数学建模 之 人口模型

数学建模

———关于人口增长的模型

摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首

先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。

一、 问题的提出：

人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百

模型一（指数增长模型）

1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A

2、基本假设：人口的增长率是常数

增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。

设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O

由假设，对任意△t>0 ，有

)()

()(t rx t

t x t t x =∆-∆+

即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数

当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即：

o t →∆lim

)()

()(t rx t

t x t t x =∆-∆+ 引入微分方程：

)1( )0()(0

⎪⎩⎪

⎨⎧==x x t rx dt

dx

3、模型求解： 从（1）得

rdt x

dx

= 两边求不定积分：

c rt x +=ln

∵t=0时0x x =，∴C x =0ln

rt e x rt x x 00ln ln ln =+=

∴rt

e x t x 0

)(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.

备注； r 的确定方法：

要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33

.5==r

,359.1307.0=e

,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(⨯=

4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):

x(22)=3325.77

2020的人口为x(23):

x(23)=4519.73

5、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此

6、模型讨论：

由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。但人口较多时用模型预测的结果比实际人口偏大较多，实际人口越多时相对误差越大。即人口的增长不应是一个常数。进行如下讨论：

()t x，忽略了个体间的差异（如年龄、1．我们把人口数仅仅看成是时间t的函数

性别、大小等）对人口增长的影响。

2．假定()t x是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。

3．人口增长率是常数r，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。4．模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。

不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。

模型二（阻滞增长模型）

1、模型的提出

随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。又因一定环境所容纳的人口数量是一定的，人口不会无限地增加，而是最终趋近于某个常数。

2、基本假设

人口增长率不是常数，而是关于人口数量x的线性递减函数r(x).

()x r :人口增长率

m x ：按自然资源和环境条件的最大人口容量

r

： 固有增长率，即人口很少时的增长率

3、模型的建立及求解：

由定义和假设，显然有： kx r x r -=)(

0)(=m x r

r r =)0(

∵m

x x →lim 0=m r

lim →x ()0=x r

即r-rk m x =0

、 ∴k=m

x r

∴()=x r r-

m x r x=r(1-m

x

x

)

将()x r 的表达式代入指数增长模型中的微分方程中：

)3( )0()1(0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=x

x x x x r dt

dx

m 求解：

由（3）式得：

移项得：

rdt x

x x dx

m

=-)1(

dx x x x dx x x x x x x x x x dx x x

x x dx m m m m m m

)11()()()()1(-+=-+-=-=- rdt dx x

x x ：m =-+)11(即

两边求不定积分 ⎰⎰=-+rdt dx x x x m )11( ,)ln(ln 1c rt x x x m +=--∴

1ln

c rt x

x x

m +=-∴

∴1C rt m e x

x x

+=-

1

1

1C rt C rt m e e x x +++=∴ 0,0x x t ==时当

,111

0c m

rt rt m e

x e e x x -+=+=∴ )4..(...........)1(1)(0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-+=

∴-rt

m m

e x x

x t x

备注：r 及m x 的确定方法：

由（4）式可得：rt

rt m

xe x e xx x ----=00)1(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5)

代入表格中两组数据得: r =0.2072

m x =464

4、结论:

由上函数可预测得:2010的人口为x(22):

x(22)= 464.0 2020的人口为x(23):