反比例函数
反比例函数-ppt课件
读 范围．
27.1 反比例函数
归纳总结
考
点
由于反比例函数表达式中只有一个待定系数 k，因此求
清
单 反比例函数的表达式只需一组对应值或一个条件即可.
解
读
27.1 反比例函数
对点典例剖析
考
点
典例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=-3 时，y=4
清
单 ．
解
读
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
重
难
题 反比例函数→表示出组合函数→列方程组求解→写出函数
型 表达式.
突
破
27.1 反比例函数
重 ■题型二 实际问题中的反比例函数模型
难
例 2 某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，
题
型 设汽车的行驶时间为 t h，平均速度为 v km/h（汽车行驶
突
破 速度不超过 110 km/h）．根据经验，v，t 的部分对应值
（2）求当 x=6 时 y 的值；
（3）求当 y=
时 x 的值.
27.1 反比例函数
［答案］解：（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=
考
点
清 （k≠0），把 x=-3，y=4 代入，得 k=-3×4=-12，∴y 与
单
解
读 x 之间的函数表达式是 y=- ；
（2）当 x=6 时，y=（3）当 y=
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=2（x-1）+
.
��
Hale Waihona Puke =2x-2+27.1 反比例函数
变式衍生1 已知 y=y1-y2，y1与 x 成正比例，y2 与
数学中的反比例函数
数学中的反比例函数反比例函数在数学中是一类特殊的函数，其数学表达式为y = k/x，其中k是常数，x和y是函数的自变量和因变量。
1. 反比例函数的定义和性质反比例函数是指当x和y满足y = k/x时，函数y与x成反比例关系。
其中k是常数，反比例函数的定义域为除0以外的所有实数。
反比例函数的一些重要性质如下：- 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0，这也是反比例函数的特点之一。
- 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。
反比例函数的值域也是除0以外的所有实数。
- 反比例函数的图像是通过原点的双曲线，其中无穷远点（即x和y 无穷大的点）对称。
2. 反比例函数的图像和变化趋势反比例函数的图像通常是一个双曲线，其形状取决于常数k的值。
当k>0时，双曲线开口朝上；当k<0时，双曲线开口朝下。
反比例函数的变化趋势可以通过观察其图像得到。
当x增大时，y会减小，反之亦然。
同时，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
3. 反比例函数的应用举例反比例函数在实际生活中有很多应用。
以下是一些常见的应用举例。
- 电阻和电流的关系：欧姆定律中，电流与电阻成反比例关系。
当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
- 速度和时间的关系：在匀速运动中，速度和时间成反比例关系。
当时间增加时，速度减小；反之亦然。
- 工作人员数量和完成任务所需时间的关系：在一项任务中，完成任务所需时间与工作人员数量成反比例关系。
当工作人员数量增加时，完成任务所需时间减小。
4. 反比例函数的求解方法求解反比例函数的关键是求解常数k的值。
一种常见的方法是利用给定的数据点，通过代入x和y的值，得到k的值。
举例说明，假设有一组数据点(2, 6)和(4, 3)，我们可以代入x和y的值，得到以下方程：6 = k/23 = k/4通过求解这个方程组，可以得到k的值为12。
于是反比例函数的数学表达式为y = 12/x。
5. 反比例函数与其他函数的比较反比例函数与直线函数、指数函数和多项式函数等其他函数有着不同的特点和性质。
反比例函数
第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
反比例函数
反比例函數1. 反比例函數的定义。
反比例函數是一种特殊的函數，它的定义为：一个变量与另一个变量的倒数成反比例关系的函数。
也就是说，当一个变量增加时，另一个变量会减少，而且减少的幅度与增加的幅度成反比。
反比例函数可以用一元二次方程来表示，其形式为：y=k/x，其中k为常数，x和y分别为变量。
2. 反比例函數的图像反比例函数的图像是一条以原点为中心的对称曲线，其形状为“U”字形。
其函数表达式为y=k/x，其中k为正实数，x不等于0。
函数图像的横轴和纵轴上的任意一点都满足反比例函数的函数关系，横轴上的点的横坐标和纵轴上的点的纵坐标都是k的倒数。
反比例函数的图像具有对称性，即以原点为中心，其图像左右对称，上下对称。
此外，反比例函数的图像在原点处有一个拐点，曲线在原点处的切线斜率为无穷大。
3. 反比例函數的性质反比例函数是一种变量之间的反比例关系，其函数表达式为 y=k/x，其中k为常数。
反比例函数的性质如下：1. 反比例函数的图像是一条抛物线，其图像经过原点，且抛物线的斜率与x轴的斜率正好相反；2. 反比例函数的图像在x轴上的对称轴是y轴；3. 反比例函数的图像在y轴上的对称轴是x轴；4. 反比例函数的图像在x轴上的截距是k/2；5. 反比例函数的图像在y轴上的截距是k/2；6. 反比例函数的图像在x轴上的极值点是(0, k)；7. 反比例函数的图像在y轴上的极值点是(k, 0)；8. 反比例函数的图像在x轴上的最小值是k；9. 反比例函数的图像在y轴上的最大值是k；10. 反比例函数的图像在x轴上的最大值是无穷大；11. 反比例函数的图像在y轴上的最小值是0。
4. 反比例函數的应用反比例函數的应用：1. 生物学：反比例函數可以用来描述植物对光照的反应，以及动物对食物的反应。
2. 经济学：反比例函數可以用来表示供求关系，以及价格与需求量之间的关系。
3. 医学：反比例函數可以用来描述药物的作用，以及药物与毒性之间的关系。
反比例函数的图像及性质
解题技巧归纳
判断函数类型
通过观察函数表达式，判断其是否为反比例 函数。
利用对称性
利用反比例函数图像的对称性，可以简化一 些复杂问题的求解过程。
分析图像特征
根据 $k$ 的正负判断双曲线所在的象限， 并理解其增减性。
结合其他知识点
在解题过程中，可能需要结合一次函数、二 次函数等其他知识点进行综合分析。
表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（ k≠0），其中k是比例系数，x是自变 量，y是因变量。
自变量取值范围
由于分母不能为0，因此反比例函数 的自变量x不能为0，即x的取值范围 是x≠0。
反比例函数的定义域是除去使分母为0 的点以外的所有实数。
函数值变化规律
当x>0时，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0；当x<0时 ，随着x的减小，y的值逐渐增大，也永远不会等于0。
综合应用探讨
解决问题类型
反比例函数和一次函数在解决实际问题时具有广泛的应用。例如，反比例函数可用于描述速度、密度等物理量之间的 关系；一次函数则可用于描述线性增长或下降的问题，如直线运动、均匀变化等。
建模方法
在建立反比例函数和一次函数的模型时，需要根据问题的实际背景和条件，确定函数的表达式和参数。通过比较和分 析不同函数的图像和性质，可以选择最合适的函数模型来描述问题的本质和规律。
反比例函数的图像及性质
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数应用举例 • 反比例函数与一次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数
1.反比例函数定义：形如xky =（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
2.反比例函数图像与性质:3.反比例函数xy =（k≠0）中的比例系数k 的几何意义 （1）表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
如图，过双曲xky =（k≠0）上的任意一点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形 四边形OBPA 的面积S=PA ·PB=k xy =当反比例函数过一，三象限时，k=xy ；当反比例函数过二，四象限时，k=-xy（2）推出：过反比例函数图像上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2K（3）反比例函数的解析式：反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
1.如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？2.如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB 的面积。
3.如图，ABC Rt ∆的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴与B ，且23=∆ABO S 。
（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和AOC ∆的面积； （3）根据图像直接写出()1++->k x xk的自变量x 的取值范围4.如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC ．设线段MC′、 NA′分别与函数ky x=(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．5.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）． （1）求m 的值；（2）如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ， 且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．6.如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙-2，-5﹚C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数x my =和一次函数b kx y +=的表达式；(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．7.如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ， 且S △PBD =4，12OC OA =．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。
反比例函数是什么
什么是反比例函数
反比例函数是一类函数，它的自变量与因变量之间具有反比例的关系。
换句话说，反比例函数的自变量与因变量之间成相反数关系，即对于任意一个自变量值，它对应的因变量值是它的相反数。
例如，函数 y=1/x 就是一个反比例函数。
该函数表示，当 x 取不同的值时，y 的值都是它的相反数。
例如，当 x=2 时，y=1/2；当 x=-3 时，y=-1/3。
在数学中，反比例函数通常用来描述两个量之间的反比例关系。
例如，对于一个定值为 k 的反比例函数 y=k/x，当x 增大时，y 的值会减小，当 x 减小时，y 的值会增大，并且当 x=0 时，y 不存在（因为不能除以 0）。
反比例函数具有一些特殊的性质，例如在平面直角坐标系中，它的图像是一条抛物线，其中一个焦点在原点，另一个焦点在y 轴上；它的导函数是一个常数乘以它本身，即y'=ky。
在应用中，反比例函数也有广泛的用途。
例如，当描述一个人的高度与体重之间的关系时，可以使用反比例函数来表示这种关系。
例如，我们可以假定人的体重与身高之间存在反比例关系，即体重越高，身高就越矮，体重越低，身高就越高。
这时，我们可以用反比例函数来表示这种关系，例
如 y=k/x，其中 x 代表身高，y 代表体重，k 是一个常数。
当然，这只是一个简单的例子，在实际应用中，人的体重与身高之间的关系可能并不完全满足反比例关系。
不过，反比例函数在描述两个量之间的反比例关系时仍然是一个有用的工具。
反比例函数
k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0， 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不 与 x 轴、y 轴相交．
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
(1)求该轿车可行驶的总路程 s 与平均耗油量 a 之 间的函数解析式(关系式)． (2)当平均耗油量为 0.08 升/千米时， 该轿车可以行 驶多少千米？ 【点拨】本题考查建立反比例函数模型解答实际 问题． k k 解：(1)把 a＝0.1，s＝700 代入 s＝ ，得 700＝ ， a 0.1 70 k＝70，s＝ . a
考点三 反比例函数值的大小比较 例 3(2014· 衡阳)若点 P1(－1，m)，P2(－2，n)在 k 反比例函数 y＝ (k>0)的图象上，则 m________n(填 x “>”“<”或“＝”)．
【点拨】方法一：∵k＞0，∴在每个象限内y 随x的增大而减小．又∵0＞－1＞－2，∴m＜n.方 法二：∵k＞0，∴取k＝2，把x＝－1，x＝－2分别 2 代入y＝ ，得m＝－2，n＝－1，∴m＜n. x
k 2． (2014· 株洲)已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 x (2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( B ) A．(－6,1) C．(2，－3) B．(1,6) D．(3，－2)
k 解析：∵y＝ 的图象经过点(2,3)，∴k＝2×3＝6. x 又∵1×6＝6＝k， ∴点(1,6)也在这个函数的图象上． 故 选 B.
A．②③
B．③④
C．①②
D．①④
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反比例函数
反比例函数的定义
定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质
函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;
y的取值范围是：y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
但随着x 无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x 轴
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
其中，x是自变量，y是函数。
由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。
补充说明：
1.反比例函数的解析式又可以写成：(k是常数，k≠0).
2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.
反比例函数解析式的特征
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。