【重点推荐】2019高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 四种命题作业 苏教版选修1-1

1
1.1.1 四种命题
[基础达标]
1．下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同
一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是
________．
解析：①是命题，能判断真假．
②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．
③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．
④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．
⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．
⑥不是命题，没有作出判断．
答案：②④⑥
2．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
解析：∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否
命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真
命题的个数为________．
解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，
则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正
数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．
答案：4
4．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若
b
2

－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△
ABC
为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题．

③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可
知其逆否命题为真命题．
④原命题的逆命题为：“若方程mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取
m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x
－1>0，Δ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命

题．
答案：①②③

5．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．
解析：逆否命题是以原命题的结论的否定作条件，条件的否定作结论．因此逆否命题为：
若tan α≠1，则α≠π4.
2

答案：若tan α≠1，则α≠π4
6．命题“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题为“若A≠60°，则△ABC不是等
边三角形”为________命题．(填“真”或“假”)
解析：“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的逆命题为“若△ABC是等边三角形，则
A
＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真
7．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有公共点．
解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．
(2)逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0；
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0.

8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：|1－x2|<1.若命题p是真命题，命题q是假命
题，求实数x的取值范围．
解：∵lg(x2－2x－2)≥0，∴x2－2x－2≥1，
∴x≤－1或x≥3，设集合P＝{x|x≤－1或x≥3}．

∵|1－x2|<1，∴－1设Q＝{x|0∴P∩(∁ RQ)＝{x|x≤－1或x≥4}，
∴实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
[能力提升]
1．已知命题p：x2－x≥6或x2－x≤－6，q：x∈Z，且p假q真，则x的值为________．

解析：因为p假q真，所以 x2－x<6x2－x>－6x∈Z

⇒ x2－x－6<0x2－x＋6>0x∈Z⇒






－2x
∈R

x
∈Z

.

故x的取值为－1,0,1,2.
答案：－1,0,1,2
2．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得 a<0Δ＝4a2＋12a≤0，
解得－3≤a<0，
故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
3．命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，
写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解
集．
3

否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解
集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．

4．(创新题)已知命题p：函数f(x)＝1－x3，实数m满足不等式f(m)<2，命题q：实数m使
方程2x＋m＝0(x∈R)有实根．若命题p、q中有且只有一个真命题，求实数m的范围．
解：f(x)＝1－x3，又f(m)<2，

∴1－m3<2，∴－5－5.
因为方程2x＋m＝0(x∈R)有实根，且2x>0，
∴m<0，∴q：m<0.
若命题p、q中有且只有一个真命题，存在两种情况：

(1)当p为真命题，q为假命题时， m>－5m≥0，∴m≥0，

(2)当q为真命题，p为假命题时， m≤－5m<0，∴m≤－5.
综上，当命题p、q中有且只有一个真命题时，m≤－5或m≥0.