2010学年浙江省第一次五校联考数学(文)

2010学年浙江省第一次五校联考数学（文科）试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间为120分钟 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．1．已知集合2{lg(4)}A x R y x =∈=-，{3,0}xB y y x ==>时，则A B = （ ） A ．{21}x x -≤≤ B ．{12}x x <<C ．{2}x x >D ．{212}x x x -<<>或 2．已知,p q 为两个命题，则“p 是真命题”是“p q ∨是真命题”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．已知等比数列{}n a 中，11a =，且2344,2,a a a 成等差数列， 则234a a a ++等于 （ ）A ．1B ．4C ．14D ．15 4．已知曲线31433y x =+，则曲线在点()2,4P 处的切线方程为（ ） A ．4120x y +-= Ｂ．440x y --= Ｃ．280x y +-= Ｄ．20x y -= 5．如图是某程序框图，那么该程序可用来计算下列 哪个算式的值？ （ ）Ａ． 123100++++ Ｂ． 12399++++Ｃ． 123101++++ Ｄ． 13599++++6．函数()()()22,y x a x b a b R =-+-∈的最小值为（ ）Ａ．8 Ｂ．()22a b + C ．()22a b - Ｄ． 222a b + (第5题图)7．已知ABC ∆中，23sin ,tan 54B C ==，则 （ ） A ．C B A >> B ．A B C >> C ．B C A >> D ．A C B >>8．已知实数,x y 满足330,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的取值范围是 （ ）Ａ．[]1,3- Ｂ．[]13,3- Ｃ．[]5,11- Ｄ．[]1,11-9．函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的图像与直线y 相交于一系列的点，从左 到右依次取相邻的三个点，分别记作,,A B C ，若能使3AB BC =成立，必有 （ ） Ａ．2A = Ｂ．2ω= Ｃ． 3πϕ=Ｄ．2ω=且3πϕ=10．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则 （ ）A ．01x y <+< Ｂ．1x y +>Ｃ．1x y +<- Ｄ．10x y -<+<（第10题图）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．复数11z i=-的共轭复数为 ．12．为提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识，某调查机构共调查了200个人在一天中的睡眠 时间．现将数据整理分组如右表所示.由于操作不慎， 表中,,,A B C D 四处数据污损，统计员只记得A 处的 数据比C 处的数据大4，由此可知B 处的数据为 ． 13．四个大小形状完全相同的小球，分别编号为1，2，3，4， 现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数 的概率为 ．（第12题）14．已知12cos x A x +=，可得2212cos 2,x A x += 3312cos3,x A x+= ， 由此推知，对任意的正整数n ，都有1nn x x+= ．15．已知0,0,8x y x y xy >>++=，则x y +最小值是 ． 16．已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+=⎪⎝⎭sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．17．已知数列{}n a 中，()323,2n n n n a a a a n N +++≤+≥+∈，且11a =，则2011a = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）()()2,cos ,sin 2A m n B C ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，其中,,A B C 是ABC ∆的内角.（Ⅰ）当2A π=时，求n；（Ⅱ）当m n ⋅取最大值时，求A 大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若,16B AB π==，求值．19．（本题满分14分）已知函数()x f x =．（Ⅰ）计算1122f x f x ⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （Ⅱ）设a R ∈, 解关于x 的不等式：211(1)22f x a x a ⎛⎫-+++< ⎪⎝⎭．20．（本题满分14分）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ，其中{}11,1,2,3,4,5a ∈-． （Ⅰ）若存在n N +∈，使5n S =-成立，求1a 的值；（Ⅱ）是否存在1a ，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立？若存在，求出1a 的值；否则，说明理由．21．（本题满分15分）已知定义域为(1,)+∞的函数()f x 满足：① 对任意(1,)x ∈+∞，恒有(10)10()f x f x =；② 当(]1,10x ∈时，()lg f x x x =-． （I ） 求(100)f ，(500)f 的值；（II ）记区间1(10,10]k k k I +=（0,1,2,3,k = ），该区间上相应的函数值的取值范围为k D⑴当k x I ∈时，求()f x 的解析式，并写出k D （不必严格证明）． ⑵设点集{}()(,),0,1,2,k k x y x I y D k ∈∈= 所构成的平面区域面积为k S ，求证：012111111009972k S S S S -+++<⨯ ．22．（本题满分15分） 已知函数()3213f x x ax bx =++的极大值点为1x =-． （Ⅰ）用实数a 来表示实数b ，并求a 的取值范围； （Ⅱ）当[]1,2x ∈-时，()f x 的最小值为23-，求a 的值； （Ⅲ）设()()()()1,1,2,2A f B f --，,A B 两点的连线斜率为k ． 求证：必存在()01,2x ∈-，使()0f x k '=．2010学年浙江省第一次五校联考数学（文科）参考答案一、选择题1．B 2．A 3. C 4. B 5. B 6. C 7. D B. D 9. A 10. C 二、填空题 11．1122z i =-； 12．0.30； 13.．56 ；14．2cos nA ；15．４；16．12；17．2011; 三、解答题18．（Ⅰ）当2A π=时，1,1,2n n ⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭ （4分）（Ⅱ）())2sin 1cos sin 2A m nBC A A =++=++2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（8分） 6A π∴=当时，m n 取到最大值 （10分）（Ⅲ）由条件知23C A B ππ=--=，由正弦定理得sin sin B AC AB C ==（12分） 1c o s 2A B A C A B A C A ∴=⋅= （14分）19．（Ⅰ）11122f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分） （Ⅱ()1x f x == ，故()f x 在实数集上是单调递增函数 （6分） 由（Ⅰ），令0x =，得1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭ （8分） 原不等式即为211(1)22f x a x a f ⎛⎫⎛⎫-+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211(1)22x a x a ∴-+++<，即()(1)0x a x --< （10分）故，当1a <时，不等式的解集为{}1x a x <<； 当1a =时，不等式的解集为φ；当1a >时，不等式的解集为{}1x x a <<；（14分）20．（Ⅰ）由条件得，211(1)11()5222n n n S na d n a n -=+=-++=- 整理得：21(21)100n a n -+-= （2分）,n N +∈ 由求根公式1(21)2a n +±=，知21(21)40a ∆=++必为完全平方数，{}11,1,2,3,4,5a ∈- ，逐个检验知，114a =或符合要求，当11a =时，5n =；当14a =时，10n = 故1114a a == 或（7分） （Ⅱ）由n n S a <，代入得21111()122n a n a n -++<+- 整理，变量分离得：21131(1)1(1)(2)222n a n n n n -<-+=--111(2)2n a n >∴<- ，（11分）12(2)2n n =-时,取到最小值0，10a ∴<故存在11a =-，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立 （14分）21．（Ⅰ）()()(100)10101010lg1090f f ==⨯-= （2分） ()()()22(500)1050105105lg5f f f ===⨯- （4分）（Ⅱ）（1）(]1(10,10],1,1010kk k xx +∈∴∈ ， 由题设得()lg (lg )10101010k k k k x x x xf x k =-=-- （6分）()2210()10()10()101010k k x x xf x f f f ∴====即当1(10,10]k k x +∈时，()10(lg )kf x x x k =-⋅- （8分）()k f x x I ∈在上单调递增，(10,910k k k D ⎤=⨯⎦ （10分）（2）知点集构成的平面区域是长方形区域，长和宽分别为k I 和k D 的区间长度， 故1(1010)(91010)72100k k k k k k S +=-⨯⨯-=⨯ （12分）从而()110,1,2,3,72100kk k S ==⨯ ，故数列1k S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为172，公比1100的等比数列172101211111110011()1()11009972100k k k S S S S -⎡⎤⎡⎤∴+++=-=-⎢⎥⎢⎥-⨯⎣⎦⎣⎦ （14分） 012111111009972k S S S S -∴+++<⨯ （15分）． 22．（Ⅰ）()202f x x ax b '=++，由题设知()1021f b a '-=∴=- （2分）韦达定理得另一极点12x b a =-=-，因为1x =-为极大值点 故121,1a a ->-∴< （4分）（Ⅱ）()()1f x -∞-在，上递增，在()112a --，递减，在()12+a -∞，上递增， 故当[]1,2x ∈-时，分情况如下：① 当122a -≥，即12a ≤-时，()f x 在[]1,2x ∈-上单调递减 ()()min 222833f x f a ∴==+=-，解得16a =-，不合条件，舍去 （6分）② 当122a -<，即112a -<<时，()()3222min 1112(12)(12)(12)(12)(2)33f x f a a a a a a a ∴=-=-+---=--212(12)(2)33a a ∴--=-，化简得2(23)0a a -=，取0a = 故所求的0a = （9分）（Ⅲ）()()()21321f f k a --==--，即证20023x ax b a ++=即证方程2210(1)x ax a a +--=<在(1,2)x ∈-上有实数解 （10分） 记2()210(1)g x x ax a a =+--=<，(1)3,(2)33g a g a -=-=+当(1)(2)3(1)0g g a a -⋅=-+<，即1a <-或01a <<时，由零点存在定理知此时方程有解 （12分）当10a -<<时，此时24(1)0a a ∆=++>，(2)0,(1)0g g >->，且二次函数()g x 的对称轴(0,1)(1,2)x a =-∈⊆-，由此可知此时方程在(1,2)-内有两个解当1a =-时方程有一根为0x =，当0a =时方程有一根为1x = （15分） 综上可知，方程2210(1)x ax a a +--=<在(1,2)x ∈-上有实数解．。