线性规划简单练习题
《简单的线性规划问题》(苏教版)
江苏省常熟中学高一数学 备课组
o
x
复习:
x - 4 y -3
作出不等式组
3x
+
5
y
25
x 1
表示的平面区域.
求z = 2x + y的最值.
y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
5C
x - 4 y -3
3x
+
5
y
25
x 1
x-4y+3=0
y
y=x 1
y = 3x － Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x － y 的最值
在这些点中，使目标函数
k
=
6x
+
8y
x
0,
y
0
取得最大值的点的坐标是__________
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x － y 的最值
y
y= x 1
y = 3x － Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
第39讲简单的线性规划问题
y≤2x 1.(2013· 湖南卷)若变量 x，y 满足约束条件x＋y≤1 y≥－1
，则
x＋2y 的最大值是( C ) 5 A．－ 2 5 C. 3 B．0 5 D. 2
y≤2x 解析：作出不等式组x＋y≤1 y≥－1
表示的平面区域，得到
如图的△ABC 及其内部，其中 1 1 2 A(－ ，－1)，B( ， )，C(2，－1)． 2 3 3 设 z＝F(x，y)＝x＋2y， 将直线 l：z＝x＋2y 进行平移， 当 l 经过点 B 时， 目标函数 z＝x＋2y 达到最大值， 1 2 5 所以 z 最大值＝F( ， )＝ ， 3 3 3 故选 C.
解析：设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利 z 元，依题 意可得：
5x＋6y≤180 3x＋6y≤150 5x＋3y≤150 x≥0 y≥0
，
目标函数 z＝700x＋900y.
作出可行域 (如上右图中阴影部分 )和目标函数的等值线 35 (如图中的虚线)．所以当目标函数的等值线经过点 A(15， ) 2 时，目标函数 z 取最大值 26250 元． 答：生产甲产品 15 吨，乙产品 17.5 吨时可获得最大的经 济效益．
)
A．[－1,1) C．(－1,2)
解析：(1)作出满足不等式组的平面区域，如图所示，
目标函数 z＝2x＋3y 在边界点(2,0)处取到最小值， z＝2×2＋3×0＝4.
y－1 (2)作出满足不等式组的平面区域， 如图所示， 而 W＝ x 表示过点(x，y)和(0,1)两点连线的斜率，则由图易知此斜率大 于或等于过点(1,0)和(0,1)两点连线的斜率 1，小于直线 x－y＝0 的斜率，即有－1≤W＜1，故选 A.
另外，环保部门对河流的污水收费标准是 17.6 元/m3，且 允许该厂排入河流中污水的最大量是 0.225 m3/h，那么，该厂 应选择怎么样的生产与排污方案， 可使其每小时净收益最大？
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
高中数学线性规划知识总结+练习
（一） 知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。
当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。
2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。
z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。
首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。
2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。
4。
最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。
二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。
2.区域弧长、面积问题【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。
高中数学线性规划问题
高中数学线性规划问题一．选择题共28小题1．2015•马鞍山一模设变量x,y满足约束条件：,则z=x﹣3y的最小值A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣82．2015•山东已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．2015•重庆若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为A．﹣3 B．1 C．D．34．2015•福建变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．2015•安徽已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为A．10 B．8 C．3 D．27．2014•安徽x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣18．2015•北京若x,y满足,则z=x+2y的最大值为A．0 B．1 C．D．29．2015•四川设实数x,y满足,则xy的最大值为A．B．C．12 D．1610．2015•广东若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A．4 B．C．6 D．11．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为A．8 B．7 C．2 D．112．2014•北京若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为A．2 B．﹣2 C．D．﹣13．2015•开封模拟设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围为A．2,8 B．4,13 C．2,13 D．14．2016•荆州一模已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A．3 B．﹣3 C．1 D．15．2015•鄂州三模设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是A．1,B．,1 C．1,2 D．,216．2015•会宁县校级模拟已知变量x,y满足,则u=的值范围是A．,B．﹣,﹣C．﹣,D．﹣,17．2016•杭州模拟已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．018．2016•福州模拟若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是A．﹣2 B．0 C．1 D．219．2016•黔东南州模拟变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．D．520．2016•赤峰模拟已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为A．2 B． C． D．421．2016•九江一模如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为A．1 B．2 C．3 D．422．2016•三亚校级模拟已知a＞0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=A．B．C．1 D．223．2016•洛阳二模若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣224．2016•太原二模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为A．﹣1,2 B．﹣2,1 C．﹣3,﹣2 D．﹣3,125．2016•江门模拟设实数x,y满足：,则z=2x+4y的最小值是A．B．C．1 D．826．2016•漳州二模设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=A．B． C．D．27．2016•河南模拟已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,设与的夹角为θ,则tanθ的最大值为A．B．C．D．28．2016•云南一模已知变量x、y满足条件,则z=2x+y的最小值为A．﹣2 B．3 C．7 D．12二．填空题共2小题29．2016•郴州二模记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=ax+1与D有公共点,则a的取值范围是．30．2015•河北若x,y满足约束条件．则的最大值为．高中数学线性规划问题参考答案与试题解析一．选择题共28小题1．2015•马鞍山一模设变量x,y满足约束条件：,则z=x﹣3y的最小值A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8分析我们先画出满足约束条件：的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．解答解：根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点﹣2,2取最小值﹣8故选D．点评用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组方程组寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解．2．2015•山东已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则A2,0,B1,1,若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选：B点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．3．2015•重庆若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为A．﹣3 B．1 C．D．3分析作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形,由,得,即A2,0,则A2,0在直线x﹣y+2m=0的下方,即2+2m＞0,则m＞﹣1,则A2,0,D﹣2m,0,由,解得,即B1﹣m,1+m,由,解得,即C,．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=2+2m1+m﹣=1+m1+m﹣=,即1+m×=,即1+m2=4解得m=1或m=﹣3舍,故选：B点评本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是解决本题的关键．4．2015•福建变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2分析由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求得m的值．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A,化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为,解得：m=1．故选：C．点评本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．5．2015•安徽已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1分析首先画出平面区域,z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．解答解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A1,1,所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．点评本题考查了简单线性规划,画出平面区域,分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为A．10 B．8 C．3 D．2分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大．由,解得,即C5,2代入目标函数z=2x﹣y,得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．2014•安徽x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大．若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,若a＞0,目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,若a＜0,目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,综上a=﹣1或a=2,故选：D点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义．8．2015•北京若x,y满足,则z=x+2y的最大值为A．0 B．1 C．D．2分析作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值．解答解：作出不等式组表示的平面区域,当l经过点B时,目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．点评本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．9．2015•四川设实数x,y满足,则xy的最大值为A．B．C．12 D．16分析作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x,则xy≤x10﹣2x=2x5﹣x≤22=,当且仅当x=,y=5时,取等号,经检验,5在可行域内,故xy的最大值为,故选：A点评本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键．10．2015•广东若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A．4 B．C．6 D．分析作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值．解答解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,此时z最小,由,解得,即A1,,此时z=3×1+2×=,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键．11．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为A．8 B．7 C．2 D．1分析作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．解答解：作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点A时,直线y=﹣的截距最大,此时z最大．由,得,即A3,2,此时z的最大值为z=3+2×2=7,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．2014•北京若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为A．2 B．﹣2 C．D．﹣分析对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解,k＜0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y ﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案．解答解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,故由约束条件作出可行域如图,由kx﹣y+2=0,得x=,∴B﹣．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知,当直线y=x+z过B﹣时直线在y轴上的截距最小,即z最小．此时,解得：k=﹣．故选：D．点评本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．13．2015•开封模拟设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围为A．2,8 B．4,13 C．2,13 D．分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可得到结论．．解答解：作出不等式对应的平面区域,则z=x2+y2的几何意义为动点Px,y到原点的距离的平方,则当动点P位于A时,OA的距离最大,当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时,距离最小,即原点到直线x+y=2的距离d=,即z的最小值为z=d2=2,由,解得,即A3,2,此时z=x2+y2=32+22=9+4=13,即z的最大值为13,即2≤z≤13,故选：C点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．2016•荆州一模已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A．3 B．﹣3 C．1 D．分析先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答解：作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y过点A2,﹣1时,z最大是3,故选A．点评本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15．2015•鄂州三模设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是A．1,B．,1 C．1,2 D．,2分析先根据已知中,变量x,y满足约束条件,画出满足约束条件的可行域,进而分析s=的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案．解答解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意,s=可以看作是可行域中的一点与点﹣1,﹣1连线的斜率,由图分析易得：当x=1,y=O时,其斜率最小,即s=取最小值当x=0,y=1时,其斜率最大,即s=取最大值2故s=的取值范围是,2故选D点评本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域,“角点法”是解答此类问题的常用方法．16．2015•会宁县校级模拟已知变量x,y满足,则u=的值范围是A．,B．﹣,﹣C．﹣,D．﹣,分析化简得u=3+,其中k=表示Px,y、Q﹣1,3两点连线的斜率．画出如图可行域,得到如图所示的△ABC及其内部的区域,运动点P得到PQ斜率的最大、最小值,即可得到u=的值范围．解答解：∵u==3+,∴u=3+k,而k=表示直线P、Q连线的斜率,其中Px,y,Q﹣1,3．作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A1,2,B4,2,C3,1设Px,y为区域内的动点,运动点P,可得当P与A点重合时,k PQ=﹣达到最小值；当P与B点重合时,k PQ=﹣达到最大值∴u=3+k的最大值为﹣+3=；最小值为﹣+3=因此,u=的值范围是,故选：A点评本题给出二元一次不等式组,求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题．17．2016•杭州模拟已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0分析由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2,即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可．解答解：不等式组表示的平面区域如下图,解得点B的坐标为2,2k+2,所以S△ABC=2k+2×2=4,解得k=1．故选A．点评本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．18．2016•福州模拟若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是A．﹣2 B．0 C．1 D．2分析画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2,确定约束条件中a 的值即可．解答解：画出约束条件表示的可行域由⇒A2,0是最优解,直线x+2y﹣a=0,过点A2,0,所以a=2,故选D点评本题考查简单的线性规划,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题．19．2016•黔东南州模拟变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．D．5分析作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,利用距离公式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D2,0的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小．由得,即C0,1,此时z=x﹣22+y2=4+1=5,故选：D．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式,利用数形结合是解决此类问题的基本方法．20．2016•赤峰模拟已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为A．2 B． C． D．4分析本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得直线过在1,3处取得最小值．解答解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标x,y就是三条直线x+y=4,y﹣x=0和x=1构成的三角形区域,三个交点分别为2,2,1,3,1,1,因为圆c：x2+y2=14的半径r=,得三个交点都在圆内,故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短,就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是1,3,可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为,验证,过点1,3作垂直于直线y=3x的弦,国灰r2=14,故|AB|=2=4,所以线段AB的最小值为4．故选：D点评在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解．21．2016•九江一模如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为A．1 B．2 C．3 D．4分析首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出k．解答解：作出其平面区域如右图：A1,2,B1,﹣1,C3,0,∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0,∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得,则k﹣2=0,则k=2,此时,z=2x﹣y在C点有最大值,z=2×3﹣0=6,成立；②若在B上取得,则k+1=0,则k=﹣1,此时,z=﹣x﹣y,在B点取得的应是最大值,故不成立,故选B．点评本题考查了简单线性规划的应用,要注意分类讨论,属于基础题．22．2016•三亚校级模拟已知a＞0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=A．B．C．1 D．2分析作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定z的最优解,然后确定a的值即可．解答解：作出不等式对应的平面区域,阴影部分由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小．由,解得,即A1,,∵点A也在直线y=ax﹣3上,∴,解得a=．故选：A．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．23．2016•洛阳二模若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2分析先作出不等式组的图象,利用目标函数z=x+y的最大值为2,求出交点坐标,代入3x﹣y﹣a=0即可．解答解：先作出不等式组的图象如图,∵目标函数z=x+y的最大值为2,∴z=x+y=2,作出直线x+y=2,由图象知x+y=2如平面区域相交A,由得,即A1,1,同时A1,1也在直线3x﹣y﹣a=0上,∴3﹣1﹣a=0,则a=2,故选：A．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．24．2016•太原二模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为A．﹣1,2 B．﹣2,1 C．﹣3,﹣2 D．﹣3,1分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可．解答解：由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A1,1,B2,4,∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a＞0,则目标函数斜率k=﹣a＜0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1,即0＜a≤1,若a＜0,则目标函数斜率k=﹣a＞0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2,即﹣2≤a＜0,综上﹣2≤a≤1,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,根据条件确定A,B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．25．2016•江门模拟设实数x,y满足：,则z=2x+4y的最小值是A．B．C．1 D．8分析先根据约束条件画出可行域,设t=x+2y,把可行域内的角点代入目标函数t=x+2y可求t的最小值,由z=2x+4y=2x+22y,可求z的最小值解答解：z=2x+4y=2x+22y,令t=x+2y先根据约束条件画出可行域,如图所示设z=2x+3y,将最大值转化为y轴上的截距,由可得A﹣2,﹣1由可得C﹣2,3由B4,﹣3把A,B,C的坐标代入分别可求t=﹣4,t=4,t=﹣2Z的最小值为故选B点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题．26．2016•漳州二模设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=A．B． C．D．分析由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,进一步求出最值,结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A1,2,联立,解得Bm﹣1,m,化z=x+3y,得．由图可知,当直线过A时,z有最大值为7,当直线过B时,z有最大值为4m﹣1,由题意,7﹣4m﹣1=7,解得：m=．故选：C．点评本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．27．2016•河南模拟已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,设与的夹角为θ,则tanθ的最大值为A．B．C．D．分析作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合求出A,B的位置,利用向量的数量积求出夹角的余弦,即可得到结论．解答解：作出不等式组对应的平面区域,要使tanθ最大,则由,得,即A1,2,由,得,即B2,1,∴此时夹角θ最大,则,则cosθ==,∴sin,此时tan=,故选：C．点评本题主要考查线性规划的应用,以及向量的数量积运算,利用数形结合是解决本题的关键．28．2016•云南一模已知变量x、y满足条件,则z=2x+y的最小值为A．﹣2 B．3 C．7 D．12分析先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证即得答案．解答解：如图即为满足不等式组的可行域,将交点分别求得为1,1,5,2,1,当x=1,y=1时,2x+y=3当x=1,y=时,2x+y=当x=5,y=2时,2x+y=12∴当x=1,y=1时,2x+y有最小值3．故选：B点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题．二．填空题共2小题29．2016•郴州二模记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=ax+1与D有公共点,则a的取值范围是,4．分析本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=ax+1中,求出y=ax+1对应的a的端点值即可．解答解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=ax+1过定点﹣1,0．所以当y=ax+1过点B0,4时,得到a=4,当y=ax+1过点A1,1时,对应a=．又因为直线y=ax+1与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：,4点评在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解．30．2015•河北若x,y满足约束条件．则的最大值为3．分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A1,3,则k OA==3,即的最大值为3．故答案为：3．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．。
高三数学线性规划试题
高三数学线性规划试题1.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．D．【答案】C【解析】不等式组为如图所表示的阴影区域．由图可知当M与C重合时，直线OM 斜率最小．解不等式组得C(3，－1)，∴直线OM斜率的最小值为2.已知点满足，则的最小值是．【答案】【解析】根据线性规划的知识画出不等式的可行域如图所示,则目标函数在交点处取得最小值为,故填.【考点】线性规划3.设实数满足则的最大值等于________.【答案】2 【解析】实数满足所以x,y 的可行域如图所示.的最大值即为目标函数在y 轴的截距最小.即过点A （2,0），所以的最大值为2. 【考点】1.线性规划.2.截距最大对应的目标函数的最小值. 4. 已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】作出不等式组所表示的区域，，由图可知，在点取得最小值，在点取得最大值，故的最大值与最小值的差为．【考点】线性规划．5. 已知实数x ，y 满足若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1kg 、B 原料2kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2kg ，B 原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．7.设变量x．y满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为（）A．3，一11B．－3，一11C．11，—3D．11，3【答案】A【解析】线性约束条件表示三角形及其内部，当目标函数经过点时，取最小值，经过点时取最大值.【考点】线性规划求最值8.若关于的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.【答案】.【解析】当时，，因此根据图象可知，要使得不等式组所表示的平面区域是一个三角形，那么的取值范围是.【考点】线性规划.9.已知x，y满足则z＝2x＋4y的最小值为()．A．5B．－5C．6D．－6【答案】D【解析】画出线性约束条件下的平面区域．由，得点P(3，－3)．此时z＝2x＋4y达到最小值，最小值为－6.10.已知实数满足约束条件，则的最小值是____________.【答案】【解析】因为实数满足约束条件，x,y的可行域如图为三角形ABC围成的区域.又因为目标函数.所以要求z的最小值即为求出的最小值，即过原点直线的斜率的最小值.通过图形可知过点A的最小，由题意得A（3,1）.所以z的最小值为.故填.【考点】1.线性规划问题.2.构造的思想.3数形结合的思想.11.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是________．【答案】3【解析】＝2x＋y，设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，不等式组对应的区域为BCD.平移直线y＝－2x＋z，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点C时，直线y＝－2x＋z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C(1,1)，代入z＝2x＋y得z＝2x＋y＝3，所以的最大值为3. 12.已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.【考点】线性规划求最值13.若变量满足线性约束条件，则的最大值为________．【答案】5【解析】由约束条件，得如下图所示的三角形区域，由得直线过点时，取得最大值为5．【考点】线性规划.14.已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为。
高考理科第一轮复习练习(6.4简单线性规划)
课时提升作业(三十八)一、选择题1.(2013·蚌埠模拟)原点(0,0)和点P(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则a 的取值范围是( )(A)a<0或a>2 (B)a=0或a=2(C)0<a<2 (D )0≤a ≤22.若不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4)，且k=A+2B ，则k 的取值范围是( )(A)k ≥52- (B)k ≤52-(C)k>52- (D)k<52- 3.(2013·合肥模拟)设x,y 满足约束条件错误！未找到引用源。
则2x-y 的最小值为 ( )(A)6 (B)错误！未找到引用源。
(C)-7 (D)-64.若不等式组x y 20x 5y 100x y 80-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，，所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k 的值为( ) (A)23 (B)13 (C)12 (D)25.(2012·山东高考)已知变量x,y 满足约束条件错误！未找到引用源。
则目标函数z=3x-y 的取值范围是( )(A)[-错误！未找到引用源。
,6](B)[-错误！未找到引用源。
,-1] (C)[-1,6] (D)[-6,错误！未找到引用源。
]6.已知x ，y 满足条件7x 5y 230x 7y 1104x y 100--≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，，，则y 7x 4++的取值范围是( ) (A)［13,9］ (B)(-∞,13］∪［9,+∞) (C)［0,9］ (D)［-9,-13］ 7.设OM =(1，12)，ON =(0，1)，O 为坐标原点，动点P(x,y)满足0≤OP ·OM ≤1，0≤OP ·ON ≤1,则z=y-x 的最大值是( )(A)32 (B)1 (C)-1 (D)-28.(2013·西安模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= ( )(A)4650元(B)4700元 (C)4900元 (D)5000元9.(2013·芜湖模拟)设长方形ABCD 边长分别是AD=1，AB=2(如图所示)，点P 在△BCD 内部和边界上运动，设AP =α·AB +βAD (α，β均为实数)，则α+2β的取值范围为( )(A)［1，2］ (B)［1，3］ (C)［2，3］ (D)［0，2］10.(能力挑战题)设x,y 满足约束条件错误！未找到引用源。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
简单的线性规划问题整数解
320x+504y=0
小结:
列表
实际问题
作 答
设出变量
寻找约束条件 建立目标函数
转化
线性规划问题
A种原料 B种原料 利润
甲种产品 乙种产品 现有库存
4 1 10
12 9 60
2 1
设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y
4 x y 10 12x 9 y 60 x 0 y 0
利润 P 2 x y 何时达到最大？
4x＋y=10
Y
15 2x y 2
线性约束 条件 一组平行线
12 20 M( , ) 7 7
可行域 ．． ．． ． ．． 1 2 3 4 5 6
寻找平行线组 的纵截距 求z=9x+10y的最大值 . 最值9x+10y=0
线性目标函数
x
四个步骤：
1、画 2、作 3、移 4、答
0
2x+3y=12 5x+4y=20
代数问题
(线性约束条件)
y _
目标函数为：z =0.7x +1.2y
把直线l向右上方平移至l1的位置时， _ 400 直线经过可行域上的点 C ，且与原点 300 _ 距 离最大， 此时z =0.7x +1.2y取最大值 7 x + 12 y = 0 _ 解方程组
C ( 200 , 240 ) _ 3 x + 10 y = 3000 _
_ 0
, 4 x 5 y 2000 , 3x 10y 3000
0 _
400 _
1000 5 _00 _ 4 x + 5 y = 2000 _
x _
简单的线性规划问题
今天的收获
1. 约束条件,线性约束条件,目标函数,线性目标 函数,线性规划问题,可行域,可行解,最优解等 概念. 2.用图解法解线性规划问题的一般步骤: （1）画可行域 （2）作平行线 （3）解方程组 （4）把答案算
作业布置： 1.
P91
练习 2
要认真规 范哦！
2. 预习 P 例题 6 89 3.（选做题）
简单的线性规划问题
郯城县美澳学校:王兴银
一.创设情景
引例：
上海世博园中国馆的建造过程中需要甲,乙两种建筑 元件.某厂用 A, B 两种配件生产甲,乙两种元件,每生产一 件甲元件使用 4 个 A 配件耗时1h ,每生产一件乙元件使用 4 个B 配件耗时2h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件 和12个B 配件,每天工作时间为 8h ,若生产一件甲元件获利 为 2 万元,生产一件乙元件获利为 3 万元,采用哪种生产安 设生产甲元件 x 件,生产乙元件 y 件,获得利润 排利润最大? 为 Z 万元,则 分析：将已知数据列成表格 x 2y 8
画可行域
x 4 解方程组： 得 B 的坐标为 4, 2 x 2 y 8 把答案算 Zmax 2x 3 y 14 .
变式问题: x 2 y 8 当 x, y 满足条件 0 x 4 时,求 Z1 2 x 3 y 的最大值 .
0 y 3
x 2 y 8 当 x, y 满足条件 0 x 4 时,如何求Z 0 y 3
2 x 3 y的最大值呢?
基本概念:
x 2 y 8 当 x, y 满足条件 0 x 4 时,如何求Z 0 y 3
2 x 3 y的最大值呢?
不等式组是一组对变量 x, y 的约束条件，这组约束 条件都是关于 x, y 的一次不等式,所以称为线性约束条件. 把求最大值的的函数 Z 2 x 3 y 称为目标函数,因 为它是关于变量 x, y 的一次解析式,又称线性目标函数. 满足线性约束条件的解 x, y 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 叫做可行解. 值问题,统称为线性规划问题. 由所有可行解组成的集合 叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最 小值的可行解叫做这个问题的最 优解.
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线性规划练习
1. 已知变量,xy满足约束条件241yxyxy，则3zxy的最大值为 。
2. 设变量,xy满足-100+20015xyxyy，则2+3xy的最大值为 。
3. 若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为 。
4. 设函数ln,0()21,0xxfxxx，D是由x轴和曲线()yfx及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的
封闭区域，则2zxy在D上的最大值为 ．
5. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植
成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）分别为 。
6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品
1桶需耗A原料2千克，B原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公
司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，
从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 。
7. 若,xy满足约束条件：02323xxyxy；则xy的取值范围为_____.
8．若,xy满足约束条件2441xyxy，则目标函数z=3x－y的取值范围是 。
9．设,xy满足约束条件：,013xyxyxy；则2zxy的取值范围为 .
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元