债券的定价分析课件

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3、Vasicek模型 Vasicek模型可以表示为：
drta(rt)dtdzt
考虑了利率的均值回复，假设了短期利率以速率a拉向均值μ，且这 个额外的“拉力”服从正态分布的随机项。根据这一模型，在T时 刻到期的债券在t时刻的价值P（t,T）可以表示如下：
P (t,T)A (t,T)eB (t,T)rt
d
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Rendleman, Batter模型的缺陷：
在上面有关的假设中，Rendleman, Batter模型假定了利 率和股票价格的波动是相似的。
但在现实生活中，二者有着显著的差异，主要表现在 利率会随时间的推移而呈现出向某个长期平均水平收敛的 趋势，即有均值回归的特点（Mean Reversion）。
dt r a( rt)dt rtdtz
可以看到，随机项的标准差是正比于 r t 的，即假定了利率 波动的标准差会随着利率的升高而升高。与Vasicek模型一样，长
期利率线性地依赖于当前利率rt，这表明，CIR模型中长期利率水
对欧式看跌期权，其公式为：
p z b X P ( t,T ) N (p h ) L P ( t,s ) N ( h )
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4、Cox, Ingersoll和Ross模型
如同前面分析过的，Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型区别于 Vasicek模型的区别之处就在于对均值回归模型中利率方差的假定 不同，CIR模型的微分形式是：
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随着λ的不同，上式可以演变为不同的模型，如果：
0,表 示 r符合正态V分 as布 i(1c9， e)7k模 7如型 0.5,CoxIngerR soo（ lsl1s9） 85模型 1,对数正态分布模型
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另一类单因素模型则是假定利率的对数值服从 正态分布，从而提出了对数正态分布模型，其基本 的形式为：
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Jamshidian根据Vasicek模型推导出计算T时刻到期的、基于零息债 券的欧式看涨期权在t时刻价值的公式为：
c zb L P (t, s ) N (h ) X P (t,T ) N (h p ) 式中：
h 1 ln L P (t, s ) p p X P (t,T ) 2
第四章 债券的定价分析
一、利率期限结构模型 二、二叉树定价模型 三、几类嵌入期权债券定价
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一、利率期限结构模型
Black-Scholes模型很难直接用于对固定收益证券定价 。原因有二：
1、B-S模型假定了利率期限结构是水平的，这假设对期 限可达数十年的长期债券，显然是不合理的。
2、债券价格变化的标准差非常小，而且债券价格随着 到期日的临近将趋同于债券的面值。
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Vasicek模型在利率期限结构模型中，形式相对较为简 单，也比较容易使用。
但这一模型无法避免负利率问题，因为Vasicek模型假 定利率变化呈正态分布；而且假定了所有的债券之间都是完 全正相关的。
这一模型另一个不足之处是，无法用该模型直接推导出 实际的期限结构曲线。在对以债券为基础的欧式期权定价时 ，这一模型还是有用的。
dr rdt rdz
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从这里可以看到，Rendleman, Bartter模型所描述的利 率期限结构变化，与典型的股票价格变化是一致的，正如可 以用二叉树分析股票价格一样，也可以用二叉树的方法对利 率期限结构进行讨论，具体参数的决定如下：
u e t
d e t p e t d
如果未来利率和现金流都是固定的，那么讨论债券的定 价问题就毫无必要。因此，利率期限结构对固定收益证券的 定价非常重要。
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利率期限结构模型（Term Structure Model）涉及整个 收益率曲线的运动。主要包括：
单因素模型；Biblioteka 双因素模型。从静态来看，在同一时点上，必须同时对不同期限的利 率变化加以描述；
dlnrt (alnrt)dttdzt
其中：
当a0，t不变时S， al为 om模 om 型； 当a0，t可变时B， lakc为 DermaTno模 y 型
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2、Rendleman和Bartter模型 Rendleman和Bartter模型中，利率被假定为服
从几何布朗运动，具有常数期望增长率μ和常数波 动率σ，其风险中性过程可以表示为：
N表 示 累 积 正 态 分 布 函 数
s表 示 债 券 的 到 期 期 限
X表 示 期 权 的 执 行 价 格
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特殊情况，当a=0时，σp＝σ（s-T）(T-t)0.5。对于附息票的债券 ，因为Vasicek模型假定了债券价格间的完全相关，所以，该模型也 可用于从零息债券期权的价格中求解附息票债券欧式期权的价值。 基本原理是，将附息票债券看成一系列的零息债券期权。
从动态来看，必须对不同时点的利率变化加以描述。
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（一）单因素模型 1、概述 在单因素模型中，利率运动过程只包含一个不确定性的
来源。单因素模型可分为两类： 一类是假定利率本身的运动过程服从正态分布，其基本
的形式是：
drt a( rt )dt rtdzt
其中：0 a 1,
0, 0, dz符合正态分布 表示利率的长期回归均值
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可以推导出：
t rT
1 T t
B(t,T)r(t) 1 T t
ln A(t,T)
上式中：
B（t，T）1e(Tt)
A(t,T)
expB(t,T)
(T
t)(2
2
2)
2B(t,T)2
2
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从上式可以看到，trT与rt之间呈线性关系。特殊的时候， 如果a＝0，则：A(t,T)=T-t, B(t,T)=exp[σ2(T-t)3/6]。
p
a
1
e a ( s T )
1 e 2 a (T t) 2a
c zb表 示 零 息 票 债 券 的 欧 式 看 涨 期 权 价 值
P (t, s )表 示 t时 刻 债 券 在 s时 刻 的 债 券 价 值
P (t,T )表 示 t时 刻 债 券 在 T 时 刻 的 债 券 价 值
L表 示 债 券 的 本 金