05 ＋C 15 ＋C 25 ＋C 35 ＋C 45 ＋C 55 .【解析】(1)原式＝C 38 ＋C 2100 ×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05 ＋C 15 ＋C 25 )＝2(C 16 ＋C 25 )＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.【加练·固】求证：C n m＋2＝C n m＋2C n－1m＋C n－2m.【证明】由组合数的性质C m n＋1＝C m n＋C m－1可知，n右边＝(C n m＋C n－1m)＋(C n－1m＋C n－2m)＝C n m＋1＋C n－1m＋1＝C n m＋2＝左边，右边＝左边，所以原式成立．课堂检测·素养达标1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．A310种B．C310种C．30种D．60种【解析】选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A．M∪Q＝{0，1，2，3，4}B．Q⊆MC．M⊆QD．M∩Q＝{1，4}【解析】选D.由C n4知n＝0，1，2，3，4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×3＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1，4，6}．故M∩Q＝{1，24}．3．计算C410－C37·A33＝________．【解析】原式＝C410－A37－7×6×5＝10×9×8×74×3×2×1＝210－210＝0.答案：04．(教材练习改编)从语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物这9门学科的考试成绩中选出3门考试成绩，有________种不同选法．【解析】9门学科的考试成绩中选出3门考试成绩，有C39＝9×8×7＝84种选法．3×2×1答案：845．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，写出这些三位数．【解析】这些三位数是：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个．关闭Word文档返回原板块。