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概率论_经济应用数学三

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概率论经济应用数学三

概率论经济应用数学三

2066-经济应用数学三概率论单项选择题1．设A;B为随机事件;则..A.AB.BC.ABD.φ答案：A2．设A;B为两随机事件;且B A;则下列式子正确的是..A.PA∪B=PBB.PAB=PBC.PB|A=PBD.PB-A=PB-PA答案：B3．从装有2只红球;2只白球的袋中任取两球;记：A=“取到2只白球”则= ..A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球答案：D4．设对于随机事件A、B、C;有PA=PB=PC=1/4;且PAB=PBC=0;则三个事件A、B、C; 至少发生一个的概率为..A.3/8B.5/8C.3/4D.5/4答案：B5．设事件A与B同时发生时;事件C一定发生;则..A.PA B=PCB.PA+PB-PC≤1C.PA+PB-PC≥1D.PA+PB≤PC答案：B6．进行一系列独立的试验;每次试验成功的概率为p;则在成功2次之前已经失败3次的概率为..A.p21-p3B.4p1-p3C.5p21-p3D.4p21-p3答案：D7．设A; B是任意两个概率不为零的互不相容事件; 则必有..A.PAB=PAPBB.PA-B=PAC.与互不相容D.与相容答案：B8．设某人向一个目标射击; 每次击中目标的概率为0.8 ; 现独立射击3次; 则3次中恰好有2次击中目标的概率是..答案：A9．对掷一枚硬币的试验; “出现正面”称为..A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件答案：D10．事件A;B相互独立;且PA=0.7;PB=0.6;PA-B= ..答案：A11．事件A;B相互独立;且PA=0.7;PB=0.2;PA-B= ..答案：C12．设A;B为两个随机事件;且PB>0;PA│B=1则有.. A.PA∪B>PAB.PA∪B>PBC.PA∪B=PAD.PA∪B=PB答案：C13．下列函数为正态分布密度的是.. A.B.C.D.答案：B14．每张奖券中尾奖的概率为1/10;某人购买了20张号码杂乱的奖券;设中尾奖的张数为X;则X服从..A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布答案：A15．设随机变量X～N1;1;其概率密度函数为px分布函数是Fx;则正确的结论是 ..A.P{X≤0}=P{X≥0}B.P{≤1}=P{x≥1}C.F-x=FxD.px=p-x答案：B16．设随机变量X服从正态分布N4;9;则P{X<4}= ..A.0B.1C.D.答案：C17．下列函数为随机变量密度的是.. A.B.C.D.答案：A18．对于随机变量X ;F x = P {X ≤ x } 称为随机变量X的..A.概率分布B.概率C.概率密度D.分布函数答案：D19．设随机变量X服从N0;1; 其分布密度函数为φx; 则φ0=.. A.0B.1C.D.答案：C20．设随机变量x的密度函数为;则C= ..A.0B.C.1D.答案：C21．设随机变量X的概率密度为px;y=-x;则Y的概率密度为..A.-pyB.1-p-yC.p-yD.py答案：C22．设随机变量X的密度函数为px; 满足p-x=px;X的分布函数为Fx; 则对任意实数α>0;有..A.；B.F-α=Fα；C.；D.F-α=2Fα-1答案：C23．设随机变量X服从正态分布N-1;25;则P{X+1<0}= ..A.0B.1/2C.1D.1/3答案：B24．设随机变量X的可能取值为x1;x2; 随机变量Y的可能取值为y1;y2;y3; 如果P{X=x1;Y=y1} = P{X=x1}·P{Y=y1}; 则随机变量X 与Y ..A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立答案：D25．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从区间0;1上的均匀分布;则下列随机变量中服从均匀分布的有..A.X2B.X +YC.X ;YD.X -Y 答案：C26．设随机变量X与Y相互独立;且X在区间0;1上服从均匀分布;Y服从指数分布e2; 则X;Y的联合密度函数为..A.B.C.D.答案：C27．若二维随机变量X;Y的联合概率密度为;则系数A= ..A.B.C.1D.答案：A28．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N 0;1和N 1;1;则下列结论正确的是..A.B.C.D.答案：B29．设随机变量X与随机变量Y相互独立且同分布P{X=-1}=P{Y=-1}=1/2; 且;P{X=1}=P{Y=1}=1/2; 则下列各式中成立的是..A. P{X+Y=0}=1/4B. P{XY=1}=1/4C. P{X=Y}=1/2D. P{X=Y}=1答案：C30．已知随机变量X 服从二项分布B n;p;且EX=2.4;DX=1.44;则二项分布的参数n;p的值为..A.n = 4;p = 0.6B.n = 6;p = 0.4C.n = 8;p = 0.3D.n = 24;p = 0.1答案：B31．设随机变量X的分布密度为;则D2-X= ..A.-2；B.2；C.-4；D.4；答案：B32．设X为服从正态分布N-1; 2的随机变量; 则E2X-1= ..A.9B.6C.4D.-3答案：D33．设随机向量X ; Y满足EXY = EX·EY;则..A.X、Y相互独立B.X、Y不独立C.X、Y相关D.X、Y不相关答案：D34．设X1;X2;…;X n是n个相互独立同分布的随机变量;EX i=u;DX i=4i=1;2;…;n;则对于..A.B.C.D.答案：C35．设X服从泊松分布;且EX2-6=0;则P {X = 0}= ..A.e-1B.e-2C.e-3D.答案：B36．设X 服从二项分布Bn;p;则下列正确的是....A.E2X-1=2npB.D2X-1=4np1-p+1C.E2X+1=4np+1D.D2X-1=4np1-p答案：D37．对随机变量X来说;如果E X≠D X;则可断定X不服从..A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布答案：C38．若随机变量Y是X的线性函数;Y=αX+bα>0且随机变量X存在数学期望与方差;则X与Y的相关系数ρxy= ..A.αB.α2C.0D.1答案：D39．设随机变量X;Y的期望与方差都存在; 则下列各式中成立的是..A.EX+Y=EX+EYB.EXY=EX·EYC.DX+Y=DX+DYD.DXY=DX·DY答案：A40．设X服从参数为λ的指数分布eλ;则..A.B.C.D.答案：C计算题设某产品的合格率为80% ..检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%;次品被认为合格的概率为2%..1求任取一产品被检验员检验合格的概率；2若一产品通过了检验;求该产品确为合格品的概率..答案：解： 1 设A表示“产品检验合格” B表示“产品合格”则由全概率公式有即任一产品被检验员检验合格的概率为0.78；2 根据题意由贝叶斯公式有即若一产品通过了检验;则该产品确为合格品的概率为0.99..一箱产品共100件;其中次品个数从0到2是等可能的..开箱检验时;从中随机抽取10件;如果发现有次品;则认为该箱产品不合要求而拒收..1求通过验收的概率；2若已知该箱产品已通过验收;求其中确实没有次品的概率答案：某市有50%住户订日报;有65%住户订晚报;有85%住户至少订这两种报纸中的一种;求同时订这两种报纸的住户的概率.. 答案：解：假设：A={订日报};B={订晚报};C=A+B由已知 PA=0.5;PB=0.65 ;PC=0.85所以PAB=PA+ PB-PA+B=0.5+0.65-0.85=0.3即同时订这两种报纸的住户的概率为0.3..两人独立射击; 甲击中目标的概率为0.6; 乙击中目标的概率为0.7; 求目标被击中的概率..答案：解：设A表示“甲击中目标”;B表示“乙击中目标”;C表示“目标被击中”..则甲.乙进行独立射击抽样表明某市新生儿体重X单位：公斤近似地服正态分布N3; 4; 求新生儿体重超过4公斤的概率..Φ0.5 = 0.6915 答案：解：由题意知新生儿体重X近似地服正态分布N3; 4; 则P{X＞4}=1-P{X≤4}=1-Φ4-3/2=1-Φ0.5=1-0.6915=0.3085新生儿体重超过4公斤的概率为0.3085..设打一次电话所用时间X分钟服从参数为1/10的指数分布;如果某人刚好在你前面走进公用电话亭;求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率..答案：解：已知～==..设随机变量X服从参数为λ=2的指数分布..1 求数学期望E-2X+6；2求随机变量Y=3X的密度函数P Y y..答案：某种电池的寿命单位：小时是一个随机变量X;且X服从N300;252..求：1这样的电池寿命在250小时以上的概率； 2使电池寿命在300-a;300+a内的概率不小于0.9的常数 a.. Φ2=0.97725;Φ1.64=0.95答案：解：设随机变量X服从均匀分布U2;4;随机变量Y服从指数分布е2;且X与Y相互独立..求：1X;Y的联合概率密度； 2 DX-2Y..答案：解：1 随机变量;又随机变量 ;且与相互独立的联合密度为2随机变量;又随机变量;设某校一年级学生期末数学成绩X近似服从正态分布N75;100; 如果85分以上为优秀; 则数学成绩优秀的学生占全体学生人数的百分之几Φ1=0.8413答案：解：即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的15.87％..已知随机向量X;Y 的联合概率分布为1求X;Y的边缘分布；2判断X与Y是否独立；3PX＞Y答案：解：1 依题意;可得如下联合分布表：2不独立..3PX>Y=PX=1;Y=-1+PX=1;Y=0=0.1+0.2=0.3设X;Y的联合密度为1求边缘密度PXx 和PYx；2判断X与Y是否相互独立..答案：设系统由100个相互独立的部件组成; 运行期间每个部件损坏的概率为0.1; 至少有85个部件是完好时系统才能正常工作..用中心极限定理求系统正常工作的概率..Φ1.67=0.9525答案：解：设X为运行期间部件完好个数; 则X 服从二项分布B100; 0.9由中心极限定理;得系统正常工作的概率为若盒中有5个球;其中2个白球3个黑球; 现从中任意取3个球;设随机变量X为取得白球的个数..求：1随机变量X的分布； 2 数学期望EX ; 方差DX..答案：解：1 设随机变量X表示白球的个数; 则X 的取值为 0; 1; 2由题意得对敌人阵地进行100次炮击..每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4;标准差是1.5..求100次炮击中有370至430颗炮弹命中目标的概率..Φ2=0.9772答案：解：设表示第次炮击命中目标的炮弹数;由题设;有;Eχi=4;Dχi=1.52;i=1;2;...100 设100次炮击命中目标的炮弹数;则;因为χ1;χ2;...χ100相互独立;同分布;则由中心极限定理知;近似服从正态分布N400;100×1.52;于是P{370≤X≤430}=2Φ30/15-1=2×0.9772-1=0.9554一汽车沿一街道行使;需要通过三个均设有红绿灯信号灯的路口;每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立;且红或绿两种信号灯显示的时间相等..以X表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数..求：1X的概率分布； 2EX2+1.. 答案：解： 1 由题意x的可能取值为0;1;2;3; 且P{X=0}=1/2P{X=2}=1/2×1/2×1/2=1/8则x的概率分布为2由离散型随机变量函数的数学期望;有EX2+1=EX2+1=0×P{X=0}+1×P{X=1}+22×P{X=2}+32×P{X=3}+1=1×1/4+4×1/8+9×1/8+1=23/8填空题设______________ ..答案：0.85一批零件的次品率为0.2; 连取三次; 每次一件有放回; 则三次中恰有两次取到次品的概率为 ..答案：0.096设A;B;C是三个事件;则A不发生但 B;C 中至少有1个事件发生可表示为___________答案：设A;B;C是三个事件; 则A;B;C中至多有2个事件发生可表示为________..答案：设PA= 0.7;P A － B = 0.3 ; 则___________..答案：0.6若事件A与B互斥;PA=0.6;PA∪B=0.8;则答案：0.8设A;B;C是三个事件; 则A;B;C中恰有2个事件发生可表示为 ..答案：随机变量X服从区间 1;4上的均匀分布;则P { 0＜X＜3} = __________..答案：2/3设随机变量x的概率分布为P{X=K}=K/C K=1;2;3;4;5; 则C=__________..答案：15设随机变量X的概率分布为:P{X=k}=k/C;k=1;2;3;;则C=__________..答案：C=6设随机变量X的概率分布为PX=K=CK;K=1;2;3;4;则C=___..答案：1/10设随机变量X;Y都服从均匀分布U-1;1; 且X与Y相互独立; 则随机变量X;Y的联合分布密度px;y__________..答案：设随机变量X与Y相互独立;且X 服从N1;9;Y服从N2;16;则随机变量X+Y服从___________分布..答案：N3;25;设随机变量X和Y相互独立;其概率分布分别为P{X=Y}=______.答案：1/2设二维随机变量X;Y的联合分布律为：则a=________;b=________..答案：设随机变量X服从泊松分布; 且P｛X = 1｝= P｛X = 2｝; 则 D X = ________.. 答案：2设随机变量X的数学期望为EX=μ、方差DX=σ2;则由切比雪夫不等式有P{|X-μ|≥2σ}≤________..答案：1/4设随机变量X服从泊松分布;且PX=1=PX=2;E3X-1= __________..答案：5设随机变量X服从区间2;6上的均匀分布; 则E3X+1=__________..答案：13 设X服从正态分布N-1;6;则D-2X+1=_______..答案：24证明题设PA=a;PB=b;a;b均大于0....证明a/b≥PA/B≥a+b-1/b答案：证明：已知随机事件A与B相互独立;求证事件A 与也是相互独立的..答案：证明:因为A与B独立;所以;则有:故 A 与也相互独立已知随机事件A与B相互独立;求证事件也是相互独立的..答案：证明：因为A与B独立;所以PAB=PAPB;则有：即得..故也相互独立..设随机变量χ的数学期望存在;证明随机变量χ与任一常数b的协方差是零.. 答案：证明：由协方差的定义及数学期望的性质;得covχ;b=Eχ-Eχ*b-Eb=Eχ-Eχ*b-b =0。

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考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5

考研数学三（概率论与数理统计）-试卷5(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{|X( )（分数：2.00）A.D(X)=2．B.P{|X—E(X)|＜3}C.D(X)≠2．D.P{|X—E(X)|√解析：解析：由于事件{|X—E(X)|＜3}是事件{|X—E(X)|≥3}的对立事件，且题设P{|X—E(X)|≥3}≤，因此一定有P{|X—E(X)|＜3}≥选项D正确．进一步分析，满足不等式P{|X—E(X)|≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此选项A与C都不能选．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2．但是P{|X—E(X)|≥3}=P{|X一4|≥3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此选项B也不成立．故选D．3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=0．6．B.n=6，P=0．4．√C.n=8，P=0．3．D.n=24，P=0．1．解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一P)组，得n=6，p=0．4，故选项B正确．4.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)．B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．√C.X与Y独立．D.X与Y不独立．解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X).E(Y)]，可见E(XY)=E(X).E(Y)，故选项B正确．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0；②X 与Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)．5.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且E(XY)=则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：又已知E(XY)=．即P 22 = 从而P{X+Y≤1}=P 11 +P 12 +P 21 =1一P 22．故选项C正确．6.设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=E(X).E(Y)，则X与Y( )（分数：2.00）A.相关．B.不相关．√C.独立．D.不独立．解析：解析：因E(XY)=E(x)E(Y)，故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0X与Y不相关，故选项B正确．7.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( ) （分数：2.00）A.一1．√B.0．D.1．解析：解析：根据题意，y=n—X，故ρXY =一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY =1，当a＜0时，ρXY =一1．8.对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)．B.Cov(X，Y)=0．C.D(XY)=D(X).D(Y)．√D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．解析：解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价．由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价．故应选C．9.假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一1．√B.0．C.0．5．D.1．解析：解析：因为U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．10.X与Y的相关系数ρ=1，则P{X=0，Y=1}的值必为( )（分数：2.00）A.0．√D.1．11.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然( )（分数：2.00）A.不独立．B.独立．C.相关系数不为零．D.相关系数为零．√解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一E(U).E(V) =E(X 2一Y 2 )一E(X一Y).E(X+Y) =E(X 2 )一E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一D(Y)=0．则所以U与V的相关系数为零，故选D．12.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1与Y的相关系数为ρ，则( ) （分数：2.00）A.ρ=0．B.ρ=1．C.ρ＜0．√D.ρ＞0．解析：解析：选项B不能选，否则选项D必成立．因此仅能在选项A、C、D中考虑，即考虑ρ的符号，而相关系数符号取决于Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，(因为P(AB)=0)，所以Cov(X，Y)=一E(X).E(Y)＜0，故选C．13.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8．B.16．C.28．D.44．√解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题．可根据方差的运算性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)自行推演．故选项D正确．二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量X的分布函数为E(X)=1，则D(X)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意已知连续型随机变量X15.相互独立的随机变量X 1和X 2均服从正态分布D(|X 1—X 2 |)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意随机变量X 1和X 2相互独立，且服从正态分布设Z=X 1—X 2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为φ(z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E2 (Z)一E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0．16.设随机变量X和Y X和Y的协方差Cov(X，Y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．1）E(X)=0．5，E(Y)=(一1)×0．3+1×0．3=0． E(XY)=一P{XY=一1}+P{XY=1}=一0．2+0．1=一0．1． Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=一0．1—0=一0．1．17.已知随机变量X的分布函数F(x)在x=1处连续，且F(1)=若EY= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算．由于F(x)在x=1处连续，故E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1} =a[1一P{X≤1}]+bP{X=1}+cP{18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ 2 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中如图4—119.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则EX= 1。

近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案

近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案

P(C )
22
3
则 P( AB | C ) = P( ABC ) = 1/ 2 = 3 ， P(C ) 2 / 3 4
填空： 3 ． 4
三．解答题： 1． （98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7
份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p ； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q ．
， P( AB) =
P(B) =
nB n
=
C42 C120
=
6 45
，故 P(B |
A)
=
P( AB) P( A)
=
6 30
= 0.2 ．
填空：0.2．
2． （97）设 A, B 是任意两个随机事件，则 P{( A + B)(A + B)(A + B)(A + B)} =
．
解：根据事件并对交的分配律，有 ( A + B)( A + B) = AA + B = B ， ( A + B )( A + B ) = AA + B = B ，
（C） A − B 与 C ．
（D） AB 与 C ．
解：相互独立即互不影响，只有答案（B）中的两个事件 AC 、C 都与同一事件 C 有关，二者相互有影响，
选择：（B）．
4． （00）设 A, B, C 三个事件两两独立，则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是（
）
（A） A 与 BC 独立．
7． （03）对于任意二事件 A 和 B ，（

首都经济贸易大学课程设置

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1-1 宪法1-2 法理学1-3 民法（总论、分论）1-4 刑法（总论、分论）1-5 中国法制史1-6 科学社会主义与理论与实践2-1 经济法2-2 金融法2-3 合同法2-4 国际经济法2-5 财税法2-6 公司法2-7 保险法2-8 知识产权法2-9 证券法2-10 外商投资法2-11 诉讼法（民诉、刑诉、行诉）2-12 婚姻家庭法前沿讲座实务研究* 3-1 房地产法专题3-2 国际经济法专题3-3 犯罪心理学专题研究首都经济贸易大学2009年硕士研究生考试科目及参考用书民商法学①101政治理论②201英语或203日语③701法学综合④906民法学法学综合科目考试包括：法理学、民法、经济法、行政法、国际法法学综合参考书目：《法理学》（第三版），张文显主编，高等教育出版社《民法》（第四版），王利明主编，中国人民大学出版社《经济法》（第三版），潘静成、刘文华主编，中国人民大学出版社《行政法与行政诉讼法》（2008年版），姜明安主编，高等教育出版社《国际法》（2005年版），邵津主编，高等教育出版社民法学参考书目：《民法》（第四版），王利明主编，中国人民大学出版社《商法学》（2007年版），赵旭东主编，高等教育出版社经济法学①101政治理论②201英语或203日语③701法学综合④910经济法学法学综合科目考试包括：法理学、民法、经济法、行政法、国际法法学综合参考书目：《法理学》（第三版），张文显主编，高等教育出版社《民法》（第四版），王利明主编，中国人民大学出版社《经济法》（第三版），潘静成、刘文华主编，中国人民大学出版社《行政法与行政诉讼法》（2008年版），姜明安主编，高等教育出版社《国际法》（2005年版），邵津主编，高等教育出版社经济法学参考书目：《经济法》（第三版），潘静成、刘文华主编，中国人民大学出版社《商法学》（2007年版），赵旭东主编，高等教育出版社人口学①101政治理论②201英语或203日语③703统计学原理④908人口学概论《统计学原理》首都经济贸易大学出版社（陈嗣成主编）；《人口学》浙江人民出版社（田雪原主编）《社会学概论》中国人民大学出版社（郑杭生主编）；《人口理论教程》中国人民大学出版社（刘铮主编）马克思主义基本原理①101政治理论②201英语或203日语③704马克思主义基本原理④907马克思主义中国化理论《马克思主义哲学原理》中国人民大学出版社（陈先达主编）04年7月第2版；《毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论》(马克思主义理论研究和建设工程重点教材)高等教育出版社，《政治经济学》高等教育出版社（逢锦聚主编）；《社会主义市场经济理论》西南财经大学出版社（刘诗白主编）2010年硕士研究生考试科目及参考用书经济学考试科目增加考试内容：2009年政府工作报告中与经济相关的内容（经济稳定增长、宏观调控、结构调整和优化等）经济学考试题型：简答和论述。

经济应用数学—概率论与数理统计马统一的习题1一5答案

经济应用数学—概率论与数理统计马统一的习题1一5答案

习题er1. 解 (1) 设学生数为n ，则{0/,1/,2/,,100/}n n n n n Ω=L(2) 枚骰子点数之和为 {3,4,5,,18}Ω=L(3) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子，每只盒子中有一个球的情况有 {(,,),(,,),(,,),(,,,),(,,),(,,)}a b c a c b b a c b c a c b a c a b Ω=其中(,,)a b c 表示A 盒子放入的球为a ，B 盒子放入的球为b ，C 盒子放入的球为c ，其余类似．(4) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子情况有{(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0),,(,,)}abc abc abc ab c c a b Ω=L 其中(0,,0)abc 表示A 盒子没有放入球，B 盒子放入的球为,,a b c ，C 盒子没有放入球，其余类似，共3||327Ω==个样本点．(5) 汽车通过某一定点的速度设为v {|0}v v Ω=>．(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为,,x y z{(,,)|0,0,0,1}x y z x y z x y z Ω=>>>++=．(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的 结果为{(0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,1,0,1)}Ω=其中(0,1,0,0)表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似．2. 解 (1) 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的为1的样本点有{(123),(134),(135)}A = 其中(123)表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)． (2) 抛一枚硬币两次，A =“第一次出现正面”的样本点有{(10),(11)}A =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．B =“两次出现不同的面”的样本点有{(10),(01)}B =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．C =“至少出现一次正面”的样本点有{(10),(0,1),(11)}C =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为t 不小于500小时，A =“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有{|500}A t t =≥． (4) 某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10， A =“某交换台在一分钟接到的呼唤次数不大于10”的样本点有{|0,1,2,,10}A n n ==L ．(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， A =“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有{(0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,0,0,1),}A =L ，其中(0,1)表示第一次出现反面，第二次出现正面．3. 解 (1) ABC AB C =-;(2) AB C U U ;(3) ABAC BC U U ;(4) AB AC BC U U ;(5) ABC ABC ABC U U ; (6) ABC ABC ABC U U .4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的； (3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书； (4) 是．5. 解 包含事件,A B 的最小事件域是{,,,,,,,,,,,,,}F A B A B A B A B AB AB A B A B AB AB A B A B =Ω∅U I U I U U U I6. 证明 (1) 对任意的,A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊂；对任意的A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊃； 即 A A =．(2) 对任意的,A B ω∈-即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈I ，即A B A B -⊂I ； 对任意的A B ω∈I 即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈-，即A B A B -⊃I ； 即 A B A B -=I ．(3) 由于C B ⊂，所以AC AB ⊂=∅，所以AC =∅． (4) 对任意的1,nn A ω∞=∈U 即存在0,n n Aω∈，等价于0n A ω∉，即：1n n A ω∞=∈I，即11,n n n n A A ∞∞==⊂U I；对任意的1n n A ω∞=∈I即1n n A ω∞=∉I 存在00,n n A ω∉，等价于0n A ω∈，即：1n n A ω∞=∈U ，即 11n n n n A A ∞∞==⊃U I； 即11nn n n A A ∞∞===U I．(5) 与(4)证明相似．(6) 显然,,A B B A AB --互不相容 显然A B B A AB A B --⊂U U U ；对任意的,A B ω∈U 即A ω∈或者,B ω∈，分为(a)AB ω∈，显然成立；(b)A B ω∈-, 显然成立；(c) B A ω∈-,显然成立.7. 解 (1) 设 11(),1,2,,k k k i i B A A k n -==-=L U ，其中0A=∅，显然,1,2,,k B k n =L 互不相容．(2) 两个事件互不相容是指,AB =∅，而相互对立是指,AB A B =∅=ΩU ，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容．(3) 对任意的1,nk k B ω=∈U 即存在000001,k k k k n k B A A A A ω-∈=-⊂⊂，所以1nkn k BA =⊂U ；反之对任意的n A ω∈即存在00,,k n k A A ω∈⊂，且0001k k k A A B ω-∈-=所以1nkn k BA =⊃U ；即1nkn k BA ==U ．对于无穷的形式类似可得．8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为A ，(1) 放回抽样Ω中的元素个数为311n Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以3656()0.135211A n P A n Ω⋅⋅=== ； (2) 不放回抽样Ω中的元素个数为311n A Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以 311655()0.1515A n P A n A Ω⋅⋅=== ．9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起A ，Ω中的元素个数为310n A Ω=，A 中的元素个数为183!A n A =，所以 183103!1()15A n A P A n A Ω===10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为A ，Ω中的元素个数为1020n C Ω=，A 中的元素个数为91182A n C C =，所以 91182102010()19A n C C P A n C Ω===．11. 解 设四A 全部集中在一个人手中为A ，Ω中的元素个数为1352n C Ω=，A 中的元素个数为91484A n C C =，所以 914841352()0.0106A n C C P A n C Ω==≈．12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为A ，Ω中的元素个数为412n C Ω=，A 中的元素个数为32623A n C =⋅⋅，所以 3264122316()33A n C P A n C Ω⋅⋅===．13. 解 设这n 个人任何两个人的生日都不在同一天为A(1) Ω中的元素个数为365n n Ω=，A 中的元素个数为365365!n nA n C n A =⋅=，所以365()365nA nn A P A n Ω== ； (2) 30n =时302936536521229()(1)(1)(1)0.3037365365365365nA nn A P A e n ⋅-⋅Ω===---≈=L14. 解 (1) 设选出的为严格上升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为nA Nn C =，所以 ()nA Nn n C P A n NΩ== ；(2) 设选出的为单调升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为1nA N n n C +-=，所以1()nA N n nn C P A n N+-Ω== ．15. 证明 原式等价于()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L 构造概率模型： 一口袋中中有n 个红球，N n -个黑球，k A 为第k 次首次抽到红球，则11()()1n nkkk k P A P A ====∑U其中 ()(1)(2)()(1)(2)(2)k n N n N n N n k P A N N N N k n-----+=---+L L即()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+L L L16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的．正确解法为 设为点数和为6为A ，(,)m n 为第一枚骰子出现点数为m ，第二枚骰子点数为n ，则{(,)|,1,2,,6}m n m n Ω==L ，{(,)|6}A m n m n =+=Ω中的元素个数为36n Ω=，A 中的元素个数为5A n =，所以5()36A n P A n Ω== ．17. 解 设平行弦距圆心的距离为x ，设弦长度大于R 为A ，则{|0}x x R Ω=<<，{|0}2A x x R =<<2()A L P A L R Ω===．18. 解 设正常信号到达时间为为x ，干扰信号到达时间为y ，设系统受到干扰为A ，则{(,)|0,60}x y x y Ω=<<，{(,)|010600560}A x y x y x y x y =<<<+<<<<+<或1160605555505022()0.23266060A S P A S Ω⋅-⋅-⋅===⋅．19. 解 设甲船到达时间为为x ，乙船到达时间为y ，设有一船要在码头外等到为A ，则{(,)|0,24}x y x y Ω=<<，{(,)|0203}A x y x y x y x y =<<<<<<+或112424(21212222)22()0.19702424A S P A S Ω⋅-⋅+⋅===⋅．20．解 设切取的第一段长度为x ，切取的第二段长度为y ，切取的第三段长度为x ，设三段能够形成以一个三角形为A ，则{(,,)|1,,,0}x y z x y z x y z Ω=++=>，{(,,)|,,,1,,,0}A x y z x y z x z y y z x x y z x y z =+>+>+>++=>，则 1/4()0.251A L P A L Ω===．21. 解 设硬币的圆心落在某一个正方形中，以正方形的中心建立直角坐标系，由于是对称的，硬币的圆心不妨设落在第一象限；设正方形的边长为a ，设硬币与正方形不相交为A ，则{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，1{(,)|0,}22a A x y x y =<<-， 则22(1)/4()0.1/4A S a P A S a Ω-==≥，解得109a ≤．22. 证明 (1) 由棣莫根定理有： 1212n n A A A A A A =U UL U I I L I ,121212()1()1()n n n P A A A P A A A P A A A =-=-U UL U U UL U I I L I ;(2) 由于12121312121()(())()n n n A A A A A A A A A A A A A -=---U UL U U U U UL U U UL U 11121,(),2,,k k k B A B A A A A k n -==-=U UL U L ,显然k B 两两互不相容，12121312121()()()(())(())n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=+-+-++-U UL U U L U UL U 12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=++++%U UL U L L ； (3) 显然有 1212()()()P A A P A P A ≤+U不妨设当k n =时成立有12123()()()()()n n P A A A P A P A P A P A ≤++++U UL U L ， 当1k n =+时成立有121121()()()n n n n P A A A A P A A A P A ++≤+U UL U U U UL U1231()()()()()n n P A P A P A P A P A +≤+++++L ．24. 解 (1) 由于 12,A A A ⊂所以有 12()()P A A P A ≤,121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 121212()()()()P A A P A P A P A A =+-U , 1212()()()()1P A P A A P A P A ≥≥+-,即 12()()()1P A P A P A ≥+-；由于 123,A A A A ⊂所以有123,A A A A ⊃u u u u u u u r ,123()(),P A A A P A ≥u u u u u u u r, ()123123()(),P A A A P A A A P A =≥u u u u u u u rU U , ()123123()()()P A A A P A P A P A ≤++%U U , ()123123()()()()P A A A A P A P A P A ≤≤++U U ,由于()1()P A P A =-即 123()()()()2P A P A P A P A ≥++-； (2) 由于()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,，()()()()P AB P A P B P A B =+-U ，()P AB p q r =+-；()()()P AB P B P AB r p =-=-； ()()()P AB P A P AB r q =-=-； ()1()1P AB P A B r =-=-U ．25. 解 设订购报纸分别A,B,C 为事件,,A B C(P 只订购A)(())()()()()P A B C P A P AB P AC P ABC =-=--+U0.450.10.050.030.3=--+=; (P 只订购AB)()()()P AB C P AB P ABC =-=-0.10.030.07=-=;(P 只订购B)(())()()()()P B A C P B P AB P BC P ABC =-=--+U 0.350.10.050.030.23=--+=;(P 只订购C)(())()()()()P C A B P C P AC P BC P ABC =-=--+U 0.30.080.050.030.2=--+=;(P 只订购一种报纸的）=(P 只订购A)+(P 只订购B)+(P 只订购C) 0.30.230.20.73=++=；(P 恰好订购两种报纸的）=(P 只订购AB)+(P 只订购BC)+(P 只订购AC) ()()()3()P AB P AC P BC P ABC =++- 0.10.080.0530.030.14=++-⋅=;(P 至少订阅一种）=(P 只订购一种)+(P 只订购两种)+(P 只订购三种) 0.730.140.030.9=++=．26. 解 设A 为任何一人都为拿到自己原来的卡片；设k A 为第k 个人拿到自己原来的卡片，1,2,,k n =L ，由于1nk k A A ==U ，且1()k P A n =，1,2,,k n =L ；1()(1)k j P A A n n =-，,1,2,,,k j n j n =<L ；1()(1)(2)k j l P A A A n n n =--，,,1,2,,,k j l n l j n =<<L ；L所以1()1()1()nk k P A P A P A ==-=-U11111()()()(1)()nnnk j k l j k k k j k nl j k nk P A P A A P A A A P A =≤<≤≤<<≤==-+-++-∑∑∑∏L11111(1)2!3!!n n =-++-+-L 1e -≈（由x e 的幂级数的展开式得到）．27. 解 设每分钟到达的呼叫次数为X ，则X 服从参数为4λ=的泊松分布844(8)0.0297718!P X e -===；4114(10)0.00284!k k P X e k +∞-=>==∑．28. 解 由于 ()()0.21(|),()()(|)0.42P AB P AB P A B P B P B P A B ====， ()()()()0.30.50.20.6P A B P A P B P AB =+-=+-=U ．29. 解 设三个孩子的家庭有一个女孩为B ， 至少有一个男孩为A ,7()8P B =, 6()8P AB =，所以6()68(|)7()78P AB P A B P B ===．30. 解 设k A 表示第k 次取到合格品，1,2,3k =，(P 第三次才取到合格平123121312)()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A ==109901009998=⋅⋅.31. 解 设i A 表示第i 次打开房门，1,2,,i k =L(P 第k 次才取到合格平12121121)()()(|)(|)k k k P A A A P A P A A P A A A A -==L L L2322()11(1)n n n k n n n k n n ---=⋅=--+-L ．32. 解 设种子等级为i 等分别为,1,2,3,4i A i =；种子能够长成优良小麦为B ，由全概率公式得到41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑(10.020.0150.01)0.50.020.150.010.10.010.05=---⋅+⋅+⋅+⋅ 0.4825=．33. 解 设第一次取出没有用过的球数为i 为i B ，0,1,2,3i =；第二次取出的三个全为没有用过的球为A ，由全概率公式得到3()()(|)iii P A P B P A B ==∑33213123033393983973963333333312121212121212120.146C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=．34. 解 设第一次从甲口袋中取出的白球数为i 为i B ，0,1,2i =；第二次取出的两个球为白球为A ，由全概率公式得到2()()(|)i i i P A P B P A B ==∑221121212222222222b a b a a b a b a b C C C C C C C C C C C C C ααααβαβαβ+++++++++++=⋅+⋅+⋅．35．解 设任取的一个产品为不合格品为D ，产品是来自于机器生产的A,B,C 分别为,,A B C ，由全概率公式有()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.020.0345=⋅+⋅+⋅= 由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.36230.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.350.040.40580.0345⋅==；()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.40.020.23190.0345⋅==；本题的结果可以发现由于已经知道产生的是不合格品在分担责任时，由于各个机器产生不合格品的概率不同，生产的产量不同均会影响各个机器的不合格品的概率不同．36．解 设接收的信号为“．”为A ，发出的信号为“．”为B ，()0.6,(|)0.7,P B P A B ==()0.4,(|)0.02P B P A B ==由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.60.70.99810.60.70.40.02⋅==⋅+⋅； 其余类似．37. 证明 (1) 由于 (|)(|)P A B P A B =，所以()()()()P AB P AB P B P B =()()()()1()P AB P A P AB P B P B -=-()()(1())()()()P AB P B P A P AB P B -=- ()()()P AB P A P B =.(2) 由于,,A B C 相互独立，所以(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-U U()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()(()()())P C P A P B P AB =+- ()()P C P A B =U ；(())()()()()()()P AB C P ABC P A P B P C P AB P C ===； (())()()()P A B C P AC BC P AC P ABC -=-=-(()())()()()P A P AB P C P A B P C =-=-； (3) 对任意的事件B 有()()0P AB P A ≤=，所以()()()P AB P A P B =； (4) 对任意的事件B 有()0P A =,由 (3)知A 与任何B 相互独立，所以A 与任何B 相互独立．(5) 12121212()()()()m m m n m m m n P AB P A A A A A A P A A A P A A A ++++==L L L L ．38. 证明 (1) 不妨设,A B 相互独立，则有()()()P AB P A P B =，但()0,()()0P AB P A P B =≠矛盾．所以,A B 不相互独立.(2) 原命题与逆否命题等价，所以显然．39. 解 设i A 为第i 台机器不需要工人照看，1,2,3i =；B 为最多有一台机器需要照看，123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.902=.40. 解 设i A 为甲、乙、丙三人击中飞机，1,2,3i =；B 为飞机击落，123123123123123123123()0.2(()()())0.6(()()())1()P B P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A =++++++⋅0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.7 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.458=.41. 解 设i A 为从100件中有4件音色不纯的乐器中取到3件音色不纯件数,0,1,2,3i =，为乐器通过测试为B ，00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++321123322396964964433331001001001000.9930.990.0530.990.050.05C C C C C C C C C C =+⋅⋅+⋅⋅+ 0.8625≈．42. 解 设i A 为第i 续电器节点闭合，1,,6i =L ；B 为为L 与R 是通路，1323564()()B A A A A A A A =U U U 1323564()(()())P B P A A A A A A A =U U U1323564123135613423562345641235612342345612456123456()()()()(()()()()()())(()()()())()P A A P A A P A A P A P A A A P A A A A P A A A P A A A A P A A A P A A A P A A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A A =+++-+++++++++-23456343p p p p p p =+--+-．43. 解 (1) 四次试验中至少发生一次事件A 为B ，480()1()1(1)81P B P B p =-=--=， 解得 23p =； (2) n 次试验中至少发生一次事件A 为B ，()1()1(10.2)0.9nP B P B =-=--≥，解得ln0.1(10,2)0.1,,10.3189,11ln0.8nn n n -≤≥≥≥ 同理()1()1(10.2)0.99nP B P B =-=--≥解得ln0.01,20.6377,21ln0.8n n n ≥≥≥．44. 解 设k A 为4次中A 发生的次数为 ,1,2,3,4k k =1314()0.30.7P A C =⋅，4132344()10.70.30.7P A A A C =--⋅U U ，1234()()0.6()P B P A P A A A =⋅+U U13413440.30.70.610.70.30.7C C =⋅⋅+--⋅0.595=．45. 解 设甲投中的球数为X ，乙投中的球数为Y ，()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== (0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)P X P Y P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==+==33112222223333330.30.40.70.30.60.40.70.30.60.40.70.6C C C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅+ 0.3208=；()(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+==+==+==123132330.70.30.40.70.60.40.436C C =⋅⋅++=L .46.解 设单片元件毁坏的数目为X 服从二项分布(10000,0.0005)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),5P λλ=，所以51(0)0.00670!P X e -===．47．解 设指定的一页上错字数为X ，则X 服从二项分布(200,0.025)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),0.5P λλ=，所以0.530.5(3)0.0144!k k P X e k +∞-=≥==∑．48. 解 设产出的卵数为X ，孵出的有幼虫数为Y ，对任意的0,1,k =L 有()(,)n kP Y k P X n Y k +∞=====∑()(|)n k P X n P Y k X n +∞=====∑(1)!nk kn k n n ke C p p n λλ+∞--==-∑!(1)!!()!nk n k n k n e p p n k n k λλ+∞---==--∑0(1)!()!k k n k n k n k p e p k n k λλλ-+∞---==--∑(1)!k k p p e e k λλλ--=()!k p p e k λλ-=即孵出的幼虫数服从参数为p λ的泊松分布．习题二1. 解 22351(3)10C P X C ===,23353(4)10C P X C ===,24356(5)10C P X C ===,分布列为分布函数为0,1/10,34,()4/10,45,1, 5.x F x x x ⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．2. 解 分布列分别为分布函数为0,20,()1/2,2040,1,.x F x x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥40⎩ 0,10,()1/2,1030,1,.y F y x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥30⎩．3．解 定义0,5,1,5,2, 5.X ωωω <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩（注意可以定义不同的随机变量取值，分布函数不同）分布函数为 0,0,5/10,01,()6/10,12,1, 2.x x F x x x <⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．4. 解 1）不放回抽取383107(0)0.466715C P X C ====,21823107(1)0.466715C C P X C ====,12823101(2) 0.066715C C P X C ====．2）放回抽取3(0)0.8 0.5120P X ===，1133(1)0.20.80.3840P X C === 2213(2)0.20.80.0960P X C ===，3(3)(0.2)0.0080P X ===．5. 解 由于跳跃点的概率 000()()(0)P X x F x F x ==--(5)(5)(50)1/5,P X F F =-=----=同理得到(2)1/10,P X =-=，(0)2/10,P X ==(2)1/2.P X ==6．解 1）有概率分布列的规性得到1/431/21a a +++= 解得1/16a =．2）21Y X =-的分布列为7. 解 (3)(2)(0)(2)1(5)0.8P X P x P x P x P x >-==-+=+==-=-=，(||3)1(5)0.8P X P X <-=-=-=,(|1|2)(5)(2)0.7P X P X P X +>==-+==.8. 解 由于分布函数是右连续的, 1lim ()(1)x F x F +→=.所以211,1A A =⋅= {0.50.8}(0.8)(0.5)0.3900P X F F <≤=-=．(本题也可以利用分布密度函数的规性的条件得到)9. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，10210|110a a a dx x x +∞+∞=-==⎰ ， 解得 10a =，分布函数10,()0x F x <=，1021010101010,()|1x x x F x dt t t x≥==-=-⎰，101,10,()0,10.x F x xx ⎧- ≥⎪=⎨⎪ <⎩ 由()1/2,F k = 解得20k =.10. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，000||xx x x x axe dx axde axe ae dxae a +∞+∞+∞---+∞--+∞=-=-+ ==⎰⎰⎰得到 1a =. 0,()0,x F x <=000,()||1,xxxt t t xt xt xx xx F x te dt tde te e dtxe e xe e --------≥==-=-+ =--=--⎰⎰⎰0,0,()1,0.x xx F x xe e x -- ≤⎧=⎨-- >⎩.11. 解 1) 不能,由于不是单调不减；2) 不能,由于不是单调不减；3) 能,其他场合定义()1,0F x x =>．12. 解 1) 是连续型随机变量，2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他2) 不是，由于连续型随机变量取值与一点的概率为0，而(1)1/2P X ==．13. 解 由规性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，||0022|2x x x ae dx ade ae a +∞+∞---+∞-∞=-==⎰⎰,得到 12a =. 110,(),22xt x x F x e dt e ---∞<==⎰00011110,()|1,2222x t t xx x F x exdx e dt e e ----∞≥=+=-=-⎰⎰1,0,2()11,0.2xx e x F x e x --⎧ ≤⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩.14. 解 由方程 24420x x ξξ+++=有实根得到21616(2)0ξξ∆=-+≥，解得 21or ξξ≥ ≤-,由于(0,5)U ξ :，所以(2)3/5P ξ≥=．15. 解 设Y 为四次取值大于发生a 的次数，则(4,)Y b p :，其中()1,(01)p P X a a a =>=-<<又 (1)1(0)0.9P Y P Y ≥=-==，4(0)0.1P Y a === 解得 0.5623a =.16. 解 1) 55()()0.922X a P X a P --<=<=,查标准正态分布表得到 1(0.9) 1.2816-Φ=,解得a = 7.5631.2) |5|(|5|)()0.0122X aP X a P -->=>=,|5|()2()0.01222X a a P ->=-Φ=,得到()2a Φ=0.995查标准正态分布表得到1(0.995)-Φ=2.5758,a = 5.1517.17. 解 设优秀的最低分为a ,数学成绩为X ,根据条件得到()0.05P X a >=,7070()0.951010X a P -->= 查标准正态分布表得到1(0.95) 1.645-Φ=,解得 86.45a =.18. 解19. 证明 当a y b αβαβ+<<+时()()()()y F y P Y y P X y P X βαβα-=≤=+≤=≤11()y ay y a dx a b a b a b a βαββαααα----==-=---⎰, 1(),p y a y b b a αβαβαα=+<<+-,其他 ()0p y =1,,()0,.a yb p y b a αβαβαα⎧ +<<+⎪=-⎨⎪ ⎩其他 即Y 服从[,]a b αβαβ++的均匀分布,20. 解 1) 当0y >时133()()()()F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤11331,y x y e dx e--==-⎰21331(),03y p y y e y --=>,其他 ()0p y =21331,0,()30,.y y e y p y --⎧ >⎪=⎨⎪ ⎩其他,131,0,()0,.y e y F y -⎧⎪- >=⎨⎪ ⎩其他 2) 当01y <<时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-ln x ye dx y +∞--==⎰,(),01p y y y =<<, 其他 ()0p y =.,1,()0,.y y p y 0<<⎧=⎨⎩其他 0,0,(),1,1,1y F y y y y ≤⎧⎪= 0<<⎨⎪ ≥⎩21. 解 1) 当1y e <<时，()()()(ln )XF y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤ln 0ydx =⎰,1(),1p y y e y=<<, 其他 ()0p y =1,1,()0,.y e yp y ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其他 2) 当0y ≤<+∞时 2()()(2ln )()y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≥21.y edx -=⎰,21(),02yp y e y -=≤<+∞,其他 ()0p y =.21,0,()20,.ye y p y -⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他 3) 当1y ≤<+∞时11()()()()F y P Y y P y P X X y =≤=≤=≥11.ydx =⎰,21(),1p y y y =≤<+∞, 其他 ()0p y =21,1,()0,.y yp y ⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他22. 解 1) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤2ln 2.x ydx --∞=⎰,2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.2) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y -=≤=≤=≥-22ln .x dx +∞--=⎰, 2ln 2(),0yp y y -=>,其他 ()0p y =2ln 2,0,()0,.yy p y -⎧ >= ⎩其他.3) 当0y >时()()(||)()F y P Y y P X y P y X y =≤=≤=-≤≤22.x ydx --=⎰,22(),0y p y y -=>,其他 ()0p y =22,0,()0,.yyp y-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.23. 证明不妨设0a>()()()()y bF y P Y y P aX b y P Xa-=≤=+≤=≤()y baXf x dx--∞=⎰1()()Xy bf y fa a-=,同理可得0a<的情形.24. 解由上题的结论可得yβ>时,()yf y eβλαλα--=,()0y f yβ≤=分布密度函数为,,()0,.ye yf yyβλαλβαβ--⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩25. 解设年化收益率为r,ln ln lnXr X XX==-2222215,()(1)4EX e D X e eσμμσσ++===-=解得22444(1),ln(1) =0.0176225225225eσσ=+=+≈, 2.6992μ=, ln X服从4( 2.6992,)225N，年化收益r服从44( 2.6992-ln10,)( 0.3966,)225225N N=.26. 解 1) 有规性得到1()22xf x dx Ae dx A+∞+∞--∞===⎰⎰得到1/2A=;2)111/21/2(1)xe dx e--=-⎰;3)当0x<,()1/21/2xt xF x e dt e-∞==⎰,当0x≥,()1/21/211/2xt t xF x e dt e dt e---∞=+=-⎰⎰,分布函数为1/2,0,()11/2,0.xxe x F x e x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩.27. 解 由2(1)(2),1!2!P X P X ee λλλλ--====解得1λ=,221,()1,()()2EX D X EX D X EX λλ== == =+=,11(3)3!P X e -==.28. 解 设Y 为3人中等车时间不超过2分钟的人数，X 为等车时间.(3,),Y b p :其中(2)2/5p P X =<=，223333(2)(2/5)(3/5)(2/5) 0.3520P Y C C ≥=+=.29． 解 设X 为800个保单发生理赔的次数，利润为Y ．(800,0.05)X b :， 8005002000Y X =⋅-⋅40000020008000.05320000EY =-⋅⋅=．30. 解 当0x >时，00()|1,xt x xx F x e dt e e λλλλ---==-=-⎰当0x ≤时，()0F x =1,0,()0,0.x e x F x x λ-⎧- >=⎨≤⎩ 011x x x EX xe dx xe dx xde λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰0001111||x x x xe e dx e λλλλ+∞-+∞--+∞=-+==⎰.,22222211xxx EX x edx x e dx x de λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰20222112|2x x x e xe dx λλλ+∞-+∞-=-+=⎰2221()()D X EX EX λ=-=.31. 解 设电子元件的寿命为1()1000X Exp :， Y 为3个电子元件在1000小时坏掉的个数 (3,)Y b p :，其中1000100010111000xp e dx e --==-⎰,系统寿命超过1000小时的概率为01013111123323(1)(0)(1)(1)()(1)()32P Y P Y P Y C e e C e e e e --------≤==+= =-+- =-.32. 解 20.400.320.30.2,EX =-⋅+⋅+⋅=-2222(2)0.400.320.3 2.8,EX =-⋅+⋅+⋅= 22()() 2.80.04 2.76D X EX EX =-=-= 22(35)3513.4E X EX +=+=，5)10()27.6D D X -==.33. 解 设Y 为抽取10产品中的次品个数 (10,0.1)Y b :,1010102(1)0.10.90.2639kk k k p P Y C -==>==∑.(4,)X b p :,4 1.0556EX p ==.34. 解1/10(1051) 2.7EX =+++=L .35. 解001(1)()()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααβαβαβαβ+∞+∞--Γ+Γ=====ΓΓΓΓ⎰⎰,2112001(2)(1)()(1)()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααααβαβαβαβ+∞+∞+-+-Γ++Γ+=====ΓΓΓΓ⎰⎰ 222()()Var X EX EX αβ=-=.36. 解 ||102x EX x e dx +∞--∞==⎰, 22||201(3)22x x EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰,22()()2D X EX EX =-=,||01||||(2)12x x E X x e dx xe dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰.37. 解 预期收益记为X ，510(1)X R =+(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.037ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=,2222222(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.0016ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 222()()0.00160.037 2.0100e-004D R ER ER =-=-=,510(1)10370EX E R =⋅+=, 106()10() 2.0110D X D R ==⋅.38. 解 222222222222200x x x x xEX xedx xdexee dx σσσσσ----+∞+∞+∞+∞==-=-+=⎰⎰⎰,222222222222222222202222220222x x x x x xEX x e dx x dex exe dx x ed σσσσσσσσσ----+∞+∞+∞-+∞+∞==-=-+ ==⎰⎰⎰⎰,2222()()22Var X EX EX πσσ=-=-,22222242()x x xP X EX edx eeπσσσ--+∞->==-=.39. 解 设这债券价值为X ,则5%2EK =,1100(1)X K =+ ，解得1073.2EX =.习题三1.解 无放回2. 解3. 解 设X 为白色粉笔数，Y 为黄色粉笔数3126!(3,1)0.60.250.153!1!2!P X Y ===（多项分布的分布列）． 4. 解131102001194173(1,3)(6)(6)()882828P X Y dx x y dy x dx x dx -<<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰ 14110200119415(1)(6)(122)(62)88288P X dx x y dy x dx x dx -<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰5. 解 21120111()236x G xS dx dy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰， 224202022011(4)4(4)(6)(66)(2)8821182(64)(128).82863x x P X Y dx x y dy x x dxx x dx ---+≤=--=--- =-+=-+=⎰⎰⎰⎰26,01,,(,)0,.x x y x f x y ⎧ <<<<=⎨⎩其他， 当01,x <<22()66()x X xf x dy x x ==-⎰，其他 ()0X f x =，26(),01,()0X x x x f x ⎧- <<=⎨⎩，其他. 当01,y <<())Y yf y dx y ==-，其他，()0Y f y =，),01,()0Y y y f y ⎧- <<⎪=⎨⎪⎩，其他.6. 解 1,01,01,(,)0,.x y f x y <<<<⎧=⎨ ⎩其他当01,x <<1()11X f x dy ==⎰，其他，()0X f x =，1,01,()0X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 当01,y <<1()11Y f y dx ==⎰，其他，()0Y f y =1,01,()0Y y f y <<⎧=⎨⎩，其他.． 2222{(1/2)(1/2)1/4}1{(1/2)(1/2)1/4}P X Y P X Y -+-≥=--+-<116π=-.7. 解 2222(,)16(1)(1())23F x y x yx y π∂=∂∂⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222211()6(1())(1())2(1())232X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰， 222211()6(1())(1())3(1())233Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰．8. 解 设Y 为五次到达银行未等到服务的次数 ,(5,)Y b p :,其中25101{10}5x p P X e dx e +∞--=>==⎰，2255{}(1),0,1,,5k k k P Y k C e e k ---==- =L ，25{1}1{0}(1).P Y P Y e -≥=-==-9. 解 设圆周分为面积大小相同的两块半圆,以1Y =表示表明刻度为1的半圆, 以0Y =表示表明刻度有[0,1]的半圆.当0x <时,()0F x ξ=，当01x ≤<时,1()2F x x ξ=， 当1x ≥时,11()122F x ξ=+=.故分布函数为0,0,1(),01,21, 1.x F x x x x ξ <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪ ≥⎪⎩.10. 解 电子元件损坏为A ,由全概率公式得到{}{,200}{,200240}{,240}P A P A X P A X P A X =<+≤≤+>2002202402202002200.1()0.001(()())2525252402200.2(1())0.06425---=Φ+Φ-Φ+- -Φ=,{200240,}{200240|}{}P X A P X A P A <<<<=0.009= .11. 解 1,,,()()(,)0,.a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪ ⎩其他当,a x b <<11()()()d X c f x dy b a d c b a==---⎰,其他，()0X f x =,1,,()0X a x b f x b a⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他. 当,c y d <<11()()()b Y a f y dx b a d c d c==---⎰,其他，()0Y f y =,1,,()0Y c y d f y d c⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他.. 由于 (,)()()X Y f x y f x f y = ,所以,X Y 相互独立.12. 解 由分布密度函数的规性得到222(1x y R c R dxdy +≤=⎰⎰，320()2()13RRc R c Rd d c R d ππρρρθπρρρ-=-==⎰⎰⎰,解得 33c R π=.同理得到222233336(()23x y r Rr r R dxdy R R π+≤=-⎰⎰．13. 解 由分布密度函数的规性得到222arctan |arctan |1(1)(1)c dxdy c x y c x y π+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===++⎰⎰， 解得 21c π=.111100222200111arctan |arctan |(1)(1)16dxdy x y x y ππ==++⎰⎰， 由于2211(),()(1)(1)X Y f x f y x y ππ==++，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立.14． 解 由分布密度函数的规性得到2222200sin()sin()(cos sin )21A x y dxdy dx A x y dy A x x dx A πππππ+=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰,解得 12A =, 分布密度函数为1sin(),0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+ <<<<⎪=⎨⎪ ⎩，其他..15. 解 由于(,)X Y 服从2222()()r x a y b R ≤-+-≤上的均与分布，面积为22()R r π-，所以密度寒素为2222221 ,()(),()(,)0r x a y b R R r f x y π⎧≤-+-≤⎪-=⎨⎪ ⎩，其他..16. 解 221 ,1,(,)0x y f x y π⎧ +≤⎪=⎨⎪ ⎩，其他. ,边缘密度函数为 ,01,()0X x f x <<=⎪ ⎩，其他.,,01,()0Y y f y <<=⎪ ⎩，其他., 当01y <<时，| ,(,)(|)()0X Y Y x f x y f x y f y <== ⎩，其他..17. 解 1400(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mnnm m e P X n P X n Y m m n m --=======-∑∑140!(7.14)(6.86)!!()!nm n m m e n n m n m --==-∑ 14(7.14)(6.86)!nmm n m nm e Cn --==∑1414!n e n -=，0,1,2,n =L ， 14(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mn m n m e P Y m P X n Y m m n m --+∞+∞=======-∑∑14 6.866.860(7.14)(6.86)!()!m n m n m e e e m n m --+∞--==-∑ 7.14(7.14),0,1,2,!me m m -==L ， {,}{|}{}P X n Y m P X n Y m P Y m ======147.14(7.14)(6.86)!()!(7.14)!m n mme m n m e m ----= 6.86(6.86),0,1,2,,,0,1,2,,()!n m e n m n n m --===-L L ,{,}{|}{}P X n Y m P Y m X n P X n ======1414(7.14)(6.86)!()!(14)!m n mne m n m e n ----=!7.14 6.86()(),0,1,2,,,0,1,2,,!()!1414m n mn n m n m n m -===-L L .18. 解22112222211221()()()()(,)[2]}2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ----=--+-2222()()}2yf yμσ-=-,2112 |2211222222222(,)1()()() (|)[2()2(1)()()]}2X YYf x y x x yf x yf yy yμμμρρσσσμμσσ---==--+---+222112222211221()()()()[2]}2(1)2x x y yμμμρμρρσσσσ----=--+-22221212112221221()()[()2()]}2(1)2y yx xσμρσμμρμρσσσ--=----+-212122121()[]}2(1)yxσμμρρσσ-=----,所以2212112()|(,(1))yX Y y Nσμμρσρσ-=+-:.19 . 解由卷积公式得到22()22()()()x x zZ X Yf z f x f z x dx dx-+∞+∞---∞-∞=-=⎰⎰22()242zxzdx-+∞---∞=⎰24z-=,即(0,2)X Y N+:.21. 解当0z>时22222221(){}2x yx y zF z P z e dxdyζξηπ+-+<=+≤=⎰⎰2220012rd e rdrπθπ-=⎰21ze-=-,21,0,()0,0.ze zF zzζ-⎧⎪- >=⎨⎪ ≤⎩21,0,()20,0.ze zf zzζ-⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩.25. 解22222222222()222221{}2x ya bx yka bX YP k e dxdya bπ-++<+≤=⎰⎰2220012rkd e rdrπθπ-=⎰⎰221ke-=-.。

考研数学3考试评分细则及考试范围

考研数学3考试评分细则及考试范围
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．
9．会描述简单函数的图形．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用
考试要求
1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．
2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．
3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
六、二次型
考试内容
二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性
考试要求
1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．
2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．
3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．
考试要求
1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．
2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．
3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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概率论2016_经济应用数学三(总8页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2066 - 经济应用数学三（概率论）单项选择题1．设A，B 为随机事件，则（）。

D.φ答案：A2．设A，B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（）。

(A∪B)=P(B)(AB)=P(B)(B|A)=P(B)(B-A)=P(B)-P(A)答案：B3．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。

A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球答案：D4．设对于随机事件A、B、C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,且P(AB)=P(BC)=0，则三个事件A、B、C, 至少发生一个的概率为（）。

8844答案：B5．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。

(A B)=P(C)(A)+P(B)-P(C)≤1(A)+P(B)-P(C)≥1(A)+P(B)≤P(C)答案：B 6．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。

(1-p)3(1-p)3(1-p)3(1-p)3答案：D7．设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（）。

(AB)=P(A)P(B)(A-B)=P(A)C.与互不相容D.与相容答案：B8．设某人向一个目标射击, 每次击中目标的概率为 , 现独立射击3次, 则3次中恰好有2次击中目标的概率是（）。

答案：A9．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。

A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件答案：D10．事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)=，P(A-B)=（）。

答案：A11．事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)=，P(A-B)=（）。

答案：C12．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。

(A∪B)>P(A)(A∪B)>P(B)(A∪B)=P(A)(A∪B)=P(B)答案：C13．下列函数为正态分布密度的是（）。

A.B.C.D.答案：B14．每张奖券中尾奖的概率为1/10，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中尾奖的张数为X，则X服从（）。

A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布答案：A15．设随机变量X～N(1,1)，其概率密度函数为p(x)分布函数是F(x)，则正确的结论是（）。

{X≤0}=P{X≥0}{≤1}=P{x≥1}(-x)=F(x)(x)=p(-x)答案：B16．设随机变量X服从正态分布N(4,9)，则P{X<4}=（）。

C.D.答案：C17．下列函数为随机变量密度的是（）。

A.B.C.D.答案：A18．对于随机变量X ,F (x) = P {X ≤ x } 称为随机变量X的（）。

A.概率分布B.概率C.概率密度D.分布函数答案：D19．设随机变量X服从N(0,1), 其分布密度函数为φ(x), 则φ(0)=（）。

C.D.答案：C20．设随机变量x 的密度函数为，则C=( )。

B.D.答案：C21．设随机变量X的概率密度为p(x)，y=-x，则Y的概率密度为（）。

(y)(-y)(-y)(y)答案：C22．设随机变量X的密度函数为p(x), 满足p(-x)=p(x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数α>0，有（）。

A.；(-α)=F(α)；C.；(-α)=2F(α)-1答案：C23．设随机变量X服从正态分布N(-1,25)，则P{X+1<0}=（）。

23答案：B24．设随机变量X的可能取值为x1,x2, 随机变量Y的可能取值为y1,y2,y3, 如果P{X=x1,Y=y1}= P{X=x1}·P{Y=y1}, 则随机变量X 与Y（）。

A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立答案：D25．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）。

+YC.(X ，Y )-Y答案：C26．设随机变量X与Y相互独立,且X在区间（0,1）上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，则（X,Y）的联合密度函数为（）。

A.B.C.D.答案：C27．若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，则系数A=（）。

A.B.D.答案：A28．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则下列结论正确的是（）。

A.B.C.D.答案：B29．设随机变量X与随机变量Y相互独立且同分布P{X=-1}=P{Y=-1}=1/2, 且，P{X=1}=P{Y=1}=1/2, 则下列各式中成立的是（）。

A.P{X+Y=0}=1/4B.P{XY=1}=1/4C.P{X=Y}=1/2D.P{X=Y}=1答案：C30．已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，且E(X)=，D(X)=，则二项分布的参数n，p的值为（）。

= 4，p == 6，p == 8，p == 24，p =答案：B31．设随机变量X 的分布密度为，则D(2-X)=（）。

；；；；答案：B32．设X为服从正态分布N(-1, 2)的随机变量, 则E(2X-1)= （）。

答案：D33．设随机向量（X , Y）满足E(XY) = EX·EY，则（）。

、Y相互独立、Y不独立、Y相关、Y不相关答案：D34．设X1,X2,…,X n是n个相互独立同分布的随机变量，EXi =u，DXi=4(i=1,2,…,n)，则对于（）。

A.B.C.D.答案：C35．设X服从泊松分布，且E(X2)-6=0，则P {X = 0}= （）。

D.答案：B 36．设X 服从二项分布B(n,p)，则下列正确的是（）。

(2X-1)=2np(2X-1)=4np(1-p)+1(2X+1)=4np+1(2X-1)=4np(1-p)答案：D37．对随机变量X来说，如果E(X)≠D(X)，则可断定X不服从（）。

A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布答案：C38．若随机变量Y是X的线性函数，Y=αX+b(α>0)且随机变量X存在数学期望与方差，则X与Y的相关系数ρxy=（）。

A.αB.α2答案：D39．设随机变量X,Y的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（）。

(X+Y)=EX+EY(XY)=EX·EY(X+Y)=DX+DY(XY)=DX·DY答案：A40．设X服从参数为λ的指数分布e(λ)，则（）。

A.B.C.D.答案：C计算题设某产品的合格率为80% 。

检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。

（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。

答案：解： (1) 设A表示“产品检验合格” B 表示“产品合格”则由全概率公式有即任一产品被检验员检验合格的概率为；(2) 根据题意由贝叶斯公式有即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为。

一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。

开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。

（1）求通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率答案：某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的概率。

答案：解：假设：A={订日报}，B={订晚报}，C=A+B由已知 P（A）=，P（B）= ，P（C）=所以 P(AB)=P（A）+ P（B）-P(A+B)=+即同时订这两种报纸的住户的概率为。

两人独立射击, 甲击中目标的概率为, 乙击中目标的概率为, 求目标被击中的概率。

答案：解：设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，C表示“目标被击中”。

则甲.乙进行独立射击抽样表明某市新生儿体重X(单位：公斤)近似地服正态分布N(3, 4), 求新生儿体重超过4公斤的概率。

（Φ = )答案：解：由题意知新生儿体重X近似地服正态分布N(3, 4), 则P{X＞4}=1-P{X≤4}=1-Φ((4-3)/2)=1-Φ==新生儿体重超过4公斤的概率为。

设打一次电话所用时间X（分钟）服从参数为1/10的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。

答案：解：已知～==。

设随机变量X服从参数为λ=2的指数分布。

(1) 求数学期望E(-2X+6)；（2）求随机变量Y=3X的密度函数PY(y)。

答案：某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量X，且X服从N(300,252)。

求：(1)这样的电池寿命在250小时以上的概率； (2)使电池寿命在(300-a,300+a)内的概率不小于的常数a。

(Φ(2)=,Φ=答案：解：设随机变量X服从均匀分布U[2,4],随机变量Y 服从指数分布е(2)，且X与Y相互独立。

求：（1）(X,Y)的联合概率密度； (2) D(X-2Y)。

答案：解：(1) 随机变量,又随机变量 ,且与相互独立的联合密度为（2）随机变量,又随机变量,设某校一年级学生期末数学成绩X近似服从正态分布N(75,100), 如果85分以上为优秀, 则数学成绩优秀的学生占全体学生人数的百分之几Φ(1)=答案：解：即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的％。

已知随机向量(X,Y)的联合概率分布为（1）求(X,Y)的边缘分布；（2）判断X与Y是否独立；(3)P(X＞Y)答案：解：(1) 依题意，可得如下联合分布表：（2）不独立。

(3)P(X>Y)=P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)=+=设(X,Y)的联合密度为（1）求边缘密度PX(x)和PY(x)；（2）判断X 与Y是否相互独立。

答案：设系统由100个相互独立的部件组成, 运行期间每个部件损坏的概率为, 至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。

用中心极限定理求系统正常工作的概率。

(Φ=答案：解：设X为运行期间部件完好个数, 则X 服从二项分布B(100,由中心极限定理,得系统正常工作的概率为若盒中有5个球，其中2个白球3个黑球, 现从中任意取3个球，设随机变量X为取得白球的个数。

求：（1）随机变量X的分布； (2)数学期望EX , 方差DX。

答案：解：(1) 设随机变量X表示白球的个数, 则X的取值为 0, 1, 2由题意得对敌人阵地进行100次炮击。

每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是。

求100次炮击中有370至430颗炮弹命中目标的概率。

(Φ(2)=答案：解：设表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有，Eχi =4，Dχi=，（i=1,2,...100) 设100次炮击命中目标的炮弹数，则，因为χ1,χ2,...χ100相互独立，同分布，则由中心极限定理知，近似服从正态分布N(400,100×，于是P{370≤X≤430}=2Φ（30/15）-1=2×=一汽车沿一街道行使，需要通过三个均设有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红或绿两种信号灯显示的时间相等。

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