全等三角形单元培优测试卷

全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

2．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；

④//FG AC ；⑤EF FG ．其中正确的结论是______．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则

∠C=12

∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

【详解】

∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，

故①正确；

若∠EBC=∠C ，则∠C=

12

∠ABC ， ∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，

故②错误；

∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，

∴∠ABF=∠EBD ，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，

又∵∠BAD=∠C ，

∴∠AFE=∠AEF ，

∴AF=AE ，

故③正确；

∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，

∴AN ⊥BE ，FN=EN ，

在△ABN 与△GBN 中，

∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩

，

∴△ABN ≌△GBN （ASA ），

∴AN=GN ，

又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，

∴△ANE ≌△GNF （SAS ），

∴∠NAE=∠NGF ，

∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，

故④正确；

∵AE=AF ，AE=FG ，

而△AEF 不一定是等边三角形，

∴EF 不一定等于AE ，

∴EF 不一定等于FG ，

故⑤错误．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ，

12

），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____．

【答案】-83． 【解析】

【分析】

先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值，再由勾股定理求出AB 的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积；连接OP ，过点P 作PE ⊥x 轴，由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，可知S △ABP ＝S △POA +S △AOB ﹣S △BOP ＝

132，故可得出a 的值． 【详解】

∵A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），

∴OA ＝3，OB ＝2，

∴AB

∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，

∴1113•222

ABC S AB AC ＝＝＝，

作PE ⊥x 轴于E ，连接OP ， 此时BE ＝2﹣a ，

∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，

∴111•••222

ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣， 111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝

，

解得a ＝﹣83

． 故答案为﹣83

． 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．

4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________

【答案】4

【解析】

如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=

12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12

=4（cm 2）．

故答案是：4．

5．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，