【精品】第十三章SECTION2一阶微分方程
《一阶常微分方程》课件
06
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一阶常微分方程的总结与展望
总结与回顾
1 2 3
定义与性质
一阶常微分方程是描述一个函数随时间变化的数 学模型，具有丰富的理论体系和应用领域。
历史发展
一阶常微分方程的发展可以追溯到早期的微积分 学，随着科学技术的进步，其理论和应用得到了 不断深化和拓展。
解法研究
一阶常微分方程的解法研究是核心内容之一，包 括初值问题、边值问题、积分方程等，以及各种 数值解法。
举例
简单的一阶常微分方程如 dy/dx = y，描述了y随x的变化率与其自身成正比的情况；复杂的一阶常微分方程如 dy/dx = x^2 + y^3，描述了更复杂的函数关系。
02
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一阶常微分方程的解法
初值问题
定义
已知一阶常微分方程及其在某一点的初 始值，求解该方程在该点的邻域内的解 。
一阶常微分方程
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目 录
• 一阶常微分方程的定义 • 一阶常微分方程的解法 • 一阶常微分方程的应用 • 一阶常微分方程的扩展 • 一阶常微分方程的实例分析 • 一阶常微分方程的总结与展望
01
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一阶常微分阶常微分方程是包含一个未知函数 和其导数的等式，形式为 f(x, y', y) = 0。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态特性可以用一阶常 微分方程来描述。
航空航天工程
描述飞行器的运动轨迹和姿态变化，可以用一 阶常微分方程来建模。
机械工程
描述机械系统的动态特性，如振动、位移等，可以用一阶常微分方程来建模。
04
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一阶常微分方程的扩展
一阶微分方程ppt课件
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
一阶微分方程
dz 4 2 4 x x 2 2 z x , 解得 z x C ,即 y x C dx x 2 2
dy 4 y 0 的通解为 方法2. 用常数变易法: dx x
令
2
y cx .
4
2
y u( x ) x ,
4
代入原方程化简得
例12 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分解
0
ydx x y,
Q
两边求导得 解此微分方程
dx
y y 3 x 2 ,
M N 全微分方程 . y x
2.解法:
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
全微分方程
M N 应用曲线积分与路径无关. y x
通解为
y
u( x, y ) M ( x, y )d x N ( x0 , y )dy
x0 y0
1 1 x x 2 3. y y x y (c ) x 1 x 1 3 4
3
4
dx 2 y 1 2 2 4. x 1 x y cy e . 2 dy y
du 4 6. y x u, y 1 u . dx u5 u 2 10u 8 x c ( y x ) 2 10 y 2 x c.
第二节 一阶微分方程
一阶方程的形式:
y f ( x, y ).
或
p( x, y )dx Q( x, y )dy 0.
dx f ( x, y ). dy
或
一、可分离变量方程 1. 定义:形如 y f ( x ) g ( y ) 为可分离变量的微分方程.
一阶微分方程
dx dy x ln y y ln y
1 y ln y x 1 y
y ln y x ln y
1 y ln y 1 y
则它既不是线性方程, 又不能分离变量.
若将方程写成
即
dx dy
x
以x为未知函数,
y 为自变量的 一阶非齐次线性方程.
18
ye
P ( x ) dx
[ Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
例 求方程 y 解 P(x)
y e
1 x
1 x
y
sin x x
的通解.
1 x
1 x
, Q(x)
dx
sin x x
,
1 x dx
一阶线性非 齐次方程
d x C
sin x x e
22
( 1 ) f ( xy ) y d x g ( xy ) x d y 0
解 令 u xy, 求微分得du xdy y d x , 代入方程
[ f ( u ) g ( u )]
z
dx
dz dx
(
2 x
x 2
x 2
通解为 z e
2 x
dx
e
2 x
dx
dx C ) x (
2
1 2
ln | x | C )
故原方程的通解为
y x (
4
1 2
ln | x | C )
2
21
五、利用变量代换求解方程
例 求解下列微分方程
2. 一阶微分方程
§2 一阶微分方程一、一阶微分方程解的存在和唯一性一阶微分方程的一般形式是()0,,='y y x F如果在所考虑的区域上0≠'∂∂y F，那末根据隐函数存在定理（第五章 §3，四，2），解出'y 得()y x f xy,d d = 或者写成对称形式()()0d ,d ,=+y y x N x y x M[解的存在和唯一性定理] 给定微分方程()y x f x y,d d = 及初始值()00,y x .设()y x f ,在闭区域R ：()0,0,00>>≤-≤-b a b y y a x x 上连续，那末方程()y x f xy,d d =至少存在一个解，它在x x =0处取值y 0，同时在包含x 0的某一区间上确定且连续（此定理称为柯西存在定理）. 如果在R 内对变数y 还满足李普希茨条件，即存在正数N ，使得对于R 内的任意两值1y 和2y ，下面不等式成立：()()2121,,y y N y x f y x f -≤- 那末这个解还是唯一的.二、可积类型及其通解（表中c 为任意常数）找积分因子的方法三、奇解及其求法[微分方程的奇解] 微分方程()0,,='y y x F 的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线，即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的.[c -判别曲线法] 设一阶微分方程()0,,='y y x F 的通解为()0,,=c y x Φ，其中c 是任意常数，把c 看成参数.从下面方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00,,cc y x ΦΦ 中消去c 而得到的所有曲线，都称为曲线族()0,,=c y x Φ的c -判别曲线，其中包含着曲线族()0,,=c y x Φ的包络.但应注意c -判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验.例 求一阶微分方程3227894y y y x '-'=- 的通解和奇解.解 把方程写成y x y y =-'+'4982723令y '=p .方程两边对p 求导，得p p x 98d d = 于是有x c p +=492 即()p y x c ='=±+3212代入原方程，得通解()()()0,,32=+-+=c x c y c y x Φ从()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=∂∂=+-+=032,,0,,232c x c y c c y x c x c y c y x ΦΦ 中消去c ，得c-判别曲线y=x 和x y -=427.直接代入原方程可知y=x 不是已知方程的解，所以不是奇解，而x y -=427是奇解.[p -判别曲线法] 对于一阶微分方程()0,,='y y x F ，令p y ='，那末方程的奇解一定包含在下面方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=0,,0,,p p y x F p y x F 消去p 后得到的曲线（称为p -判别曲线）中.至于p -判别曲线是否是奇解，也需要实际检验.例 求微分方程'+-=y y 2210 的奇解. 解 从()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=-+=02,,01,,22p p p y x F y p p y x F 中消去p 得p-判别曲线 12=y ，即y=1±.代入原方程知y=1±是奇解.。
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶微分方程的求解ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
y=2/t*x+t^2*exp(t ）
[T Y]=Trapezia_reckon (' euler_3_3_2',[1 2],0,10)
第19页
不同求解器特点
3.3
一阶微分方程的求解
求解器 ode45 ode23
求解问题
特点
非刚性
一步算法；4，5阶 Runge-Kutta算法
非刚性
一步算法；2，3阶 Runge-Kutta算法
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
其近似值：
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
第9页
一阶微分方程的求解
3.3 后向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(曲t)线，此直
线段斜率等于该函数在该 步长终点斜率。
y(tn )
0 0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
y(tn ) yn
0 -0.098362899 -0.240212999 -0.433745533 -0.688050221 -1.013245028 -1.420624329 -1.922824060
误差称为截断误差。尚有一个误差称为舍入误差，这种误差是由于
计算时数值舍入引起。
第3页
一阶微分方程的求解
前向欧拉法几何意义：
yk1 yk hf (tk , yk )
在任一步长内，用一段直 线代替函数 y(t曲) 线，此直 线段斜率等于该函数在该 步长起点斜率。
10.2一阶微分方程
1 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例4. 解方程
dy y dx x 解:原方程变形为 即 2y 1 2 dx 2 y y x dy y dx x 亦即 2 y 1 通解为 dy y
xe
(1 2 y) e
ye
(x
5 1) 2
e
故原方程通解为
( x
5 1) 2
dx C
例2. 解方程 解: 这是一个非齐次线性方程
P( x) cot x
Q( x) x 2 csc x
由一阶线性方程通解公式,得
ye
x 2 csc x e
x
故原方程通解为
2
csc x
dx C
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换
y u( x )e
P( x) u e
P ( x ) dx
则
P ( x )d x
u e
即
P ( x )d x
P ( x )d x
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 全微分方程
应用曲线积分与路径无关. 通解为
P Q y x
u( x , y )
y
0
( x, y)
( x 0 , y0 )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
y Q( x , y )dy x P ( x , y0 )d x , u( x , y ) C ;
一阶微分方程
第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)＝0或y ′=f (x ,y )，其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、 可分离变量的方程 形如xyd d =f (x )g (y ) (10-2-1) 或M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2)的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得)(y g yd =f (x )d x ， g (y )≠0， 根据一阶微分形式的不变性，再对上式两端分别积分⎰)(y g yd =⎰x x f d )(,得通解G (y )=F (x )+C ，其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中．例1 求解方程xy d d ＝21y -． 解 分离变量得21yy -d ＝d x ．两边积分得arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )．注意 对于给定的C ，上述解中x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，将21y -作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsin y ＝x +C （C 为任意常数），另外还有两个特解y ＝±1．例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝pxx P d d ． 依题意，得pxx P d d ＝-3P 3， 于是xxd ＝-3P 2d P ， 积分得ln x =-P 3+C 1，即x =Ｃ3P -e(C =1C -e)．由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为x =3P -e．例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与广告支出x 之间有如下关系：xyd d ＝k (N -y ）， 其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，解 分离变量yN y-d =k d x ， 两边同时积分得-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)，因N -y ＞0，所以ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，上式经整理得y =N -C e -kx (C =1C -e＞0）．将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为y =N -(N -y 0)e -kx ． 由题设可知xyd d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞→=N ，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如x y d d =⎪⎭⎫⎝⎛x y f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u =xy将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令 u =xy(或y =ux )， 其中u 是新的未知函数．对y =ux 两端关于x 求导，得x y d d =u +x xu d d ． 代入(10-2-3)得u +xxud d =f (u )． 分离变量并积分得⎰-u u f u )(d =⎰xxd ，即Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，其中Φ(u )是⎰-u u f u )(d 的一个原函数，再将u =xy代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解Φ(xy)＝ln|x|+C ． 上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，也就是⎪⎭⎫ ⎝⎛x y f ＝xy．这时，方程(10-2-3)为x y d d ＝xy． 这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．例4 求微分方程xyxy d d =x 2+y 2满足条件y |x =e ＝2e 的解． 解 原方程可化为x y d d = y x +x y ，这是一个齐次方程．作代换u =xy，即y =ux ，则 x y d d ＝u +x xud d ． 代入前一方程得u +xx u d d =u 1+u 即 x x u d d =u1， 分离变量并积分得u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，将u 替换为xy，便得原方程的通解： y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，再将初始条件代入通解得4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，求得 C =1， 于是，所求的特解为y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．例5 设甲、乙两种商品的价格分别为P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为21d d P P P P 12=1212P P P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．解 将所给方程整理为21d d P P =21212111P P P P P P +-． 这是齐次方程．令u =21P P ，即P 1＝uP 2，则21d d P P ＝u +P 22d d P u ，代入上式得 u +P 22d d P u ＝uu+-11·u ． 整理得⎪⎭⎫⎝⎛--211u u d u ＝222d P P ．两边积分得u1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）．将u 替换为21P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 22＞０) 12P P e ＝CP 1P 2（C ＝1C e ， C 为正数)．2． 可化为齐次方程的微分方程 形如xy d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222111C y b x a C y b x a f （10-2-4）的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y b x a C y b x a 有惟一解x =α，y =β．作变量替换⎩⎨⎧-=-=,,βαy v x u 则222111C y b x a C y b x a ++++＝222111)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝vb u a v b u a 22111++．于是方程(10-2-4)化为u vd d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++v b u a v b u a f 22111． 这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令21a a ＝21b b ＝λ，即有a 1=λa 2, b 1=λb 2． 方程(10-2-4)可写为xy d d ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222122)(C y b x a C y b x a f λ．作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2xyd d ，方程(10-2-4)化为 x t d d ＝a 2+b 212()t C f t C λ++．这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．例6 求方程x y d d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组⎩⎨⎧=++=+-05,01x y x y 得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为u v d d =uv u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它的通解为ln(u 2+v 2)+2arctanuv=C ． 再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan23++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如y ′＋P (x )y =Q (x ) （10-2-5）的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．如果Q (x )≡0，方程(10-2-5)即为y ′+P (x )y =0． （10-2-6）该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的． 下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)的解法．先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y =0是它的一个解，当y ≠0时分离变量得yyd =-P (x )d x ． 两边积分得ln ｜y ｜=⎰-x x P d )( +C 1，即y =C ⎰-xx P d e)( （C =±1Ce ）．y =0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C =0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为y =C ⎰-xx P d e)( (C 为任意常数)． (10-2-7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q (x )，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C 不可能还是常数，而是x 的某个函数C (x )．于是，可设方程(10-2-5)的解为y =C (x )·⎰-xx P d e)(， （10-2-8）其中C (x )是待定函数．将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得[C (x ) ⎰-xx P d e)(]'+P (x )C (x ) ⎰-xx P d e)(=Q (x )．化简，得C '(x )＝Q (x ) ⎰xx P d e )(．上式两端同时积分，得C (x )=⎰)(x Q ⎰xx P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解y =⎰-xx P d e)([⎰)(x Q ⎰xx P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常数)． （10-2-9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．将通解(10-2-9)改写为y =C ⎰-xx P d e)(+⎰-xx P d e)(⎰⎰x x Q xx P d )e (d )(． 不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为y ′+xy =x xe ． （10-2-10）先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为y =xC， 再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为y =xx C )(， 代入方程(10-2-10)得22)()()(xx C x x C x C x +-'＝x xe ，化简，得C '(x )=e x ，积分得C (x )=e x +C ，故得方程(10-2-10)的通解为y =x1 (e x+C )（C 为任意常数）．这也就是所求方程的通解．以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．这里，P (x )= x1，Q (x )＝x x e ，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x xd e e ed d 11＝x1(e x +C )． 例8 求方程y ′＝3y x y+满足初始条件y (0)=1的特解．解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成y x d d -y1x =y 2， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．利用通解公式(10-2-9)得x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y yy yd ee d 2d 11＝[]⎰+-C y y y y d e e 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +21y 3， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求方程的特解为x =21-y +21y 3． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝t f xt d ⎰303)(＋e 2x ，求f (x )．解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可导．对方程两端同时求导，得f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．由一阶线性方程的通解公式，得f (x )＝()⎰+⎰-⎰C x xx xd e ee d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为63x ＋31，求f (x )的表达式．图10-2解 参看图10-2，由题设得2x［1+f (x )］+⎰1)(x t t f d ＝63x ＋31，求导，得21［1+f (x )］+21xf ′(x )-f (x )=22x ，即f ′(x )-x1f (x )=x x 12- (x ≠0)．利用一阶线性微分方程的通解公式，得f (x )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x xd e ed d 1211＝e ＝x 221d x x C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝x 2+1+Cx ． 当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有f (x )=x 2-2x +1．形如xyd d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1） （10-2-11） 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以y α，得y -αx yd d +P (x )y 1-α＝Q (x )，即xy d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为xzd d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （10-2-12）这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．例11 求方程y ′+y xx21- =21xy 的通解． 解 这是α＝21的伯努利方程．方程两边同时除以21y ，得21211y xx x y y -+d d ＝x ． 令z ＝y1-α＝21211y y=-，则上面的方程化为x z d d +z x x )1(22-＝2x． 这是一阶线性微分方程，其通解为z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰-⎰-C x x x x x x x xd e ed d 221211212 ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---C x x 43242)1(311＝)1(311242x x C ---． 将21y 替换z ，得原方程的通解为y =2242)1(311⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)．习题10-21． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝xy-+11； (2) xy d x +21x -d y =0; (3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)1,0110==+-+=x y y xy x y x d d ； (6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ．2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=x y +sin xy ； (3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ;(4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1；(5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1;(6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ;(7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) y ′-y =sin x ;(2) y ′-xn y =x n e x ； (3) (x -2y )d y +d x =0;(4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；(5) y ′-1+x y =(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2221212x x y x x +=+，y (0)=23; (7) y ′-y x 1=-x2ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2x -e ，y (0)=1;(9) y ′＝234xy y x +； (10) y ′＝xyy x +331． 5． 设函数f (x )在［1,＋∞］上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2)=92的特解． 6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当 时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的 生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)．7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )． 8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为C ′(x )＝xC x +++11， 且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ， 其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高?。
一阶微分方程授课课件
g(y)dy f (x)dx
①
设 y＝ (x) 是方程①的解,
则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时,
上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解.
Байду номын сангаас同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时,
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令
y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得
解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
dy
0
的通解
.
解: 注意 x, y 同号,
x
f (x) sin x f (u)d u
0
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x) , 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
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§2一阶微分方程
一、一阶微分方程解的存在和唯一性 一阶微分方程的一般形式是
()0,,='y y x F
如果在所考虑的区域上
0≠'
∂∂y F
，那末根据隐函数存在定理(第五章§3，四，2），解出'y 得 ()y x f x
y
,d d = 或者写成对称形式
()()0d ,d ,=+y y x N x y x M
［解的存在和唯一性定理]给定微分方程
()y x f x
y
,d d = 及初始值.
设()y x f ,在闭区域R : ()0,0
,00>>≤-≤-b a b y y a x x 上连续,那末方程
()y x f x
y
,d d =至少存在一个解，它在x x =0处取值y 0,同时在包含x 0的某一区间上确定且连续(此定理称为柯西存在定理）.
如果在R 内对变数y 还满足李普希茨条件,即存在正数N ，使得对于R 内的任意两值1y 和2y ，下面不等式成立：
()()2121,,y y N y x f y x f -≤-
那末这个解还是唯一的.
二、可积类型及其通解
（表中c 为任意常数）
找积分因子的方法
三、奇解及其求法
[微分方程的奇解］微分方程()0,,='y y x F 的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解。
奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线,即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的。
[c -判别曲线法]设一阶微分方程()0,,='y y x F 的通解为()0,,=c y x Φ，其中c 是任意常数，把c 看成参数。
从下面方程组
()⎪⎩⎪
⎨⎧=∂∂=00,,c
c y x ΦΦ 中消去c 而得到的所有曲线，都称为曲线族()0,,=c y x Φ的c —判别曲线，其中包含着曲线族
()0,,=c y x Φ的包络.但应注意c —判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验。
例求一阶微分方程
3227
894y y y x '-'=
- 的通解和奇解。
解把方程写成
y x y y =-
'+'49827
23
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6 / 11 令y '=p 。
方程两边对p 求导，得
p p x 9
8d d = 于是有
x c p +=
49
2 即
代入原方程，得通解 ()()()0,,32=+-+=c x c y c y x Φ
从
()()()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=∂∂=+-+=032,,0,,232c x c y c c y x c x c y c y x ΦΦ 中消去c ，得c —判别曲线y=x 和x y -=427。
直接代入原方程可知y=x 不是已知方程的解，所以不是奇解，而x y -=427
是奇解。
[p —判别曲线法］对于一阶微分方程()0,,='y y x F ，令p y =',那末方程的奇解一定包含在下面方程组
()()⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂=0,,0,,p p y x F p y x F 消去p 后得到的曲线（称为p -判别曲线)中.至于p -判别曲线是否是奇解，也需要实际检验. 例求微分方程
'+-=y y 2210
的奇解。
解从
()()⎪⎩
⎪⎨⎧==∂∂=-+=02,,01,,22p p p y x F y p p y x F 中消去p 得p —判别曲线12=y ，即y=1±。
代入原方程知y=1±是奇解.。