高中数学函数解题技巧及方法
专题1 函数(理科)
一、考点回顾
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
二、经典例题剖析
考点一：函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
这部分容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
例1设a ＞0，求函数)ln()(a x x x f +-=
(x ∈(0，＋∞))的单调区间．
分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x '≥(递增)及()0f x '<(递减)。 解：)0(1
21)(>+-
=
'x a
x x
x f ． 当a ＞0，x ＞0时
f '(x )＞0?x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0， f '(x )＜0?x 2＋(2a －4)x ＋a 2＜0．
(ⅰ)当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有
x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，
即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)单调递增． (ⅱ)当a ＝1时，对x ≠1，有
x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，
即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递增． 又知函数f (x )在x ＝1处连续，因此，函数f (x )在(0，＋∞)单调递增． (ⅲ)当0＜a ＜1时，令f '(x )＞0，即
x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，
解得a a x ---<122，或a a x -+->122．
因此，函数f (x )在区间），a a ---1220(单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(也单调递增．
令f '(x )＜0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2 ＜ 0，
解得 ：a a x a a -+-<<---122122．
因此，函数f (x )在区间），a a a a -+----122122(单调递减．
点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力． 例 2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=
x x ax x f 。设a
x 2
01<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
(Ⅰ)求l 的方程；
(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。证明： ① a
x 1
02≤<； ② 若a x 11<
，则a
x x 121<< (Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。 解：求)(x f 的导数：2'
1
)(x
x f -
=，由此得切线l 的方程： )(1
)1(
1211x x x
x ax y --=--。 (Ⅱ)分析：①要求2x 的变化围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令y ＝0，
a
x ax x x ax x x 2
0)2()1(1111112<
<-=+-=，其中. ① 由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<
<及有 a x a x a x 1
1,10212==≤∴时，当且仅当〈.
②a
x x ax x x ax a x 1
)2(1
12111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当 a
x x 1
21<<所以。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
例3、 函数y ＝1－
1
1
-x 的图象是( )
解析一：该题考查对f (x )＝
x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y ＝x 1的图形变形到y ＝1
1
-x ，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－1
1
-x ＋1，从而得到答案B .
解析二：可利用特殊值法，取x ＝0，此时y ＝1，取x ＝2，此时y ＝0.因此选B . 答案：B
点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二：二次函数
二次函数是中学代数的基本容之一，它既简单又具有丰富的涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例４
设二次函数()()f x ax bx c a =++>2
0，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足
01
12<<<
x x a
. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.
证明：由题意可知
))(()(21x x x x a x x f --=-.
a
x x x 1021<
<<< ，
∴ 0))((21>--x x x x a ， ∴ 当()
x x ∈01,时，x x f >)(.
又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且
∴ 1)(x x f <，
综上可知，所给问题获证.
点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。 例 5 已知二次函数)0,,(1)(2
>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和
2x .
(1)如果4221<< 分析：条件4221<< 解：设1)1()()(2 +-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . (1)由0>a 及4221<< ?><0 )4(0 )2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ，即 ??? ???? <+?--<-?+, 043224,043233a a b a a b 两式相加得 12 b ，所以，10->x ; (2)由a a b x x 4)1()(22 21--=-， 可得 1)1(122+-=+b a . 又01 21>=a x x ，所以21,x x 同号. ∴ 21 )1(120 22 12b a x x ， 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1 )1(120)0(0 )2(2b a g g 解之得 41< b 或4 7>b . 点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。 考点三：抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题， (一)函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等. (二)特殊化方法 1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x 换成－x 等； 2、在求函数值时，可用特殊值代入； 3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法. 总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感. 例6、 A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ?组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有 )2,1()2(∈x ? ； ②存在常数)10(< |||)2()2(|2121x x L x x -≤-?? (Ⅰ)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ?，证明：A x ∈)(? (Ⅱ)设A x ∈)(?，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ?=，那么这样的0x 是唯一的; (Ⅲ)设A x ∈)(?，任取)2,1(∈l x ，令,,2,1),2(1???==+n x x n n ?证明:给定正整数k ，对任意的正整数p ， 成立不等式||1||121 x x L L x x k k l k --≤-++ 解：对任意]2,1[∈x ，]2,1[,21)2(3∈+=x x x ?，≤3 3)2(x ?35≤，253133<<<，所以 )2,1()2(∈x ? 对任意的]2,1[,21∈x x ， () ()()() 2 323213 2 121211121212 | ||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-??， < 3()()()()323213 2 1112121x x x x ++++++， 所以0＜ () ()()() 2 3 23 213 2 11121212 x x x x +++++ +3 2< ， 令 () ()()() 2 3 23 213 2 11121212 x x x x +++++ +＝L ，10< |||)2()2(|2121x x L x x -≤-?? 所以A x ∈)(? 反证法:设存在两个000 0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ?=，)2(00x x '='?则 由|||)2()2(|/ 00/ 00x x L x x -≤-??，得||||/ 00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。 121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-??，所以1211x x L x x n n n -≤--+ ()()()||1||121 1211x x L L x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++ k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123122x x L x x L p k p k -+--+-+＋… 121 x x L k --121 1x x L L K --≤ - 点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。 考点四：函数的综合应用 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识 是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键． 例7设函数2 2 ()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ； (Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，数m 的取值围． 解：(Ⅰ) 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，， ∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-， 即3 ()1h t t t =-+-． (Ⅱ)令3 ()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2 ()330g t t '=-+=得1t =，1t =-(不合题意，舍去)． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表： ()g t ∴在(02)，有最大值(1)1g m =-． ()2h t t m <-+在(02)，恒成立等价于()0g t <在(02)，恒成立， 即等价于10m -<， 所以m 的取值围为1m >． 点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力． 例8甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v (千米／时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元. ① 把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米／时)的函数，并指出函数的定义域； ② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.