数学建模中数学模型方法的研究[文献综述]

文献综述 信息与计算科学 数学建模中数学模型方法的研究 一、前言部分 数学建模1是将实际问题抽象、简化，明确变量和参数，然后根据某种“规律”建立变量和参数间的数学关系，再解析地或近似地求解并加以解释和验证这样一个多次迭代的过程。但要进行真正好的数学建模必须要有有关领域的专家、工作人员的通力合作，也就是说数学建模的过程往往是一个跨学科的合作过程。 应用某种“规律”建立变量、参数间的明确数学关系，这里的“规律”可以是人们熟知的物理学或其他学科的定律，例如牛顿第二定律、能量守恒定律等，也可以是实验规律。数学关系可以是等式、不等式及其组合的形式，甚至可以是一个明确的算法：能用数学语言把实际问题的诸多方面（关系）“翻译”成数学问题是极为重要的。 不同的建模者由于看问题角度不同所建立的模型往往是不同，我们通过介绍数学建模的几类方法和几个典型的数学模型，来让大家对数学模型有一个比较全面的认识和了解。 二、 主题部分

数学建模（Mathematical Modeling）把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。简而言之，数学建模是利用各种数学方法解决生产生活中实际问题的一种方法。 数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英美等现代化工业国家。由于新技术特别是计算机技术的迅速的发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通，所以这门学科在短短几十年的时间迅速辐射至全球大部分国家和地区。（参见文献[2][3]） 纵观数学的发展历史，数千年来人类对于数学的研究一直是沿着纵横两个方向进行的。在纵向上，探讨客观世界在量的方面的本质和规律，发现并积累数学知识，然后运用公理化等方法建构数学的理论体系，这是对数学科学自身的研究。在横向上，则运用数学的知识去解决各门科学和人类社会生产与生活中的实际问题，这里首先要运用数学模型方法构建实际问题的数学模型，然后运用数学的理论和方法导出其结果，再返回原问题实现实际问题的解决，这是对数学科学应用的研究，由此可见，数学建模既是各门科学研究的经常性活动，具有方法论的重要价值，又是数学与生产实际相联系的中介和桥梁，对于发挥数学的社会功能具有重要的作用。 近年来，随着我国数学教育的蓬勃发展，人们的数学教育观已经发生了深刻的变化，不仅“大众数学”与“问题解决”等崭新的教育观念开始确立，而且包括“数学建模”在内的各种教学实验也相继展开]4[ 。 所谓数学模型，就是针对或参照某种事物系统的主要特征或数量相依关系，采用形式化的语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。 数学模型是用数学方法解决实际问题的重要环节，从实际问题中提炼数学模型就 要用到数学模型方法。 数学模型方法（mathematical modelling method）简称MM方法。它是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律，与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。（参见文献[5]-[7]） 数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具，在现实生活中，我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象（如航空模型就是对飞机的一个抽象）。 数学模型通常具有三个特点：其一由于数学模型是从实际原型中抽象概括出来的，是完全形式化和符号化了的结构，所以它既要加以适当而又合理的简化，又要保证能反映原型的特征；其二数学模型具有高度的抽象性，所以在数学模型上既要进行理论分析，又要能进行计算和逻辑演绎推导；其三数学模型必须返回原型之中，接受实践的检验。 在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣。变量可能是人口、房地产的价值或者患有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好地了解一种行为或规划未来。可以把数学模型看做为了研究一种特定的实际系统或人们感兴趣的行为而设计的数学结构。如图1所示，从模型中，人们能得到有关该行为的数学结论，而阐明这些结论有助于决策者规划未来。 简化

验 分 证 析

阐明

实际问题的数据 预测/解释 数学结论 模型 图1 从考察实际数据开始的建模过程的流程图 那么，怎样才能建立一个符合客观要求的数学模型呢？构建数学模型，发挥模型在解题

中的作用，首先要对知识进行积累与重组，形成知识系统，这是建模的前提。其次是建模，即通过阅读理解，弄懂问题中的数学意义，用数学的观点审题，运用相应的规律、定理、公式寻求解题途径。第三，根据已建立的数学模型解决纯数学问题。第四，回到实际问题本身，作出解答。所以建模解题遵循“实践——理论——实践”的思维模式。 通常组建数学模型的过程应处理好如下几种不同的情况：其中一类问题是条件尚不完全明确，有待于在建模过程中通过假设来逐渐明确化，这一类问题较为典型，并且在数学建模过程中经常遇到。其二是通过对实际问题的分析可以得到完全确定的情况，并且有特定的答案。处理这一问题主要在于对问题条件给出恰当的分析，从而得到所需的模型，利用数学的知识和方法就可以得出结论来，并且比较明确和确定。其三是所涉及的情况比较复杂，问题中需要考虑一些随机因素，有时需借助计算机进行处理。从数学建模的角度出发，以上三类模型并不是明显不同，截然分开的。建模的过程是类似的，分析的方法有时也是相通的，只是根据不同的实际情况彼此之间有所不同的侧重。（参见文献[8]-[10]） 数学模型已被广泛地运用社会、经济、科学等各个领域。显示出很强的生命力。数学模型在解决具体的实际问题中具有优点]11[： 首先在于数学模型为原型提供了简洁的形式化语言。它用数学符号、图像、公式揭示原型的性质、规律和结构等，便于人们把握原型系统。而数学模型所提出的数学问题的解完全依赖于数学的概念、命题、演绎方法和逻辑推理。这又为人们提供抽象思维的工具。所以数学模型也是人们把握感情经验无法把握的客观现象的有效手段。 第二，科学发展的一条规律是从定性描述到定量分析，数学模型就为具体问题提供了数量分析和计算方法，牛顿运动定律和开普勒的行量运动三大定律都是数学上定量分析的结果。 第三，数学模型具有预测科学事实的功能，有助于人们较全面、系统地把握问题的全部特征或结构。 第四，建立模型最重要的作用之一是可避免或减少对具体的现实问题昂贵或不可能的实验，如在多级水箭的各级之间分配燃料的最有效方式就属于这种情况。它都可以借助数学模型推出。 第五，在提炼数学模型或解决模型所提出的数学问题时会出现原有数学概念或方法无能为力的情况。如欧拉解决七桥问题开创了图论这一数学分支。 此外，通过对各种领域的问题导出的相同或相似模型的研究中还能使人们发现新的科学原理，从截然不同的问题中导出的数学模型所休现出来的相同或相似性还有助于加强人们关于世界统一性的观念。 数学建模在经济发展中的应用相当广泛，具有很重要的作用,数学理论是数学逻辑的一个分支。 随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用，尤其是在经济发展方面，数学建模也有很重要的作用。数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识 到建立数学模型的重要性。数学模型（Mathematical Mode1）就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模的基本步骤如下： 1、建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题。” 因此，发现课题的过程就是分析矛盾的过程。贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到需要解决的实际问题。如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。 2、建模假设：模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。 3、构造模型：构造模型的方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。 4、模型求解：构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型求解。 5、模型分析：通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条款，重新建模，直到符合要求。如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。 6、模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验。 7、模型应用：模型应用是对模型的最客观、最公正的检验。 数学模型的八个基本特点：1）模型的逼真性和可行性；2）模型的渐进性；3）模型的强健性；4）模型的可转移性；5）模型的非预测性；6）模型的条理性；7）模型的技艺性；8）模型的局限性。(参见文献[12][13]) 数学建模应用实例很多，可以用微积分的理论和方法，用数学的语言解释一些日常现象的成因]14[。例如：在讲拉格朗日乘子法求多元函数条件极值时，可以介绍“蜂巢结构”例子 。 （1）问题背景介绍。蜂房的形状特征是每一个巢的正面是六边形，但六面柱的底是由3