混沌电路论文
非线性电路混沌实验
C2
L
R C1
～
R 有源非线性负阻元件, G 电导(diàn dǎo)，C1和C2 电容。
各区域的作用(zuòyòng)：黄色区： 产生振荡，蓝色区： 移相， 粉色 区：有源非线性元件。
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有源非线性元件的电压(diànyā)、电流特性： I
0
V
上图是一个(yī ɡè)非线性负阻的电压电流特性曲线， 实现方法有许多种，本实验使用的是Kennedy于1993年提 出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来 实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电 路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上 述元件看成是一个(yī ɡè)黑匣子即—有源非线性负阻。
值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但 对应的 值却有一个极限 ,，到达 ,时，迭代的稳定(wěndìng)解 是2 周期解---周期无穷大，也就是没有周期。所以这时得到的是非周 期解，迭代的数据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。
倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜在的应用价值。心 律不齐，心肌梗塞这些医学难题，有可能找到正确的答案。
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实验(shíyàn)现象的观察二
阵发(zhèn fā)混沌 第36页，共36页。
实验(shíyàn)现象的观察三
三倍周期 (zhōuqī)
奇异(qíyì)吸引子
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实验(shíyàn)现象的观察四
双吸引(xīyǐn) 子
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混沌(hùndùn)和现代科学
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身边的混沌(hù ndù n)现象
1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混沌（混 乱）！”她的话可能正确，但是她一定不会知道：混沌里蕴 含着秩序。那些乱七八糟的书籍、五颜六色的果皮糖纸、 臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩序，只是等待您的发现。
非线性电路中的混沌现象实验报告doc
非线性电路中的混沌现象实验报告篇一：非线性电路混沌实验报告近代物理实验报告指导教师：得分：实验时间： XX 年 11 月 8 日，第十一周，周一，第 5-8 节实验者：班级材料0705学号 XX67025 姓名童凌炜同组者：班级材料0705学号 XX67007 姓名车宏龙实验地点：综合楼 404实验条件：室内温度℃，相对湿度 %，室内气压实验题目：非线性电路混沌实验仪器：（注明规格和型号） 1. 约结电子模拟器约结电子模拟器的主要电路包括:1.1, 一个压控震荡电路, 根据约瑟夫方程, 用以模拟理想的约结1.2, 一个加法电路器, 更具电路方程9-1-10, 用以模拟结电阻、结电容和理想的约结三者相并联的关系1.3， 100kHz正弦波振荡波作为参考信号2. 低频信号发生器用以输出正弦波信号，提供给约结作为交流信号 3. 数字示波器用以测量结电压、超流、混沌特性和参考信号等各个物理量的波形实验目的：1. 了解混沌的产生和特点2. 掌握吸引子。
倍周期和分岔等概念3. 观察非线性电路的混沌现象实验原理简述：混沌不是具有周期性和对称性的有序，也不是绝对的无序，而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。
混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。
1. 非线性线性和非线性，首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。
除此之外，非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：1.1 线性关系是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏移1.3 线性关系保持信号的频率成分不变，而非线性使得频率结构发生变化 1.4 非线性是引起行为突变的原因2. 倍周期，分岔，吸引子，混沌借用T.R.Malthas的人口和虫口理论，以说明非线性关系中的最基本概念。
虫口方程如下：xn?1???xn(1?xn)μ是与虫口增长率有关的控制参数，当1 1?，这个值就叫做周期或者不动点。
在通过迭代法解方程的过程中，最终会得到一个不随时间变化的固定值。
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
（3）
状态方程中
中 vC 和 iL 分别为经过电容
的电压和经过电感的电流。其中参数选择 k=1，c=0.5，L=1，
C=1，初始条件为（0，0.1，0），利亚诺普指数存在一个或多
个大于 0，且利亚诺普指数之和小于 0，维数也为分数维度，
那么说明系统进入的混沌。那么给出如下的归一化方程。
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中国新技术新产品 2018 NO.8（下）
新技术开发
图 2 混沌图
[3] 许碧荣 . 一种最简的并行忆阻器混沌系统 [J]. 物理学报，
2013，62（19）：91-98.
（4） [4] 胡柏林，王丽丹，黄艺文，等 . 忆阻器 Simulink 建模和图 形用户界面设计 [J]. 西南大学学报（自然科学版），2011，33
新技术开发
2018 NO.8（下） 中国新技术新产品
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
申可迪 （浙江省杭州第二中学，浙江 杭州 310000）
摘 要 ：本文在蝴蝶效应理论中引出的混沌系统的基础上，提出了一种串行忆阻器的混沌系统，通过建立混沌系
统的电路图，给出电路的关系式，再通过仿真器去模拟基于此电路的混沌系统。在密码学的发展过程中，密码变
[6] 方清 . 基于忆阻器的混沌电路设计 [D]. 湖南 ：湘潭大学， 2013. [7] 闵富红，王珠林，王恩荣，等 . 新型忆阻器混沌电路及其 在图像加密中的应用 [J]. 电子与信息学报，2016，38（10）： 2681-2688. [8]Chua L O.Memristor-The missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18（5）：507-519. [9]Chua L O，Kang S M.Memristive devices and systems[J].Proc IEEE，1976，64（2）：209-223.
混沌信号生成与应用研究
混沌信号生成与应用研究混沌信号是一种具有高度复杂性和随机性的信号，在众多领域中得到了广泛的应用。
本文将从混沌信号的生成机理、特点以及在通信、保密和混沌系统等方面的应用进行探讨。
一、混沌信号的生成机理混沌信号生成的基本原理是通过非线性动力学系统产生离散的、不可预测的信号。
其中最常见的混沌产生系统包括洛伦兹系统、刘维尔系统和Ikeda映射等。
这些系统具有以下特点：1. 非线性：混沌系统中的方程往往包含非线性项，导致系统的行为不可预测。
2. 灵敏依赖于初始条件：微小的初始条件变化会引起混沌系统的完全不同的演化行为。
3. 范围选择性：混沌信号的频谱范围非常广，可以覆盖从低频到高频的所有频段。
二、混沌信号的特点混沌信号具有以下几个显著的特点：1. 宽频带：混沌信号的频谱非常宽，可以在多个频段传输信息。
2. 伪随机性：混沌信号看似随机，但实际上是由确定性的非线性系统产生的。
3. 私钥性：由于混沌信号的不可预测性，可以作为一种私钥用于信息的加密和解密。
4. 抗干扰性：混沌信号在传输中具有很好的抗干扰性，能够有效地抵御外界噪声和干扰。
三、混沌信号在通信中的应用1. 无线通信：混沌信号可以用作无线通信中的扩频码，将信号在频谱中展开，提高系统的抗干扰性和容量。
2. 加密通信：混沌信号的伪随机性和私钥性使其成为一种优秀的加密手段，可以用于保护敏感信息的安全传输。
3. 通信隐蔽性：混沌信号可以实现抗窃听和抗干扰的通信，提高通信的隐蔽性。
四、混沌信号在保密中的应用1. 图像加密：将混沌信号作为加密密钥，可以对图像进行加密，实现机密性保护。
2. 视频加密：利用混沌加密算法对视频进行加密处理，保护视频内容的安全性。
3. 数据加密：混沌信号可以用于对数据进行加密保护，确保数据的机密性和完整性。
五、混沌信号在混沌系统中的应用混沌系统是一种基于混沌现象设计的动力学系统，广泛应用于通信、图像处理、模拟电路和神经网络等领域。
混沌系统可以产生具有丰富数据结构和不可预测性的信号，并可用于实现随机数生成、时间序列的预测和模拟生物系统等任务。
仿真蔡氏电路混沌效应的教学讨论
仿真蔡氏电路混沌效应的教学讨论
蔡氏电路是一种混沌系统，其混沌现象在模拟电路领域非常重要。
仿真蔡氏电路的混沌效应，是电路仿真教学中的一个重要课题。
首先，混沌效应的探究是基于学生对混沌学理论的掌握和电路
仿真工具的运用。
因此，在教学过程中，应先向学生介绍混沌现象
和蔡氏电路的基本原理，让学生理解混沌是一种非周期性且不可预
测的现象，而蔡氏电路是一种具有三个不同周期的振荡器。
接着，教师可以使用仿真软件（如Multisim或LTSpice）进行
电路仿真，让学生通过仿真实验的方式来观察混沌效应。
学生可以
通过改变电路元件的参数（如电容、电阻等）来观察混沌效应的变化。
同时，学生也能够通过仿真实验来了解混沌系统的稳定性和可
控性。
在教学过程中，教师可以提供一些课堂讨论或小组讨论的环节，让学生可以对混沌效应进行深入的探究和分析。
例如，让学生讨论
如何通过改变蔡氏电路中的元件来改变电路的混沌状态，或者讨论
混沌现象在日常生活中的应用。
最后，在教学结束后，教师可以要求学生进行实验报告的书写，来总结混沌电路的基本原理、仿真过程、结果分析以及对混沌现象
的理解和探究。
通过这种方式，学生能够获得更深入的学习和理解，也能够提高其电路仿真和实验技能。
仿真蔡氏电路的混沌效应是电路仿真教学中一个重要的课题，
通过深入的探讨和分析，将有助于学生加深对混沌系统的理解和掌
握，提高其仿真和实验技能，也有助于学生将所学知识转化为现实应用。
蔡氏电路
2.6.3蔡氏电路中混沌现象的观察研究混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。
由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。
用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984 年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。
该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。
蔡氏电路的理论模型如图2-70 所示。
R CLC2100nFC1 10nF17. H4mR图2-70蔡氏电路的理论模型图中，C1、C2 为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode），具有图2-71 所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。
U R图2-71蔡氏电路非线性电阻的特性实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72 所示，由双运放与 6 只线性电阻构成。
I R R3 22kΩR6 220ΩA1 LM224A1 LM224U RR1R2 22kΩR42.2kΩR5 220Ω3.3kΩ图2-72由双运放构成的蔡氏二极管将图2-70 所示电路中的R C 分成两电阻串联，R c = R1 + R2 ，即其中R2 = 1kΩ， 1 是1kΩR的可调电位器。
我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。
1．编辑原理图首先编辑非线性电阻R 构成电路，如图2-73 (a)所示。
在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R 子电路。
(a)图2-73(b) Multisim 中编辑出的非线性电阻R 及其子电路子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All 命令），启动Place/Replace by Subcricuit 命令，即可得。
Multisim仿真—混沌电路
Multisim仿真—混沌电路1104620125Multisim仿真—混沌电路一、实验目的1、了解非线性电阻电路伏安特性,以与其非线性电阻特征的测量方法；2、使用示波器观察混沌电路的混沌现象,通过实验感性地认识混沌现象,理解非线性科学中"混沌〞一词的含义；；3、研究混沌电路敏感参数对混沌现象的影响二、实验原理1、蔡氏电路本实验采用的电路图如图9-16 所示,即蔡氏电路.蔡氏电路是由美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路.R 是非线性电阻元件,这是该电路中唯一的非线性元件,是一个有源负阻元件.电容 C2 与电感 L 组成一个损耗很小的振荡回路.可变电阻 1/G 和电容 C1 构成移相电路.最简单的非线性元件 R 可以看作由三个分段线性的元件组成.由于加在此元件上的电压增加时,故称为非线性负阻元件.三、实验内容为了实现有源非线性负阻元件实,可以使以下电路,采用两个运算放大器〔1 个双运放TL082〕和六个配置电阻来实现,其电路如图 1,这主要是一个正反应电路,能输出电流以维持振荡器不断震荡,而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象.1、实验电路如如下图,电路参数：1、电容：100nf 一个,10nf 一个；2、线性电阻 6 个：200Ω二个,22kΩΩΩ一个；3、电感：18mH 一个；4、运算放大器：五端运放 TL083 二个；5、可变电阻：可变电阻一个；6、稳压电源：9V 的 VCC 二个,-9V 的 VEE 二个；图1选好元器件进展连接,然后对每个元器件进展参数设置,完成之后就可以对蔡氏电路进展仿真了.双击示波器,可以看到示波器的控制面板和显示界面,在控制面板上可以通过相关按键对显示波形进展调节.下面是搭建完电路的截图：2、将电压表并联进电路,电流表串联进电路可以直接测出加在非线性负阻的电压、电流,数据如下：经过线性拟合得到如下伏安特性曲线：3、使用示波器成像法例如图中,RN 就是我们所需要进展研究的有源非线性负阻.元件的详细参数如原理图所示,运放的工作电源取 9V.信号源为三角波,输出波幅从-3.75V 至 3.75V.为测量电流 i,在电路中串联了一个 10Ω的取样电阻 R,其电压与电流成正比.示波器记录的结果也如如下图所示.我们可以观察到,仿真得到的伏安特性曲线与通过实验数据绘制得出的伏安特性曲线一致,根本相符.实验曲线中有如下几个特殊点：电压为0V时,电流符合理论值0A；电压分别在-10V和10V 左右时,电流的数值大小出现最大值,该两点为曲线的转折点；电压分别在-2V和2V左右时曲线斜率发生改变,故该两点也可算为曲线的转折点.ΩΩ这一X围的状态.kΩ,电路状态变化中k1与k2相图为稳定焦点,呈蝌蚪型,为衰减振荡,这就是不动点.R=1.93 kΩ时R=2.0 kΩ时Ω,此时等幅振荡：Ω,增幅振荡开始,一倍周期：ΩΩ时,2 倍周期：当R = 1 819kΩ~1 818kΩ时：当R = 1 787kΩ时：Ω时：ΩΩ两个图像的比照,可以发现：当电路处于单涡旋混沌状态时,改变电路的初始状态,可以观察到向左和向右两种单涡旋混沌吸引子相图.Ω时为单吸引子图形,这是电路第一次进入单吸引子混沌.当 R 继续减小,当R = 1. 7165kΩ时,出现双吸引子混沌图形：Ω时：Ω时,呈单叶周期：混沌图像分析：通过以上数据和图案发现,改变初始电路参数时,在混沌现象中电路是非周期性的,时而稳定,时而混乱,虽然出现平衡点,但并不稳定.在理想实验条件下观察到了不同参数条件下出现的极限环、单吸引子、双吸引子、奇异吸引子等一系列不同的混沌现象.随着混沌电路电感R 值的逐渐减小,混沌现象提前,边界化也越来越明显.四、实验结论1、该实验是根据图书馆资料和网上介绍的根底上做的,实验中所需要的非线性负电阻电路并不唯一,而我所选用的以两个运算放大器和六个配置电阻的形式来实现是其中最简单的电路之一,通过使用Multisim11.0仿真软件得到了如上的波形,所得实验结果与要求根本符合.混沌现象表现了非周期有序性,看起来似乎是无序状态,但呈现一定的统计规律：〔1．频谱分析：R很大时,系统只有一个稳定的状态〔对应一个解〕,随R的变化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃〔两个解〕,即由一周期变为二周期,进而两个稳定状态分裂为四个稳定状态〔四周期,四个解〕,八个稳定状态〔八周期,八个解〕………直至分裂进入无穷周期,即为连续频谱,接着进入混沌,系统的状态无法确定；〔2．无穷周期后,由于产生轨道排斥,系统出现局部不稳定.〔3．奇异吸引子存在．奇异吸引子有一个复杂但明确的边界,这个边界保证了在整体上的稳定,在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构,运动是混合和随机的,它对初始条件十分敏感.2、面前在中国,对混沌理论研究有突破的人士较少,然而,混沌与人类生存环境间有十分密切的关联,混沌学的进步不仅将进一步解释那些尚未为人所知的东西,而且还孕育着一场深刻的科技革命,涉与各种学科包括电子、激光、化学、生物、医学、机械等.预期的混沌应用X围涉与疾病的混沌诊断与混沌医疗、混沌控制与混沌制导、混沌通信、混沌振荡以与混沌在农业生产中的应用.。
非线性电路中的混沌现象实验
背景 混沌特点：
倍周期分岔 无穷嵌套的自相似结构 系统长期行为具有某些普适性 系统轨迹敏感依赖于初始条件，即Lyapunov
指数为正 具有分形结构
非线性电路
电路
有源非线性负电阻
动力学方程
C1
dVc1 dt
G(Vc2
Vc1 )
gVc1
C2
dVc2 dt
按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0
见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振
频率f；
考虑测共振频率时应如何连线？ 用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得
电感量，测量时电流不要超过20mA
实验内容二
倍周期分岔和混沌现象的观察
求观察并记录2倍周期分岔，4倍周期分岔， 阵发混沌，3倍周期，单吸引子，双吸引子 现象及相应的Vc1(t)和Vc2(t)的波形。
由非线性方程组结合本实验的相关参数， 用四阶龙格—库塔(Runge-Kutta)数值积分 法编程并画出奇异吸引子、双吸引子的 相图和对应变量的波形图并与实验记录 进行对照。
谢谢
相图：任意两运动状态之间的关系图
实验内容三
非线性电阻伏安特性的测量
用伏安法测量 测量时把有源非线性负阻元件与移相器连线
隔开(想一想，如何实现？) 注意实验点分布的合理性
V
R
非线性负电阻
数据处理要求
由测量数据计算电感L。
用一元线性回归方法对有源非线性负阻 元件的测量数据做分段拟合，并作图。
周期窗口 间歇现象 —阵发混沌
实验仪器介绍
实验内容 一
串联谐振电路和电感的测量
串联谐振电路
I ( 1 jL R) E I
E
E
混沌原理实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景混沌现象是自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象，它具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和丰富多样的动力学行为等特点。
近年来，混沌理论在工程、物理、生物、经济等领域得到了广泛的应用。
为了深入理解混沌现象，我们进行了混沌原理实验，以下是实验总结。
二、实验目的1. 了解混沌现象的产生原因和特点；2. 掌握混沌系统的基本动力学行为；3. 研究混沌现象在工程领域的应用。
三、实验原理混沌现象的产生与非线性动力学系统密切相关。
在非线性系统中，系统状态的变化往往受到初始条件、参数选择等因素的影响，从而导致系统呈现出复杂的行为。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的敏感依赖性：系统状态的微小差异会导致长期行为的巨大差异；2. 长期行为的不可预测性：混沌系统在长期演化过程中表现出随机性；3. 动力学行为的丰富多样性：混沌系统具有多种动力学行为，如周期运动、倍周期运动、分岔、吸引子等。
四、实验内容1. 搭建混沌电路实验平台；2. 观察混沌现象的产生过程；3. 研究混沌系统的动力学行为；4. 分析混沌现象在工程领域的应用。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生过程：通过实验观察到，在混沌电路中，当电路参数达到一定范围时，系统状态将呈现混沌行为。
此时，电路输出信号呈现出复杂、无规律的变化，表现出混沌现象。
2. 混沌系统的动力学行为：实验过程中，我们观察到混沌系统具有以下动力学行为：（1）周期运动：当电路参数在某一范围内变化时，系统状态呈现周期性变化；（2）倍周期运动：当电路参数进一步变化时，系统状态呈现倍周期性变化；（3）分岔：当电路参数继续变化时，系统状态发生分岔，产生新的混沌吸引子；（4）吸引子：混沌系统在长期演化过程中，最终趋于某一稳定状态，称为吸引子。
3. 混沌现象在工程领域的应用：混沌现象在工程领域具有广泛的应用，如：（1）混沌加密：利用混沌系统对信息进行加密，提高信息安全性；（2）混沌通信：利用混沌信号进行通信，提高通信质量；（3）混沌控制：利用混沌系统进行控制，实现精确控制目标。
混沌系统控制与同步技术研究
混沌系统控制与同步技术研究混沌系统是指某些动力学系统在一定条件下所呈现出的不稳定、高度复杂、且无规律可循的状态。
这种状态在自然界中广泛存在，在机械、化学、物理、生物等各个领域都有着广泛的应用。
但是，由于混沌系统具有高度的复杂性和敏感性，所以深入研究和掌控混沌系统的控制和同步技术对于提高社会发展的科学水平和人类的生产生活水平都有着重要的意义。
混沌系统控制是指通过外部干扰手段对混沌系统的状态进行控制，使其呈现出所需的状态。
混沌系统同步则是指通过耦合机制将多个混沌系统的混沌状态变得相同或相似。
混沌系统的控制和同步技术应用广泛，如在通信系统中让多个混沌发生器产生相同频率的混沌信号，形成保密的加密通讯信道；在力学系统中实现控制，可以用于降防楼房等工程实现振动的干扰控制。
下文将从混沌系统控制和同步技术的研究现状、方法及应用等方面来对这个主题进行探讨。
一.混沌系统控制技术的研究现状混沌系统控制技术的主要研究思路包括传统的线性控制、非线性控制、自适应控制、混杂控制等。
其中，线性控制方法是最早被引入混沌系统中的一种方法，通过反馈作用来调控混沌系统，但是这种方法只能对某些类型的混沌系统产生有效的控制作用。
非线性控制方法是针对混沌动力学方程的非线性特性所提出的一种控制方法，其思路是通过控制系统的结构和参数来实现混沌系统的控制。
非线性控制方法依赖于混沌系统本身的结构和动态特性，能够对很多混沌系统产生有效的控制效果。
自适应控制是一种动态自适应性的控制方法，其思路是通过不断地学习现有控制结果，对控制系统的参数进行调整和改变，以适应外界环境的变化和内部状态的变化。
自适应控制方法被广泛应用于混沌系统中，可以有效地控制复杂的非线性系统。
混杂控制是基于混沌滑模理论的一种控制方法，通过构建混沌观测器和滑模控制器来实现混沌系统的控制。
它采用新的变量反馈方法实现非线性控制和同步，具有优异的性能和精度。
二.混沌系统同步技术的研究现状混沌系统同步技术的研究思路主要包括基于控制的同步方法、基于耦合的同步方法、基于反馈的同步方法、自适应同步方法等。
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物理前沿讲座期末论文
课题名称：混沌电路
班级：08物理一班
姓名：马燕飞
非线性电阻的应用--混沌现象
作者：马燕飞
摘要：
利用非线性负电阻，对产生混沌现象的典型蔡氏电路进行试
验，并介绍了非线性电路混沌现象的产生原理，装置条件，最终利用
Multisim 7.0模拟测定非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参
数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的
混沌现象。
关键字
：
非线性电路 混沌 奇异吸引子 倍周期分岔
引言：
自从1963年洛伦兹从三维自洽动力学系统中发现混沌以来，
混沌动力学已迅速成为一个内容极为丰富，应用非常广泛的研究领
域，它的概念和方法在非线性科学、信息科学、保密通信以及其他工
程领域获得了广泛的应用,混沌成为非线性电路与系统的一个热点课
题，它对于开阔和深化人们对自然界的认识起着越来越重要的作用。
所谓“混沌”，是指确定的非线性动力学系统中出现的貌似无规则的
类随机现象。混沌理论作为一个科学理论,具有以下三个关键(核心)
概念: 对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。蔡氏电路是目前众
多混沌电路中最具代表性的一种,其典型的电路结构已成为理论和实
验研究混沌的一个范例。在蔡氏电路及蔡氏振荡器的分析及实验研究
中，为电路建立一个精确的试验模型，从而观察混沌现象并定量的分
析它，这一点十分重要。而其中非线性电阻电路的实现是这一环节是
一个关键。
1. 实验原理：
1.1
名词解释：
（1）混沌定义：混沌（chaos）是指描述混乱，杂乱无章，乱七八糟
的状态，在这个定义上它与无序的概念是相同的。而它具有以下三个
关键(核心)概念: 对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。
（2）混沌吸引子定义：若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，
该吸引子就称为混沌吸引子。
（3）奇异吸引子：具有分数维结构的吸引子成为奇异吸引子。
1.2蔡式电路：
图(1) 图(2)
实验电路图如图（1）所示。电路中的电感L和电容C1,C2并联构成
一个振荡电路。R是一个有源非线性负电阻元件，电感L和电容C2
组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R和电容C1串联将振荡
器产生的正弦信号移相输出。 电路的非线性动力学方程为:
蔡氏电路的状态方程式为：
=G（Uc2-Uc1）-gUc1
C2=G(Uc1-Uc2)+i
L
L= -Uc2
式中UC1,UC2分别为电容C1,C2上的电压；il为电感L上的电流，G=1/R
0
为电导；g为R的伏安特性函数。
当R为线性电阻时，g为常数，电路为一般振荡电路，此时把C1和C
2
两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R
C2
C1 R L G V(R) I(R) 0
为非线性负电阻时，其伏安特性如图（2），此时把C1 和C2两端的电
压分别输入到示波器的x,y轴，调节G的值就会观察到不同的混沌现
象。而接下来要做的就是通过各个非线性元件来实现此非线性负电
阻。
1.3非线性负电阻的实现
非线性负电阻的实现是电路的关键，采用两个运算放大器（型号为
TL082CD）和六个配置电阻来实现。电路图如图（3）
图（3）非线性负电阻的实现
电路参数：
R1=3.3kΩ，R2=22kΩ,R3=22kΩ,R4=2.2kΩ,
R5=220Ω,R6=220Ω，V1=15V,V2=15V。
1.4实验电路图及参数：
Xscl是示波器，用来观察此非线性电路的混沌现象。电容C1 =100nF,
C2=10nF, 电感 L=17mH, R7为可调电阻
2. 实验过程及结果
2.1非线性负电阻的伏安特性曲线的测量
方法一：用外加电源法测量
电路图如图（4）：
图（4）
调节V3测得数据：
电压/V 电流/ mA 电压/V 电流/ mA
-0.600 0.454 0.000 0.000
-1.000 0.758 0.600 -0.454
-1.500 1.136 1.000 -0.758
-1.800 1.346 1.500 -1.136
-2.000 1.432 1.800 -1.346
-2.500 1.635 2.000 -1.432
-3.000 1.839 2.500 -1.635
-3.600 2.085 3.000 -1.839
-4.000 2.248 3.600 -2.085
-5.000 2.657 4.000 -2.248
-6.000 3.066 5.000 -2.657
-7.000 3.475 6.000 -3.066
-8.000 3.885 7.000 -3.475
-9.000 4.292 8.000 -3.885
-10.000 4.700 9.000 -4.292
-11.000 5.109 10.000 -4.700
-11.800 5.437 11.000 -5.109
11.800 -5.437
用EXCEL作出其伏安特性图为：
电流/ mA
-6.000
-4.000
-2.000
0.000
2.000
4.000
6.000
-15.000-10.000-5.0000.0005.00010.00015.000
电流/ mA
方法二：用示波器测量伏安特性曲线
电路图如图（5）：
测得曲线如图（6）：
图（6）
2.2混沌现象观察：
改变混沌电路的敏感参，产生不同的混沌现象
（1）R7=2.5K时，1倍周期
（2）R7=2.3K时，2倍周期：
（3）R7=2K时，单吸引子：
（4）R7=1.8K时，奇异吸引子
（5）R7=1.75时，双吸引子（1）
（6）R7=1.5时，双吸引子（2）
（7）R=1.3K时
3. 实验图像分析及结论：
图像分析：
当初始值R7从3K～1K 逐步减小时, 由原先1 倍周期出现了2
倍周期, 继续减小R7的值, 出现了阵发混沌, 然后4 倍、6 倍周期与阵发混沌交
替出现(这是因为两者密切相关) , 再减小R7值又出现了3 倍周期, 周期3 即表
明电路中已出现了混沌。在R7减小的过程中又先后出现单个吸引子和双吸引子，
而减小敏感参到1.5kΩ以下后又与混沌无关（上图中仅给出几个典型的例子）
结论：（1）仿真模拟摆脱了实际操作的不准确性，高精度得测量出了非线性负
电阻的伏安特性曲线，观察到了混沌现象，而且能够避免实际操作的事故而同样
达到设计实验的目的。
（2）非线性负电阻的实现并不唯一，用两个运放和六个配置电阻来实现
是一种比较简单的方法。
（3）混沌电路的状态时极不稳定的，混沌现象表现了非周期有序性，看
起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计规律，其基本判据有1．频谱分析：R
很小时，系统只有一个稳定的状态（对应一个解），随 R 的变化，系统由一个
稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃（两个解），即由一周期变为二周期，进
而两个稳定状态分裂为四个稳定状态（四周期，四个解），八个稳定状态（八周
期，八个解）„„„直至分裂进入无穷周期，即为连续频谱，接着进入混沌，系
统的状态无法确定；分岔是进入混沌的途径．2．无穷周期后，由于产生轨道排
斥，系统出现局部不稳定。3.奇异吸引子（Strange Attractor）存在．奇异吸
引子有一个复杂但明确的边界，这个边界保证了在整体上的稳定，在边界内部具
有无穷嵌套的自相似结构，运动是混合和随机的．它对初始条件十分敏感。
参考文献：
【1】 马鑫金. 电工仪表与电路实验技术，南京：南京理工大学，2006.
【2】 工科物理实验教程/ 李勇华 主编 —北京: 科学出版社，2009
【3】 非线性电路与混沌/高金锋 编著 —北京：科学出版社，2005
【4】 大学物理实验教程/ 缪兴中 主编 —北京：科学出版社，2006