动力吸振器的基础知识

二自由度系统的应用场景之一是为动力吸振器设计提供理论支撑，动力吸振器作为一种减振装置，其减振原理不是依靠耗损能力进行减振，而是通过吸振器质量的动力作用，使吸振器在主系统上产生一个与强迫振动力相抵消的反作用力，依次来达到减振目的。

一、无阻尼主系统的二自由度模型及幅频特性
图1 无阻尼主系统的二自由度模型
图1为无阻尼主系统的二自由度模型，m1,k1为主系统的质量、刚度；m2,k2,c2为吸振器的质量、刚度、阻尼；主系统的位移为x1，动力吸振器的位移为x2;
应用牛顿第二定律，可得该系统的振动微分方程：
m1ẍ1+c2(ẋ1−ẋ2)+k2(x1−x2)+k1x1=F
m2ẍ2+c2(ẋ2−ẋ1)+k2(x2−x1)=0
当F为简谐激励时，F(t)=F0e jωt,系统的响应可以表示为：
x1=X1e jωt,x2=X2e jωt
将响应表达式代入振动微分方程，可得主系统的幅频特性曲线
|X1
X st
|=√
(γ2−λ2)2+(2γλξ2)2
[(1−λ2)(γ2−λ2)−μγ2λ2]2+[1−(1+μ)λ2]2(2γλξ2)2
式中，
质量比μ=m2
m1
;
主系统固有频率ωn1=√k1
m1
，单位rad/s;
动力吸振器固有频率ωn2=√k2
m2
，单位rad/s;
吸振器阻尼比ξ2=2
2m2k2
=c2
2m2ωn2
;
主系统静变形为X st=F0
k1
;强迫振动比λ=ω
ωn1
;固有频率比γ=ωn2
ωn1。

二、有阻尼主系统的二自由度模型及幅频特性
当主系统存在阻尼时，二自由度系统的模型如图2所示
图2带阻尼主系统的二自由度模型
其中m1,k1,c1为主系统的质量、刚度；m2,k2,c2为吸振器的质量、刚度、阻尼；主系统的位移为x1，动力吸振器的位移为x2;
应用牛顿第二定律，可得该系统的振动微分方程：
m1ẍ1+c2(ẋ1−ẋ2)+k2(x1−x2)+c1ẋ1+k1x1=F
m 2ẍ2+c 2(ẋ2−ẋ1)+k 2(x 2−x 1)=0
将振动微分方程改写成矩阵方程为：
[m 100
m 2]{ẍ1
ẍ2}+[c 1+c 2−c 2−c 2
c 2]{ẋ1ẋ2}+[k 1+k 2
−k 2−k 2
k 2]{x 1x 2
}={F
0} 简写为
[M ][X ]+[C ][X ]+[K ][X ]=[F]
其中[M ]，[C ]，[K ]分别代表质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，[X ]，[X ]，[X ]，[F]分别代表加速度矩阵、速度矩阵、位移矩阵和激励力矩阵。

当F 为简谐激励时，F (t )=F 0e jωt ,系统的响应可以表示为：
x 1=X 1e jωt ,x 2=X 2e jωt
将响应表达式代入振动微分方程，可得主系统的振幅倍率
|X 1X st |=√(γ2−λ2)2+(2γλξ2)2
（γ2−[1+4γξ1ξ2+(1+μ)γ2]λ2+λ4）2+(2λ{(γ2−λ2)ξ1+γ[1−(1+μ)λ2]ξ2})
2 式中：
{
A =γ2−λ2
B =2γλξ2
C =γ2−[1+4γξ1ξ2+(1+μ)γ2]λ2+λ4
D =2λ{(γ2−λ2)ξ1+γ[1−(1+μ)λ2]ξ2}
则幅频特性曲线表达式可简化为
|X 1X st |=√A 2+B 2
C 2
+D
2 当主系统的参数一定是，主系统幅频特性曲线与动力吸振器固有频率比、质量比、阻尼比都有关。

通过讨论吸振器各参数对振幅倍率的影响，就可以通过科学的方法来设计动力吸振器的参数来减小主系统的振动。