数学模型的分类
刍议数学模型分类和建模步骤
【 关键词】 Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ； Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｌ ａ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ； Ｓ ｔ ｅ ｐ ｓ
１ 数 学 模 型 分 类
合理化 的模 型假 设应遵循两条 原则 ： （ １ ） 简化 问题 ； （ ２ ） 保持模 型与实
际问题 的“ 贴近度” 第三步 ： 模型的建立 。根据所做的假设 ， 利用适 当的数学工具 （ 应 用相应 的数学知识 ） ．建立多个量之间的等式或不等式关系 ，列 出表 格。 画出图形 。 或确定其他数学结构。 事实 上 ， 建模 时还有～个原则 ， 即
尽可能采用简单 的数学工具 ， 以便使更多的人能够了解和使 用模 型。 第 四步 ： 模 型的求解 。 对建立的模 型进行数学上 的求解 ， 包括解方 程、 画图形 、 证 明定理 以及逻辑运算等 ， 会用到传统的和近代的数学方 法． 特别是软件和计算机技术 。目前有一些非常优秀的数学软件 ． 如 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 、 Ｍ ａ ｌ ｈ ｅ ｒ ｎ ａ ｉ ｆ ｃ ａ 、 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ 、 Ｌ ｉ ｎ ｇ ｏ 等 ，它将 为学生求解数 学模型提 供方便快捷 的手段和方法 第五步 ： 模 型的分析 。 将求得 的模型结果进行数学上的分析。 有时 根 据问题的性质 ． 分析各变 量之间的关 系和特定状态 ： 有时根据所得 的结果给出数学 上的预测 ： 有 时则给 出数学上 的最优决策或控制 。这 步有时视实际问题的情 况也可 以合并在下一步 第六 步 ： 模 型的检验 。把模型分析 的结果返 回到实 际所研究 的对 ２ 数 学 建模 的步 骤 象 中． 如果检验 的结果 不符 合或部分符 合实际情况 ． 那么必须 回到建 建立数学模型是一 种积极 的思维 活动 ． 从认识论 角度看 ， 是一 种 模之初 ， 修改、 补充 假设 ， 重新建模 ； 如果检验结果与实际情况相符 ， 则 极为复杂且应变能力很强的心理 现象 ， 一般可分为 以下几个步骤 ： 进行最后 的工作——模 型的应用 第一步 ： 模型准备。 建模 的问题可能来 自各行各业 ， 而学生都不可 当在面临新 的建模 问题时 。 这几个 步骤具有指导 意义 ． 应 当注意 能是全才。 因此 。 当刚接触某个问题时 ， 学生可能对其背景知识一无所 的是 ． 这几个步骤 的 目的是指导更好地进 行建模实践 ． 其应用是 可以 知 ．这就需要 学生想方设 法地去了解 问题 的实 际背景 。通过查 阅、 学 有弹性的 ． 切勿生搬硬套。 也就是说 ． 不是每个建模问题都要经过这六 习． 可能对问题有了一个模糊的印象。 再通过进一步的分析 ， 对问题的 个步骤 ， 其顺序也不是 一成 不变的。一个具体建模 问题要 经过那些步 了解会更明朗化 模型准备跟炒菜前 的准备一样 ． 准备得越充分 ， 解 决 骤并没有一定的模式 ， 通常与实际问题 的性质 、 建模 的 目的等有关 。 因 问题就越得心应手 此． 在建模过程 中不要 局限于形式 上的按 部就班 ． 重要 的是根 据所研 第二步 ： 模 型的假设。 现实世界的复杂性和多样性 ， 使得学生不得 究对象的特点和建模的 目的 ， 去粗取精 、 去伪存真 ， 不断完善 。 ● 不根据实际情况扩大思考的范围 ． 再根 据实 际对象 的特性 和建模 的 目 的． 在分析问题的基础上对问题进行必要的 、 合 理的取舍 简化 ， 并 使用 【 参考文献 】 精确的语言作出假设。如果假设 过于详 细． 试 图把复杂 的实际现象的 ［ １ ］ 颜文勇 ． 数学建模［ Ｍ ］ － 高等教育 出版社， ２ ０ １ １ ． 各个 因素都考虑进去 ， 无疑是一种有勇气但方 法欠佳 的行 为。在假设 ［ ２ ］ 姜启源 ． 数学模型［ Ｍ 】 ． 北京 ： 高等教育 出版社， １ ９ ９ ３ ： １ ２ ５ — １ ２ ６ ． 中， 应抓住问题的关键因素 ， 抛弃 次要因素。当然， 如果假设 不合理或 过分简单 ． 也同样会因为与实际相去甚 远而使 建模归 于失 败。必要而 ［ 责任编辑 ： 杨扬 ］
初中数学教材梳理模型知识点汇总
初中数学教材梳理模型知识点汇总初中数学是一门非常重要的科目，也是我们日常生活中必不可少的技能。
在初中数学中，模型是一个非常关键的知识点，它是解决实际问题的重要工具。
本文将对初中数学教材中的模型知识点进行梳理汇总，便于学生进行复习和巩固。
一、比例模型比例模型是初中数学中最基本的模型之一。
比例关系指两个数之间的大小关系，比例模型则着重研究这种关系在求解实际问题中的应用。
在初中数学中，比例模型主要涉及到两个方面的问题：比例的概念和比例的应用。
1.比例的概念：比例表示两个数之间的大小关系。
常见的比例形式有比和比率。
2.比例的应用：比例模型在实际问题中的应用非常广泛，如长度比、重量比、速度比等都可以用比例模型来解决。
二、代数模型代数模型是一个涉及多个变量的模型。
在初中数学中，代数模型主要涉及到方程和不等式的求解问题。
代数模型的求解需要使用到代数式的变形和化简，以及方程和不等式的根据问题特点的化简。
1.方程的求解：方程是代数模型中的最基本问题之一。
在初中数学中，我们需要掌握如何列方程、如何解方程以及如何应用方程来解决实际问题。
2.不等式的求解：不等式是比方程更一般的代数模型，其求解方法和方程的求解方法有很多相通之处。
在初中数学中，我们需要掌握如何列不等式、如何解不等式以及如何应用不等式来解决实际问题。
三、几何模型几何模型主要涉及到几何图形的相关问题，在初中数学教材中属于比较重要的一个模型。
在初中数学中，几何模型主要涉及到三个内容：图形的分类与性质、角度的度量和几何问题的求解。
1.图形的分类与性质：对于初中数学来说，对几何图形的分类与性质的掌握是非常重要的。
主要包括正方形、长方形、菱形、三角形、矩形、平行四边形、梯形、圆等各种几何图形的定义、性质和刻画。
2.角度的度量：角度是几何模型中的一个重要概念。
在初中数学中，我们需要掌握角度的度量、向量的长度、宽度和方向等各种重要概念。
3.几何问题的求解：在初中数学中，我们需要结合图形的特点来解决各种几何问题。
数学建模分类方法大全
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
384
最优化
模拟退火法
神经网络
遗传算法
分治算法
差分进化
蚁行算法
粒子群
不确定
模型
灰色系统
数理统计
模糊数学
聚类分析
无分类
模型名称
所在目录
1，国有企业业绩分化的数学模型
2，打假问题的机理数学分析
3，足球比赛排名问题
4，大象群落的稳定性分析
5，火车便餐最有价格方案
6，影院最优设计方案
7，国有企业业绩分化的数学模型
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
计算模型的分类和区别
1、计算模型的分类和区别简单模型；复杂模型区别：简单模型时间空间严格限制，自由度少，参数少，物理过程可以准确描述，数学过程处理简单，能正确输出结果或趋势2、描述机械系统的主要参数：质量特性参数、弹性元件参数、阻尼参数、激励参数3、机械系统的组成：零部件、约束、弹簧、阻尼、负载、驱动4、质量特性参数：质量、质心、转动惯量、惯性张量5、测量质心方法及适用范围：静力法：悬吊法（质量轻的刚体）：平衡法（质量重的物体）测量连杆机构的质心支承反力法（不规则形状的物体）测量汽车质心6、测量转动惯量的方法及适用范围：一般规则形状：J=不规则形状：动力法（绕定轴转动，工程上测量）扭摆法（绕中心轴线转动）三线摆法（多用于实验室）适用于不规则较轻的物体7、惯性主轴：如果存在定点坐标系使惯性张量的非对角元素全为0，这个坐标系为惯性主轴惯性积：惯性张量中的非对角元素惯性矩：对角元素惯性张量：由惯性量包括惯性矩和惯性积形成的N阶方阵物理意义：刚体绕定点转动惯性大小的度量8、描述弹性元件参数：线性刚度、非线性刚度9、阻尼：阻碍系统运动，消耗系统能量各种元素的总称，分为外部阻尼（摩擦、空气）和内部阻尼（材料）测量阻尼的方法：自由振动衰减法、受迫谐波振动测量法通过测定试样和惯性元件构成的组合件在初始扭矩作用下发生扭转并随即去除扭矩后其扭振振幅随时间的衰减和扭振周期来表征试样刚度和阻尼的方法。
10、机械系统的动力学建模方法：牛顿第二定律（适用于自由度不多的离散系统或简单的连续系统）能量法（适用于不考虑阻尼机械运动）拉格朗日法（主要适用于离散系统）对象：面向多个质点组成的机械系统与牛二区别：不需要分离体11、自由度：确定系统在任一瞬时空间位置所需的独立坐标个数广义坐标：能够确定系统位形的一组相互独立的参数广义速度：广义坐标对时间的一阶导数广义加速度：广义坐标对时间的二阶导数广义力：可以是力也可以是力矩，视其广义坐标的选择而定计算方法：1、按定义直接计算2、从主动力所做的虚功计算12、欧拉坐标旋转顺序：先绕OZ轴转，再绕新的X轴旋转，最后绕新的Z轴转，313型ADAMS一般模块分为哪几类：基本环境、求解器、后处理器坐标系：直角、圆柱、球几何建模体分为：实体模型（刚性体、柔性体、点质量）线框模型（点、标记点、直线和多义线、圆和圆弧、光滑曲线）Point：不具有独立的方向，常用作参数化建模的控制点或是空间位置标记点Marker：具有独立的方向，随零件和运动副的加入而产生，可作为测量的控制变量Endtime：仿真时间steps：步数step size：步长Size：栅格大小（整个工作平面）spacing：每个栅格间的的距离。
数学模型的例子
数学模型是用数学方法来描述和分析现实世界中的问题和现象的工具。
下面是一些常见的数学模型的例子：
线性回归模型：这是一种用来预测两个变量之间线性关系的模型。
例如，我们可以用线性回归模型来预测汽车的油耗量和公里数之间的关系。
非线性方程组：这是一种用来描述多个变量之间非线性关系的方程组。
例如，我们可以用非线性方程组来描述人口增长率和资源利用率之间的关系。
网络流模型：这是一种用来描述资源在网络中流动的模型。
例如，我们可以用网络流模型来描述电力在电网中的流动情况。
概率模型：这是一种用来描述不确定事件发生的概率的模型。
例如，我们可以用概率模型来描述某个人患病的概率。
动力学模型：这是一种用来描述系统随时间变化的模型。
例如，我们可以用动力学模型来描述物体运动的轨迹。
信源的数学模型及分类
－自信息量的定义
电子信息工程学院
信息论
2.2 离散信源的信息熵
I ( x) loga
1 loga P( x) P( x)
上式中对数的底：
若a = 2，信息量的单位称为比特(bit) 若a = e，信息量的单位称为奈特(nat)， 若 a = 10，信息量的单位称为哈特(Hart) 事件x发生前， I(x)表示事件x发生的不确定性 事件x发生后， I(x)表示事件x所含有（或所提供）的信息量
信息论
信息论
主讲教师：李玉峰
电子信息工程学院
信息论
2.1 信源的数学模型及分类
通信过程是从信源开始的，信源发送的是消息或消息序列， 通信系统中传递的是消息，消息中包含信息。因此，我们通 过研究消息来研究信源。 在通信系统中收信者在收到消息之前，对信源发出的消息是 不知道的，是不确定的、随机的，所以可以用随机变量、随 机矢量或者随机过程来描述信源输出的消息。 通常用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。
电子信息工程学院
信息论
2.1 信源的数学模型及分类
2.1.3信源输出的消息用随机过程描述
很多实际信源的输出消息常常是时间和取值都是连续的，例如语 音信号、热噪声信号、电视信号等时间连续函数。同时在某一具 体时间t0,它们的可能取值又是连续的和随机的。
对于这种信源的输出消息，可用随机过程来描述。称这类信源为 随机波形信源（也称随机模拟信源）。如电视信号X（x0,y0,t）
(i 1, 2,
xq p( xq )
q)
数学建模的特点与分类
数学建模的特点与分类
一、数学建模的特点
1、具有多元性和系统性：数学模型既可以是简单的数学表达式，也可以是复杂的数学推理，数学建模是一种多元化、全面性、系统性的强大分析方法，它能够将复杂的问题分解成数学模型，从而达到理解、研究及求解的目的。
2、可以客观地表达、描述问题：通过数学建模过程，可以客观的、有力的表达和描述问题，让问题变得更加明确、容易理解。
3、有效地解决问题：通过精确的数学分析，利用数学建模这一解决复杂问题的有效方法，可以给出可靠的、正确的结论，提供可行的解决方案，从而更有效的解决问题。
二、数学建模的分类
1、静态数学建模：静态数学建模是指在解决问题的过程中，不考虑系统的变化，采用统计的方法，不考虑时间，进行定量分析。
2、动态数学建模：动态数学建模是指在解决问题的过程中，考虑系统的变化，利用数学方法，考虑时间，进行定性分析，把微观层面的微分变化和宏观层面的行为趋势结合起来，进行分析。
3、混合数学建模：混合数学建模是指结合静态数学建模和动态数学建模，从宏观层面进行分析和推理，从而更好地把握受到的系统的变化状况，在研究方向上更具有明确性。
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数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门
科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方
法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并
为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特
征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，
所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物
的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、
关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广
义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只
有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为
二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分
方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学
模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员
的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左
右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、
框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真
实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、
设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不
同的分类方法。
静态和动态模型 静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间
的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随
时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典
控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方
程变换而来的（见拉普拉斯变换）。
分布参数和集中参数模型 分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的
动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特
性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度
较低的集中参数模型。
连续时间和离散时间模型 模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型
称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理
集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。
离散时间模型是用差分方程描述的。
随机性和确定性模型 随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布
的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。
参数与非参数模型 用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等
描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参
数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的
实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非
参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验
前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
线性和非线性模型 线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加
原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的
响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，
不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方
法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就
可得到近似的线性模型。